Esponenziali e logaritmi Corso di accompagnamento in matematica Lezione 4
Sommario 1 La funzione esponenziale Proprietà Grafico 2 La funzione logaritmo Grafico Proprietà 3 Equazioni / disequazioni esponenziali 4 Equazioni / disequazioni logaritmiche Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 2 / 25
La funzione esponenziale Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base a la funzione x a x Dominio e immagine La funzione esponenziale x a x ha dominio R immagine (0,+ ) Una funzione particolare Ha un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e y = e x Visto che e 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha un comportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 e in base 3. Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
La funzione esponenziale Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base a la funzione x a x Dominio e immagine La funzione esponenziale x a x ha dominio R immagine (0,+ ) Una funzione particolare Ha un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e y = e x Visto che e 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha un comportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 e in base 3. Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
La funzione esponenziale Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base a la funzione x a x Dominio e immagine La funzione esponenziale x a x ha dominio R immagine (0,+ ) Una funzione particolare Ha un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e y = e x Visto che e 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha un comportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 e in base 3. Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 3 / 25
Richiami se a = 1, si ottiene la funzione costante: 1 x = 1 per ogni a > 0 e ogni x, y R a 0 = 1 a 1 = a a 1 = 1 a a x+y = a x a y (a x ) y = a xy quindi ) x = a x ( 1 a cioè il grafico di y = a x è simmetrico al grafico di y = ( 1 a )x rispetto all asse y. Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 4 / 25
Grafico della funzione esponenziale a 1 a 1 1 x (a) esponenziale in base a > 1 1 x (b) esponenziale in base a < 1 a > 0 il grafico passa attraverso i punti (0, 1) e (1, a) se a > 1, la funzione x a x è crescente se a < 1, la funzione x a x è decrescente Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 5 / 25
Inversione Data f(x) = a x con a > 0 reale e il numero reale positivo y 0, si consideri l equazione a x = y 0 Casi a = 1 l equazione è risolta da ogni numero reale se y 0 = 1, mentre non ha soluzione per y 0 1 a 1 per ogni y 0 > 0 l equazione ha una e solo una soluzione x 0, detta il logaritmo in base a di y 0 Il secondo caso definisce,per ogni y 0 (0, ), una funzione: y 0 log a y 0 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
Inversione Data f(x) = a x con a > 0 reale e il numero reale positivo y 0, si consideri l equazione a x = y 0 Casi a = 1 l equazione è risolta da ogni numero reale se y 0 = 1, mentre non ha soluzione per y 0 1 a 1 per ogni y 0 > 0 l equazione ha una e solo una soluzione x 0, detta il logaritmo in base a di y 0 Il secondo caso definisce,per ogni y 0 (0, ), una funzione: y 0 log a y 0 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
Inversione Data f(x) = a x con a > 0 reale e il numero reale positivo y 0, si consideri l equazione a x = y 0 Casi a = 1 l equazione è risolta da ogni numero reale se y 0 = 1, mentre non ha soluzione per y 0 1 a 1 per ogni y 0 > 0 l equazione ha una e solo una soluzione x 0, detta il logaritmo in base a di y 0 Il secondo caso definisce,per ogni y 0 (0, ), una funzione: y 0 log a y 0 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 6 / 25
La funzione logaritmo Dato un numero reale a > 0, a 1, si dice logaritmo in base a la funzione x log a x Dominio e immagine La funzione logaritmo y = log a x ha dominio (0,+ ) immagine R Una funzione particolare Scegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che è generalmente indicato con y = ln x Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 7 / 25
La funzione logaritmo Dato un numero reale a > 0, a 1, si dice logaritmo in base a la funzione x log a x Dominio e immagine La funzione logaritmo y = log a x ha dominio (0,+ ) immagine R Una funzione particolare Scegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che è generalmente indicato con y = ln x Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 7 / 25
Grafico 1 1 a x 1 1 a x (c) logaritmo in base a > 1 (d) logaritmo in base a < 1 Il grafico passa attraverso i punti (1, 0),(a, 1), ( 1 a, 1) se a > 1, la funzione è crescentente, negativa su (0, 1), positiva su (1, ) se a < 1, la funzione è decrescente, positiva su (0, 1), negativa su (1, ) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 8 / 25
Proprietà Si considerino numeri reali positivi a 1, x, y e sia z un altro numero reale assegnato log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x z = z log a x Inoltre, se b è un numero reale positivo 1, allora vale la formula del cambiamento di base per i logaritmi: log b x = log a x log a b Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 9 / 25
Proprietà Si considerino numeri reali positivi a 1, x, y e sia z un altro numero reale assegnato log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x z = z log a x Inoltre, se b è un numero reale positivo 1, allora vale la formula del cambiamento di base per i logaritmi: log b x = log a x log a b Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 9 / 25
Esponenziali e logaritmi Il grafico di y = a x and y = log a x (stessa base) sono l uno simmetrico all altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Dunque, se il punto (p, q) appartiene al grafico della funzione esponenziale, allora (q, p) appartiene al grafico della funzione logaritmo. Spiegazione Il logaritmo e l esponenziale soddisfano le relazioni seguenti: a log a y 0 = y 0 y 0 (0,+ ) log a (a x 0) = x 0 x 0 R Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 10 / 25
Equazioni esponenziali I Tipo: a f(x) = k con a > 0, a 1 e k R Soluzione: se k > 0, f(x) = log a k se k 0, impossibile 8 2 x 1 2 x+1 = 16 8 2 x 2 2 x 2 = 16 (4 2) 2 x = 16 2 x = 8 x = 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali I Tipo: a f(x) = k con a > 0, a 1 e k R Soluzione: se k > 0, f(x) = log a k se k 0, impossibile 8 2 x 1 2 x+1 = 16 8 2 x 2 2 x 2 = 16 (4 2) 2 x = 16 2 x = 8 x = 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali I Tipo: a f(x) = k con a > 0, a 1 e k R Soluzione: se k > 0, f(x) = log a k se k 0, impossibile 8 2 x 1 2 x+1 = 16 8 2 x 2 2 x 2 = 16 (4 2) 2 x = 16 2 x = 8 x = 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 11 / 25
Equazioni esponenziali II Tipo: a f(x) = a g(x) Soluzione: f(x) = g(x) 2 2x2 +x 2 x3 +2x = 0 2 2x2 +x = 2 x3 +2x x(2x + 1) = x(x 2 + 2) x( x 2 + 2x 1) = 0 ( x (x 1) 2) = 0 x = 0 o x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponenziali II Tipo: a f(x) = a g(x) Soluzione: f(x) = g(x) 2 2x2 +x 2 x3 +2x = 0 2 2x2 +x = 2 x3 +2x x(2x + 1) = x(x 2 + 2) x( x 2 + 2x 1) = 0 ( x (x 1) 2) = 0 x = 0 o x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponenziali II Tipo: a f(x) = a g(x) Soluzione: f(x) = g(x) 2 2x2 +x 2 x3 +2x = 0 2 2x2 +x = 2 x3 +2x x(2x + 1) = x(x 2 + 2) x( x 2 + 2x 1) = 0 ( x (x 1) 2) = 0 x = 0 o x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 12 / 25
Equazioni esponziali III Tipo: a f(x) = b g(x), b > 0, b 1 Soluzione: usare b g(x) = a g(x)logab, 2 x+1 = 5 1 x poi applicare log a 2 x+1 = 2 (1 x) log 2 5 x + 1 = (1 x) log 2 5 x(1+log 2 5) = log 5 1 x = log 2 5 1 1+log 2 5 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponziali III Tipo: a f(x) = b g(x), b > 0, b 1 Soluzione: usare b g(x) = a g(x)logab, 2 x+1 = 5 1 x poi applicare log a 2 x+1 = 2 (1 x) log 2 5 x + 1 = (1 x) log 2 5 x(1+log 2 5) = log 5 1 x = log 2 5 1 1+log 2 5 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponziali III Tipo: a f(x) = b g(x), b > 0, b 1 Soluzione: usare b g(x) = a g(x)logab, 2 x+1 = 5 1 x poi applicare log a 2 x+1 = 2 (1 x) log 2 5 x + 1 = (1 x) log 2 5 x(1+log 2 5) = log 5 1 x = log 2 5 1 1+log 2 5 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 13 / 25
Equazioni esponenziali III Un altro esempio 2 x+1 5 x 1 3 x = 2 2 x+1 5 x 1 = 2 3 x ln 2 x + ln 5 x 1 = ln 3 x x ln 2+x ln 5 x ln 3 = ln 5 ln 5 x = ln 2+ln 5 ln 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 14 / 25
Equazioni esponenziali III Un altro esempio 2 x+1 5 x 1 3 x = 2 2 x+1 5 x 1 = 2 3 x ln 2 x + ln 5 x 1 = ln 3 x x ln 2+x ln 5 x ln 3 = ln 5 ln 5 x = ln 2+ln 5 ln 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 14 / 25
Equazioni esponenziali IV Tipo: f(a x ) = 0 Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 2 2 x 2 3 x + 2 x = 0 2 2 2 x 2 3 2 x + 2 x = 0 (2 2 2 3 )2 x = 2 x sostituzione: t = 2 x (2 2 2 3 )/t = t t 2 = (2 3 2 2 ) = 8 4 = 4 = 2 2 2 2x = 2 2 2x = 2 x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV Tipo: f(a x ) = 0 Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 2 2 x 2 3 x + 2 x = 0 2 2 2 x 2 3 2 x + 2 x = 0 (2 2 2 3 )2 x = 2 x sostituzione: t = 2 x (2 2 2 3 )/t = t t 2 = (2 3 2 2 ) = 8 4 = 4 = 2 2 2 2x = 2 2 2x = 2 x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV Tipo: f(a x ) = 0 Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 2 2 x 2 3 x + 2 x = 0 2 2 2 x 2 3 2 x + 2 x = 0 (2 2 2 3 )2 x = 2 x sostituzione: t = 2 x (2 2 2 3 )/t = t t 2 = (2 3 2 2 ) = 8 4 = 4 = 2 2 2 2x = 2 2 2x = 2 x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Equazioni esponenziali IV Tipo: f(a x ) = 0 Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 2 2 x 2 3 x + 2 x = 0 2 2 2 x 2 3 2 x + 2 x = 0 (2 2 2 3 )2 x = 2 x sostituzione: t = 2 x (2 2 2 3 )/t = t t 2 = (2 3 2 2 ) = 8 4 = 4 = 2 2 2 2x = 2 2 2x = 2 x = 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 15 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: a f(x) > a g(x), a > 0, a 1 Soluzione: se a > 1, f(x) > g(x) se a < 1, f(x) < g(x) ( ( 1 ) x+1 ) x 7 > 1 49 ( ) 1 (x+1)x > ( 1 ) 2 7 7 (x + 1)x < 2 x 2 + x 2 < 0 2 < x < 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: a f(x) > a g(x), a > 0, a 1 Soluzione: se a > 1, f(x) > g(x) se a < 1, f(x) < g(x) ( ( 1 ) x+1 ) x 7 > 1 49 ( ) 1 (x+1)x > ( 1 ) 2 7 7 (x + 1)x < 2 x 2 + x 2 < 0 2 < x < 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: a f(x) > a g(x), a > 0, a 1 Soluzione: se a > 1, f(x) > g(x) se a < 1, f(x) < g(x) ( ( 1 ) x+1 ) x 7 > 1 49 ( ) 1 (x+1)x > ( 1 ) 2 7 7 (x + 1)x < 2 x 2 + x 2 < 0 2 < x < 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 16 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: f(a x ) > c Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) > c 4 x 2 2 x 3 0 2 2x 2 2 x 3 0 sostituzione t = 2 x t 2 2t 3 0 1 t 3 1 2 x 3 x log 2 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: f(a x ) > c Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) > c 4 x 2 2 x 3 0 2 2x 2 2 x 3 0 sostituzione t = 2 x t 2 2t 3 0 1 t 3 1 2 x 3 x log 2 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Disequazioni esponenziali Tipo: f(a x ) > c Soluzione: porre a x = t, quindi risolvere f(t) > c 4 x 2 2 x 3 0 2 2x 2 2 x 3 0 sostituzione t = 2 x t 2 2t 3 0 1 t 3 1 2 x 3 x log 2 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 17 / 25
Equazioni logaritmiche Tipo: log a f(x) = b con a > 0, a 1 e b R Soluzione: quando f(x) > 0, f(x) = a b Attenzione È sempre necessario determinare il dominio di esistenza, dato che log è definita solo quando il suo argomento è strettamente positivo 2+log 2 x = log 2 7 D = (0,+ ) log 2 x x = log 2 7 2 = 2 log 2 7 2 x = 7 4 (valido, perchè D) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche Tipo: log a f(x) = b con a > 0, a 1 e b R Soluzione: quando f(x) > 0, f(x) = a b Attenzione È sempre necessario determinare il dominio di esistenza, dato che log è definita solo quando il suo argomento è strettamente positivo 2+log 2 x = log 2 7 D = (0,+ ) log 2 x x = log 2 7 2 = 2 log 2 7 2 x = 7 4 (valido, perchè D) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche Tipo: log a f(x) = b con a > 0, a 1 e b R Soluzione: quando f(x) > 0, f(x) = a b Attenzione È sempre necessario determinare il dominio di esistenza, dato che log è definita solo quando il suo argomento è strettamente positivo 2+log 2 x = log 2 7 D = (0,+ ) log 2 x x = log 2 7 2 = 2 log 2 7 2 x = 7 4 (valido, perchè D) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 18 / 25
Equazioni logaritmiche I log 4 (x + 6)+log 4 x = 2 D = (0,+ ) log 4 (x 2 + 6x) = 2 x 2 + 6x 16 = 0 { 8 (non valida) x = 2 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 19 / 25
Equazioni logaritmiche II Tipo: log a f(x) = log a g(x) Soluzione: quando f(x) > 0 e g(x) > 0, f(x) = g(x) log 2 x + log 1(x 1) = 3 D = (1,+ ) 2 log 2 x = log 2 (x 1)+3 2 log 2 x = 2 log 2 (x 1)+3 x = (x 1)2 3 x = 8x 8 7x = 8 x = 8 7 (ok) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 20 / 25
Equazioni logaritmiche II Tipo: log a f(x) = log a g(x) Soluzione: quando f(x) > 0 e g(x) > 0, f(x) = g(x) log 2 x + log 1(x 1) = 3 D = (1,+ ) 2 log 2 x = log 2 (x 1)+3 2 log 2 x = 2 log 2 (x 1)+3 x = (x 1)2 3 x = 8x 8 7x = 8 x = 8 7 (ok) Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 20 / 25
Equazioni logaritmiche II Example log 2 (x + 1) = log 4 (2x + 5) D = ( 1,+ ) log 2 (x + 1) = log 2 (2x + 5) log 2 4 log 2 (x + 1) = 1 2 log 2 (2x + 5) log 2 (x + 1) = log 2 (2x + 5) 1 2 x + 1 = 2x + 5 x 2 + 2x + 1 = 2x + 5 x 2 4 = { 0 2 (non valida) x = 2 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 21 / 25
Equazioni logaritmiche III Tipo: f(log a x) = 0 Soluzioneution: porre log a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 log 2 2 x 2 log 2 x 3 = 0 D = (0,+ ) log 2 2 x 2 log 2 x 3 = 0 sostituzione t = log 2 x t 2 2t 3 = 0 (t 3)(t + 1) = 0 t = 1 o 3 log 2 x = 1 o 3 x = 1/2 o x = 8 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 22 / 25
Equazioni logaritmiche III Tipo: f(log a x) = 0 Soluzioneution: porre log a x = t, quindi risolvere f(t) = 0 log 2 2 x 2 log 2 x 3 = 0 D = (0,+ ) log 2 2 x 2 log 2 x 3 = 0 sostituzione t = log 2 x t 2 2t 3 = 0 (t 3)(t + 1) = 0 t = 1 o 3 log 2 x = 1 o 3 x = 1/2 o x = 8 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 22 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I Tipo: log a f(x) > log a g(x) Soluzione: se a > 1, if a < 1, f(x) > g(x); f(x) < g(x) log 2 x log 2 3 < log 2 (x + 2) x log 2 3 < log 2 (x + 2) x 3 < x + 2 x > 3 D = (0,+ ) e tenendo conto del dominio, la soluzione è x > 0 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 23 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I Tipo: log a f(x) > log a g(x) Soluzione: se a > 1, if a < 1, f(x) > g(x); f(x) < g(x) log 2 x log 2 3 < log 2 (x + 2) x log 2 3 < log 2 (x + 2) x 3 < x + 2 x > 3 D = (0,+ ) e tenendo conto del dominio, la soluzione è x > 0 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 23 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I log 2 (x 2 + 1) > log 2 (2x + 4) D = ( 2,+ ) log 2 (x 2 + 1) > log 2 (2x + 4) x 2 + 1 > 2x + 4 x 2 2x 3 > 0 (x 3)(x + 1) > 0 x < 1 o x > 3 e tenendo conto del dominio, la soluzione è 2 < x < 1 or x > 3 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 24 / 25
Disequazioni logaritmiche II Tipo: f(log x) > c Soluzione: porre log x = t, quindi risolvere f(t) > c Example log 3 2 x 2 log 2 x > 0 D = (0,+ ) log 3 2 x 2 log 2 x > 0 sostituzione t = log 2 x t 3 2t > 0 t(t 2 2) > 0 t > 2 o 2 < t < 0 x > 2 2 o 2 2 < x < 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 25 / 25
Disequazioni logaritmiche II Tipo: f(log x) > c Soluzione: porre log x = t, quindi risolvere f(t) > c Example log 3 2 x 2 log 2 x > 0 D = (0,+ ) log 3 2 x 2 log 2 x > 0 sostituzione t = log 2 x t 3 2t > 0 t(t 2 2) > 0 t > 2 o 2 < t < 0 x > 2 2 o 2 2 < x < 1 Corso di accompagnamento Esponenziali e logaritmi Lezione 4 25 / 25