Ripasso Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli Triangoli e criteri di congruenza TRINGOLI lassificazione rispetto ai lati Un triangolo si dice: isoscele se ha due lati congruenti; equilatero se ha i tre lati congruenti; scaleno se i lati sono a due a due non congruenti. triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno lassificazione rispetto agli angoli Un triangolo si dice: acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti; ottusangolo se ha un angolo ottuso; rettangolo se ha un angolo retto. triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo Segmenti notevoli ltezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto a quel lato incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti. isettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della isettrice dell angolo avente quel vertice che appartengono al triangolo. Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto a quel lato con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a isettrice uscente da mediana relativa a H L M RITERIO DI ONGRUENZ ROLE IN SIMOLI I criterio di congruenza II criterio di congruenza III criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati el angolo tra di essi compreso. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli a essi adiacenti. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. ffi 0 0, ffi 0 0, ffi 0 0 0 ) ffi 0 0 0 ffi 0 0, ffi 0 0 0, ffi 0 0 0 ) ffi 0 0 0 ffi 0 0, ffi 0 0, ffi 0 0 ) ffi 0 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 1/8
Ripasso Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli ttenzione! Negli enunciati dei tre criteri di congruenza è essenziale l avverio ordinatamente. Esso indica che i lati congruenti devono essere opposti ad angoli congruenti e gli angoli congruenti a lati congruenti. roprietà dei triangoli isosceli TEOREMI ROLE TEOREMI IN SIMOLI In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli angoli adiacenti alla ase sono congruenti. Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha come ase il lato adiacente agli angoli congruenti. In un triangolo isoscele, l altezza relativa alla ase è anche mediana e isettrice. H H altezza H H H H Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo TEOREM ROLE IN SIMOLI Teorema dell angolo esterno Relazioni fra gli angoli e i lati di un triangolo Disuguaglianza triangolare Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti. Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non sono congruenti e al lato maggiore sta opposto l angolo maggiore. nalogamente, se in un triangolo due angoli non sono congruenti, allora anche i lati opposti non sono congruenti e all angolo maggiore sta opposto il lato maggiore. Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (la differenza, naturalmente, va effettuata sottraendo dal lato maggiore il lato minore). c c a a γ γ > > >¼) a > a > ¼) > c < a < þ c a c < < a þ c a < c < a þ La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 2/8
Scheda per il recupero Verifica delle conoscenze ongruenza nei triangoli Vero o falso? 1 un triangolo è l intersezione di tre semipiani V F 2 ogni triangolo è convesso V F 3 ogni triangolo scaleno è ottusangolo V F 4 ogni triangolo isoscele è acutangolo V F 5 ogni triangolo equilatero è anche isoscele V F 6 ogni triangolo isoscele è anche equilatero V F 7 due triangoli equilateri con un lato rispettivamente congruente sono congruenti V F 8 due triangoli rettangoli isosceli con le ipotenuse congruenti sono sempre congruenti V F 9 due triangoli con due angoli rispettivamente congruenti sono sempre congruenti V F 10 due triangoli rettangoli isosceli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti V F 11 due triangoli rettangoli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti V F 12 due triangoli rettangoli con i due cateti rispettivamente congruenti sono sempre congruenti V F Test 13 Nei triangoli e 0 0 0, nella figura qui sotto, gli elementi contrassegnati con lo stesso simolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? I due triangoli sono congruenti in ase al primo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in ase al secondo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in ase al terzo criterio di congruenza D I due triangoli possono non essere congruenti ' ' ' 14 Nei triangoli e 0 0 0, nella figura qui sotto, gli elementi contrassegnati con lo stesso simolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? I due triangoli sono congruenti in ase al primo criterio di congruenza ' ' I due triangoli sono congruenti in ase al secondo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in ase al terzo criterio di congruenza D I due triangoli possono non essere congruenti 15 ffinché due triangoli siano congruenti, avere un lato e gli angoli a esso adiacenti ordinatamente congruenti è una condizione: necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente D né necessaria né sufficiente ffinché due triangoli siano congruenti, avere gli angoli ordinatamente congruenti è una condizione: necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente D né necessaria né sufficiente 17 ffinché due triangoli siano congruenti, avere i lati ordinatamente congruenti è una condizione: necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente D né necessaria né sufficiente ' La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 3/8
Esercizi guidati Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli Negli esercizi 1-2-3, fai riferimento al seguente teorema: «sia un triangolo; prolunga, dalla parte di, di un segmento D congruente a ; prolunga, dalla parte di, di un segmento congruente ad. Dimostra che ffi D e ffi D». 1 Individua l ipotesi e la tesi del teorema e contrassegna nella figura con uno stesso simolo gli elementi che sono congruenti per ipotesi: D IOTESI:... TESI:... 2 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette. a. Nei due triangoli D e, per quale ragione risulta ffi... e D ffi...? er ipotesi erché somme di segmenti congruenti erché elementi corrispondenti in triangoli congruenti. Nei due triangoli D e, per quale ragione risulta D ffi? er ipotesi erché opposti al vertice erché elementi corrispondenti in triangoli congruenti c. In ase a quale criterio i due triangoli D e sono congruenti? rimo criterio di congruenza d. Dal punto c. segue che D ffi... er quale ragione? er ipotesi er i criteri di congruenza dei triangoli erché elementi corrispondenti in triangoli congruenti e. In ase a quale criterio i due triangoli e D sono congruenti? rimo criterio di congruenza f. Dal punto e. segue che ffi... er quale ragione? er ipotesi er i criteri di congruenza dei triangoli erché elementi corrispondenti in triangoli congruenti 3 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema di cui nell esercizio 1 hai espresso ipotesi e tesi, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. Negli esercizi 4-5-6, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura qui sotto, l ipotesi e la tesi qui di seguito. IOTESI: TESI: M ffi M, M ffi D, ffi e M ffi D M ffi D 4 ompleta il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all ipotesi e alla tesi indicate. «Dato un triangolo,... sulla ase, sia M la... Un triangolo D è tale che è la isettrice di... e... Dimostra che...». M D La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 4/8
Esercizi guidati Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli 5 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta la risposta corretta. a. In ase a quale criterio i triangoli M e M sono congruenti? rimo criterio di congruenza roprietà transitiva della congruenza. In ase a quale criterio i triangoli M e D sono congruenti? rimo criterio di congruenza roprietà transitiva della congruenza c. Da a. e. segue che il triangolo M è congruente al triangolo D. er quale ragione? rimo criterio di congruenza roprietà transitiva della congruenza d. Dal punto c. segue che M ffi :::::::::: er quale ragione? er ipotesi er i criteri di congruenza dei triangoli erché elementi corrispondenti in triangoli congruenti 6 Riscrivi la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 4 in forma discorsiva, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. 7 Fai riferimento alla figura qui a fianco ( è un punto interno al triangolo ). a. rolunga e indica con Q il suo punto d intersezione con il lato.. In ase al teorema dell angolo esterno, puoi affermare che > Q. quale triangolo è stato applicato il teorema? Q Q Q c. In ase al teorema dell angolo esterno applicato al triangolo Q, puoi dire che: Q >... e Q >... d. In ase a quanto dimostrato in. e c., che cosa puoi concludere a proposito degli angoli e?... Negli esercizi 8-9, fai riferimento al seguente teorema: «Sia 0 un quadrilatero in cui ffi 0 e ffi 0. Dimostra che l angolo esterno di vertice è maggiore di ciascuno dei due angoli in cui la diagonale divide l angolo 0». 8 In riferimento alla figura qui a fianco, riscrivi in simoli l ipotesi e la tesi del teorema. IOTESI:... e... TESI:... e... γ 9 ompleta la seguente dimostrazione guidata del teorema. a. In ase al teorema... applicato al triangolo... puoi dire che: >.... I due triangoli e 0 sono... per il... criterio di congruenza; in particolare:... ffi quindi è anche: >... ' La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 5/8
Esercizi guidati Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli Negli esercizi 10-11, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura sotto, l ipotesi e la tesi riportate di seguito. IOTESI: TESI: < < þ 10 ompleta il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all ipotesi e alla tesi indicate. «Sia un triangolo e un punto... al triangolo; dimostra che, se..., allora il segmento è minore della somma delle... di da...». 11 ompleta la seguente dimostrazione guidata del teorema. a. Dall ipotesi <, puoi dedurre che: <.... er la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo, puoi dedurre che: <... c. onfrontando le due disuguaglianze, ottieni che: <... <... e quindi... 12 ompleta la seguente taella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema. assi Dato un angolo a O, conduci la isettrice r dell angolo. onsidera un punto su tale isettrice e traccia due semirette, aventi origine in, e giacenti in semipiani opposti rispetto alla isettrice, che formano con O angoli congruenti. Indica con Q e R, rispettivamente, i punti d intersezione di tali semirette con a e. Sia S un punto di O; dimostra che RS ffi QS. Figura Q a O S r Ipotesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Tesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: R Dimostrazione I due triangoli OQ e ::::::::::::::: hanno: O in comune :::::::::: ffi :::::::::: per ipotesi :::::::::: ffi :::::::::: per :::::::::: quindi sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::. In particolare, Q ffi ::::::::::. I due triangoli QS e ::::::::::::::: hanno: S in comune :::::::::: ffi :::::::::: per ipotesi Q ffi :::::::::: per la precedente dimostrazione ertanto sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; in particolare RS ffi ::::::::::. La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 6/8
Esercizi guidati Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli 13 ompleta la seguente taella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema. assi Figura In un triangolo, isoscele sulla ase, traccia le mediane M e N. Indica con il loro punto d intersezione e dimostra che il triangolo è isoscele sulla ase. N M Ipotesi ffi :::::::::: N ffi :::::::::: M ffi :::::::::: fg ¼ M \ :::::::::: Tesi ffi :::::::::: Dimostrazione I due triangoli N e M hanno: N ffi M in quanto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: in comune ffi perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ertanto i due triangoli sono :::::::::::::::::::: per il :::::::::::::::::::::::::. In particolare M ffi ::::::::::::::: Da quanto appena dimostrato, segue che ffi :::::::::::::::, quindi il triangolo è :::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. Scheda D Esercizi da svolgere 1 Dato un triangolo, sia la isettrice di. Siano Q e R, rispettivamente, i punti appartenenti ad ead, tali che Q ffi R. Dimostra che Q ffi R. 2 Dato un triangolo, isoscele sulla ase, prolunga, dalla parte di, di un segmento E, e, dalla parte di, di un segmento D, in modo che D ffi E. Dimostra che D ffi E. 3 Dato un triangolo, isoscele sulla ase, disegna, esternamente al triangolo, un triangolo D, isoscele sulla ase. onsidera un punto qualsiasi sul segmento D e dimostra che ffi. 4 Dimostra che il triangolo che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele è anch esso isoscele. 5 Sia un triangolo isoscele sulla ase. Sul prolungamento di dalla parte di considera un punto e sul prolungamento di dalla parte di un punto Q, in modo che ffi Q. Dimostra che Q ffi. 6 Sia un triangolo rettangolo di ipotenusa. rolunga il cateto, dalla parte di, di un segmento ffi e l ipotenusa, dalla parte di, di un segmento Q ffi. Dimostra che Q ffi Q. 7 Dimostra che, in due triangoli congruenti, le due isettrici relative a due angoli congruenti sono congruenti. 8 Sia un triangolo isoscele sulla ase. Indica con N e M, rispettivamente i punti medi di e. onsidera un punto sull altezza del triangolo relativa ad e dimostra che i due segmenti N e M sono congruenti. La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 7/8
D Esercizi da svolgere Scheda per il recupero ongruenza nei triangoli 9 In un triangolo, isoscele sulla ase, considera un punto su e un punto Q su, in modo che ffi Q. Detto R il punto d intersezione di ediq, dimostra, nell ordine che: a. il triangolo R è isoscele sulla ase ;. i triangoli R e R sono congruenti; c. la semiretta R è la isettrice di. 10 In un triangolo, isoscele sulla ase, traccia l altezza H. onsidera un qualsiasi punto su H e dimostra che ffi. 11 In riferimento alla figura qui sotto, rispondi alle seguenti domande. a. Qual è l ampiezza di?. Quale fra i tre lati del triangolo ha lunghezza minima? erché? c. Quale fra i tre lati del triangolo ha lunghezza massima? erché? 55 60 115 D 12 uò esistere un triangolo i cui lati sono lunghi 10 cm, 12 cm e 15 cm? E un triangolo i cui lati sono lunghi 7 cm, 11 cm e 3 cm? Giustifica le tue risposte. 13 Sia un triangolo isoscele sulla ase e un punto interno a. Dimostra che >. 14 Sia D un quadrilatero convesso. Dimostra che ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri. (Suggerimento: traccia una delle due diagonali di D) La matematica a colori etrini f 2014 De gostini Scuola Sp Novara 8/8