CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Esercitazioe. Data la segete distribzioe di freqeza: X 0- -2 2-3 3-5 5-0 0-5 5-25 N 44 35 22 58 60 06 02 a) calcolare le freqeze relative e le freqeze relative cmlate; b) fare le loro rappresetazioi grafiche. Svolgimeto Si tratta presmibilmete di carattere cotio raggrppato i classi, per il qale calcoliamo le freqeze relative, le freqeze relative cmlate, l ampiezza delle classi e la desità corrispodete (o freqeza specifica) X f (freqeze F (f. relative d (ampiezza / d relative) cmlate) della classe) (desità) 0-44 0.55 0.55 44-2 35 0.46 0.30 35 2-3 22 0.32 0.433 22 3-5 58 0.70 0.603 2 79 5-0 60 0.73 0.776 5 32 0-5 06 0.4 0.890 5 2.2 5-25 02 0.0.000 0 0.2 Totale 927 dove: f = = è la freqeza relativa della classe (otteto come rapporto tra la freqeza 7 = assolta della classe e la freqeza totale), co0 f, per =,, k (7); F = f i i= è la freqeza relativa cmlata che idica la merosità relativa delle classi fio alla -ma co F = f e F k = = f. k = Per la rappresetazioe grafica si ricorre ad istogramma che si compoe di tati rettagoli cotigi qato soo le classi da rappresetare. La base del rettagolo coicide co l ampiezza della classe metre l area e rappreseta la freqeza corrispodete. Dal mometo che le classi soo di diversa ampiezza è ecessario calcolare la desità di freqeza, data dal rapporto tra la freqeza e l ampiezza della classe, per determiare l altezza dei rettagoli:
60 40 20 00 80 60 40 20 0 0 5 0 5 20 25 30 Si tratta di a distribzioe percetale per carattere qalitativo s scala ordiale, dove le freqeze percetali si o.2 Data la segete distribzioe percetale della popolazioe residete i età di 6 ai o più per grado di istrzioe al cesimeto del 98: Elemetare Larea Diploma Media if. Alfabeti seza Aalfabeti titolo 2,8,5 23,8 58,8 3, fare opporta rappresetazioe grafica. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe percetale per carattere qalitativo s scala ordiale, dove le freqeze percetali si ottegoo moltiplicado per 00 le freqeze relative: p = f * 00, =,,k. Si pò allora tilizzare i qesto caso diagramma a torte: Aalfabeti Larea Diploma Media iferiore Elemetare, alfabeti seza titolo L agolo del settore x corrispodete a ciasca modalità del carattere è i tal caso otteto dalla relazioe segete:
360 : x = 00 : p.3 Data la segete distribzioe delle società italiae co fattrato compreso tra 250 e 2000 mila miliardi di lire: Classi di fattrato Aziede 250-500 00 500-000 73 000-2000 4 rappresetare graficamete la distribzioe mediate istogramma. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe di freqeza di carattere qatitativo cotio, raggrppato i classi: Classi d (ampiezza) h (freq. specifica) 250-500 00 250 0.4 500-000 73 500 0.46 000-2000 4 000 0.04 24 Totale L istogramma di freqeza i qesto caso è: 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0 0 250 500 750 000 250 500 750 2000 2250 2500.4 I a classe di 25 stdeti i voti riportati all esame di matrità soo stati i segeti: 36 42 36 38 50 52 58 40 46 50 52 48 60 48 37 40 46 50 60 46 38 40 42 48 48 a) rappresetare graficamete la distribzioe degli stdeti secodo il voto riportato alla matrità; b) dopo aver effettato a sddivisioe i classi di ampiezza 4, rappresetare graficamete il feomeo.
Svolgimeto Si tratta di a serie di itesità di carattere qatitativo discreto. Bisoga trasformarla i a distribzioe di freqeza: x i i 36 2 37 38 2 40 3 42 2 46 3 48 4 50 3 52 2 58 60 2 Totale 25 Poiché il carattere è di tipo discreto osserviamo che le classi o hao estremi i come, ogi classe cotiee 4 elemeti trae l ltima classe che è di ampiezza 5. x i i 36-39 5 40-43 5 44-47 3 48-5 7 52-55 2 56-60 3 Totale 25 La rappresetazioe grafica è diagramma a bastoi.
.5 Data la segete distribzioe relativa ad carattere cotio: X 0 6 6 2 2 20 20 30 30 48 N 2 8 3 20 8 Calcolare la percetale dei casi che presetao X<2; 2 X<30; X 30. Svolgimeto Tratta di carattere cotio raggrppato i classi di diversa ampiezza: X N 0 6 2 2 6 2 8 30 2 20 3 6 20 30 20 8 30 48 8 99 Totale 99 dove N = i idica la freqeza assolta cmlata. i= La percetale di casi che presetao X < 2 è data da: freqeza( X < 2) 6 + 2 N2 30 *00 = *00 = *00 = *00 = 30 %; 99 la percetale di casi che presetao 2 X < 30 è data da: freqeza( 2 X < 30) 20 + 30 3+ 20 *00 = *00 = *00 = 5%; 99 ed ifie la percetale di casi che presetao X 30 è freqeza( X 30) 48 8 *00 = *00 = *00 = 8 %. 99
.6 Co gli stessi dati dell esercizio. calcolare la classe modale, la mediaa e la media aritmetica. Svolgimeto Calcoliamo dapprima le freqeze relative cmlate, l ampiezza e la desità di freqeza di ciasca classe: x - - x f (freqeze F (f. relative d (ampiezza / d relative) cmlate) della classe) (desità) 0-44 0.55 0.55 44-2 35 0.46 0.30 35 2-3 22 0.32 0.433 22 3-5 58 0.70 0.603 2 79 5-0 60 0.73 0.776 5 32 0-5 06 0.4 0.890 5 2.2 5-25 02 0.0.000 0 0.2 Totale 927 Per determiare la classe modale si deve far riferimeto alla desità di freqeza aziché la freqeza assolta, dal mometo che si tratta di a distribzioe per classi di ampiezza diversa. La classe modale è dqe qella a ci corrispode desità di freqeza massima, ossia: classe modale = (0, ). La classe mediaa è ivece la classe che cotiee il valore che bi-ripartisce la distribzioe osservata ordiata secodo la modalità o decrescete del carattere: classe mediaa = (x h-, x h ) = (3, 5). Per la determiazioe del valore mediao, sotto l ipotesi che le freqeze siao eqiripartite all itero della classe, si tilizza la segete relazioe: 0.5 Fh 0.5 0.43 Me = xh + ( xh xh ) = 3 + 2 * = 3. 82. Fh Fh 0.6 0.43 x + x La media aritmetica è ifie otteta, posto x = pari al valore cetrale di ciasca 2 classe, dalla segete formla: = 7 x x * = *(0.5*44 +.5*35 + 2.5*22 + 4*58 + 7.5*60 + 2.5*06 + 20*02) = = 927 = 6.23..7 Co i dati dell esercizio.2 calcolare la moda, mediaa e i qartili della distribzioe. Svolgimeto Si tratta di a distribzioe secodo carattere qalitativo ordiabile; è pertato possibile determiare moda e mediaa ma o la media aritmetica (calcolabile solo el caso di carattere qatitativo): Titolo di stdio p i f i F i Aalfabeti 3. 0.03 0.03 Elemetare 58.8 0.588 0.69 Media iferiore 23.8 0.238 0.857 Diploma.5 0.5 0.972 Larea 2.8 0.028 Totale 00
La moda è rappresetata dal titolo di stdio elemetare (ad esso corrispode la freqeza, i qesto caso percetale, massima); la mediaa, data dalla modalità presete ella ità statistica che occpa la posizioe cetrale ella distribzioe osservata, è rappresetata acora dal titolo di stdio elemetare; per i qartili le freqeze relative cmlate di riferimeto soo F(x) = 0.25 per il primo qartile Q e F(x) = 0.75 per il terzo qartile Q 3 (il secodo qartile coicide co la mediaa), pertato si ha: Q = titolo di stdio elemetare; Q 3 = titolo di stdio media iferiore..7 Si determii il valore mediao della segete distribzioe del di sportelli per come di a certa baca i a data provicia: N sportelli 2 3 4 5 6 8 2 tot Comi 5 4 3 5 3 22 Svolgimeto Si tratta di a distribzioe secodo carattere qatitativo discreto, per la qale si ha: N sportelli Comi f i F i 2 5 0.22 0.22 3 4 0.8 0.40 4 3 0.4 0.54 5 5 0.22 0.76 6 3 0.4 0.90 8 0.05 0.95 2 0.05.00 Totale 22.00 Dal mometo che F(3) = f ( x) = 0.40 e F(4) = f ( x) = 0.54, allora M e = 4 x 3 x 4