Lo spin dell elettrone

Lo spin dell elettrone Abbiamo visto che un elettrone che ruota intorno al nucleo possiede un momento angolare orbitale, con il quale è associato anche un momento magnetico. Ci sono evidenze sperimentali che l elettrone oltre al momento angolare orbitale debba possedere anche un momento angolare intrinseco (con relativo momento magnetico associato) detto spin. Un fatto sperimentale è, ad esempio, lo sdoppiamento delle righe nello spettro degli atomi alcalini (illustrato in figure 1, e 3): nel caso di Na ad esempio la riga principale corrisponde alla transizione 1s s p 6 3s 1s s p 6 3p e non è possibile spiegare questo sdoppiamento in maniera soddisfacente se non ammettendo che l elettrone abbia un momento angolare intrinseco. La conferma sperimentale che l elettrone deve avere un momento intrinseco fu data dal famoso esperimento di Stern e Gerlach (illustrato in figura 4 e 5) nel quale un fascio di atomi di argento (aventi un singolo elettrone nello strato esterno) attraversa un campo magnetico fortemente disomogeneo (condizione essenziale per l esperimento) e viene poi rivelato su uno schermo. Se il campo magnetico applicato nella direzione z è disomogeneo cioè B z 0 (1) si genera sull atomo che eventualmente possiede un momento magnetico una forza F z = µ j cos θ B () z dove µ j è il momento magnetico dell atomo e θ specifica l orientazione del momento rispetto alla direzione del campo. Questa forza produce una deviazione del fascio che sarà rivelata sullo schermo. Secondo la teoria classica ogni orientazione è possibile per il momento magnetico e quindi la presenza del campo disomogeneo dovrebbe produrre un allargamento del fascio. Al contrario l esperimento rivela la presenza di due macchie sullo schermo. D altra parte la teoria quantistica prevede la quantizzazione spaziale dell orientazione del momento angolare e del momento magnetico associato in J + 1 componenti. Poiché si osservano componenti deve essere J = 1. Poiché infine l atomo di argento non possiede un momento angolare orbitale bisogna ammettere che l elettrone esterno abbia un momento angolare intrinseco ( 1 + 1) ħ che può avere due distinte orientazioni rispetto all asse z. Per 1 1

spiegare l esperimento bisogna ammettere che l elettrone abbia un momento magnetico uguale a µ j eħ (3) mc Sulla base di questi esperimenti, ma procedendo nel nostro schema di una presentazione assiomatica della meccanica quantistica, introduciamo lo spin per l elettrone formulando il seguente postulato Un elettrone possiede un momento angolare intrinseco rappresentato da un vettore di spin S con componenti S x, S y, S z ciascuna delle quali è un osservabile a doppio valore con possibili valori + 1 e 1. Il momento magnetico associato è con µ = gβs (4) β = eħ mc g =.003 (5) dove β è il magnetone di Bohr e g il rapporto giromagnetico. Gli associati operatori di spin commutano con tutti gli operatori che rappresentano variabili classiche ma non tra di loro. Con questo postulato quindi introduciamo gli operatori di spin S = S x + S y + S z e S z con proprietà S f > = ħ s(s + 1) f > s = 1 S z f > = ħm s f > m s = ± 1 (6) (7) oppure chiamando α e β le due autofunzioni S α > = ħ 1 (1 + 1) α > (8) S z α > = ħ 1 α > (9)

e S β > = ħ 1 (1 + 1) β > (10) S z β > = ħ 1 β > (11) 3 Quindi il modulo di S sarà ħ e questo porta alla rappresentazione geometrica della orientazione dello spin e delle sue componenti illustrata nella 4 figura 6. È evidente da quanto detto che gli operatori di spin sono diversi dagli altri operatori che abbiamo incontrato nel senso che non esiste un analogo classico, cioè non esiste una variabile dinamica classica sulla base della quale, con le regole viste, costruiamo un operatore quantistico. Del resto se lo spin fosse un normale momento angolare classico, per quello che abbiamo visto nella trattazione del momento angolare, esso non potrebbe avere un numero quantico semiintero. Giustamente quindi abbiamo introdotto lo spin come un ulteriore postulato della meccanica quantistica. Definite le autofunzioni di spin dovremmo definire delle variabili di spin in modo da poter effettuare gli opportuni integrali durante il calcolo di elementi di matrice. La scelta della variabili non ha particolare importanza purché si sappia come eseguire gli integrali necessari. Possiamo, ad esempio, definire una variabile formale di spin ω oppure possiamo scegliere il numero quantico di spin m s come variabile e quindi scrivere le autofunzioni come α > = α(m s ) > (1) β > = β(m s ) > (13) con m s = + 1, 1. Con questa scelta la variabile è una variabile non continua ma con due soli valori. Fatta questa scelta procediamo alla normalizzazione e ortogonalizzazione delle autofunzioni: essendo la nostra variabile discreta con due soli possibili valori dovremo avere < α α > = α(m s ) = 1 (14) < β β > = m s=+ 1, 1 β(m s ) = 1 (15) m s=+ 1, 1 < α β > = 0 (16) 3

Queste relazioni hanno soluzione α( 1 ) = 1 α( 1 ) = 0 β(1 ) = 0 β( 1 ) = 1 (17) o più sinteticamente usando il δ di Kronecker δ ij = 1 se i = j, δ ij = 0 se i j α(m s ) = δ ms, 1 β(m s ) = δ ms, 1 (18) (19) Per quanto riguarda le proprietà di commutazione degli operatori di spin la scelta ovvia è di adottare le stesse proprietà di commutazione viste per gli operatori del momento angolare. Non è necessario adottare questo come postulato: dal fatto che tutte le direzioni nello spazio sono equivalenti e dalle proprietà necessarie degli operatori per effetto di rotazioni nello spazio si giunge alla necessaria conclusione che appunto gli operatori di spin devono avere le stesse proprietà di commutazione dei momenti angolari che riassumiamo [S x, S y ] = iħs z (0) [S y, S z ] = iħs x (1) [S z, S x ] = iħs y () [ S, S z ] = 0 (3) Tutte le considerazioni fatte per gli operatori momento angolare restano valide per gli operatori di spin. Abbiamo detto che gli operatori di spin commutano con tutti gli altri comuni operatori: questo è ovvio in quanto gli altri operatori che abbiamo considerato non contengono lo spin. Quindi la autofunzione generale potremo sempre scriverla come prodotto di una autofunzione orbitale e di una autofunzione di spin e per normalizzazione intendiamo Ψ(x, y, z, m s ) = Φ(x, y, z)g(m s ) (4) 4

< Ψ Ψ >= m s Ψ dxdydz = 1 (5) In generale una funzione a molti elettroni potremo scriverla indicando con q per ogni elettrone il complesso delle coordinate x, y, z e m s come Ψ(q 1, q,...) = Ψ(x 1, y 1, z 1, m s1, x, y, z, m s,...) (6) Naturalmente una autofunzione prodotto come definita sopra rimane sempre autofunzione dell operatore Hamiltoniano e dell operatore di spin. Principio di esclusione di Pauli e antisimmetria Situazioni più complesse sorgono quando abbiamo a che fare con sistemi di molte particelle identiche, nel nostro caso attuale n elettroni. Da un punto di vista della fisica classica le particelle possono essere distinte sulla base della loro traiettoria. Nella meccanica quantistica ciò non è più possibile a causa del principio di indeterminazione. Ad esempio se ho due elettroni di cui uno in un orbitale 1s ed uno in un orbitale s non posso scivere la configurazione semplicemente come 1s(1)s(): questo presupporrebbe che si potesse seguire la traiettoria dei due elettroni conoscendone posizione e momento con precisione nel tempo. Potendo solo parlare in termini di probabilità, per noi gli elettroni sono indistinguibili ed una configurazione 1s()s(1) va altrettanto bene: possiano solo dire che un elettrone è in un orbitale ed un elettrone in un altro. Chiediamoci allora cosa succede se scambiamo tra di loro due elettroni, ad esempio gli elettroni 1 e. Per questo definiamo un operatore che scambia due particelle P 1 f(q 1, q, q 3, q 4,...) = f(q, q 1, q 3, q 4,...) (7) Per esempio P 1 [1s(1)α(1)s()β()] = 1s()α()s(1)β(1) (8) Se cerchiamo gli autovalori dell operatore di scambio P 1 f(q 1, q, q 3, q 4,...) = cf(q 1, q, q 3, q 4,...) (9) 5

applicando due volte l operatore P 1f = P 1 P 1 f = cp 1 f = c f = f (30) vediamo subito che si hanno due possibilità P 1 f(q 1, q, q 3, q 4,...) = f(q, q 1, q 3, q 4,...) = f(q 1, q, q 3, q 4,...) (31) P 1 f(q 1, q, q 3, q 4,...) = f(q, q 1, q 3, q 4,...) = f(q 1, q, q 3, q 4,...) (3) Quindi le autofunzioni di P 1 sono o simmetriche o antisimmetriche. Ora non è detto che una funzione arbitraria sia necessariamente simmetrica o antisimmetrica rispetto allo scambio di due particelle. Però essa può sempre essere scritta come combinazione di funzione + e - e cioè F (q 1, q,...q n ) = 1 [F (q 1, q,...) + F (q, q 1,...)] + 1 [F (q 1, q,...) F (q, q 1,...)] funzione simmetrica funzione antisimmetrica per cui vediamo che le autofunzioni di P 1 costituiscono un set completo Consideriamo ora le funzioni d onda per un sistema con n particelle identiche. Se le particelle sono indistinguibili le due funzioni Ψ(q 1,...q i, q j...q n ) (33) Ψ(q 1,...q j, q i...q n ) (34) devono descrivere lo stesso stato del sistema, in quanto cambiare la numerazione delle particelle non può cambiare lo stato. Quindi le due funzioni possono differire solo per una costante e cioè Ψ(q 1,...q i, q j...q n ) = cψ(q 1,...q j, q i...q n ) (35) Allora le autofunioni del sistema devono essere autofunzioni dell operatore di scambio P ij Ψ = cψ (36) 6

fermioni particelle con spin semintero (1/, 3/,... ) l autofunzione deve essere antisimmetrica bosoni particelle con spin intero (0, 1,,... ) l autofunzione deve essere simmetrica e quindi devono essere simmetriche o antisimmetriche per lo scambio di due particelle. Nella meccanica quantistica abbiamo due tipi di particelle: I fermioni (elettroni, protoni,...) obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac. I bosoni (fotoni, fononi,...) obbediscono alla statistica di Bose-Einstein. Tornando agli elettroni, che a noi interessano in questa sede, concludiamo che la autofunzione deve essere antisimmetrica per lo scambio di due elettroni. Questa è la formulazione più completa del principio di esclusione di Pauli. La conseguenza di questo è che se avessimo due elettroni con le stesse cooordinate spaziali e di spin (cioè che si trovano nello stesso orbitale con lo stesso spin) avremmo, per applicazione dell operatore di scambio, e quindi Ψ(q 1, q 1,...q n ) = Ψ(q 1, q 1,...q n ) (37) Ψ = 0 = Ψ = 0 (38) e perciò non possono esserci due elettroni con le stesse coordinate spaziali e di spin. 7