Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei più importanti della matematica. Si ha una corrispondenza quando sono assegnati un insieme di partenza, detto dominio, un insieme di arrivo, detto codominio, e un insieme di collegamenti (che possiamo pensare come delle frecce) che uniscono elementi del dominio con elementi del codominio 1. Il concetto di corrispondenza è dunque molto generale e si applica in svariate situazioni, anche molto diverse e anche non appartenenti agli ambiti della matematica: si ha una corrispondenza se consideriamo l insieme dei fiumi come dominio (insieme di partenza), l insieme dei capoluoghi italiani come codominio (insieme di arrivo) e colleghiamo ciascun fiume con tutti i capoluoghi italiani che tale fiume attraversa (insieme di frecce della corrispondenza); si ha una corrispondenza se consideriamo l insieme dei capoluoghi delle regioni d Italia come dominio, l insieme delle squadre di calcio del campionato di serie A come codominio e colleghiamo ciascun capoluogo di regione con le squadre di calcio che ivi hanno sede; si ha una corrispondenza se consideriamo l insieme delle parole della lingua italiana, l insieme delle consonanti e colleghiamo ciascuna parola con ogni consonante che vi compare (in questo caso non tutti gli elementi del dominio hanno corrispondenti, poiché, ad esempio, la parola aia non contiene consonanti e quindi non ci sono frecce di collegamento con alcun elemento del codominio). Osserviamo che ogni corrispondenza è invertibile, ovvero, invertendo il verso delle frecce, si ha ancora una corrispondenza. La nuova corrispondenza ha per dominio il codominio della corrispondenza di partenza e per codominio il dominio della corrispondenza di partenza. Esempio 1. l insieme Consideriamo la seguente corrispondenza, in cui il dominio è il codominio è l insieme delle vocali: A = {penna, libro, matita}, B = {a, e, i, o, u} 1 L unica cosa che non è ammessa è che da un elemento del primo insieme parta più di un collegamento verso lo stesso elemento del secondo insieme. 1
e ad ogni elemento dell insieme A sono associate le vocali che compaiono nel nome dello stesso elemento: ciò significa che la corrispondenza collega penna con a ed e, libro con i ed o, matita con a ed i. Se riflettiamo bene, la corrispondenza che abbiamo definito si limita a scegliere alcune coppie sostantivo vocale tra tutte le coppie possibili, che sono molte di più: la coppia (penna, i), ad esempio, è una coppia sostantivo vocale, ma penna non contiene la vocale i e quindi questa coppia non viene scelta dalla corrispondenza. Vengono selezionate soltanto quelle coppie che sono costituite da sostantivi e vocali che si corrispondono, per cui la corrispondenza è perfettamente descritta nel momento in cui indichiamo, nell insieme delle coppie, quelle costituite da elementi tra loro collegati. Possiamo anche dire che la corrispondenza viene a coincidere con l insieme delle coppie selezionate. A questo punto è necessario dare due definizioni. Definizione 1. Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A e B l insieme di tutte le coppie in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B; il prodotto cartesiano tra A e B si indica con A B. Definizione 2. Una corrispondenza C avente dominio A e codominio B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B. Nell Esempio 1 abbiamo visto che ad un elemento del dominio possono anche corrispondere più elementi del codominio. Esistono però corrispondenze che rivestono un ruolo di particolare importanza in matematica e nelle scienze applicate, le corrispondenze univoche, cioè quelle corrispondenze in cui ad ogni elemento del dominio viene associato al più un elemento del codominio. Una corrispondenza univoca è anche detta funzione, come specificato nella seguente definizione: Definizione 3. Si dice funzione di A in B una corrispondenza univoca f tra gli insiemi A e B, cioè una corrispondenza che associ ad ogni elemento x A al più un elemento y B. Per una funzione non si scrive f A B e nemmeno (x, y) f; piuttosto essa viene usualmente indicata in uno dei seguenti modi f : A B x f y = f(x) y = f(x), x A, y B L elemento y B che è il corrispondente di x viene detto immagine di x tramite f. Essendo una particolare corrispondenza tra due insiemi, anche una funzione f : A B viene a coincidere con un particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano A B, chiamato grafico della funzione f e denotato con il simbolo G f : G f = { (x, y) A B : x A, y = f(x) B }. Osservazione. La caratteristica principale del grafico di una funzione è che nessuna retta parallela all asse delle y può intersecarlo in due punti distinti. In caso contrario avremmo che ad un particolare x A sono associati più valori di 2
y B, venendo così a mancare l univocità. Ad esempio, la corrispondenza definita dall equazione x 2 +y 2 = 1, che graficamente rappresenta la circonferenza di centro l origine e raggio uguale a 1, non è una funzione, dato che tutte le rette di equazione x = k, con 1 < k < 1, la intersecano in due punti. Abbiamo allora un criterio per distinguere le curve che sono grafici di corrispondenze, ma non sono grafici di funzioni, da quelle che invece rappresentano grafici di funzioni. Dato che ad ogni elemento del dominio viene associato al più un elemento del codominio, ovvero uno o nessuno, è opportuno dare la seguente definizione: Definizione 4. Data una funzione f : A B, si chiama insieme di definizione di f l insieme degli elementi di A che hanno un corrispondente in B: D f = {x A : y B tale che y = f(x)} Se consideriamo la funzione f : R R tale che f(x) = x, nessun numero reale negativo ha un corrispondente poiché non esiste in R la radice quadrata di un numero negativo; in tal caso l insieme di definizione di f è l insieme dei numeri reali non negativi: D f = R + o. Può anche accadere (anzi, capita molto spesso...) che ci sia qualche elemento di B che non è il corrispondente di alcun elemento di A, cosicché è giustificata anche la definizione seguente: Definizione 5. Data una funzione f : A B, si chiama insieme immagine di f (o semplicemente immagine) l insieme degli elementi di B che sono i corrispondenti di qualche elemento di A: Im(f) = {y B : x A tale che y = f(x)} Se riprendiamo in considerazione la funzione radice quadrata, è chiaro che anche il suo insieme immagine è l insieme dei numeri reali non negativi, dato che la radice quadrata di un numero reale è non negativa per definizione e ogni numero reale non negativo è la radice quadrata di un numero reale non negativo. Tra tutte le corrispondenze le funzioni sono importanti anche perché determinano una partizione dell insieme di definizione. Infatti per ogni elemento y Im(f) è ben definito l insieme f 1 (y) = {x D f : f(x) = y} detto controimmagine di y; al variare di y Im(f) gli insiemi f 1 (y), non vuoti e a due a due disgiunti, ricoprono tutto l insieme di definizione di f. Esempio 2. La funzione f : R R, con f(x) = x 1, ha come insieme di definizione l insieme D f = {x R : x 1} e la sua immagine è R + o, dato che l equazione x 1 = y ha soluzione in D f se e soltanto se y 0. In sostanza, l insieme di definizione di una funzione è il suo dominio naturale, ma una funzione può essere definita in qualunque insieme A D f ; se dunque consideriamo un insieme A D f, la funzione f : A R è detta restrizione di f ad A. 3
Consideriamo ora il semplice esempio della corrispondenza C, definita tra gli insiemi A = B = {x N : 10 x 10}, che seleziona le coppie (x, y) A B tali che x 2 = y. Si ha dunque C = {( 3, 9), ( 2, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)} A partire da tale corrispondenza possiamo costruire la corrispondenza inversa, C 1 : C 1 = {(9, 3), (4, 2), (1, 1), (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3)} ottenuta invertendo l ordine in ogni coppia di C. Risulta giustificata la seguente definizione Definizione 6. Data una corrispondenza C A B, si chiama corrispondenza inversa la corrispondenza C 1 B A formata da tutte le coppie (y, x) B A tali che (x, y) A B. Dopo aver osservato che per ogni corrispondenza esiste la corrispondenza inversa, riprendiamo in considerazione l ultimo esempio. La cosa più interessante è che, pur essendo C una funzione, la corrispondenza inversa C 1 non lo è. Allora ci poniamo questo problema: data una funzione f : A B, quali sono le condizioni per cui la sua inversa, f 1, che è una corrispondenza, sia ancora una funzione? Spesso si richiede che l invertibilità di una funzione sia globale, ovvero che f 1 abbia B come insieme di definizione ed A come immagine; dato però che la f è comunque definita in modo naturale su D f A, affinché essa sia invertibile globalmente è necessario che sia Im(f) = B. Si ha così la seguente definizione: Definizione 7. Diciamo che una funzione 2 f : A B è suriettiva su B se Im(f) = B, cioè se per ogni y B esiste x D f tale che y = f(x). In generale una funzione non è suriettiva, ma non per questo si può rinunciare ad avere la funzione inversa. In sostanza la suriettività non è una proprietà così importante, dato che ogni funzione è suriettiva sulla propria immagine, e ad essa si può rinunciare facilmente, senza troppi rimpianti: basta infatti sostituire il codominio della funzione con la sua immagine perché la funzione risulti automaticamente suriettiva, essendo ogni funzione suriettiva sulla propria immagine per la definizione stessa di insieme immagine. Posto dunque che la funzione inversa f 1 sia definita in Im(f), essa associa ad ogni elemento y Im(f) tutti gli elementi dell insieme f 1 (y). E dunque necessario che quest ultimo insieme sia costituito da uno ed un solo elemento; ma questo equivale a dire che due elementi distinti dell insieme di definizione devono avere immagini distinte. Ciò porta a dare la definizione seguente: Definizione 8. Diciamo che una funzione 3 f : A B è iniettiva se, comunque scelti x 1, x 2 D f, con x 1 x 2, risulta f(x 1 ) f(x 2 ). Osservazione. Dalla definizione di iniettività segue immediatamente che una funzione è iniettiva se ogni retta orizzintale ne interseca il grafico al più in un punto; infatti, se una retta di equazione y = k interseca il grafico di una funzione y = f(x) in due punti distinti P (x 1, k) e P (x 2, k), con x 1 x 2, ciò significa che 2 La stessa definizione vale per una qualsiasi corrispondenza. 3 Anche in questo caso la stessa definizione si può dare per una qualsiasi corrispondenza. 4
esistono x 1, x 2 D f tali che f(x 1 ) = f(x 2 ) = k, e dunque la f non è iniettiva. Osservazione. Una funzione che sia iniettiva e suriettiva è detta anche bijettiva. Una funzione bijettiva f : A B stabilisce tra gli insiemi A e B una corrispondenza biunivoca, concetto fondamentale - ad esempio - per definire la cardinalità di un insieme. Abbiamo visto così che la iniettività di una funzione è condizione necessaria e sufficiente perché essa sia invertibile, ovvero ammetta funzione inversa. In questo modo la funzione inversa è quella funzione f 1 : Im(f) D f che ad ogni y Im(f) associa l unico elemento x f 1 (y), cioè l unico x D f tale che y = f(x). Esempio 3. La funzione f : R R, definita da f(x) = x 3 per ogni x R, è iniettiva e dunque ammette funzione inversa, che è evidentemente la funzione radice cubica, definita da R in R: ad ogni y R essa associa quell unico x R tale che x 3 = y. Si scrive x = 3 y. Non sempre è tutto così semplice, come si vede dagli esempi seguenti. Esempio 4. Consideriamo la funzione f : R R, definita da f(x) = x 2. Essa ha come insieme di definizione R e come insieme immagine R + o, ma non è iniettiva, dato che, ad esempio, f( 5) = f(5) = 25; anzi, si ha f( x) = f(x) per ogni x R. Se vogliamo risolvere l equazione x 2 = y, con y 0, si hanno le due soluzioni + y e y; ciò equivale a dire che f 1 (y) = { + y, y }. Tale funzione non è dunque invertibile globalmente, ma spesso è necessario accontentarsi di una invertibilità locale, ovvero si cerca l inversa per una restrizione su una parte dell insieme di definizione. Nel caso in esame bisogna scegliere di restringere la f al più grande sottoinsieme di D f in cui sia iniettiva, per esempio ai reali non negativi (potremmo anche scegliere i reali non positivi). La scelta non è comunque indolore, poiché si perde una parte dell insieme di definizione, però in cambio abbiamo la funzione inversa, ovvero la funzione radice quadrata, che è definita in R + o ed ha come insieme immagine ancora R + o ; essa associa ad ogni y R + o quell unico x R + o tale che y = x 2 ; per la scelta che è stata fatta si ha x = + y. Esempio 5. Consideriamo ora la funzione sin(x), che è definita su tutto R ed assume valori in R. Sappiamo tutti che tale funzione non è suriettiva su R, poiché il suo insieme immagine è [ 1, 1], e nemmeno iniettiva, essendo addirittura periodica. Anche in questo caso, se vogliamo avere la funzione inversa, dobbiamo individuare il più grande sottoinsieme di R in cui la nostra funzione sia iniettiva. Le possibilità sono infinite, ma convenzionalmente si sceglie l intervallo [ π 2, ] [ π 2 ; in tal modo la funzione sin(x), definita da [ 1, 1] in π 2, ] π 2 risulta iniettiva e suriettiva e dunque invertibile. La funzione inversa, indicata con arcsin(x) (si legge: arcoseno di x), è ovviamente definita in [ π 2, ] π 2 ed assume valori in [ 1, 1]. Esempio 6. Prendiamo infine in considerazione la funzione esponenziale, definita da R in R mediante l equazione y = e x ; essa è iniettiva e inoltre suriettiva 5
su R +, cosicché è garantita l esistenza della funzione inversa, log : R + R, detta logaritmo in base e o anche logaritmo naturale. 6