La struttura stellare

La struttura stellare

Brevi richiami su proprietà osservative Grandezze più importanti che permettono di caratterizzare le stelle sono: la distanza ( d ); Astronomia lo spettro della radiazione e.m. emessa ( Iν ); la luminosità totale o bolometrica ( L ); la temperatura superficiale ( T ); il raggio ( R ); la massa ( M ). Astronomia 2

Le Classi Spettrali All inizio del XX secolo le stelle venivano classificate in base a tipi spettrali definiti dalla forza (profondità) delle righe di assorbimento osservate. La sequenza di tipi spettrali è definita dalle classi O-B-A-F-G-K-M (Oh-Be-A-Fine-Girl/Guy-Kiss-Me). Ciascuna classe è divisa in sottoclassi numerate da a 9 (O-...-O9-B...) 3

Le Classi Spettrali = Temperatura Superficiale B5 O5 Classe T (K) Righe spettrali O 3-5 Atomi ionizzati, specialmente HeII, CIII A5 F5 Hβ Hβ Hα T=4 K T=154 K T=82 K B 11-3 He neutro, un po di H A 75-11 HI forte (H quasi tutto neutro), Balmer Jump, alcuni metalli ionizzati G5 Ca + K5 C + Mg Na Na Hα T=645 K T=58 K T=435 K T=355 K TiO F 59-75 G 52-59 K 39-52 M 25-39 H e metalli ionizzati come Ca e Fe Metalli neutri e ionizzati, specialmente Ca Metalli neutri (4Å break) Ossido di Titanio forte (TiO) e del Ca neutro M2 Ca HI vuol dire primo spettro dell H, che è poi quello dell idrogeno neutro. Analogamente: HeII He +, CIII C +2 ecc.

Intensità della riga Intensità della riga e Temperatura L intensità di una riga dipende dalla temperatura dell atmosfera. Temperatura superficiale (K) Tipo spettrale 5

Il diagramma di Hertzsprung-Russel Abbiamo visto come stimare L, T, R, M delle stelle. Adesso cercheremo di capire la struttura fisica delle stelle a partire dalle relazioni osservate tra queste quantità. Ejnar Hertzsprung (1911) e Henry Norris Russel (1913) ottengono indipendentemente una diagramma L-T ovvero luminosità (nella banda 51-59Å) - classificazione spettrale (da cui la Temperatura superficiale) per le stelle. Quello riportato in figura è il diagramma HR (Hertzsprung-Russel) per le stelle nei dintorni del Sole: l asse Y è la magnitudine assoluta in banda [ M() = -2.5 log L +cost. ] l asse X è il colore B- = M(B)-M(), proporzionale al logaritmo del rapporto tra le luminosità [ B- = 2.5 log (L/LB)+cost. ]; come sappiamo questa grandezza è a sua volta legata alla temperatura per motivi storici, in figura T (temperatura superficiale, indicata anche come Teff o Te, temperatura efficace o del corpo nero equivalente) cresce verso sinistra. 6

Il diagramma 8 HR Chapter 1: Introductio Diagramma HR per circa ~1 4 stelle vicine (distanze da parallasse con il satellite Hipparcos)

Il diagramma HR

Il diagramma HR Le superfici delle stelle si possono approssimare come corpi neri di temperatura T allora L =4 r 2? T 4? nel diagramma HR in figura si ha logl vs logt ovvero log L = [log(4 ) + 2 log r? ] + 4 log T cioè le linee a raggio stellare costante sono delle rette con pendenza 4. Tutte le stelle sono in parti ben definite del diagramma: 8-9% delle stelle sono nella striscia diagonale detta Sequenza Principale (Main Sequence, MS) che corrisponde ad una relazione L T 8 e (Sequenza Principale) data la relazione di corpo nero sulla MS r ~ T 2 ovvero stelle più calde sono più grandi. Il Sole è una stella di MS. Stelle più fredde hanno T~.5 T ovvero r ~ 1/4 r ; Stelle più calde hanno T~ 5 T ovvero r ~ 25 r. 9

Il diagramma HR Esistono altri luoghi occupati nel diagramma HR. In alto a destra rispetto alla MS esiste una concentrazione di stelle fredde (più rosse) dette Giganti Rosse; L alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alle stelle di MS con la stessa T; per L = 4πr 2 σt 4 queste stelle devono avere raggi più grandi fino a 1 r ~ 1 AU. Nella parte bassa del diagramma c è una sequenza di punti corrispondente alle stelle Nane Bianche; L alcuni ordini di grandezza più piccola rispetto alle stelle di MS con la stessa queste stelle hanno raggi ~ 1-2 r ~ 1 4 km. Inizialmente fu ipotizzato che la MS fosse una sequenza di raffreddamento da cui il nome Early Types per O-B e Late Types per F-G-K-M. Quando le masse divennero disponibili (dalle binarie) ci si rese conto che alte T corrispondevano a alte M e viceversa. Sulla MS si ha M ~.1-1 M e la relazione L-M è L ~ M α con α 3 per M > M e α 5 per stelle meno massicce; Le nane bianche hanno masse ~M ma sempre < 1.4 M. 1

Relazione Massa Luminosità

Il diagramma HR Come vedremo più in dettaglio una stella passa gran parte della sua vita sulla MS dove la sua collocazione dipende da M; in questa fase le stelle bruciano H nei nuclei (ovvero sono alimentate da reazioni di fusione nucleare che convertono H in He). Quando H nel nucleo è terminato si passa ad una breve fase in cui si brucia He in strati esterni al nucleo (fase di gigante rossa). Stelle con M < 8 M durante la fase di gigante rossa riescono a espellere gran parte degli strati esterni e diventano infine nane bianche. Le nane bianche non sono alimentate da reazioni nucleari ma irraggiano l energia residua fino a spegnersi come nane nere. Stelle con M > 8 M dopo essere passate da fase di gigante (super giganti dato L) vanno incontro a processo inarrestabile di collasso del nucleo che le porta a esplodere come Supernovae. Le Supernovae lasciano come resto stelle di neutroni o buchi neri. Le Stelle di neutroni sono più calde e compatte delle nane bianche; hanno r di alcuni km e M ~ M. Inoltre sono ~1-2 volte meno luminose delle nane bianche e non compaiono nel diagramma HR. 12

Classi di Luminosità Ia Supergiganti brillanti Ib Supergiganti II Giganti brillanti III Giganti I Sub-giganti Sequenza principale A parte la classificazione spettrale (es. G2) le stelle sono anche divise in classi di luminosità (I - ) in base alla loro collocazione nel diagramma HR. Il Sole è quindi una stella G2 ( sta per nana).

La struttura stellare Una stella è una sfera di gas tenuta insieme dall auto gravità ed il cui collasso è impedito dalla presenza di gradienti di pressione. Con ottima approssimazione una stella è un sistema a simmetria sferica, ovvero le grandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza r dal centro della stella. Prima di procedere vediamo alcuni cenni di teoria del campo gravitazionale. Il campo gravitazionale in P generato da una massa puntiforme in P è ( x) = GM x x pertanto il campo generato da una distribuzione di massa è ( x) = G Z ( x )d x x d = d 3 x dm = ( x )d 14

La struttura stellare ediamo ora di ottenere l energia gravitazionale. Data una distribuzione di massa l elemento di massa in i è soggetto al campo gravitazionale generato dall elemento di massa in j ovvero l energia gravitazionale associata sarà W ij = m i j ( x i )= ( x i ) j ( x i ) i W = 1 2 dove ϕj(xi) è il potenziale gravitazionale generato dalla massa j in i ed il fattore 1/2 è necessario per non contare due volte l energia gravitazionale dell interazione ij ovvero ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono contribuire una sola volta a W. Infine, passando al limite per elementi di volume infinitesimi W = 1 2 Z ( x) ( x) d X che esprime l energia potenziale di una distribuzione di massa. i6=j ( x i ) j ( x i ) i 15

La struttura stellare sostituiamo ora l espressione del potenziale in W W = 1 2 Z = 1 2 G Z d 3 x ( x) 1 2 x x 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 d 3 x Z " Z G ( x )d 3 x x x # d 3 x ( x) ( x ) x x 3 x x 2 X (x i x i)(x i x i) i X i X i x i (x i x i) 1 2 x i (x i x i)+ 1 2 X j x j(x j x j) X x j(x j x j ) j 16

La struttura stellare ma siccome nell integrale le variabili x e x sono perfettamente interscambiabili allora posso scrivere (sempre e solo ai fini dell integrale) 1 2 x x 2 = X i x i (x i x i)=x (x x ) ovvero W = W = Z Z G d 3 x Z d 3 x ( x) x d 3 x ( x) ( x ) x x 3 x ( x x ) apple Z d 3 x G ( x ) x x 3 ( x x ) ma l espressione tra le parentesi quadre è quella del campo gravitazionale generato dalla stessa distribuzione di massa g( x) = Z G ( x )d 3 x x x 3 ( x x ) 17

Introduzione alla struttura stellare per cui si ottiene un altra espressione per l energia potenziale gravitazionale Per calcolare W si può adesso utilizzare una proprietà notevole della forza gravitazionale ovvero il teorema di Gauss secondo cui, data una superficie chiusa S, si ha W = Z S Z g nds = ( x) x gd 4 GM dove n è la normale all elemento di superficie ds, ed M è la massa contenuta all interno di S. Questo teorema è l analogo di quello visto nel corso di Fisica II per il campo elettrostatico. 18

Introduzione alla struttura stellare Con una distribuzione sferica di massa M(r), se S è superficie sferica di raggio r si ha ovvero g = g(r)u r n = u r Z Z Z 4 GM(r) = g nds = g(r) ds = g(r) S S pertanto g a distanza r dal centro dipende soltanto nella massa contenuta all'interno della sfera di raggio r ed è la stessa che si avrebbe se questa massa fosse concentrata nel centro della sfera stessa. Allora l energia potenziale di una distribuzione sferica di massa è W = W = Z Z g(r) = GM(r) r 2 ( x) x gd = GM(r) r Z (r) d (r) r u r S GM(r) r 2 ds = g(r)4 r 2 u r d 19

Il tempo di free fall edremo come questa relazione sarà utile tra poco, ma per adesso consideriamo solo la massa dm contenuta nell elemento di volume d a distanza r dal centro (shell sferica), la sua energia potenziale gravitazionale è dw = GM(r ) r dm = (r )d dm Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta libera allora dalla conservazione dell energia meccanica, al raggio r si avrà 1 2 dm dr dt 2 GM(r) r dm = 1 2 dm dr dt 2 GM(r ) r=r r Se tutta la massa è in caduta libera partendo da ferma si ha M(r) = M(r) e dr/dt = per r = r. r dm 2

Il tempo di free fall Si ottiene 1 2 dr dt dr dt = 2 = GM(r ) s r 2GM(r ) 1 r GM(r ) r 1 r il segno - è stato scelto dal fatto che il gas deve cadere verso il centro ( r= ) per cui dr/dt <. Separando le variabili ed integrando membro a membro si ottiene il tempo che la distribuzione di massa impiega a collassare nel centro Z ff dt = Z r apple 2GM(r ) 1 r 1 r 1/2 dr 21

Il tempo di free fall Ponendo x = r/r, dr = r dx si ottiene infine ff = apple 2GM(r ) r 3 1/2 Z 1 l integrale definito si calcola ponendo x 1 x 1/2 dx x =sin 2 dx =2sin cos d Z 1 1/2 Z x /2 sin 2 dx = 1 x cos 2 1/2 2 sin cos d = Z /2 2 sin 2 d = 2 Definendo la densità media = M(r ) 4 3 r3 22

Il tempo di free fall si può esprimere M(r)/r 3 in funzione di ρ ottenendo alla fine ff = 1/2 3 32G nel caso del Sole ff = 3 32 6.7 1 8 cgs 1.4 g cm 3 1/2 = 18 s quindi, in assenza di supporto, il Sole collasserebbe nell arco di mezz ora. Questo non avviene perché il Sole è in equilibrio idrostatico. 23

L equilibrio idrostatico Nel caso di equilibrio idrostatico, si è visto nel corso di Fluidi che rp = g dove P è la pressione del gas, ρ la densità e g l accelerazione di gravità (il campo gravitazionale). Nel caso semplificato di simmetria sferica che si applica alle stelle, solo la componente radiale di quella equazione vettoriale non è identicamente nulla per cui si ha dp (r) dr = GM(r) r 2 (r) questa è l equazione dell equilibrio idrostatico ed è la prima equazione utilizzata per determinare la struttura delle stelle. Si noti come il gradiente di pressione è negativo, poiché la pressione deve aumentare verso l interno per bilanciare la forza di gravità che tenderebbe a far collassare gli strati esterni. 24

Il teorema del viriale Dall equazione dell equilibrio idrostatico è possibile imparare molte cose. Moltiplicando membro a membro per 4π r 3 dr ed integrando tra r = e r =r Z r? 4 r 3 dp dr dr = Z r? GM(r) (r) r 4 r 2 dr ricordando che l elemento di volume è d = 4πr 2 dr e l espressione per l energia potenziale gravitazionale W, si nota come il secondo membro è proprio pari a W. Integrando il primo membro per parti si ottiene Z r? 4 r 3 dp dr dr =3 apple 4 3 r3 P (r ) Z r? P 4 r 2 dr ma P(r )= poiché è la pressione alla superficie della stelle, inoltre definendo la pressione media P = R r? P d R r? d = R r? P d 25

Il teorema del viriale si ottiene Z r? 4 r 3 dp dr dr = 3 P quindi integrando l equazione dell equilibrio idrostatico si è giunti alla relazione 3 P = W che rappresenta una delle molte forme del Teorema del iriale che, in generale, si applica ai sistemi legati gravitazionalmente. Supponiamo che il gas sia ideale, non relativistico (v c) e composto di particelle uguali, allora P = nrt dove Δ è un volume di gas, P pressione, T temperatura e Δn il numero di moli. Ricordando che n = N/NA (NA numero Avogadro) e R/NA = k (k costante di Boltzmann) si ha P = NkT 26

Il teorema del viriale L energia cinetica per particella dovuta all agitazione termica è 3/2 kt (gas perfetto monoatomico) per cui l energia totale in Δ è E th =3/2 NkT ovvero P = 2 3 E th = 2 3 E th cioè per un gas ideale non relativistico la pressione è 2/3 della densità di energia termica. Questa relazione vale in ogni punto della stella, dove posso definire pressione e temperatura (equilibrio termodinamico locale). Moltiplicando membro a membro per d = 4π r 2 dr e integrando sul volume della stella otteniamo Z r? 4 r 2 P (r)dr = 2 3 Z r? E th d 27

Il teorema del viriale ovvero nella notazione di prima P = 2 3 ETOT th dove Eth TOT è l energia termica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teorema del viriale si ottiene infine E TOT th = 1 2 E grav forma alternativa del teorema del viriale. Ricordiamo che Egrav < poichè il sistema è legato. Se una stella si contrae, Egrav diminuisce (ovvero diventa più negativa) e, di conseguenza, la sua energia termica aumenta. In pratica una stella ha una capacità termica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione stellare. 28

Il teorema del viriale Altre forme del teorema del viriale sono E TOT = Eth TOT + E grav = Eth TOT = 1 2 E grav Siccome tutte le stelle irraggiano (perdono) energia sono destinate prima o poi a collassare (Egrav diventa sempre più negativo). Consideriamo nuovamente P = 1 3 E TOT grav e supponiamo, in prima approssimazione, che ρ sia costante, allora si ha E grav = Z r? GM(r) 4 r 2 dr = r Z r? G 4 3 r r3 4 r 2 dr = G 4 3 2 4 Z r? r 4 dr 29

Il teorema del viriale ovvero E grav = 3 5 G 4 3 r3 4 3 r3 r = 3 5 GM 2 r dove M è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decrescesse con r, Egrav sarebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5. In conclusione, a meno di una costante, il valore caratteristico dell energia gravitazionale di una stella è E grav = GM 2 r ovvero P = 1 3 E grav = GM 2 4 r 4 nel caso del Sole si avrebbe P = GM 2 4 r 4 115 dyne cm 2 3

Il teorema del viriale ricordiamo che 1 dyne cm -2 = 1 g cm s -2 cm -2 = 1-1 (kg m s -2 ) m -2 = 1-1 Pa. Poichè 1 5 Pa 1 atm risulta infine P = 1 14 Pa = 1 9 atm ovvero la pressione media del Sole è 1 9 volte quella dell atmosfera terrestre Per stimare il valore tipico della temperatura E TOT th = 1 2 E grav 3 2 NkT vir 1 2 GM 2 r kt vir GM 2 3Nr con N numero totale di particelle nella stella. M = m N dove m è la massa media delle particelle. 31

Il teorema del viriale Se il gas è fatto di solo H, ad 1 protone corrisponde un elettrone ovvero m = m p + m e 2 = 1 2 m p 1+ m e m p ' 1 2 m p poiché me/mp ~ 1/2. Sostituendo per N si ottiene infine kt vir GM m p 6r Nel caso del Sole kt vir 5.4 1 1 erg =.34 ke con k = 1.4 1-16 erg K -1 si ha T vir 4 1 6 K si ricorda che questa è una temperatura media (viriale) della struttura stellare ed è ovviamente diversa dalla temperature superficiali stimate dagli spettri stellari e che si utilizzano per ottenere la luminosità della stella con la formula del corpo nero. Come vedremo più avanti, a temperature di questo ordine di grandezza possono aver luogo le reazioni di fusione termonucleare. 32