FUNZIONI E CALCOLO COMBINATORIO Il quesito assegnato all esame di stato 2004 (sientifio Ordinamento e PNI) suggerise un ollegamento tra funzioni ostruite tra insiemi finiti e Calolo Combinatorio QUESITO Considerate gli insiemi A = {1,2,3,4} e B = {a,b,}; quante sono le appliazioni (le funzioni) di A in B? Costruzione delle funzioni A iasun elemento di A ( dominio) va assoiato un elemento di B ( uno solo), mentre un elemento di B può essere assoiato a più elementi di A. Al primo elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in 3 modi diversi Al seondo o elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in 3 modi diversi Al terzo elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in 3 modi diversi Al quarto elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in 3 modi diversi Totale 3*3*3 *3 = 3 4 =81 funzioni Poihé A possiede 4 elementi e B solo 3, la funzione non può essere iniettiva Se nessun elemento di B viene tralasiato nelle selte, la funzione sarà suriettiva ESEMPI * b * a * * Esempio di funzione suriettiva (1;a) (2;b) (3:a) (4;) b * * a * * Esempio di funzione non suriettiva (1;a) (2;b) (3:b) (4;a) 1
Funzioni ostanti (1;a) (2;a) (3:a) (4;a) (1;b) (2;b) (3:b) (4;b) (1;) (2;) (3:) (4;) b a * * * * b * * * * a * * * * b a INTERPRETAZIONE COMBINATORIAL insieme B è l insieme di di ardinalità n=3 on i ui elementi vanno ostituiti gruppi di ardinalità k=4, seondo il modello delle disposizioni on ripetizione Possibili modelli Srittura di parole di lunghezza 4 su un alfabeto di 3 lettere, del tipo abb aba aaa bb ab et. et 4 estrazioni ( on reimbussolamento) da un urna ontenente 3 biglie ontrassegnate dalle lettere a,b, GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA E APPROFONDIMENTO Dato un insieme A di ardinalità k ( dominio) e un insieme B di ardinalità n, le appliazioni (funzioni) da A in B sono n k, pari alle disposizioni on ripetizione di n oggetti a k a k. Il dominio rappresenta un erto numero di << selte>> ( estrazioni, lani), a iasuna delle quali orrisponde un elemento di B ( oggetto estratto, risultato di un lanio)gli elementi di B possono essere <<ripetuti>> in aordo ol fatto he a selte, estrazioni o lani diversi, può orrispondere lo stesso risultato, mentre ovviamente non ha senso ripetere gli elementi di A ( non si <<ripete>> la prima estrazione, ma si fa una seonda, terza estrazione) 2
Funzioni iniettive Nel aso in ui sia n k la funzione può essere iniettiva : a elementi distinti di A orrispondono elementi distinti di B ovvero : ogni estrazione (ogni lanio) dà luogo ad un risultato diverso. Si ottiene siuramente una funzione iniettiva nel aso di estrazione senza reimbussolamento In partiolare se n=k si può avere una orrispondenza biunivoa Per ostruire una funzione iniettiva dobbiamo proedere nel modo seguente Al primo elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in n modi diversi Al seondo o elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in n-1 modi diversi Al terzo elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in n-2 modi diversi Al k-esimo elemento di A può essere assoiato un elemento di B selto in n-k+1 modi diversi Totale n(n-1)(n-2)..(n-k+1) funzioni iniettive Se n=k il risultato equivale a n! Interpretazione ombinatoria : Le funzioni iniettive da A(insieme delle k estrazioni) in B (insieme degli n oggetti) sono tante quante le disposizioni semplii di n oggetti a k a k. Le funzioni biiettive da A(insieme delle estrazioni) in B (insieme degli oggetti), entrambi insiemi di ardinalità n, sono tante quante le permutazioni semplii di n oggetti : n! ESEMPI d * b * a * 1 2 3 Funzione iniettiva ma non suriettiva (1;a) (2;b) (3:d) * b * a * 1 2 3 Funzione iniettiva e suriettiva (biiettiva) (1;a) (2;b) (3:) Corrispondenza biunivoa 3
Come è faile osservare, in quest ultimo aso, per ostruire tutte le funzioni biiettive, gli elementi dl dominio si pensano fissi e gli elementi del odominio (a,b,) vanno permutati tra loro, in 3! modi Funzione inversa Una funzione biiettiva è invertibile. La funzione inversa, da B in A,si ostruise sambiando il primo on il seondo elemento di iasuna oppia. Con riferimento all esempio preedente, la funzione inversa è (a;1) (b;2) (;3) Interpretazione ombinatoria Funzione f Funzione f -1 ESTRAZIONE ESITO ESITO ESTRAZIONE 1 a a 1 2 b b 2 3 3 PROBLEMI Risolviamo aluni problemi di Calolo Combinatorio o di Calolo delle Probabilità alla lue delle osservazioni preedenti 1) Sportelli e ode In un uffiio postale sono aperti 8 sportelli e arrivano ontemporaneamente 5 persone he si distribuisono asualmente ai vari sportelli. Se per <<oda>> intendiamo un insieme di almeno due persone allo stesso sportello, qual è la probabilità he non si verifihino ode? ( problema tratto da Re Frashini- Grazzi: Moduli Mat) Applihiamo la definizione lassia di Probabilità ome rapporto tra asi favorevoli e asi possibili 4
CASI POSSIBILI Si deve ostruire una orrispondenza tra l insieme degli sportelli e l insieme dei lienti Se vogliamo he la relazione sia una funzione, a iasun elemento del dominio deve orrispondere uno e uno solo elemento del seondo insieme. Quale insieme deve essere preso ome dominio? Ovviamente l insieme dei lienti, ovvero quello he non ammette ripetizioni. Un liente non può stare su due sportelli, mentre davanti allo stesso sportello possono stare più lienti (oda) Quindi si deve ostruire una funzione da A insieme di ardinalità k =5 in B insieme di ardinalità n=8 Risultato : TUTTE LE POSSIBILI FUNZIONI CHE ASSOCIANO A CIASCUN CLIENTE UN DETERMINATO SPORTELLO SONO : n k = 8 5 Signifiato ombinatorio : ogni liente seglie uno sportello, si fanno quindi k =5 selte su 8 elementi seondo il modello delle Disposizioni on ripetizione CASI FAVOREVOLI Per non avere <<ode>>, lienti distinti devono segliere sportelli distinti, ioè le funzioni devono essere iniettive he sono in numero di 8*7*6*5*4 Signifiato ombinatorio : ogni liente seglie uno sportello, si fanno quindi k =5 selte su 8 elementi seondo il modello delle Disposizioni semplii D n,k = n(n-1)(n-2)..(n-k+1) PROBABILITA 5
GENERALIZZAZIONE DEL PROBLEMA E APPROFONDIMENTO Sia n è il numero degli sportelli e k il numero dei lienti: Se n< k le ode sono inevitabili, non i sono funzioni iniettive Se n>k si ragiona ome nel aso preedente Se n=k si può avere la orrispondenza biunivoa ( funzione bijettiva) Il numero delle funzioni biiettive è n! Gli n lienti si dispongono ognuno davanti ad uno sportello e le onfigurazione sono le permutazioni di n elementi. Probabilità di non avere ode 2) Il <<Meglio>> e il <<Peggio>>- ( un po di luoghi omuni sui pregi e i difetti di aluni popoli)( Si die he il meglio per un uomo sia avere CASA CUOCO MOGLIE AMANTE STIPENDIO AMMINISTRATORE I NGLESE CINESE GIAPPONESE ITALIANA AMERICANO SVIZZERO Invee il peggio per un uomo è avere CASA CUOCO MOGLIE AMANTE GIAPPONESE INGLESE AMERICANA SVIZZERA 6
STIPENDIO AMMINISTRATORE CINESE ITALIANO Problema: Assoiando asualmente un nome on un aggettivo, qual è la probabilità di trovare il <<Meglio>> o il <<Peggio>>? Risposta Casi possibili 6! ( orrispondenze biunivohe) Casi favorevoli :2 Probabilità 7