La distribuzione normale

La v.a. normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata La distribuzione normale è difficilmente trattabile dal punto di vista calcolatorio, a causa dei suoi due parametri, µ e σ 2. Il ricorso alla distribuzione normale standardizzata permette invece di individuare facilmente le probabilità relative agli intervalli di valori, utilizzando opportune tavole statistiche. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 2 1

La distribuzione normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata (detta Z ) si ottiene mediante una trasformazione della variabile X, di questo tipo ( punteggi( z ): z e pertanto z z ( ) X 2 2 ( ) X 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 3 2 La distribuzione normale standardizzata La standardizzazione è una trasformazione dei dati che consiste nel: rendere la media nulla (μ = 0), dato che ad ogni valore della variabile originaria viene sottratta la media della variabile stessa; assumere la deviazione standard σ quale unità di misura (σ = 1) della nuova variabile, dato che ogni valore viene diviso per σ. La distribuzione normale standardizzata viene indicata con N(0,1). I valori della Z sono tabulati: : tra qualche diapositiva vedremo la tavola della Z. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 4 2

La distribuzione Normale standardizzata La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata, f (z), assume la forma: f ( z) z 1 e 2 1 z 2 Osservazione: questa funzione non contiene più i parametri. 2 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 5 La distribuzione normale standardizzata La v.a. normale standardizzata ha MEDIA=0 e DEVIAZIONE STANDARD=1, per cui è rappresentata da UNA SOLA CURVA, mentre la distribuzione normale generale è rappresentata da infinite curve, che variano a seconda dei valori di µ e σ. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 6 3

Aree sottese dalla curva normale generale La probabilità che un valore estratto casualmente da una v.a. N(μ,σ 2 ) sia compreso nell intervallo (μ-σ, μ+σ) è pari al 68%; Il 95% dei valori assunti da una distribuzione Normale cadono nell intervallo (μ-1,96σ, μ+1,96σ); Il 99%, invece, nell intervallo (μ 2,58σ, μ+2,58σ) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 7 Aree sottese dalla curva normale standardizzata 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 8 4

Aree sottese dalla curva normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata è importante perché le probabilità corrispondenti alle aree sottese dalla curva normale possono essere calcolate. Queste probabilità vengono riportate in apposite tavole. In questo modo è possibile evitare il ricorso a complessi calcoli integrali per trovare le probabilità che una v.a. X assuma valori compresi all interno di determinati intervalli. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 9 Aree sottese dalla curva normale standardizzata È noto che il 68,26% dell area totale è compreso tra ±1 deviazioni standard attorno alla media, cioè a ±1 punti z dalla media; mentre il 95,44% è racchiuso tra ±2 deviazioni standard attorno alla media: quindi a ±2 punti z dalla media. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 10 5

Aree sottese dalla curva normale standardizzata In virtù della proprietà di simmetria della distribuzione normale, le tavole riportano soltanto i valori dell area compresa fra lo zero e l ascissa l +X, poiché,, per la simmetria, l area l sottesa dall altra altra metà della curva è ovviamente uguale. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 11 Aree sottese dalla curva normale standardizzata Osservando la tavola, si troveranno i punti z nella colonna di sinistra con una cifra decimale; la seconda cifra decimale è posta nella prima riga in alto della stessa tavola. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 12 6

In termini pratici Supponiamo di voler conoscere l area l compresa tra le ascisse pari, rispettivamente, a z=0 e z=1,96. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 13 In termini pratici Osservando la colonna dei punti z,, si deve scendere fino a trovare z=1,9, e poi rimanere nella stessa riga fino a trovarsi in quella indicata con 6. Il punteggio che si trova in quel punto indica la porzione di area compresa tra i due valori di z: 0,4750.. Poiché l area totale sottesa dalla curva nella sua parte positiva è pari a 0,500, l area l che si trova alla destra del valore z =1,96 sarà data da: 0,5000-0,4750=0,0250 0,4750=0,0250. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 14 7

21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 15 Inferenza statistica 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 16 8

Dalla popolazione al campione: l inferenza statistica Il reperimento dei DATI STATISTICI attraverso una RILEVAZIONE è un operazione che ha dei COSTI, sia in termini di TEMPO IMPIEGATO che in termini ECONOMICI. In molti ambiti scientifici, come in biologia e in medicina, si ha spesso a che fare con dati di origine sperimentale, per i quali quello di cui si dispone è sempre un campione,, visto che la popolazione di riferimento è virtualmente infinita (es. un campione di animali da laboratorio rappresenta idealmente tutti gli esemplari di quella specie di animali da laboratorio). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 17 Dalla popolazione al campione Nei primi anni del 900, integrandosi con alcuni risultati fondamentali del calcolo delle probabilità,, la statistica ha cominciato ad interessarsi ai CAMPIONI. Un CAMPIONE è un SOTTOINSIEME del collettivo (popolazione) rispetto al quale si sta studiando un certo fenomeno: di solito, è un sottoinsieme di numerosità MOLTO INFERIORE a quella del collettivo di partenza. La TEORIA DELL INFERENZA STATISTICA studia le tecniche per ricavare informazioni attendibili dai dati campionari. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 18 9

POPOLAZIONE (o COLLETTIVO o UNIVERSO) P CAMPIONE C P 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 19 Le TECNICHE CAMPIONARIE (TEORIA DEI CAMPIONI) permettono di OTTIMIZZARE i criteri di ESTRAZIONE DEL CAMPIONE (il cosiddetto DISEGNO DI CAMPIONAMENTO), in maniera tale da RICAVARE DAL CAMPIONE PRESSOCHE LE STESSE INFORMAZIONI CHE SI SAREBBERO RICAVATE DISPONENDO DELL INTERO COLLETTIVO. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 20 10

IN STATISTICA: RAPPRESENTATIVITÀ DEL CAMPIONE = ESTRAZIONE CASUALE DELLE UNITA DEL CAMPIONE 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 21 Statistica e calcolo delle probabilità Le tecniche di inferenza statistica si basano tutte sulla somiglianza (che in termini tecnici si chiama verosimiglianza )) del campione rispetto alla popolazione da cui è stato estratto; estratto,, non dobbiamo mai dimenticarlo, con criteri rigorosamente casuali. L inferenza statistica è resa possibile dalla conoscenza delle leggi fondamentali del calcolo delle probabilità. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 22 11

Variabili aleatorie e distribuzioni teoriche di probabilità In statistica descrittiva abbiamo visto cosa intendiamo per variabile statistica.. Spostandoci in campo probabilistico, se una variabile può assumere valori esclusivamente dovuti al caso (o, per essere più precisi, a un esperimento aleatorio), essa prende il nome di variabile aleatoria. Una v.a. è un numero X che assume un valore in R (asse dei numeri reali), determinato sulla base di un evento E, che si riferisce a un certo esperimento aleatorio. A ciascun valore assunto da X, legato all evento E, si associa una probabilità P (P varia tra 0 e 1). Una distribuzione di probabilità è una funzione che sintetizza la relazione tra i valori di una variabile casuale X e la probabilità ad essi associata. Una distribuzione di probabilità descrive il comportamento della v.a. a cui è associata. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 23 Variabili aleatorie e distribuzioni teoriche di probabilità La conoscenza della distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria fornisce ai ricercatori uno strumento potente per descrivere una popolazione,, dalla quale verranno estratti i campioni che, successivamente, saranno studiati. Molti fenomeni naturali e biologici si distribuiscono secondo una distribuzione normale. Una distribuzione di probabilità è solitamente rappresentata da una formula (funzione( di probabilità se la v.a. è discreta, funzione di densità se la v.a. è continua) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 24 12

Variabili aleatorie e distribuzioni teoriche di probabilità La forma di una distribuzione può essere simmetrica rispetto al valore centrale, oppure vi può essere una coda più lunga da un lato piuttosto che dall altro. altro. Se la coda lunga è a destra (o, viceversa, a sinistra) la distribuzione avrà asimmetrica positiva (o, viceversa, negativa). Alcune distribuzioni teoriche di probabilità comunemente usate per descrivere i dati sono: la distribuzione Normale (o Gaussiana), la distribuzione Binomiale, la distribuzione di Poisson. Abbiamo già parlato ampiamente della v.a. Normale (o Gaussiana). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 25 Dalla popolazione al campione: l inferenza statistica Nelle indagini campionarie, l obiettivo l è quello di fare inferenza dal campione alla popolazione. In questo passaggio, poiché il campionamento è stato effettuato con criteri casuali, le stime che si ottengono sul campione, rispetto alla popolazione di partenza, sono per loro stessa natura affette da un errore, che si chiama errore di campionamento. Ad esempio, se io calcolo la media delle altezze di un campione di persone, per le quali so che la popolazione di partenza ha media 175 cm, non otterrò mai esattamente una media pari a 175 cm.. Piuttosto, ripetendo infinite volte la stima su infiniti campioni, otterrò certamente una DISTRIBUZIONE DI MEDIE, che sarà dispersa attorno al vero valore della media, cioè 175 cm. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 26 13

Popolazione e campione Popolazione (N,μ,σ 2 ) Estrazione del campione 1 campione (n,m,s) 2 campione (n,m,s) i-esimo campione (n,m,s) Ad ogni estrazione, varia il campione nell universo dei campioni 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 27 La stima dei parametri di una popolazione I parametri sono dei valori caratteristici della popolazione, come la media aritmetica, la probabilità del verificarsi di un evento, ecc. Le stime sono effettuate in funzione delle osservazioni campionarie e, pertanto, dipendono dagli elementi del campione (media aritmetica del campione, frequenza di un certo evento nel campione, ecc.) L insieme di tutti i campioni estraibili casualmente da una popolazione è detto spazio campionario.. Se la popolazione è finita, si parla di universo dei campioni. Al variare del campione nell universo campionario la stima assume valori diversi,, valori dei quali sarà possibile costruire la distribuzione (distribuzione( campionaria). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 28 14

Stime e stimatori Per stimare un parametro (ad es. la media) della popolazione originaria si estrae un solo campione. Tutti i possibili campioni, virtualmente, sono estraibili, e sono pertanto possibili diverse stime del parametro,, in numero corrispondente a quello dei possibili campioni. Si possono costruire pertanto le distribuzioni delle medie campionarie che, in termini probabilistici, costituiscono anch esse delle variabile aleatorie, descrivibili da modelli discreti o continui. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 29 Gli stimatori Lo stimatore è una variabile aleatoria definita nell universo dei campioni; lo stimatore è una variabile aleatoria,, che assume valori in ciascun campione compreso nell universo dei campioni. Mentre una stima è una determinazione empirica (una realizzazione )) del corrispondente stimatore. Vediamo perché. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 30 15

Stimatori e statistiche Supponiamo di voler stimare, nella popolazione, un certo parametro. A partire dai dati osservati sul campione è possibile calcolare una statistica t, cioè una certa funzione dei dati del campione utilizzata allo scopo di stimare il parametro incognito: t = f (x 1,x 2,...x.x n ) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 31 Stimatori e statistiche Una statistica è,, pertanto, una funzione applicata all insieme degli n dati del campione. Ognuno di questi dati, poiché i campioni variano nell universo dei campioni, descrive a sua volta una variabile aleatoria. Queste variabili aleatorie, se il campionamento è perfettamente casuale, sono tra loro indipendenti e identicamente distribuite. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 32 16

Stimatori e statistiche Da ciò consegue che la statistica si può vedere, in ultima analisi, come una particolare determinazione di una funzione di variabili aleatorie. Definiamo pertanto stimatore questa funzione, T, funzione di n variabili aleatorie, utilizzata per stimare il parametro. T = f (X 1,X 2,...X.X n ) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 33 Proprietà degli stimatori Ad esempio, la media campionaria è uno stimatore del parametro media della popolazione; Come abbiamo visto, uno stimatore è una v.a., funzione dei valori del campione che, una volta calcolata, restituisce una stima; Uno stimatore può godere di alcune proprietà desiderabili. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 34 17

Correttezza o non distorsione Uno stimatore T si dice corretto, o non distorto, se il suo valore atteso coincide con il valore del parametro che intende stimare. Ad esempio la media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione. Se, invece, il valore atteso non coincide con il parametro lo stimatore si dice distorto. E( T ) E( T ) B E( T ) stimatore non distorto stimatore distorto distorsione (bias) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 35 Distribuzione di uno stimatore 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 36 18

Esempi di stimatori corretti e distorti La media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione: infatti, il suo valore atteso è proprio µ; La varianza campionaria è uno stimatore distorto (se n è piccolo) della varianza della popolazione 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 37 Varianza campionaria corretta Si può dimostrare che la varianza campionaria non è uno stimatore corretto perché il suo valore atteso non coincide con σ 2. Si usa allora la sua versione corretta che si calcola nel seguente modo: s 2 n j 1 x i x n 1 2 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 38 19

Efficienza Da uno stimatore ci aspettiamo non solo un valore medio uguale a quello della popolazione, ma anche che lo stimatore sia abbastanza concentrato attorno al valore medio. Se valutiamo due stimatori entrambi corretti, dobbiamo preferire quello con varianza minore perché è più efficiente,, cioè riduce il margine di errore. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 39 Confronto tra due stimatori entrambi corretti 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 40 20

Efficienza relativa Quello di efficienza è un concetto sempre relativo. Dati due stimatori entrambi corretti, T 1 e T 2, si definisce efficienza relativa del primo rispetto al secondo il rapporto tra la varianza del secondo e la varianza del primo: Eff. relativa ( T, T 1 2 Var( T2 ) ) Var( T ) 1 Ad esempio, la mediana campionaria è meno efficiente della media campionaria perché ha una varianza più elevata. Il rapporto tra varianza della mediana e della media campionaria è circa 1.5. Dunque la media campionaria è preferibile come stimatore della media della popolazione. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 41 Consistenza Se, all aumentare aumentare della dimensione n del campione, il valore atteso di uno stimatore tende a concentrarsi intorno al vero valore del parametro, lo stimatore si dice consistente. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 42 21

Metodi per il reperimento dello stimatore migliore Abbiamo visto finora quali sono le proprietà auspicabili per uno stimatore. Gli stimatori finalizzati alla stima di un parametro, però, possono ono essere vari: : certamente non c èc un solo stimatore possibile. In questo corso, non ci addentriamo sui metodi con i quali è possibile reperire gli stimatori ottimali per i rispettivi parametri. Il metodo di gran lunga più utilizzato è il cosiddetto metodo della massima verosimiglianza. Si basa sul presupposto secondo cui il miglior stimatore possibile è quello che rende più probabile l estrazione di un campione rispetto a una certa popolazione (la cui distribuzione è nota), dalla quale il campione viene estratto. Uno stimatore ottenuto con questo metodo si dice stimatore di massima verosimiglianza di un dato parametro,. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 43 La variabilità campionaria Come abbiamo visto, una certa statistica, applicata al campione, il cui scopo è quello di stimare il corrispondente parametro incognito nella popolazione si dice stimatore. L aspetto che va sottolineato è che uno stimatore, che è funzione di n variabili aleatorie, è esso stesso una variabile aleatoria. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 44 22

La variabilità campionaria Infatti, il valore assunto dallo stimatore varia al variare dei dati sui quali si applica (varia al variare del campione). Si può definire la probabilità che lo stimatore assuma dei particolari valori. La probabilità sui possibili valori assunti dallo stimatore è indotta dalla legge di probabilità definita sullo spazio dei possibili campioni. La distribuzione di probabilità di una statistica è chiamata distribuzione campionaria della statistica. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 45 Schematicamente 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 46 23

Distribuzione della media campionaria Sia Y una variabile aleatoria con media μ e varianza 2 Sia dato un campione di numerosità n su cui si osserva la variabile Y,, che nel campione assumerà le determinazioni Y 1,Y 2,...,Y n La media campionaria è lo stimatore: Y n j 1 n 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 47 Y j Media campionaria ed errore standard Si dimostra che la distribuzione dello stimatore media campionaria ha media μ (la stessa della popolazione da cui il campione è stato estratto) e varianza 2 /n. Lo stimatore media campionaria, pertanto, è non distorto. La deviazione standard della distribuzione campionaria è chiamata errore standard. Il termine errore standard è utilizzato per distinguere la deviazione standard di una statistica campionaria da quella della popolazione da cui il campione è stato estratto. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 48 24

Teorema centrale del limite Se un campionamento viene ripetuto infinite volte, per il teorema centrale del limite, la media campionaria tende a distribuirsi in modo normale,, anche quando non lo è la popolazione da cui i campioni sono stati estratti. Se n è sufficientemente grande (>30), la forma della distribuzione campionaria delle medie è approssimativamente normale, indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione di origine. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 49 Teorema centrale del limite Il valore medio dell insieme di tutte le possibili medie campionarie è uguale alla media della popolazione di origine. La deviazione standard dell insieme di tutte le possibili medie campionarie di campioni di numerosità n,, detta errore standard, è funzione sia della deviazione standard della popolazione, sia della numerosità del campione: ES( X ) X POP n 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 50 25

Errore standard stimato nel campione Raramente conosceremo il valore di nella popolazione. Più spesso, dovremo stimare il valore di con il valore di s campionario (ottenuto con l opportuno stimatore, che abbiamo visto in precedenza), e di conseguenza, calcolare il corrispondente valore dell errore standard campionario. ES X stimato s X s campione n 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 51 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 52 26

Un semplice esempio Una v.a., Y, assume valori discreti da 1 a 5, tutti con uguale probabilità (p=0,2=20%). La popolazione è formata da 5 unità. Si tratta di una una v.a. uniforme discreta. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 53 Un semplice esempio Supponiamo di estrarre un campione di n=2 unità dalla popolazione di N=5 unità. I momenti della v.a. media campionaria saranno quindi, secondo la regola appena vista: E(Y medio )= E(Y)= (1+2+3+4+5)/5= 15/5= 3 Var(Y medio )= s 2 /n =[[(1-3)^2+(2 3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+ +(4-3)^2+(5 3)^2+(5-3)^2]/5]/23)^2]/5]/2 = [[4 + 1 + 0 + 1 + 4]/5]/2 = =[10/5]/2 = 2/2 = 1 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 54 27

Proviamo a verificarlo empiricamente Se estraiamo tutti i possibili campioni di 2 unità (che sono 5^2= 25), otteniamo 25 possibili medie, qui schematizzate: 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 55 Distribuzione empirica della media campionaria Se raccogliamo in distribuzione la tabella appena vista, otteniamo la distribuzione che segue: 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 56 28

Calcoliamo la media e la varianza della media campionaria E(Y medio )= (1+1,5*2+2*3+2,5*4+3*5+3,5*4+4*3+4,5*2+ +5)/25 = 75/25 = 3 Var(Y medio ) =[(1-3)^2+(1,5 3)^2+(1,5-3)^2*2+(2-3)^2*3+ 3)^2*3+ +(2,5-3)^2*4+(3 3)^2*4+(3-3)^2*5+(3,5-3)^2*4+(4-3)^2*3+ 3)^2*3+ +(4,5-3)^2*2+(5 3)^2*2+(5-3)^2)]/253)^2)]/25 = 25/25 = 1 Abbiamo così verificato empiricamente i valori, rispettivamente, della media e della varianza campionaria. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 57 Dalla popolazione al campione. Per riassumere: INFERENZA STATISTICA : Insieme delle operazioni compiute dal ricercatore per stimare alcune caratteristiche (i parametri) ) di una popolazione, non interamente esplorabile, attraverso la selezione e da questa di un sottoinsieme casuale di unità,, detto campione. PARAMETRO: Vero valore (θ)( ) assunto da una caratteristica misurata a livello di popolazione (somma, media, varianza, proporzione, coefficiente di regressione, coefficiente di correlazione, ecc.). Il parametro è,, quasi sempre, incognito. STIMATORE: si dice stimatore qualunque statistica T(X 1,X 2,,X n ), ovvero una funzione applicata alle unità statistiche comprese nel campione, le cui determinazioni vengono utilizzate per ottenere una misura (stima( puntuale) ) del parametro incognito θ. Pertanto, uno stimatore è esso stesso una variabile casuale e possiede una sua distribuzione, con i relativi momenti: valore atteso, a varianza, ecc. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 58 29

Errore di campionamento ERRORE DI CAMPIONAMENTO: : Differenza tra il valore empirico dello stimatore (esempio: media) e il corrispondente valore che si sarebbe ottenuto analizzando la totalità delle unità statistiche della popolazione. L errore di campionamento si verifica, come già accennato, perché quello osservato è solo un sottoinsieme (talvolta molto piccolo) delle unità della popolazione. L errore L di campionamento tende a diminuire all aumentare aumentare della numerosità campionaria. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 59 Stima puntuale, stima intervallare e test di ipotesi OPERAZIONE DI STIMA: l insieme delle regole e attraverso le quali è stato ottenuto un particolare valore dello stimatore. La stima può riguardare soltanto il parametro, e in tal caso si parla di "stima puntuale",, oppure un intervallo attorno al parametro stesso, e allora si parla di "stima intervallare". TEST DI IPOTESI: Processo decisionale, basato sul controllo di ipotesi statistiche effettuate sulla realtà osservata. Tale processo porta a rifiutare, oppure non rifiutare, una certa ipotesi (statistica) formulata sulla popolazione. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 60 30

Schematicamente 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 61 Stima puntuale Sui dati del campione di cui disponiamo, il valore calcolato, empirico dello stimatore (di un certo parametro) è la stima puntuale del parametro. Solitamente si usa: La media campionaria per stimare la media della popolazione; La varianza campionaria per stimare la varianza della popolazione; La differenza tra due medie campionarie per stimare la differenza tra due valori medi a livello di popolazione; Eccetera 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 62 31

Stima per intervallo Con questa procedura di stima si determina un set di valori a partire dal campione che con una certa probabilità, (1- )% )%, contiene il parametro incognito. (1- )% indica il livello (o grado) di confidenza; ; l intervallo l che si ottiene è detto intervallo di confidenza. Gli estremi dell intervallo dipendono dal campione estratto, quindi sono sottoposti a variazioni casuali. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 63 Intervalli di confidenza Un intervallo di confidenza è quindi un insieme di valori plausibili per il parametro incognito sulla base dell evidenza evidenza empirica. Attenzione: : il livello di confidenza rappresenta il grado di affidabilità della procedura, non il grado di plausibilità del risultato,, dovuto al singolo campione. La plausibilità del risultato è invece espressa dalla ampiezza dell intervallo di confidenza. Generalmente, si usa come livello di confidenza il 95% ( =5%)( 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 64 32

Ampiezza dell intervallo di confidenza L ampiezza dell intervallo è molto importante: Quanto più l intervallo è ridotto,, tanto maggiore è il grado di precisione della stima. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 65 Ampiezza dell intervallo di confidenza L ampiezza dell intervallo dipende quindi: dal grado di confidenza (1- ): al diminuire di [cioè al crescere del grado di confidenza (1- )], l ampiezza l dell intervallo aumenta; dalla variabilità del fenomeno studiato: al crescere della variabilità dei dati che stiamo osservando cresce anche l incertezza e quindi l ampiezza l dell intervallo aumenta; dalla numerosità campionaria, n: : al crescere di n aumenta la quantità di informazione disponibile e quindi l ampiezza l dell intervallo diminuisce. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 66 33

Come si può far diminuire l ampiezza di un intervallo di confidenza? L ampiezza di un intervallo di confidenza diminuisce se: 1) ) diminuisce il livello di confidenza (1- ) (es. dal 99% al 95% al 90%) 2) ) aumenta la numerosità del campione (es. da n=4 a n=36 a n=100) 3) diminuisce la variabilità nella popolazione (es. da =100 a =36 a =4) 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 67 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 68 34

Esempio: tiro al bersaglio con la media campionaria Al centro del bersaglio c èc la media incognita.. I cerchi con al centro i valori calcolati della media campionaria sono gli intervalli di confidenza di ampiezza costante, il cui raggio dipende dalla numerosità campionaria, n, e dal livello di confidenza. Come si nota, alcuni intervalli (cerchi) non contengono ìl valore (si tratta degli intervalli 1, 2 e 5), mentre altri invece lo contengono (gli intervalli 3 e 4). Si può interpretare il livello di confidenza, (1- ), come la probabilità che i cerchi (intervalli) contengano il valore incognito. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 69 Stima puntuale e stima intervallare Una singola stima del valore medio è una stima puntuale (è un unico numero). Ma: il valore medio di un unico campione può essere una buona stima del valore medio di una popolazione, quando sappiamo che, prendendo diversi campioni della stessa popolazione, otterremo sempre un valore diverso? 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 70 35

Stima puntuale e stima intervallare Sappiamo che i campioni tratti da una stessa popolazione variano in modo sistematico. Oltre alla stima puntuale, possiamo conoscere anche una stima dell intervallo in cui è molto probabile che cada il valore vero del parametro per la popolazione. Chiameremo questa valutazione è chiamata stima intervallare. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 71 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 72 36

Stima puntuale e stima intervallare La stima puntuale fornisce un singolo valore. Da ciò consegue che: 1) questo valore non coincide quasi mai con il valore vero (parametro) della popolazione; 2) campioni diversi forniscono stime puntuali diverse. La stima intervallare fornisce un intervallo, che ha una predeterminata probabilità di contenere il valore vero del parametro. Pertanto, quest intervallo ha una determinata probabilità prefissata (ad esempio, il 95%) di contenere il valore vero del parametro (della popolazione). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 73 Esempio: intervallo di confidenza per la media, da una popolazione normale Intervallo di confidenza, con grado di confidenza (1- )%= = m +/- z /2 /2*[ (X)/ n] Dove: m = valore calcolato dello stimatore media campionaria ; /2 = valore critico della normale standardizzata in corrispondenza di ; z /2 [ (X)/ n] = deviazione standard della v.c. media campionaria (questa quantità è detta errore standard di X). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 74 37

L INTERVALLO DI CONFIDENZA, AL 95%, PER LA MEDIA CAMPIONARIA (da popolazione NORMALE) Se: X~ N(μ,(,(σ 2 /n)) e quindi Z ~ N(0,1) [normale standardizzata] Sappiamo che, con probabilità pari al 95%, l intervallo l compreso tra gli estremi: [ m - z /2 *[ (X)/ (X)/ n]; m + z /2 *[ (X)/ (X)/ n] ] comprenderà il vero valore del parametro μ,, non noto. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 75 Un esempio Supponiamo di voler fare inferenza sul peso medio, alla nascita, di neonati di sesso maschile con età gestazionale di 39 settimane. ESERCIZIO. Sapendo che il peso alla nascita è una v.a. normale, con media incognita (μ)( ) e deviazione standard (σ)( ) nota, pari a 535 grammi, si calcoli l intervallo l al 95% per μ a partire da un campione casuale semplice, estratto dalla popolazione, di numerosità pari a 16. n = 16 Media campionaria calcolata = 3434 g σ (nota) = 535 g 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 76 38

Un esempio Limite superiore dell I.C. 95% = 3434 +1,96 *(535/ 16) = 3172 Limite inferiore dell I.C. 95% = 3434 1,96 *(535/ 16) = 3696 Intervallo di confidenza al 95%: [3172 ; 3696] QUINDI: Con probabilità pari al 95%, il peso medio alla nascita dei neonati maschi, nati alla 39ma settimana di gestazione, è un valore compreso tra 3172 e 3696. 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 77 Intervalli di confidenza: un esempio tratto dalla letteratura Mostriamo un esempio tratto dalla ricerca medica, anche se gli intervalli di confidenza riportati sono stati ricavati con un altra tecnica statistica; Dati tratti da un articolo apparso sul New England Journal of Medicine nel 1996: Bone mineral density in women with depression; L ipotesi è che il soffrire o l avere l sofferto di depressione in passato provochi un calo della densità ossea nelle donne (meccanismi endocrini). 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 78 39

Intervalli di confidenza: un esempio tratto dalla letteratura 21 e 22 novembre 2011 Statistica sociale 79 40