Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212
Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti nel campo C, è una scrittura del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x 1 + + a mn x n = b m ove i coefficienti a ij e i termini noti b i, i m, j n sono elementi di C.
Sistema lineare omogeneo Un sistema lineare Σ si dice omogeneo se b 1 = = b m =, ossia tutti i termini noti sono nulli. Dato un sistema Σ (come nella pag. precedente), il sistema omogeneo associato è il sistema a 11 x 1 + + a 1n x n = Σ =.. a m1 x 1 + + a mn x n =
Soluzioni di un sistema lineare Con soluzione del sistema lineare a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x 1 + + a mn x n = b m si intende una n-upla (α i ) C n tale che sostituendo ordinatamente gli scalari α i alle incognite x i nelle equazioni del sistema Σ si ottengano delle identità.
Esempio Dato il sistema la terna lo sono. ( 11 Σ : { 2x1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = ) è soluzione di Σ mentre le terne ( ) ( ) 3, non
Matrice incompleta e matrice completa di Σ Dato a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 Σ :.. a m1 x 1 + + a mn x n = b m Poniamo a 11... a 1n a 11... a 1n b 1 A =.., (A b) =.. a m1... a mn a m1... a mn b m A è detta matrice incompleta del sistema mentre (A b) viene detta matrice completa.
Esempio Sistemi lineari Dato il sistema 4x 1 3x 2 + x 3 x 4 = 5 Σ : 3x 1 x 2 x 4 = 3 x 3 = 2 4 3 1 1 4 3 1 1 5 A = 3 1 1, (A b) = 3 1 1 3 1 1 2
Scrittura compatta di Σ Dato un sistema Σ di matrice incompleta A e indicate risp. con b = b 1. b m e con x = x 1. x n, la colonna dei termini noti e la colonna delle incognite, possiamo scrivere Σ : Ax = b.
Esempio Sistemi lineari { 2x1 + x 2 2x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = ( ) 2 1 2 1 1 1 x 1 x 2 x 3 = ( 3 NB: una terna x 1, x 2, x 3 è soluzione del sistema se e solo se ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 x 1 + x 1 2 + x 1 3 = 1 ossia se e solo se la colonna dei termini noti è c.l. delle colonne della matrice A con coefficienti proprio x 1, x 2, x 3. )
Definizione Data una matrice A si definisce rango (per colonna) di A la dimensione dello spazio generato dalle colonne di A. Si definisce rango (per riga) di A la dimensione dello spazio generato dalle righe di A Si dimostra che il rango per riga e il rango per colonna coincidono e vengono indicati con rka.
Teorema (Rouché-Capelli) Il sistema lineare Σ: Ax = b, con A matrice m n a coefficienti nel campo C e b C m, ha soluzione se, e solo se, rk(a b) = rka. In tal caso Sol(A b) = x + Sol(A ), ossia l insieme, Sol(A b), delle sue soluzioni si ottiene sommando a una soluzione particolare del sistema, x, una soluzione del sistema omogeneo associato Σ : Ax =. Le soluzioni di Σ formano uno spazio vettoriale di dimensione n rka.
Definizione Due sistemi lineari Σ 1 : A 1 x = b 1, Σ 2 : A 2 x = b 2 a coefficienti in C, entrambi in n incognite, si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Eventualemente aggiungendo eq. del tipo = ad uno dei sistemi posso assumere che A 1, A 2 abbiano lo stesso ordine m n e che b 1, b 2 C m. Due sistemi equivalenti, che ammettano soluzioni, hanno sempre lo stesso rango (vedi R.-C.). Il viceversa è banalmente falso.
su un sistema Sia Σ: Ax = b. Si considerino le seg. operazioni elementari: i) scambio di due equazioni in un sistema lineare; ii) moltiplicazione di tutti i coefficienti di un equazione per una costante α C diversa da zero; iii) sostituzione di un equazione con la somma della stessa con un multiplo di una equazione che la precede. Le operazioni elementari trasformano Σ in un sistema equivalente. Così anche la iii ) sostituzione di un equazione con la somma della stessa con un multiplo di un altra equazione.
Che i) e ii) non cambino le soluzioni è immediato. Per iii), si considerino i sistemi { { p(x) = p(x) = Σ 1 : Σ q(x) = 2 : q(x) + αp(x) = p(x) = a 1 x 1 + + a n x n c, q(x) = a 1x 1 + + a nx n c, a i, a i, c, c, α C. x = ( x 1,..., x n ) Sol(Σ 1 ) p( x) = = q( x) p( x) = e q( x) + αp( x) = x Sol(Σ 2 ). Il caso di sistemi con più di due equazioni è analogo perché solo due equazioni vengono interessate dall operazione.
sulle riga di una matrice Sia A M m n (C). Si considerino le seguenti operazioni: i) scambio di due righe; ii) moltiplicazione di tutti i coefficienti di una riga per una costante α C diversa da zero; iii) sostituzione di una riga con la somma della stessa con un multiplo di una riga che la precede. iii ) sostituzione di una riga con la somma della stessa con un multiplo di un altra riga. Un operazione elementare sul sistema Σ: Ax = b produce un sistema A x = b ove A (risp. (A b ) ) si ottiene da A (risp. da (A b)) applicando la corrispondente operazione elementare.
Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 + x 2 5x 3 = 1 di matrice compl. ( 2 3 1 ) 1 3 1 5 1 Scambiando le due righe si ha: { 3x1 + x 2 5x 3 = 1 di matrice compl. 2x 1 3x 2 + x 3 = 1 ( 3 1 5 ) 1 2 3 1 1 e ovviamente le soluzioni del sistema non cambiano.
Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 3 = di matrice compl. ( 2 3 1 ) 1 3 1 Moltiplicando la prima riga per 2 si ha: { 2(2x1 3x 2 + x 3 ) = 2 di matr. compl. 3x 1 x 3 = ( 4 6 2 ) 2 3 1 e ancora le soluzioni del sistema non cambiano.
Esempio { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 = di matrice compl. ( 2 3 1 ) 1 3 1 1 Sommando alla seconda riga 2 volte la prima, si ha: { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 2(2x 1 3x 2 + x 3 ) = 2 { 2x1 3x ossia 2 + x 3 = 1 x 1 + 5x 2 3x 3 = 2 di matr. e ancora le soluzioni del sistema non cambiano. ( 2 3 1 ) 1 1 5 3 2
Esempio { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 = di matrice compl. ( 2 3 1 ) 1 3 1 1 Sommando alla seconda riga 3/2 volte la prima, si ha: { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 3x 1 x 2 x 3 3/2(2x 1 3x 2 + x 3 ) = 3/2 ossia { 2x1 3x 2 + x 3 = 1 7/2x 2 5/2x 3 = 3/2 di matr. E quest ultimo sistema è di più facile soluzione. ( 2 3 1 1 7/2 5/2 3/2 )
Esempio Sistemi lineari { 2x1 3x Le soluzioni di 2 + x 3 = 1 si trovano ricavando x 7x 2 5x 3 = 3 2 in funzione di x 3 dall ultima eq. e sostituendolo nella prima eq. { 2x1 15 7 x 3 + 9 7 + x 3 = 1 x 2 = 5 7 x 3 3 7 { x1 = 4 7 x 3 1 7 x 2 = 5 7 x 3 3 7 ossia Sol = 1 7 + 4 7 a 3 7 + 5 7 a a a C = 1/7 3/7 + 4/7 5/7 1.
Matrice a scala Sistemi lineari Definizione Una matrice A = (a i,j ) M m,n (C) si dice in forma a scala (per righe) se per ogni riga r, se a r,jr è il primo elemento non nullo della riga r-esima, allora tutti i coefficienti a sinistra e in basso rispetto al termine a r,jr sono nulli (ossia, a i,j = ogni volta che i r e j j r, a parte il caso i = r e j = j r ). I primi termini non nulli di ciascuna riga si dicono pivot o termini direttori della matrice a scala. 4 1 2 3 3 1 1 3 2 1 1 3, 3 1, 5
Matrice a scala speciale Definizione Una matrice si dice in forma speciale a scala (per righe) se è in forma a scala e tutti i pivot sono uguali a 1. Una matrice si dice in forma a scala ridotta se è in forma speciale e ogni pivot è l unico elemento non nullo della sua colonna. 1 1 1 3 5 1 1 1 1 3 1 1, 1 1 2, 1 1 4 1. 1 1 1 Le prime due sono speciali, la terza è anche ridotta.
Soluzione di Σ : Ax = b con (A b) in forma in scala speciale. x 2 x 3 + 3x 4 = 1 1 1 3 1 Σ 1 : x 4 + x 5 = 2 1 1 2 x 5 = 1 1 1 con sostituzione dal basso si ottiene Σ 2 : cui otteniamo che le soluzioni sono del tipo x 1 x 3 8 8 x 3, ossia Sol = 3 3 + 1 1 x 2 = x 3 8 x 4 = 3 x 5 = 1 1, 1 1 da.
Soluzione di Σ : Ax = b con (A b) in forma in scala ridotta. x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 1 1 3 5 1 x Σ 1 : 2 + x 3 + 4x 4 = 1 1 4 x 5 = 2 1 2. x 6 = 1 1 1 da cui otteniamo che le soluzioni sono del tipo 1 3x 3 5x 4 1 x 3 4x 4 x 3 x 4, ossia Sol = + 2 2 1 1 3 1 1, 5 4 1
Scopo dell algoritmo di Gauss Attraverso operazioni elementari costruire a partire da un sistema Σ un sistema equivalente la cui matrice associata sia a scala (eventualmente ridotta). Come visto dagli esempi sarà facile determinare le soluzioni di quest ultimo sistema (che coincidono con le soluzioni del sistema di partenza!).
Algoritmo di Gauss Sistemi lineari È la dimostrazione costruttiva della seguente affermazione: Teorema Tramite operazioni elementari sulle righe di tipo i) e iii) ogni matrice può essere ridotta in forma a scala (per righe); usando anche operazioni elementari di tipo ii) ogni matrice può essere trasformata in una matrice a scala speciale e in una a scala ridotta.