LOGICA TRADIZIONALE. 1. Proposizioni categoriche

P. Minari / Logica radizionale 1 LOGICA TRADIZIONALE 1. Proposizioni caegoriche I cosiueni immediai di una proposizione caegorica sono: il soggeo (di solio indicao con S ), il predicao (di solio indicao con P ), la copula (è). La forma schemaica è dunque: soggeo copula predicao, in simboli: S è P. Tano il soggeo quano il predicao sono ermini, per denoare i quali useremo, olre a S e P, le leere M, N,. Dobbiamo però chiarire cosa si inende qui per ermini. In generale, i ermini si disinguono in: ermini singolari (es.: il Sole, Socrae, ), caraerizzai dallo speare necessariamene ad uno e un solo individuo. Corrispondono ai nomi (o: ermini individuali chiusi) di un linguaggio elemenare. ermini generali (es.: uomo, bianco, razionale, ), che invece non speano necessariamene a uno e un solo individuo. Corrispondono alle cosani predicaive unarie (o: monadiche) di un linguaggio elemenare. Assumeremo, come soliamene si fa quando si espone la sillogisica, che enrambi i ermini che compaiono in una proposizione caegorica, quindi non solo il predicao ma anche il soggeo, siano ermini generali. Di conseguenza, le proposizioni della forma: ermine singolare copula ermine generale come p.es. Socrae è bianco, la Luna è un pianea, ecc. cosiuiranno per noi un ipo a sé, quello delle proposizioni singolari, che non raeremo. Torniamo alle proposizioni caegoriche (d ora in avani, ermine sa per ermine generale ). Inano, va soolineao che soggeo (S) e predicao (P), essendo ermini enrambi, sono inerscambiabili: ha cioè senso scrivere sia S è P sia P è S. Deo alrimeni: la qualifica di soggeo o predicao disingue solamene la posizione di un ermine in una proposizione; si chiama soggeo il ermine che precede la copula, predicao il ermine che la segue. Così p.es. lo sesso ermine uomo è soggeo in uomo è animale, menre è predicao in greco è uomo. La copula rappresena il collegameno fra il soggeo e il predicao. Per avere una proposizione caegorica, la naura di queso collegameno deve però essere specificaa soo i due fondamenali aspei della quanià (che può essere universale o paricolare) e della qualià (che può essere

Logica radizionale 2 affermaiva o negaiva). Si hanno così quaro possibili combinazioni di quanià + quanià, e quindi quaro possibili ipi o forme di proposizioni caegoriche: 1. Universale affermaiva: ui gli S sono P (in simboli: S a P). Esprime il fao che l esensione del soggeo (ossia, la classe degli individui che cadono soo il ermine che funge da soggeo) è oalmene inclusa nell esensione del predicao (N.B.: per inclusione si inende inclusione non necessariamene propria). Deo alrimeni: ogni individuo che cade soo il soggeo cade anche soo il predicao. 2. Universale negaiva: nessun S è P (S e P). Esprime il fao che l esensione del soggeo è oalmene esclusa dall esensione del predicao, ossia, deo brevemene: soggeo e predicao sono disgiuni, non esise nessun individuo che cade soo enrambi. 3. Paricolare affermaiva: qualche S è P (S i P). Esprime il fao che l esensione del soggeo è parzialmene inclusa nell esensione del predicao, ossia che soggeo e predicao non sono disgiuni: c è almeno un individuo che cade soo il soggeo e cade anche soo il predicao. 4. Paricolare negaiva: qualche S non è P (S o P). Esprime il fao che l esensione del soggeo non è oalmene inclusa nell esensione del predicao, ossia che esise almeno un individuo che cade soo S ma non soo P. Le quaro vocali a, e, i, o che si usano per rappresenare simbolicamene i quaro ipi di caegoriche derivano convenzionalmene dalle parole a d f i r m o (a: univ. affermaiva, i: paric. affermaiva) e nego (e: univ. negaiva, o: paric. negaiva). 2. Formalizzazione dei quaro ipi di caegoriche. Nel linguaggio della logica dei predicai, i quaro ipi di caegoriche si formalizzano come segue: 1. S a P: x (S(x) P(x)) 2. S e P: x (S(x) P(x)) 3. S i P: x (S(x) P(x)) 4. S o P: x (S(x) P(x)) La universale negaiva SeP può essere equivalenemene formalizzaa come: x (S(x) P(x)). La paricolare negaiva SoP può essere equivalenemene formalizzaa come: x(s(x) P(x)).

Logica radizionale 3 3. Diagrammi di Eulero Venn Nei diagrammi noi come diagrammi di Eulero Venn si rappresena l esensione di un ermine non vuoo con un area circolare. Tui i possibili rappori di inclusione propria, inclusione parziale, coincidenza ra le esensioni di due ermini non vuoi S e P sono rappresenai graficamene dalle 5 siuazioni segueni, ciascuna delle quali esclude le rimaneni quaro. S P I S è incluso propriamene in P [ S P ] P S II P è incluso propriamene in S [ P S ] S = P III S coincide con P [ S P ] S P IV S e P hanno inersezione non vuoa, ma nessuno dei due include l alro. S V S e P sono disgiuni [ S P ] P

Logica radizionale 4 Usando i diagrammi di Eulero Venn possiamo allora visualizzare come segue le condizioni di verià di ciascun ipo di proposizione caegorica: S a P è vera nella siuazione I e nella siuazione III, è falsa nelle rimaneni (II, IV e V). S e P è vera nella siuazione V, è falsa nelle rimaneni (I, II, III, IV). S i P è vera nella siuazione I, nella II, nella III e nella IV. è falsa nella siuazione rimanene V. S o P è vera nella siuazione II, nella IV e nella V. è falsa nelle rimaneni I e III. 4. Assioma di Arisoele Volendo sudiare di che ipo e quali siano i rappori logici che inercorrono ra proposizioni caegoriche, è bene prima di uo espliciare una assunzione che impliciamene soggiace al riconoscimeno di ceri rappori come logicamene validi (nel senso della logica classica). Tale assunzione, noa come Assioma di Arisoele, afferma che ui i ermini coinvoli nelle proposizioni caegoriche sono non vuoi. Deo alrimeni: per ogni ermine M, c è sempre almeno un individuo che appariene all esensione di M (se si vuole, in simboli: MiM è vera per ogni M). D ora in avani, noi assumeremo senz alro l Assioma di Arisoele. Alcuni dei rappori logici che considereremo valgono (nel senso della logica classica) anche senza quesa assunzione; alri (come via via segnaleremo) dipendono invece da essa in modo essenziale. 5. Il quadrao logico arisoelico Prendiamo in primo luogo in considerazione i rappori logici che inercorrono ra due proposizioni caegoriche con uguale soggeo e predicao, ma diverse per qualià e/o quanià, ossia ra due caegoriche S P e S P dove e sono due vocali diverse prese ra a, e, i, o. Tali rappori si lasciano condensare in uno schema noo come quadrao logico arisoelico, o quadrao delle opposizioni :

Logica radizionale 5 S a P s u b a l e r n a z i o n e S i P c c o o n n conrarieà r r a a d d d d i subconrarieà o o r r i i e e à à S e P s u b a l e r n a z i o n e S o P I verici del quadrao, cioè le quaro proposizioni caegoriche SaP, SeP, SiP, SoP, sanno ra loro in varie relazioni logiche: 1. conraddiorieà. È la relazione corrispondene alle due diagonali del quadrao, ossia quella che inercorre ra le proposizioni SaP e SoP e ra SeP e SiP. E caraerizzaa dal seguene rapporo logico: di due proposizioni conraddiorie, esaamene una è vera menre l alra è falsa. Quindi: (i) SaP SoP (ii) SeP SiP. 2. conrarieà. È la relazione corrispondene al lao superiore del quadrao, ossia: SaP e SeP sono conrarie. E caraerizzaa dal seguene rapporo logico: due proposizioni conrarie non possono essere enrambe vere (sebbene possano essere enrambe false). Quindi:

Logica radizionale 6 ( SaP SeP ); equivalenemene, SaP SeP. Va osservao che queso vale solo soo l assioma di Arisoele. Infai, se si prende un ermine S vuoo, enrambe le proposizioni ui gli S sono P (SaP) e nessun S è P (SeP) risulano ( vacuamene ) vere. 3. subconrarieà. È la relazione corrispondene al lao inferiore del quadrao, ossia: SiP e SoP sono subconrarie. E caraerizzaa dal seguene rapporo logico: due proposizioni subconrarie non possono essere enrambe false, (possono invece essere enrambe vere). Deo alrimeni: almeno una di esse è vera. Quindi: ( SiP SoP); equivalenemene, SiP SoP. Va osservao che anche queso vale solo soo l assioma di Arisoele. Infai, se si prende un ermine S vuoo, qualche S è P (SiP) e qualche S non è P (SoP) risulano enrambe false. 4. subalernazione. È la relazione corrispondene ai due lai vericali del quadrao, ossia quella che inercorre ra SaP e SiP e ra SeP e SoP. E caraerizzaa dal seguene rapporo logico: se l universale è vera (SaP, rispeivam. SeP) allora anche la corrispondene paricolare (SiP, rispeivam. SoP) è vera. Abbiamo quindi le due leggi di subalernazione ( reduciones ad subalernaam ): (i) SaP SiP, (ii) SeP SoP Anche quese valgono solo soo l assioma di Arisoele. Infai, se si prende un ermine S vuoo, ui gli S sono P (SaP) è vera, menre qualche S è P (SiP) è falsa; come pure nessun S è P (SeP) è vera, menre qualche S non è P (SoP) è falsa. 6. Le conversioni Prendiamo ora in considerazione i rappori logici che inercorrono ra due proposizioni caegoriche cosiuie con gli sessi ermini, ma in posizione scambiaa (ossia, il soggeo e il predicao dell una sono rispeivamene il predicao e il soggeo dell alra): S P e P S dove e sono due vocali (non necessariamene diverse) prese ra a, e, i, o. Venivano riconosciui i segueni rappori logici (dee regole della conversione ): 1. conversio simplex: SeP PeS, SiP PiS L universale negaiva e la paricolare affermaiva si lasciano converire (scambio soggeo / predicao) semplicemene, ossia senza modificare quanià e qualià.

Logica radizionale 7 Se una universale negaiva è vera, è vera anche l universale negaiva oenua scambiando soggeo e predicao: Se nessun uomo è cane allora nessun cane è uomo. E, se una paricolare affermaiva è vera, è vera anche la paricolare affermaiva oenua scambiando soggeo e predicao: Se qualche uomo è greco allora qualche greco è uomo. 2. conversio per accidens: SeP PoS, SaP PiS L universale negaiva e la universale affermaiva si lasciano converire (scambio soggeo / predicao) modificando la quanià senza modificare la qualià. Es.: Nessun uomo è piera Qualche piera non è uomo Tui gli uomini sono morali Qualche morale è uomo. Va qui noao che: (i) la validià delle conversioni per accidens dipende dall assioma di Arisoele; (ii) enrambe quese conversioni possono essere ricavae usando le due conversioni semplici uniamene alla subalernazione: SeP PeS [conv. semplice] PoS [subalernazione] SaP SiP [subalernazione] PiS [conv. semplice]. Un verso mnemonico per le regole di conversione è il seguene: SIMPLICITER FeCi CONVERTITUR, eva PER ACCI. 7. Il sillogismo Un sillogismo è un argomeno composo da due premesse e una conclusione, e ale che: Premesse e conclusione sono proposizioni caegoriche; Premesse e conclusione conengono in uo re ermini: S, P, M; S è deo il ermine minore; P il ermine maggiore; M il ermine medio; S e P sono, rispeivamene, il soggeo e il predicao della conclusione; Una delle due premesse coniene il soggeo della conclusione, S (è dea la premessa minore), l alra coniene il predicao della conclusione, P (è dea la premessa maggiore); M, il ermine medio, è comune alle due premesse. Dunque: i due ermini che occorrono nella premessa maggiore sono M e P (in un qualche ordine), quelli che occorrono nella premessa minore sono M e S (in un qualche ordine), quelli che occorrono nella conclusione sono S e P (in queso ordine, ossia: S come soggeo, P come predicao). D ora in avani, scriveremo sempre i sillogismi disponendo così le premesse e la conclusione:

Logica radizionale 8 PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE A seconda della posizione del ermine medio M nelle due premesse, i sillogismi sono classificai in quaro figure sillogisiche (N.B.: Arisoele eorizza espliciamene solo le prime re): I figura II figura III figura IV figura M P S M S P P M S M S P M P M S S P P M M S S P Per ricordare la successione delle figure basa dunque ricordare la posizione del ermine medio nelle premesse (mnemonica: la forma della leera W ): I figura II figura III figura IV figura M * * M * M * M M * M * * M M * Inroduciamo ora i modi sillogisici. Per ciascuna figura, un modo sillogisico di quella figura si oiene specificando la qualià e la quanià delle premesse e della conclusione. Ossia, con riferimeno al primo schema di cui sopra, inserendo una delle 4 vocali a, e, i, o al poso di ciascun raino. Per ciascuna figura abbiamo 4 possibilià (a,e,i,o) per la premessa maggiore, 4 per la minore, 4 per la conclusione. Quindi: In ogni figura ci sono 4 4 4 = 64 modi sillogisici. Dao che le figure sono 4, in oale ci sono 64 4 = 256 modi sillogisici.

Logica radizionale 9 Non ui i modi sillogisici sono però (schemi di) argomeni logicamene validi, ossia sono ali che la verià delle premesse compora necessariamene la verià della conclusione, indipendenemene dal significao dei ermini S, P, M (equivalenemene: sono ali che l enunciao α β γ è una legge logica, dove α è la premessa maggiore, β la premessa minore, γ la conclusione). Consideriamo per esempio il seguene modo della prima figura: M i P in cui la premessa maggiore è paricolare affermaiva (i), la minore è universale affermaiva (a), la conclusione è universale affermaiva (a). S a M S a P Si raa di un modo non valido. Per provarlo, basa osservare che si possono inerpreare le leere schemaiche M, S e P in modo ale che in quesa inerpreazione le premesse risulino vere e la conclusione falsa. Per esempio, se M = uomo, S = greco, P = biondo, abbiamo: M i P qualche uomo è biondo VERA S a M ui i greci sono uomini VERA S a P ui i greci sono biondi FALSA Consideriamo invece il seguene modo della prima figura: in cui la premessa maggiore è universale affermaiva (a), la minore è universale M a P affermaiva (a), la conclusione è universale affermaiva (a). S a M Si raa di un modo valido. Qualunque cosa significhino M, S e P, la verià delle due S a P premesse ui gli M sono P e ui gli S sono M compora la verià della conclusione ui gli S sono P. E logicamene impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Come anche si vede bene usando i diagrammi: M P M S + S P

Logica radizionale 10 Si dimosra che in ciascuna delle quaro figure vi sono esaamene sei modi sillogisici validi, e quindi che su un oale di 256 modi sillogisici possibili vi sono esaamene 6 4 = 24 modi sillogisici validi (di cui 9 validi solo soo l assioma di Arisoele). A ognuno di quesi 24 modi validi (si dice anche: sillogismi validi) è associao un nome convenzionale, con lo scopo di condensare mnemonicamene ua una serie di informazioni relaive al modo nominao. I nomi, a meno di qualche variazione, sono i segueni (l aserisco conrassegna i modi validi solo soo l assioma di Arisoele; il segno i cinque modi validi cosiddei subalerni): I figura II figura III figura IV figura BARBARA CESARE *DARAPTI *BRAMANTIP CELARENT CAMESTRES DISAMIS CAMENES DARII FESTINO DATISI DIMARIS FERIO BAROCO *FELAPTON *FESAPO * BARBARI * CESARO BOCARDO FRESISON * CELARONT * CAMESTROS FERISON * CALEMOS Vediamo ora le informazioni che si ricavano da quesi nomi. Le vocali nei nomi Ciascun nome coniene esaamene re vocali rae da a, e, i, o: BaRBaRa, BaRoCo, FReSiSoN, ecc. Esse indicano quali vocali inserire nella figura per oenere il modo in quesione, e in che ordine: prima vocale = quanià e qualià della premessa maggiore, seconda vocale = quanià e qualià della premessa minore, erza vocale = quanià e qualià della conclusione. Qualche esempio. Nome /( figura) modo isanza concrea BARBARA (I fig.): M a P ui gli uomini sono morali S a M ui i greci sono uomini S a P ui i greci sono morali

Logica radizionale 11 BARBARI (I fig.): M a P ui gli uomini sono morali S a M S i P ui i greci sono uomini qualche greco è morale DARII (I fig.): M a P ui gli uomini sono razionali S i M S i P qualche animale è uomo qualche animale è razionale BAROCO (II fig.): P a M ui i cavalli sono mammiferi S o M S o P qualche animale non è mammifero qualche animale non è cavallo FERISON (III fig.): M e P nessun cane è bipede M i S S o P qualche cane è biondo qualche biondo non è bipede CAMENES (IV fig.): P a M ui i greci sono uomini M e S S e P nessun uomo è inverebrao nessun inverebrao è greco N.B.: che ue quese isanze concree abbiano di fao enrambe le premesse vere (e quindi anche la conclusione, viso che si raa di modi validi) è del uo irrilevane ai fini della validià. Una alreano legiima isanza del modo BARBARA è p.es. la seguene: ui gli uomini sono biondi ui i cani sono uomini ui i cani sono biondi Modi subalerni I cinque modi subalerni (sopra conrassegnai con ) sono così chiamai perché la loro conclusione è la subalernaa della conclusione di un alro modo della sessa figura avene le medesime premesse: Barbari Barbara, Celaron Celaren, Cesaro Cesare, Camesros Camesres, Calemos Camenes. La validià di ciascuno di quesi 5 modi si giusifica sulla base della validià del corrispondene modo non subalerno in forza delle leggi di subalernazione (che, ricordiamo, dipendono dall assioma di Arisoele). Infai, del uo in generale, se un cero argomeno α 1,, α n è valido, e inolre β γ è una legge logica, allora anche β è un argomeno valido. α 1,, α n γ

Logica radizionale 12 Le consonani nei nomi dei modi non subalerni Già Arisoele sapeva che, uilizzando le leggi di conversione nonché, in due casi, il ragionameno per assurdo, è possibile ricondurre ui i modi sillogisici validi (non subalerni) ai primi quaro della I figura. Ossia: mediane Barbara, Celaren, Darii, Ferio (assuni come argomeni immediaamene validi e quindi non bisognosi di dimosrazione) e le leggi logiche sopra ricordae si può dimosrare la validià dei 15 modi sillogisici non subalerni rimaneni. Alcune delle consonani preseni nei nomi convenzionali (e cioè, olre alle consonani iniziali B, C, D, F, le consonani inerne m, s, p, c) hanno appuno la funzione di indicare in deaglio i singoli passi inferenziali araverso cui ale riconduzione può essere effeuaa. Precisamene: La consonane iniziale di un nome indica a quale dei primi quaro sillogismi della I figura deve essere ricondoo (nel senso chiario più avani) il modo nominao: B Barbara; C Celaren; D Darii; F Ferio. Così p.es. Cesare (II) si riconduce a Celaren; Bocardo (III) a Barbara, ecc. La consonane m indica che deve essere effeuaa una muaio praemissarum, ossia uno scambio delle premesse (la minore divena maggiore, e viceversa); La consonane s indica che deve essere effeuaa una conversio simplex sulla proposizione (premessa o conclusione) indicaa dalla vocale che precede s ; La consonane p indica che deve essere effeuaa una conversio per accidens sulla proposizione (premessa o conclusione) indicaa dalla vocale che precede p ; La consonane c indica che la riconduzione deve essere effeuaa mediane un argomeno per assurdo (per conradicionem). Ogni alra consonane non ha alcun valore. Per capire come va effeuaa la suddea riconduzione usando le informazioni conenue nei nomi, la cosa migliore è fare qualche esempio. Esempio 1. Prendiamo il sillogismo CESARE (II figura): P e M S a M S e P Inano: dimosrarne la validià significa far vedere che la conclusione SeP segue logicamene dalle premesse PeM e SaM; deo alrimeni, che assumendo (la verià del)le premesse PeM e SaM, possiamo ricavare logicamene (la verià del)la conclusione SeP. Il nome C esare ci dà quese informazioni su come procedere:

Logica radizionale 13 1. la C iniziale: per ricavare la conclusione SeP, dovremo usare il modo di I figura Celaren 2. la s dopo la e : la prima premessa (PeM) deve essere converia semplicemene. Di conseguenza, procediamo così: Assumiamo le premesse di Cesare: (i) PeM ; (ii) SaM. Converiamo semplicemene la (i), PeM (usando la conversio simplex PeM MeP), oenendo: MeP. Dalle due nuove premesse MeP (sopra oenua) e SaM (assunzione (ii)) oeniamo, per Celaren, la conclusione desideraa, cioè SeP: M e P S a M S e P Un modo sineico e facilmene visualizzabile per illusrare quano abbiamo fao è il seguene: Celaren premessa maggiore di Cesare P e M conv. simplex M e P premessa minore di Cesare S a M S a M S e P conclusione di Cesare Esempio 2. Prendiamo il sillogismo CAMESTRES (II figura): P a M S e M S e P Di nuovo: mosrarne la validià significa far vedere che la conclusione SeP segue logicamene dalle premesse PaM e SeM. Assumiamo dunque le premesse: (i) PaM, (ii) SeM, e vediamo di ricavare la conclusione SeP. Il nome Cam esres ci dà quese informazioni su come procedere: 1. la C iniziale: per ricavare la conclusione SeP, dovremo usare il modo di I figura Celaren 2. la m dopo la a le premesse devono essere scambiae (muaio) 3. la s dopo la prima e : la seconda premessa (SeM) deve essere converia semplicemene. 4. la s dopo la seconda e : la conclusione oenua mediane Celaren deve essere converia semplicemene.

Logica radizionale 14 Dunque: Celaren P a M S e M conv. simplex M e S S e M P a M.. P a M P e S conv. simplex S e P muaio praemissarum conclusione cercaa Si noi che in quesa isanza di Celaren S funge da ermine maggiore e P da ermine minore. Esempio 3. Prendiamo il sillogismo FESAPO (IV figura): P e M M a S S o P Si riconduce a Ferio (Fesapo) converendo semplicemene la prima premessa PeM (Fesapo) e converendo per accidens la seconda premessa MaS (Fesapo). Dunque: Ferio P e M conv. simplex M e P M a S conv. per acci. S i M S o P conclusione cercaa La riconduzione mediane riduzione all assurdo (indicaa dalla consonane c ) si deve impiegare in due soli casi: Baroco (II fig.) e Bocardo (III fig.). Vediamo le modalià di enrambe le riduzioni in deaglio. Esempio 4. BAROCO (II figura): P a M S o M S o P La leera B iniziale indica che la riconduzione deve essere effeuaa mediane Barbara; la leera c (Baroco) dopo la o indica che si deve procedere per assurdo (per conradicionem), ossia dimosrare che l argomeno è valido facendo vedere che dall assuzione della verià delle

Logica radizionale 15 premesse e della falsià della conclusione si ricava una conraddizione (e precisamene, che si ricava la conraddioria della seconda premessa). Assumiamo dunque che siano vere le premesse: (i) PaM, (ii) SoM, e falsa la conclusione: (iii) SoP. Per le leggi del quadrao arisoelico, se una proposizione caegorica è falsa allora la sua conraddioria deve essere vera, dunque essendo SoP falsa per (iii), sarà vera la sua conraddioria SaP: (iv) SaP Ora consideriamo il seguene sillogismo in Barbara: P a M S a P S a M dove P funge da ermine medio. Si raa di un sillogismo valido, dunque se le premesse sono vere anche la conclusione deve essere vera. Ma le premesse sono vere: PaM per (i), SaP per (iv). Quindi è vera la conclusione SaM, e dunque la sua conraddioria SoM deve essere falsa. Ma queso è in conraddizione con (ii), che dice che SoM è vera. Esempio 5. BOCARDO (III figura): M o P M a S S o P La leera B iniziale indica che la riconduzione deve essere effeuaa mediane Barbara; la leera c (Bocardo) dopo la o indica che si deve procedere per assurdo, ossia, come per Baroco, che si deve far vedere che dall assuzione della verià delle premesse e della falsià della conclusione si ricava una conraddizione (e precisamene, che si ricava la conraddioria della prima premessa). Assumiamo dunque che siano vere le premesse: (i) MoP ; (ii) MaS, e falsa la conclusione: (iii) SoP.

Logica radizionale 16 Come sopra, per le leggi del quadrao arisoelico, se una proposizione caegorica è falsa allora la sua conraddioria deve essere vera: dunque essendo per (iii) SoP falsa, sarà vera la sua conraddioria SaP: (iv) SaP Ora consideriamo il seguene sillogismo in Barbara: S a P M a S M a P dove S funge da ermine medio. Si raa di un sillogismo valido, dunque se le premesse sono vere anche la conclusione deve essere vera. Ma le premesse sono vere: SaP per (iv), MaS per (ii). Quindi è vera la conclusione MaP, e dunque la sua conraddioria MoP deve essere falsa. Ma queso è in conraddizione con (i), che dice che MoP è vera. ui gli uomini sono morali, ui i greci sono uomini, dunque ah, deduore da A. Campanile