Indice 1 Cinematica del punto... 1 1.1 Componenti intrinseche di velocità e accelerazione... 3 1.2 Moto piano in coordinate polari... 5 2 Cinematica del corpo rigido... 9 2.1 Configurazioni rigide...... 10 2.2 Angoli di Eulero..... 12 2.2.1 Angoli di Cardano... 16 2.2.2 Rotazioni intorno a un asse prefissato... 17 2.3 Velocità angolare..... 17 2.3.1 Formule di Poisson... 18 2.4 Caratterizzazione dei moti rigidi... 20 2.5 Moti rigidi..... 21 2.5.1 Moto traslatorio.... 22 2.5.2 Moto rototraslatorio... 23 2.5.3 Moto polare.... 27 2.6 Velocità angolare e rotazioni...... 28 2.7 Atto di moto rigido... 30 2.8 Teorema di Mozzi.... 33 2.8.1 Centro di istantanea rotazione.... 36 2.9 Campo spaziale delle accelerazioni...... 37 3 Cinematica relativa... 39 3.1 Derivata di un vettore rispetto a due osservatori...... 40 3.2 Teorema di Galileo... 41 3.3 Teorema di Coriolis... 42 3.4 Legge di composizione delle velocità angolari... 44 3.5 Velocità angolare e angoli di Eulero..... 46 4 Sistemi vincolati... 49 4.1 Esempi di sistemi vincolati... 49
viii Indice 4.1.1 Punto su una guida circolare fissa... 50 4.1.2 Asta con estremo vincolato su guida fissa..... 51 4.1.3 Due aste vincolate in un sistema biella-manovella.... 53 4.1.4 Punto vincolato su guida mobile.... 57 4.1.5 Vincolo unilatero... 59 4.2 Vincoli, spostamenti e velocità virtuali.... 61 4.3 Atti di moto e spostamenti rigidi virtuali... 62 4.4 Coordinate libere..... 64 4.5 Sistemi labili, iperstatici e isostatici..... 65 4.6 Vincoli bilateri olonomi.... 67 4.7 Vincoli di puro rotolamento e di contatto... 67 4.7.1 Disco che rotola senza strisciare.... 68 4.8 Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi... 71 4.9 Gradi di libertà...... 76 4.10 Spazio delle configurazioni... 77 4.11 Base e rulletta... 78 4.12 Esempi di problemi cinematici.... 81 5 Geometria delle masse... 87 5.1 Baricentro...... 88 5.2 Momenti di inerzia... 93 5.3 Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli..... 94 5.4 Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti... 97 5.4.1 Assi e momenti principali d inerzia..... 99 5.5 Ellissoide di inerzia.... 99 5.6 Ricerca degli assi principali... 101 5.7 Sistemi piani... 104 6 Forze, lavoro, potenziale... 109 6.1 Lavoro elementare.... 110 6.2 Lavoro lungo un cammino finito... 112 6.2.1 Lavoro e potenza... 112 6.2.2 Forze posizionali... 113 6.3 Forze conservative.... 114 6.3.1 Potenziali di forze conservative... 115 6.3.2 Energia potenziale... 116 6.4 Sistemi di forze...... 117 6.4.1 Risultante e momento risultante... 119 6.4.2 Invariante scalare, asse centrale e retta di applicazione del risultante..... 120 6.5 Sistemi particolari di forze... 122 6.6 Sistemi equivalenti e riduzione di un sistema di forze... 124 6.7 Lavoro di un sistema di forze...... 128 6.7.1 Lavoro di forze agenti su un corpo rigido..... 128 6.7.2 Lavoro di forze agenti su un sistema olonomo... 129
Indice ix 7 Leggi della Meccanica... 133 7.1 Principi della Meccanica... 134 7.1.1 Riferimenti inerziali....... 134 7.1.2 Equazione fondamentale della dinamica...... 134 7.1.3 Principio di azione e reazione.... 135 7.1.4 Principio di sovrapposizione delle forze...... 135 7.2 Determinismo meccanico.... 135 7.3 Sistemi di riferimento non inerziali...... 137 7.4 Postulato delle reazioni vincolari.... 138 7.5 La natura sperimentale delle forze... 139 7.5.1 Caratterizzazione dinamica delle reazioni vincolari... 140 7.6 Forze interne e esterne..... 142 7.7 Il punto di vista di Mach.... 143 8 Statica... 147 8.1 Legge di Coulomb-Morin.... 149 8.2 Equilibrio dei sistemi: Equazioni cardinali della statica...... 154 8.3 Principio dei lavori virtuali.... 155 8.4 Equilibrio di corpi rigidi... 158 8.5 Equilibrio di corpi rigidi vincolati....... 161 8.5.1 Corpo rigido con punto fisso..... 161 8.5.2 Corpo rigido con asse fisso...... 162 8.5.3 Corpo rigido girevole e scorrevole attorno a un asse... 164 8.5.4 Vincoli piani... 166 8.6 Corpo rigido appoggiato su un piano orizzontale liscio...... 169 8.7 Corpo rigido soggetto a vincoli scabri... 174 8.8 Statica dei sistemi olonomi... 176 8.8.1 Vincoli bilaterali.... 176 8.8.2 Vincoli unilateri.... 177 8.8.3 Teorema di stazionarietà del potenziale... 180 8.9 Equilibrio stabile in senso statico... 181 8.10 Tecnica dello svincolamento...... 185 8.10.1 Determinazione delle reazioni vincolari mediante il principio dei lavori virtuali...... 185 8.10.2 Svincolamento ed equazioni cardinali... 186 8.11 Diagrammi di biforcazione.... 190 8.12 Problemi di statica: alcuni esempi....... 192 9 Dinamica del punto materiale... 199 9.1 Moto su traiettoria prestabilita..... 201 9.2 Studio qualitativo del moto... 205 9.3 Moto sotto forze centrali.... 209 9.4 Leggi di Keplero. Legge di gravitazione universale.... 213
x Indice 10 Dinamica dei sistemi... 217 10.1 Quantità di moto..... 217 10.2 Momento delle quantità di moto... 218 10.2.1 Momento delle quantità di moto in un atto di moto rigido... 220 10.2.2 Derivata temporale del momento delle quantità di moto.... 223 10.3 Energia cinetica...... 225 10.3.1 Energia cinetica in un atto di moto rigido..... 226 10.3.2 Energia cinetica di un sistema olonomo... 228 10.4 Un esempio di calcolo di quantità meccaniche... 229 10.5 Equazioni cardinali della dinamica...... 233 10.6 Integrali primi del moto.... 236 10.7 Moto del baricentro.... 237 10.8 Teorema dell energia cinetica..... 240 11 Dinamica del corpo rigido... 249 11.1 Corpo rigido libero... 250 11.1.1 Equazioni di Eulero e angoli di Eulero... 254 11.2 Moti alla Poinsot..... 255 11.2.1 Rotazioni permanenti...... 257 11.2.2 Stabilità delle rotazioni permanenti..... 258 11.2.3 Moti alla Poinsot di un giroscopio...... 260 11.3 Corpo rigido vincolato..... 264 11.4 Corpo rigido con un punto fisso... 264 11.5 Corpo rigido con un asse fisso..... 269 11.6 Corpo rigido appoggiato.... 275 11.7 Moto di un disco su una guida rettilinea.... 277 11.7.1 Attrito volvente..... 281 12 Meccanica Relativa... 285 12.1 Statica relativa... 285 12.1.1 Forza centrifuga.... 287 12.1.2 Componenti conservative della forza di trascinamento..... 290 12.2 Forza peso..... 293 12.3 Dinamica relativa.... 295 12.3.1 Problema dei due corpi.... 295 12.3.2 Deviazione verso Oriente nella caduta dei gravi...... 298 12.4 Dinamica relativa del corpo rigido...... 301 12.5 Un problema di meccanica relativa...... 304 13 Meccanica lagrangiana... 311 13.1 Principio di d Alembert.... 312 13.1.1 Riduzione delle forze d inerzia in un atto di moto rigido... 313 13.2 Equazione simbolica della dinamica..... 314 13.3 Equazioni di Lagrange..... 316 13.3.1 Determinismo lagrangiano...... 319
Indice xi 13.3.2 Lagrangiana... 321 13.4 Integrali primi lagrangiani... 325 13.4.1 Integrale dei momenti cinetici.... 325 13.4.2 Hamiltoniana....... 327 13.5 Stabilità dell equilibrio..... 332 13.5.1 Teorema di stabilità di Dirichlet-Lagrange.... 333 13.5.2 Criteri di instabilità... 335 13.6 Stabilità di sistemi con un grado di libertà...... 337 13.7 Modi normali di sistemi con più gradi di libertà...... 342 13.7.1 Linearizzazione delle equazioni di moto...... 342 13.7.2 Analisi del moto linearizzato..... 344 13.8 Funzione di dissipazione... 351 13.9 Vincoli anolonomi lineari.... 353 14 Statica dei continui monodimensionali... 357 14.1 Equilibrio dei corpi monodimensionali.... 359 14.1.1 Azioni interne...... 359 14.1.2 Forze e momenti esterni.... 360 14.2 Equazioni indefinite di equilibrio... 361 14.2.1 Forze concentrate... 363 14.3 Aste elastiche: il modello di Eulero...... 364 14.3.1 Asta pesante incastrata..... 365 14.4 Fili...... 367 14.5 Equilibrio di un filo omogeneo pesante.... 369 14.5.1 Archi resistenti a sole pressioni... 371 14.5.2 Ponti sospesi... 371 14.6 Filo teso su una superficie... 373 Appendice A. Richiami di calcolo... 375 A.1 Punti, vettori... 375 A.2 Curve... 379 A.3 Trasformazioni lineari, matrici..... 384 A.4 Diagonalizzazione simultanea di matrici simmetriche... 390 A.5 Richiami di equazioni differenziali ordinarie.... 392 A.5.1 Equazioni differenziali a variabili separabili... 392 A.5.2 Equazioni differenziali lineari... 394 Riferimenti bibliografici... 397 Indice analitico... 399
http://www.springer.com/978-88-470-5772-2