apitolo 4 La teoria della scelta del consumatore Soluzioni delle Domande di ripasso 1. er ogni punto sulla linea di bilancio, se il consumatore ha utilità marginali positive per tutti i beni, potrebbe aumentare la sua utilità consumando un qualche paniere al di sopra della linea di bilancio. Tuttavia, i panieri al di sopra della linea di bilancio non possono essere acquistati dal consumatore, sicché egli è vincolato (come nell ottimizzazione vincolata ) a scegliere il paniere preferito fra quelli che giacciono sulla linea di bilancio. 2. Un aumento di reddito sposta verso l esterno e in modo parallelo la linea di bilancio ampliando l insieme dei panieri possibili fra cui il consumatore può scegliere Una diminuzione di reddito sposta la linea di bilancio verso l origine e in modo parallelo, riducendo l insieme dei panieri possibili fra cui il consumatore può scegliere. 3. Se il prezzo di un bene aumenta, la linea di bilancio ruota verso l interno sull asse del bene il cui prezzo è aumentato. Sull altro asse la linea di bilancio continuerà ad avere la stessa intercetta. d esempio, si supponga che qualcuno compri due beni, tazze di caffè e ciambelle, e che il prezzo di una tazza di caffè aumenti. llora la linea di bilancio ruota come nel seguente grafico: iambelle LB 2 LB 1 affè 4. Nel caso di un ottimo interno il consumatore sceglie un paniere che contiene quantità positive di tutti i beni, mentre nel caso di un ottimo d angolo il consumatore sceglie un paniere con quantità nulle per uno o più beni. In genere, per le soluzioni d angolo non vale la condizione di tangenza. 5. Se l ottimo è interno, la pendenza della linea di bilancio deve essere uguale alla pendenza della curva di indifferenza. Se in corrispondenza del paniere interno scelto tali pendenze opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-1
non sono uguali allora la condizione di uguaglianza delle utilità marginali per dollaro non vale. Questa condizione afferma che, in corrispondenza dell ottimo, l utilità marginale derivante dall ultimo dollaro speso per il bene x deve essere uguale all utilità marginale derivante dall ultimo dollaro speso per il bene y. Se in corrispondenza del paniere scelto questa condizione non fosse soddisfatta, allora il consumatore potrebbe riallocare il suo reddito in modo da acquistare una quantità maggiore del bene con la utilità marginale per dollaro più alta e aumentare la sua utilità totale rispettando il vincolo di bilancio. Dunque, posto che la soluzione sia interna, se queste le pendenze della linea di bilancio e della curva di indifferenza non sono uguali il paniere scelto non può essere quello ottimo. 6. In corrispondenza di un ottimo interno, la pendenza della linea di bilancio deve essere uguale alla pendenza della curva di indifferenza. iò implica: x x MRS x, y = = y y Questa relazione può essere riscritta come x y =, x y cioè come uguaglianza tra le utilità marginali per dollaro. Se in corrispondenza del paniere interno scelto questa condizione non vale, allora il consumatore può aumentare la sua utilità totale riallocando la spesa e acquistando una maggiore quantità del bene con la utilità marginale per dollaro più alta e una minore quantità dell altro bene. 7. La condizione di uguaglianza delle utilità marginali per dollaro non vale in corrispondenza di una soluzione d angolo. Teoricamente, il consumatore potrebbe aumentare l utilità totale riallocando la spesa, cioè acquistando una maggiore quantità del bene con la utilità marginale per dollaro più alta e una minore quantità dell altro bene. Tuttavia, dato che il paniere è un punto d angolo, egli non sta acquistando uno dei beni. iò implica che il consumatore non può acquistare una minore quantità di tale bene (dato che le quantità negative non hanno senso) e quindi non può riallocare la sua spesa. 8. Nel problema di massimizzazione dell utilità, il consumatore massimizza la sua utilità sotto il vincolo di bilancio. In corrispondenza dell ottimo la pendenza della linea di bilancio è uguale alla pendenza della curva di indifferenza. Se teniamo fissa la curva di indifferenza, possiamo risolvere un problema di minimizzazione della spesa nel quale ci chiediamo quale sia la spesa minima necessaria a raggiungere un dato livello di utilità. Dato che la pendenza della linea di bilancio e la curva di indifferenza non cambiano, minimizzando la spesa, la linea di bilancio e la curva di indifferenza saranno tangenti in corrispondenza dello stesso punto individuato risolvendo il problema di massimizzazione dell utilità. Il paniere ottimo è lo stesso in entrambi i problemi. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-2
9. I consumatori tipicamente acquistano numerosi beni e servizi. Tuttavia, gli economisti desiderano spesso concentrare l attenzione sulla scelta di un particolare bene o servizio. In questo caso è utile presentare il problema della scelta del consumatore in un grafico bidimensionale. Tuttavia, dato che il consumatore acquista più di due beni, l economista avrebbe bisogno di più di due dimensioni per presentare graficamente il problema. l fine di ricondurre il problema ad uno spazio bidimensionale, spesso gli economisti raggruppano le spese per tutti i beni diversi da quello in questione in un singolo bene detto bene composito. Nel rappresentare graficamente il problema, uno degli assi rappresenta il bene composito mentre l altro rappresenta il bene oggetto d analisi. ttraverso il bene composito, il problema può essere illustrato usando un grafico bidimensionale. 10. ttraverso l analisi delle preferenze rivelate, si possono trarre conclusioni circa le preferenze del consumatore senza conoscerne la mappa di indifferenza. er esempio, se il consumatore sceglie il paniere anziché il paniere B quando il paniere B costa almeno quanto il paniere, sappiamo che il paniere è preferito almeno quanto il paniere B. Se il consumatore sceglie il paniere, più costoso del paniere D, allora sappiamo che il consumatore preferisce strettamente il paniere al paniere D. Osservando un numero sufficiente di queste scelte, si può stabilire come il consumatore ordina i panieri pur non conoscendo l esatta forma della sua mappa di indifferenza. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-3
Soluzioni dei roblemi 4.1 a) Si veda la figura. 30 25 bbigliamento 20 15 10 5 0 Ottimo in F=6, =3. 0 5 10 15 20 25 30 35 ibo b) La condizione di tangenza richiede che F = F Sostituendo le informazioni date si ha 1 = F 2 2 = F Sostituendo questo risultato nella linea di bilancio, F + 2 = 12, si ottiene 2 + 2 = 12 4 = 12 = 3 Infine, la sostituzione di questo risultato nella condizione di tangenza implica F = 6. In corrispondenza dell ottimo Giulia sceglie 6 unità di cibo e 3 unità di abbigliamento. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-4
c) In corrispondenza dell ottimo, MRS F, = / F = 3/ 6 = 1/ 2. Si noti che ciò equivale al rapporto tra il prezzo del cibo e il prezzo dell abbigliamento. iò si può vedere nel grafico di cui sopra come tangenza tra la linea di bilancio e la curva di indifferenza corrispondente a U = 18. d) Se Giulia acquista 4 unità di cibo e 4 unità di abbigliamento, allora F F 4 = = 4 > 1 4 = = 2. 2 iò implica che Giulia potrebbe riallocare la spesa acquistando più cibo e meno abbigliamento e aumentare così la sua utilità totale. Infatti, in corrispondenza del paniere (4, 4) l utilità totale è 16 e Giulia spende $12. Rinunciando ad una unità di abbigliamento Giulia risparmia $2 che possono essere usati per acquistare due unità di cibo (ciascuna delle quali costa $1). iò si risolve in un nuovo paniere (6,3), un utilità totale di 18, e una spesa di $12. Riallocando la spesa a favore del bene con la più alta utilità marginale per dollaro, Giulia aumenta l utilità totale, continuando a soddisfare il vincolo di bilancio. 4.2 Questo problema non può essere risolto usando la consueta condizione di tangenza. Tuttavia, come si può vedere dal grafico il paniere ottimo giace necessariamente sul gomito di una qualche curva di indifferenza, come (5, 3), (10, 6), ecc. Se il consumatore si trovasse in corrispondenza di qualche altro paniere, potrebbe sempre spostarsi in uno di questi punti, lasciando invariata la sua utilità e riducendo la sua spesa. L equazione di tutti questi gomiti é 3x = 5y, ossia y = 0,6x. Quindi il punto di ottimo deve essere tale che 3x = 5y. Ovviamente il consueto vincolo di bilancio deve essere soddisfatto. ioè, 5 x + 10y = 220. ombinando queste due condizioni, otteniamo (x, y) = (20, 12). y (20,12) (5,3) (10,6) x opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-5
4.3 Si tratta di confrontare e H H B B, dove gli apici H and B si riferiscono, rispettivamente, ad hamburger e bottiglie di birra. bbiamo tutte le informazioni necessarie ad effettuare questo confronto ad eccezione del prezzo degli hamburger. Tuttavia possiamo ricavarlo dal vincolo di bilancio di Renato: da cui H = $4. H H + B B = Reddito, ossia H ( 15 ) + 2( 20) = 100. Quindi H H = 8 4 = 2 e = 6 2 = 3 B B. Dato che l utilità marginale per dollaro è più alta per le bottiglie di birra che per gli hamburger, Renato dovrebbe acquistare meno hamburger (e più bottiglie di birra). 4.4 Si veda il grafico. Il fatto che le curve di indifferenza di Elena tocchino gli assi dovrebbe immediatamente indurre a verificare l esistenza di una soluzione d angolo. er trovare questa soluzione algebricamente, si noti che se vi fosse una soluzione interna, la condizione di tangenza implicherebbe ( + 10)/( +10) = 3, ossia = 3 + 20. ombinando questa relazione con il vincolo di bilancio, cioè 9 + 3 = 30, troviamo che il numero ottimo di D sarebbe la soluzione di 18 = 30, il che implica un numero di D negativo. Dato che è impossibile acquistare una quantità negativa, l ipotesi dell esistenza di una soluzione interna deve essere falsa. Infatti, l ottimo si caratterizza per = 0 e Elena spenderà tutto il suo reddito in panini: = 10. Graficamente, la soluzione d angolo si riflette nel fatto che la linea di bilancio è più ripida della curva di indifferenza, anche quando = 0. In particolare, si noti che, in corrispondenza di (, ) = (0, 10) abbiamo / = 3 > MRS, = 2. Quindi, in corrispondenza del punto d angolo, l utilità marginale per dollaro speso in D è minore di quella relativa ai panini. Tuttavia, dato che Elena si trova già nel punto d angolo con = 0, non può rinunciare ad altri D. Quindi, il meglio che Elena può fare è spendere tutto il suo reddito in panini (, ) = (0, 10). [Nota: Nell altra soluzione d angolo, cioè quella con = 0 and = 3,3, / = 3 > MRS, = 0,75. Quindi Elena preferirebbe comprare più panini e meno D, il che è sicuramente possibile. Quindi l angolo con = 0 non può essere un ottimo.] opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-6
4.5 a) ome detto, Giulia consuma F=10 e =2 con un reddito di 24. Inizialmente (con F = = 2) spende tutto il suo reddito: F F+ = 2(10) + 2(2) = 24. er comprare il suo paniere iniziale ai nuovi prezzi avrebbe bisogno di spendere solo F F+ = 1(10) + 4(2) = 18. Dunque, il suo paniere iniziale giace all interno del nuovo vincolo di bilancio (assumendo che il suo reddito rimanga uguale a 24). Data la nuova linea di bilancio è in grado di scegliere un nuovo paniere a Nord-Est (cioè, un paniere che implica più cibo e più abbigliamento) del suo paniere iniziale, migliorando il suo benessere. 4.6 1 ( 2 ) a) MRS, F = = = F 1 2 F F Questa funzione di utilità ha un saggio marginale di sostituzione decrescente in quanto MRS, F si riduce all aumentare di e al ridursi di F. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-7
b) 40 35 30 U 2 F 25 20 15 10 U 1 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Dato che è possibile avere U > 0 sia se = 0 (e F > 0) che se F = 0 (e > 0), le curve di indifferenza intersecano entrambi gli assi. c) er la condizione di tangenza sappiamo che F 2 = 1 F = 4 Sostituendo nella linea di bilancio, cioè 2 + F = 24, si ottiene 2 + 4 = 24 = 4 Infine, sostituendo questo risultato nella condizione di tangenza si ha F = 4 ( 4) = 16. In corrispondenza dell ottimo il consumatore sceglierà 4 panini e 16 frullati. iò si può vedere nel grafico di cui sopra. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-8
4.7 Bene omposito LB 1 B LB 2 20 Birra Si supponga che inizialmente lo studente si trovi in corrispondenza di un ottimo interno, il punto. Si denoti il prezzo iniziale della birra con e il reddito dello studente con M. Il punto consiste di R = 20 unità di birra e Y = M 20 unità di bene composito. L effetto della proposta è quello di far ruotare la linea di bilancio verso l esterno (per la variazione di prezzo) e poi farla spostare verso l interno (per la tassa forfetaria), con un movimento complessivo da LB 1 a LB 2. Si noti che LB 2 interseca LB 1 esattamente nel punto : con la proposta in vigore, (R, Y ) costa allo studente 20( 0,5) + M 20 = M 10, che è uguale al suo reddito al netto della tassa. oiché inizialmente è ottimale, in corrispondenza di tale punto MRS R,Y =. Inoltre il rapporto fra i prezzi lungo LB 2 è ( 0,5). Quindi MRS R,Y > R / Y, e perciò lo studente può aumentare la sua utilità acquistando più birra e meno bene composito, come nel punto B illustrato nel grafico di cui sopra. Quindi, la proposta migliorerebbe il benessere dello studente. 4.8 La linea di bilancio iniziale di aolo è la retta, che gli consente di acquistare al massimo 50 hamburger o al massimo 100 pizze. Il buono di $60 sposta verso l esterno il suo vincolo di bilancio senza modificare il numero massimo di hamburger che può comprare. Il nuovo vincolo di bilancio è BD e aolo può ora compare un massimo di 120 pizze. Hamburger 60 55 50 B D 20 100 120 izze opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-9
Inizialmente, il paniere ottimale di aolo contiene tutti hamburger e nessuna pizza e corrisponde al punto, nel quale (, H) = (0, 50), perchè H / H = 4/6 > / = 1/3. Il suo livello di utilità in è U(0, 50) = 200. Quando ottiene il buono in regalo, il paniere ottimale di aolo è il punto B, in corrispondenza del quale spende tutto il suo reddito normale in hamburger e il buono di $60 in pizza. Quindi il punto B è quello nel quale (, H) = (20, 50) con un utilità di U(20, 50) = 220. Tuttavia, aolo potrebbe raggiungere un utilità di 220 anche consumando 220/4 = 55 hamburger. er comprare i 5 hamburger in più sarebbero necessari 5*6 = $30. Quindi, se aolo avesse ricevuto in regalo $30 in contanti, ciò gli avrebbe consentito di ottenere esattamente la stessa soddisfazione che gli deriva dal buono di $60 spendibile in pizza. 4.9 La funzione di utilità implica che MRS 1,2 = 2 / 1. Nel punto, MRS 1,2 = 1,10, che è compreso tra (1 + r L ) = 1,05 e (1 + r B ) = 1,12. Quindi Marta non prenderà a prestito né presterà e semplicemente spenderà tutto il suo reddito ogni mese. Se il tasso debitore scende all 8%, allora la parte bassa della linea di bilancio ruota verso l esterno, come illustrato nel grafico sotto. Quindi nel punto, MRS 1,2 > (1+ r B ) > (1 + r L ) dato che 1,10 > 1,08 > 1,05. Ne segue che Marta può aumentare la sua utilità spostandosi dal punto ad un punto come B, dove prende a prestito, spende più del suo reddito questo mese ( 1 > 2000) e meno del suo reddito il mese prossimo ( 2 < 2200). 2 2200+2000(1,05) endenza = -1,05 2200 B endenza = -1,08 2000 2000+2200/1,08 1 opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-10
4.10 32 Y 16 12 6 R U U LB ontanti B U B S LB Buoni limentari LB Senza Sussidio 3 8 a) = e = Y, quindi MRS,Y = Y/, che diminuisce all aumentare di lungo una curva di indifferenza. Dato che le curve di indifferenza non intersecano gli assi, il paniere ottimale è interno. In corrispondenza di tale ottimo devono essere soddisfatte due condizioni: (1) tangenza: MRS,Y = / Y, ossia Y = 2, e (2) la linea di bilancio ( LB Senza sussidio nel grafico): 2 + Y = 12. Quindi = 3 and Y = 6. Nel grafico, tale ottimo è rappresentato come punto. b) bbiamo bisogno di trovare un ottimo interno con = 8. ll aumentare del reddito, Samantha sceglie un paniere lungo la curva reddito-consumo, che consiste dei punti di tangenza Y = 2. Quindi Y = 2(8) = 16. La spesa totale sarà dunque 2 + Y = 2(8) + 16 = 32. Quindi Samantha ha bisogno di un reddito di 32 ( LB ontanti nel grafico). Dato che Samantha ha un reddito di 12, ha bisogno di un reddito addizionale di 20 (=32 12). er cui il sussidio necessario è 20. Nel grafico, tale ottimo è rappresentato come punto B. c) Dal punto (b) sappiamo che, senza alcuna restrizione sulle modalità di spesa del sussidio governativo, Samantha vorrebbe acquistare 16 unità di Y, che è più di quanto le consentirebbe il suo bilancio (senza sussidio). Quindi ci aspettiamo che usi i buoni alimentari per acquistare le 8 unità di cibo previste e spenda tutto il suo reddito (12) in Y. In altre parole, Samantha sarà nel punto del grafico, nello spigolo del vincolo di bilancio RS (denominato LB Buoni limentari ). ossiamo verificare che ( = 8, Y = 12) è la scelta ottima guardando alle utilità marginali per dollaro nel punto. /prezzo del cibo = Y/2 = 12/2 = 6. Y /prezzo di Y = /1 = 8. Quindi Samantha vorrebbe sostituire con Y, ma non può farlo perchè in corrispondenza del paniere acquista tutta la quantità del bene composito che può acquistare dato il suo vincolo di bilancio. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-11
4.11 Si denoti con E il punto di intersezione tra la LB 1 e la LB 3, e con F il punto di intersezione tra la LB 2 e la LB 3 (si veda la figura sotto). E G LB 3 B LB 1 F LB 2 Innanzitutto, ogni punto a Nord-Ovest di E, incluso E, appartiene all insieme di bilancio del consumatore quando egli si trova a fronteggiare il vincolo LB 1. Il fatto che egli scelga piuttosto che tali punti implica che è debolmente preferito a E e strettamente preferito ai punti a Nord-Ovest di E. Inoltre, il punto G giace sulla LB 3 e si trova più in alto e a destra di, quindi G f. er la proprietà transitiva G è strettamente preferito a E e a tutti i punti sulla LB 3 a Nord-Ovest di E. nalogamente, è più in alto e a destra di B quindi f B. Dato che B è debolmente preferito a qualunque punto sulla LB 2, incluso F, per la proprietà transitiva sappiamo che è strettamente preferito a F e a tutti i punti sulla LB 3 più in basso e a destra di F. E dato che G f, sappiamo che anche G è strettamente preferito a tali punti. Quindi il consumatore sceglierebbe qualunque punto tra E e F sulla LB 3, ad eccezione di E e F stessi. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-12
4.12 ltri beni Elettricità on questo insieme di curve di indifferenza, la tangenza si verifica nella parte della linea di bilancio su cui lo sconto di quantità non ha avuto effetto. Quindi il consumatore non ha alcun beneficio dallo sconto di quantità. 4.14 Dalla LB 1 deduciamo che è debolmente preferito a S, e che S è strettamente preferito a ; per la transitività, concludiamo che è strettamente preferito a. Y LB 2 B LB 3 R LB 1 S X Dalla LB 3 deduciamo che è debolmente preferito a R, che è strettamente preferito ad ; per la transitività concludiamo che è strettamente preferito ad. Non può essere contemporaneamente vero che è strettamente preferito a e che è strettamente preferito ad, perchè ciò implicherebbe che è strettamente preferito a se stesso. O le preferenze sono intransitive, o aterina non massimizza la sua utilità in nessun dei tre mesi. opyright 2009 The McGraw-Hill ompanies srl apitolo 4-13