Elementi di Geometria

Algoritmi di approssimazione numerica Elementi di Geometria R. Caira, M.I. Gualtieri Dipartimento di Matematica, Università della Calabria - ITALY R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 1/51

Overview Elementi di geometria L insieme IR Spazio Vettoriale Spazio affine Spazio Vettoriale con prodotto interno R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 2/51

Introduzione Introduzione La Computer Graphic o Grafica Digitale è un applicazione dell Informatica attraverso la quale, per mezzo del computer, le immagini vengono generate manipolate trasformate utilizzando tecniche ed algoritmi dell Analisi Numerica R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 3/51

Introduzione R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 4/51

Computer Graphic Introduzione La Computer Graphic trova applicazioni in Business graphic Grafica per applicazioni economiche. Molti risultati vengono presentati con l ausilio di grafici ed algoritmi non particolarmente complicati. Animazione Si codificano programmi in grado di animare disegni con risoluzione così alta da dare la sensazione del movimento. Trovano applicazione nei videogiochi, nei filmati cinematografici, rinnovando sia la classica animazione bidimensionale, sia creando e animando oggetti tridimensionali. Nel 1995 nasce Toy-story il mondo dei giocattoli, il primo lungometraggio d animazione, interamente realizzato in computer animation tridimensionale. Va comunque ricordato che nonostante i programmi siano sempre più sofisticati, in grado di sostituire lunghissime e laboriose lavorazioni manuali, ogni fase della creazione è comunque guidata dalla creatività umana. Progettazione in diversi campi elettronica architettura industria meccanica R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 5/51

Spazio vettoriale Spazio vettoriale Per introdurre qualche nozione di grafica al calcolatore abbiamo bisogno di alcuni concetti di geometria elementare e di algebra lineare, in particolare sono importanti i concetti di : Spazio vettoriale lineare: spazio vettoriale che contiene due tipi diversi di oggetti: gli scalari ed i vettori; Spazio affine: spazio vettoriale a cui si aggiunge il concetto di punto; Spazio euclideo: spazio vettoriale che aggiunge il concetto di prodotto interno (distanze ed angoli). In questi spazi astratti gli oggetti sono definiti indipendentemente da qualsiasi rappresentazione interna o implementazione su un particolare sistema. Su tali spazi studieremo le trasformazioni geometriche. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 6/51

Spazio vettoriale Punto, vettore, scalare Gli elementi di base di questi spazi sono: Il Punto Il Vettore Lo Scalare R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 7/51

L insieme IR Spazio vettoriale Gli scalari costituiscono l insieme IR che assume la struttura di campo perchè le due operazioni, somma e moltiplicazione tra scalari, soddisfano le seguenti proprietà: α, β, γ, IR Commutatività 1) α + β = β + α 2) α β = β α Associatività 3) α + (β + γ) = (α + β) + γ Distribuzione 4) α (β + γ) = α β + α γ Elementi neutri 5) 0 IR : α IR α + 0 = α 6) 1 IR : α IR α 1 = α Elementi inversi 7) α IR ( α) IR : α + ( α) = 0 8) α 0 IR α 1 IR : α α 1 = 1 R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 8/51

Spazio vettoriale Operazioni in uno spazio vettoriale In uno spazio Vettoriale V ci sono due entità: scalari α, β, γ,... ; vettori u, v, w,... ; Le operazioni definite tra queste due entità sono somma e moltiplicazione tra scalari; somma tra vettori; moltiplicazione tra vettore e scalare. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 9/51

Spazio vettoriale Proprietà delle operazioni in uno spazio vettoriale Lo spazio vettoriale è chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto tra scalare e vettore, inoltre gode di alcune proprietà algebriche Chiusura 1) u + v V, u, v V 2) αv V α IR e v V; Proprietà algebriche 3) u + v = v + u; 4) u + (v + w) = (u + v) + w; 5) 0 V : u V u + 0 = u; 6) u V ( u) V : u + ( u) = 0; 7 α (u + v) = αu + αv; 8) (α + β) u = αu + βu; 9) α (βu) = (αβ) u; 10) 1u = u R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 10/51

Spazio vettoriale Esempio di Spazio Vettoriale Geometrico La definizione data è totalmente astratta, per semplicità diamo due utili esempi di spazi vettoriali lineari. Geometrico; Algebrico. Un esempio concreto di Spazio Vettoriale Geometrico è dato dai segmenti orientati liberi, ovvero senza un punto di applicazione specificato. Un segmento orientato è un segmento caratterizzato da una lunghezza, una direzione ed un verso di percorrenza. Un vettore libero si può pensare come l insieme di tutti i segmenti orientati concordemente, aventi la stessa lunghezza e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 11/51

Vettore libero Spazio vettoriale Ogni vettore libero rappresenta quindi una classe di equivalenza cui appartengono i segmenti orientati che hanno uguale lunghezza; direzione; verso. Secondo le operazioni definite in uno spazio vettoriale: Il prodotto di un vettore per uno scalare cambia la lunghezza del vettore, ed anche verso se lo scalare è negativo. La somma di due vettori v e w si ottiene come il vettore rappresentato in figura dalla diagonale maggiore del parallelogramma che ha per lati i due vettori dati. Tale regola è nota come regola del parallelogramma. La differenza è rappresentata in figura dal vettore della diagonale minore. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 12/51

Spazio vettoriale Esempio di Spazio Vettoriale Algebrico Un altro esempio di spazio vettoriale è IR n dato dall insieme i cui elementi (vettori algebrici) sono le n-ple ordinate v = (α 1,..., α n) α i IR i Il prodotto per uno scalare e la somma di due vettori sono definiti in modo del tutto naturale: (α 1,..., α n) + (β 1,..., β n) = (α 1 + β 1,..., α n + β n) λ (α 1,..., α n) = (λα 1,..., λα n) E facile vedere qual è l elemento neutro e qual è l inverso di un vettore algebrico. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 13/51

Spazio vettoriale Altri esempi di Spazi Vettoriali L insieme delle matrici IR (m,n) di m righe ed n colonne, ad elementi reali, rispetto all operazione di somma di matrici e al prodotto di una matrice per uno scalare. L insieme delle funzioni reali a variabile reale continue su un intervallo [a, b], (C[a, b]) costituisce uno spazio vettoriale su IR, dove la somma tra due funzioni è definita da (f + g) (x) = f(x) + g(x) e il prodotto di una funzione per uno scalare è dato da (λf) (x) = λ (f(x)) x IR R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 14/51

Spazio vettoriale Vettori in uno spazio vettoriale Dati n vettori non nulli, si dicono linearmente indipendenti se qualsiasi loro combinazione lineare a coefficienti non nulli è diversa dal vettore nullo. α 1 v 1 +... α nv n = 0 α i = 0 i si dice dimensione di uno spazio vettoriale il massimo numero di vettori linearmente indipendenti In uno spazio vettoriale di dimensione n, un insieme di n vettori linearmente indipendenti costituisce una base per lo spazio ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare dei vettori di una base v V (α 1,, α n) : v = α 1 v 1 + α nv n Gli scalari α 1,, α n si chiamano componenti del vettore v e vengono spesso rappresentati con una colonna di scalari, anzichè con una riga; α 1 (α 1,, α n) T =. α n R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 15/51

Spazi affini Dagli spazi vettoriali agli spazi affini I vettori non rappresentano punti nello spazio, ma solo spostamenti. Per potere introdurre il concetto di posizione si deve passare agli spazi affini che sono gli spazi vettoriali a cui si aggiunge il concetto astratto di punto R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 16/51

Spazi affini Definizione ed operazioni nello Spazio Affine Lo spazio affine è uno spazio in cui sono presenti tre entità scalari α, β, γ,... vettori u, v, w,... punti P, Q, R... Le operazioni definite sono quelle di uno spazio vettoriale sottrazione tra punti Non sono definite le operazioni di addizione tra due punti e di moltiplicazione di un punto per uno scalare. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 17/51

I Punti Spazi affini I punti sono definiti in senso astratto come nuovi elementi con cui è possibile effettuare solo una operazione: la sottrazione La differenza di due punti P e Q è un vettore, uscente da Q con la freccia su P: P Q = v R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 18/51

Spazi affini Dato un punto Q : ed un vettore v : q 1 Q =. q n α 1 v =. α n esiste un unico punto P tale che q 1 + α 1 P = Q + v =. q n + α n R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 19/51

Spazi affini Interpretazione geometrica i punti sono locazioni nello spazio e dal vettore libero passiamo al vettore applicato; un vettore libero genera vettori applicati diversi se applicato a punti diversi; fissato un qualsiasi punto O, detto origine, ogni segmento orientato è equivalente ad un segmento orientato con punto d applicazione l origine. Si ha quindi una relazione biunivoca tra un vettore applicato e i segmenti orientati per l origine;(ogni vettore si può pensare applicato nell origine). ogni punto P si può identificare con il vettore u = P O applicato in O; ogni vettore w che parte da un punto Q ed arriva ad un punto P si può vedere come differenza tra i due vettori u = P O e v = Q O o anche w = u v = (P O) (Q O) = P Q R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 20/51

Spazio vettoriale Euclideo Da Spazio affine a Spazio euclideo In uno spazio affine non è definito il concetto di distanza tra punti; il concetto di angolo tra vettori; Si introduce allora il concetto di spazio vettoriale euclideo. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio affine provvisto di prodotto interno o prodotto scalare (inner product o dot product) R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 21/51

Spazio vettoriale Euclideo Prodotto scalare Siano u, v, w vettori nello spazio vettoriale V costruito su IR. Definizione Si definisce prodotto scalare la funzione : V V IR che associa ad ogni coppia di vettori u, v V, il numero reale indicato con u v Valgono le seguenti proprietà : Positività v v 0, v v = 0 v = 0 Commutatività u v = v u IR Omogeneità e linearità (αu + βv) w = αu w + βv w α, β IR N.B. Non confondere la somma tra vettori con la somma tra scalari R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 22/51

Spazio vettoriale Euclideo Prodotto Scalare Euclideo Uno spazio vettoriale V definito su IR su cui è definito un prodotto scalare prende il nome di Spazio Vettoriale Euclideo. In particolare il prodotto scalare f : IR n IR n IR u v = (α 1,, α n) (β 1,, β n) = α 1 β 1 + α nβ n prende il nome di prodotto scalare standard o prodotto scalare Euclideo e IR n è detto Spazio Euclideo di dimensione n R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 23/51

Spazio vettoriale Euclideo Esempi di prodotto scalare Anche la funzione definita f : IR 3 IR 3 IR (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = 3x 1 y 1 + 4x 2 y 2 + 5x 3 y 3 ) è un prodotto scalare ma diverso da quello standard, mentre la funzione f : IR 3 IR 3 IR (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 x 3 y 3 ) non è un prodotto scalare su IR 3 R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 24/51

Spazio vettoriale Euclideo Prodotto scalare in altri spazi vettoriali Esempio Supponiamo che f = f(x) e che g = g(x) siano due funzioni dello spazio vettoriale C[a, b]. Un prodotto interno su C[a, b] può essere definito come b (f g) = f(x)g(x)dx a Esempio Supponiamo che A = ( ) ( ) a1 a 2 b1 b, B = 2 a 3 a 4 b 3 b 4 IR 2,2 La relazione definita nell insieme delle matrici di ordine 2 ( ) A B = tr A T B definisce un prodotto scalare. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 25/51

Norma Euclidea Spazio vettoriale Euclideo Il prodotto interno euclideo permette di definire la lunghezza di un vettore, e quindi la distanza tra due punti, e l angolo tra due vettori. Il numero reale positivo dato da v = v v = Σ n i=1 α2 i definisce la norma euclidea del vettore v, e coincide con l usuale lunghezza del vettore v. Inoltre se v = P Q allora v = (P Q) (P Q ) = Σ n i=1 (x i y i ) 2 rappresenta non solo la lunghezza del vettore v ma anche la distanza euclidea fra i due punti P e Q di coordinate rispettivamente x i ed y i, i = 1,, n. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 26/51

Spazio vettoriale Euclideo Interpretazione geometrica del prodotto scalare ( ) ( ) u = u cos α, u sin α, v = v cos β, v sin β cioè u v = u cos α v cos β + u sin α v sin β = ( ) ( ) = u v cos α cos β + sin α sin β = u v cos β α, u v = u v cos θ dove 0 θ π è l angolo convesso compreso tra u e v. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 27/51

Spazio vettoriale Euclideo Vettori ortogonali o paralleli Questa formula permette di enunciare le seguenti proprietà: u v = 0, u 0, v 0 cos θ = 0 e θ = 90, cioè u e v sono perpendicolari fra loro; u v > 0 θ < 90. In particolare u v = u v cos θ = 1 e θ = 0, cioè u e v sono paralleli tra loro e hanno la stessa direzione; u v < 0 θ > 90. In particolare u v = u v cos θ = 1 e θ = 180, cioè u e v sono paralleli tra loro ma hanno direzione opposta. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 28/51

Spazio vettoriale Euclideo Proiezione ortogonale Il prodotto scalare può essere usato per trovare la proiezione di un vettore lungo una retta. Sia dato il vettore v e la retta con direzione identificata dal vettore di lunghezza unitaria u. Se v è il vettore ottenuto proiettando v lungo la retta, allora v = γu e γ = u v = u v cos (α) = v cos (α) R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 29/51

Spazio vettoriale Euclideo Base ortonormale Si dice che un vettore è normalizzato se la sua lunghezza è uguale ad 1; un vettore qualsiasi si può normalizzare moltiplicando per il reciproco della sua norma. Un vettore normalizzato si dice anche versore; Si dice che una base per i vettori di uno spazio euclideo è ortonormale se è formata da versori a due a due ortogonali (e 1,..., e n) : e i = 1 i e e i e j = 0 i j Data una base ortonormale il prodotto scalare tra due vettori si esprime come somma dei prodotti delle componenti u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u nv n R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 30/51

La geometria analitica Sistemi di riferimento La geometria analitica, nata in Francia nel XVII secolo grazie ai contribuiti di Cartesio(1596-1650) e di Fermat (1601-1655), permette di esprimere forme geometriche in termini algebrici, legando, attraverso delle relazioni algebriche, gli elementi dello spazio vettoriale geometrico con gli elementi dello spazio vettoriale algebrico. punto: coppia ordinata di numeri (x, y); retta: y=mx+q; intersezione di curve: sistema delle equazioni che le descrivono R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 31/51

La geometria analitica Dal problema geometrico al problema algebrico Per risolvere un problema geometrico con il metodo analitico: si traduce il problema geometrico in un problema algebrico, associando a ogni ente della geometria il corrispondente ente dell algebra; si risolve il problema dal punto di vista algebrico; si interpretano geometricamente le soluzioni algebriche trovate. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 32/51

Sistemi di riferimento Rappresentazione 2D e 3D Nel piano 2D e nello spazio 3D gli oggetti sono definiti attraverso un sistema di coordinate. Ciascun punto è individuato da un set di coordinate in un sistema di riferimento. Un sistema di riferimento 2D è rappresentato da una coppia di assi perpendicolari x e y; Un sistema di riferimento 3D è rappresentato da una terna di assi perpendicolari x, y e z R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 33/51

Sistemi di riferimento Sistema 3D left-handed e right-handed In un sistema 3D la disposizione degli assi determina l orientazione degli assi e la direzione delle rotazioni. 3D right-handed 3D left-handed R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 34/51

Prodotto vettoriale Prodotto vettoriale (cross product) Si definisce prodotto vettoriale u v tra u e v, vettori di IR 3, il vettore w tale che w = u w sin(α) essendo α l angolo convesso compreso tra i due vettori ; direzione perpendicolare al piano individuato da u e v; verso definito secondo la regola della mano destra ( u, v, w sono orientati come pollice, indice e medio della mano destra); Le componenti del vettore u v si possono indicare in modi equivalenti u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 v 1 u 2 ) (secondo le componenti dei due vettori) usando il determinante della matrice 3 3 i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) i + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) j + (u 1 v 2 v 1 u 2 ) k R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 35/51

Prodotto vettoriale Prodotto vettoriale (cross product) Notiamo che il modulo u v rappresenta l area del parallelogramma che ha due lati coincidenti con i due vettori u e v quindi u v = 0 se e solo se uno dei due vettori è nullo oppure i due vettori hanno la stessa direzione. Proprietà del prodotto vettoriale anticommutativa: per ogni coppia di vettori u e v si ha u v = v u distributiva: u, v, w u (v + w) = u v + u w (v + w) u = v u + w u di annullamento: per ogni vettore u si ha u u = 0 e R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 36/51

La retta Equazione cartesiana di una retta Una retta nel piano ha equazione ax + by + c = 0 (1) con a, b, c IR; c termine noto. Se b 0, si può ricavare l equazione esplicita y = mx + q dove m = a b e q = c b m è la pendenza q è l intercetta (ossia l ordinata del punto di intersezione con l asse y). Se b = 0 l equazione della retta diventa ax + c = 0 E una retta parallela all asse y ed interseca l asse x nel punto ( c a, 0 ). R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 37/51

La retta Rette parallele e rette perpendicolari Due rette ax + by + c = 0 e a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 sono parallele se hanno la stessa pendenza: o anche a b = a 1 b 1 a b 1 = b a 1 Se b e b 1 sono entrambi uguali a zero le rette sono parallele all asse y e quindi sono parallele fra loro. Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto delle loro pendenze è 1, cioè a a 1 = b b 1. o anche. a a 1 + b b 1 = 0 R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 38/51

La retta Equazione vettoriale di una retta Una retta nel piano o nello spazio può essere rappresentata facendo uso dei vettori. Una retta è univocamente determinata da un punto base Q e da un vettore direzione v, 0 che ne determina in modo univoco la direzione. Il punto P sta sulla retta se e solo se esiste un numero reale t tale che P Q = tv Questa è l equazione vettoriale della retta o, in modo equivalente, P = Q + tv Al variare di t in IR si scorrono tutti e soli i punti della retta avente la direzione del vettore v. In molte applicazioni il vettore direzione è un vettore unitario. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 39/51

Equazione di un piano Il piano Un piano nello spazio ha equazione Ax + By + Cz + D = 0. Essa dipende da quattro coefficienti reali A, B, C e D; D è detto termine noto. Un piano, in forma vettoriale, è definito da un punto base B; un suo vettore normale n. Per ogni punto arbitrario X del piano, il vettore posizione da B a X, X B, deve essere perpendicolare al vettore normale n, da cui l equazione del piano (X B) n = 0. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 40/51

Il piano Punto di intersezione tra retta e piano Con la notazione vettoriale di rette e piani, è molto facile calcolare il punto di intersezione tra una retta e un piano. { P = A + tv (X B) n = 0 da cui imponendo P = X si ha : { P = A + tv (A + tv B) n = 0 Dalla seconda equazione si ricava il valore dello scalare t che individua il punto di intersezione. (B A) n t = v n Se fosse v n = 0, la retta sarebbe perpendicolare al vettore normale n che a sua volta è perpendicolare al piano, pertanto la retta e il piano sarebbero paralleli e non potrebbero avere alcun punto di intersezione. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 41/51

Combinazioni lineari Combinazioni lineari affini Siano v 1, v 2,..., v m m vettori dello spazio n dimensionale. Definizione Si definisce combinazione lineare di v 1, v 2,..., v m un vettore del tipo w = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α mv m. Definizione Si definisce combinazione affine di v 1, v 2,..., v m una combinazione lineare w = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α mv m tale che m α k = 1. k=1 R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 42/51

Combinazioni lineari Combinazioni convesse Definizione Si definisce combinazione convessa di v 1, v 2,..., v m una combinazione lineare w = α 1 v 1 + α 2 v 2 +... + α mv m tale che m α k = 1 e α k 0 k = 1, 2,..., m. k=1 Una combinazione convessa è una particolare combinazione affine, con la condizione che tutti i coefficienti sono non negativi, quindi vale } α 1 + α 2 +... + α m = 1 = 0 α α k 0 k 1 k. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 43/51

Combinazioni lineari Combinazione convessa di due punti Dati due punti A e B la loro combinazione convessa è il punto A = (1 t)p + tq = P + t(q P) (somma punto vettore) che giace sul segmento che li unisce. In particolare, essendo 0 t 1, se t = 0 si ottiene il punto P; t = 1 si ottiene il punto Q; t = 1 il punto risultante è a metà tra i due punti. 2 L insieme delle combinazioni convesse di due punti, ottenuto al variare del parametro t tra 0 e 1, è il segmento che congiunge i due punti. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 44/51

Combinazioni lineari Combinazione convessa di tre punti non allineati La combinazione convessa di 3 punti non allineati, A, B, C, o anche dei due vettori v 1 = B A e v 2 = C A è un vettore. (1 t) (B A) + t (C A)) = (B A) + t (C A + A B) = (B A) + t (C B) = v 1 + t (v 2 v 1 ) Anche in questo caso se t = 0 si ottiene il vettore v 1 ; t = 1 si ottiene il vettore v 2 ; L insieme delle combinazioni convesse di tre punti non allineati, ottenuto al variare del parametro t tra 0 e 1, coincide con il triangolo di vertici A, B, C R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 45/51

Combinazioni lineari Combinazione convessa di quattro punti non allineati La combinazione convessa di quattro punti non complanari A, B, C, D o anche dei tre vettori (non complanari) v 1 = D A; v 2 = C A; v 3 = B A è il vettore w dato da w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3, α 1, α 2, α 3 0, α 1 + α 2 + α 3 = 1, cioè da tutti i vettori del tipo w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + (1 α 1 α 2 ) v 3 = v 3 + α 1 (v 1 v 3 ) + α 2 (v 2 v 3 ), 0 α 1, α 2 1. Geometricamente, la combinazione convessa di tre vettori v 1, v 2 e v 3 non complanari è dato dal triangolo delimitata dalle linee tratteggiate in figura. L insieme delle combinazioni convesse al variare di α 1 e α 2 è l intero tetraedo. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 46/51

Combinazioni lineari Guscio convesso o Convex hull Definizione Si definisce Guscio convesso o Convex hull di un insieme di punti è l insieme di tutte le loro combinazioni convesse. Riepilogo : il guscio convesso di due punti è il segmento che li congiunge; il guscio convesso di tre punti non allineati è il triangolo di vertici i tre punti; il guscio convesso di quattro punti non complanari è un tetraedro; Definizione alternativa: Definizione Il Guscio convesso o Convex hull di due o più punti è il minimo insieme convesso che li contiene. Definizione Un insieme convesso è un insieme di punti contenente ogni segmento che ne congiunge due di essi R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 47/51

Combinazioni lineari Guscio convesso di n punti nel piano Dati n punti nel piano il guscio convesso è il minimo poligono convesso che li contiene tutti. Quattro punti P 4 interno al triangolo Il convex hull non cambia P 4 esterno al triangolo Il convex hull diventa un quadrilatero R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 48/51

Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee Coordinate omogenee Definizione Si definiscono coordinate omogenee di un punto del piano P = (x, y) IR 2 una qualsiasi terna ordinata P = (x 1, x 2, x 3 ) IR 3 di numeri reali tali che x 3 0; x 1 x 3 = x; x 2 x 3 = y Allo stesso modo Definizione Le coordinate omogenee di un punto P = (x, y, z) IR 3 sono una quadrupla di numeri P = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) IR 4 tali che x 4 0; x 1 x 4 = x; x 2 x 4 = y; x 3 x 4 = z. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 49/51

Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee Proprietà coordinate omogenee Il punto P espresso in coordinate omogenee equivale al punto reale P in modo tale che ( x1 P = (x 1, x 2, x 3 ) = x 3, x ) 2, 1 = x 3 (x, y, 1), x 3 0 x 3 x 3 quindi Le coordinate omogenee sono definite a meno di un coefficiente di proporzionalità. Allo stesso punto P di coordinate (x, y) corrispondono infinite terne di coordinate omogenee Ne segue dato P = (x, y) è individuato un insieme ( classi di equivalenza) di terne (x 1, x 2, x 3 ) con x 3 0; una terna di tale classe è, ad esempio, (x, y, 1) dato l insieme (classi di equivalenza) della terna (x 1, x 2, x 3 ), con x 3 0 è individuato uno e un solo punto P = (x, y) dove x = x 1, y = x 2 ; x 3 x 3 ( P (5, 17, 2) P = 5 2, 17 ) ( 2 P ( 5, 17, 2) P = 5 2, 17 ) 2 P (6.25, 21.25, 2.5) P = ( 6.25 2.5, 21.25 ) ( 2.5 = 5 2, 17 ) 2 R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 50/51

Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee Punti all infinito Le coordinate omogenee possono facilmente catturare il concetto di infinito. I punti in coordinate omogenee con coordinata x 3 = 0 sono detti impropri, e non hanno nessun significato geometrico nello spazio cartesiano, ma possono rappresentare un punto all infinito, nella direzione del vettore (x, y). In coordinate omogenee c è distinzione tra vettore (x 3 = 0) e punto (x 3 0), cosa che non accade con le coordinate euclidee. Le coordinate omogenee permettono di rappresentare punti all infinito e consentono di esprimere tutte le trasformazioni di coordinate in forma matriciale. R. Caira, M.I. Gualtieri Elementi di Geometria 51/51