Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO COMBINATORIA E PROBABILITA
CALCOLO COMBINATORIO Il Calcolo Combinatorio è lo studio dei diversi modi di ordinare o estrarre oggetti. Esempi di problemi risolvibili con il CALCOLO COMBINATORIO QUANTI SONO I TERNI AL LOTTO? IN QUANTI MODI DIVERSI SI POSSONO SEDERE GLI INVITATI AD UNA CENA? QUANTE PAROLE SI POSSONO FORMARE CON LE LETTERE DI ROMA? QUANTE DELEGAZIONI DI 4 ALUNNI SI POSSONO FORMARE IN UNA CLASSE DI 20 ALUNNI? ECC..
QUESITO
SUGGERIMENTO L ultima cifra è sicuramente pari. Distinguiamo a seconda se questa sia quella doppia o no. Contiamo, nei due casi, quante sono le possibili posizioni delle due cifre pari uguali e quella della cifra dispari. Otteniamo i casi possibili che vanno moltiplicati per le possibili combinazioni al variare delle cifre..
SOLUZIONE L ultima cifra è sicuramente pari. Distinguiamo a seconda se questa sia quella doppia o no. Nel primo caso l altra cifra doppia può occupare 3 diverse posizioni (non la 4) e per ciascuna di queste la cifra dispari può occupare una qualunque delle 3 posizioni rimanenti. Nel secondo caso le due cifre uguali possono disporsi in 3 modi diversi (1 e 3, 1 e 4, 2 e 4) e per ciascuno di questi la cifra dispari può occupare 2 posizioni tra le 3 libere (non la 5). In tutto si hanno 3 3 + 3 2 = 15 modi di fissare le posizioni delle due cifre uguali e della cifra dispari. Per ciascuno di questi modi si possono scegliere liberamente la cifra dispari (5 casi), la cifra pari doppia (5 casi), la prima e la seconda delle cifre pari singole (4 e 3 casi rispettivamente), per un totale di 15 5 5 4 3 = 4500 combinazioni differenti che rispettano le richieste.
DISPOSIZIONI SEMPLICI Dati n oggetti distinti, si dicono disposizioni semplici di classe k ( n), tutte le possibili file che si possono formare con k degli n oggetti, considerando distinte due file che differiscono per l ordine o per qualche elemento (gli oggetti non si possono ripetere) disposizioni di n oggetti a k a k D n,k = n (n-1) (n-k+1)
Esempio In una gara con 8 atleti quanti sono i possibili ordini di arrivo? D n,k = n (n-1) (n-k+1) D 8,3 = 8 7 6 = 336
Esempi Quanti numeri di 2 cifre si possono scrivere con 4 cifre (senza ripeterle)? D 4,2 = 4 3 = 12 Quante squadre può formare un allenatore che ha a disposizione una rosa di 18 giocatori? (nell ipotesi che ogni giocatore possa occupare un ruolo qualsiasi) D 18,11 = 18 17 16 15.. 9 8 = 1.270.312.243.200 Il mestiere di allenatore non sembra agevole!
PERMUTAZIONI SEMPLICI Le permutazioni sono le disposizioni di n oggetti a n a n P n = D n,n = n (n-1) 2 1 Il prodotto dei numeri da 1 ad n si chiama n fattoriale e si indica con n! 0! = 1 P n = n!
Esempi Quanti sono gli anagrammi della parola AMORE? P 5 = 5! = 5 4 3 2 1 = 120 Quanti numeri di 4 cifre si possono scrivere con 4 cifre (senza ripeterle)? P 4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 Quante sono le possibili configurazioni nelle assegnazioni dei posti di una classe di 15 alunni? P 15 = 15! = 1.307.674.368.000
PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE DI OGGETTI Dati n oggetti in cui k di essi (k<n) si ripetono r 1,r 2,.. r k volte, calcoliamo con la seguente formula il numero della permutazioni tenendo conto che lo scambio di posizione tra oggetti uguale rende equivalente la permutazione: n! Pr = n!!..! r r r 1 2 k
Esempi Quanti sono gli anagrammi della parola MATTATOIO? (anche di senso non compiuto) Pr = 9! 3!4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 15. 120 9 3!2!2! 3!4 Quanti numeri si possono formare con le cifre 1223334444? Pr = 10! 4!5 6 7 8 9 10 5 7 4 9 10 12. 600 10 2!3!4! 2!3!4!
COMBINAZIONI SEMPLICI Dati n oggetti distinti, si dicono combinazioni semplici di classe k ( n), tutte i possibili gruppi che si possono formare con k degli n oggetti, considerando distinti due gruppi se differiscono per almeno un elemento. (non è importante l ordine e gli oggetti non si possono ripetere) combinazioni di n oggetti a k a k C n,k = = Coefficiente binomiale
Esempio Quanti sono i possibili terni all estrazione del lotto? C 90,3 = = 15 = = 117.480
Esempio Quante sono le possibili coppie di rappresentanti di una classe di 20 alunni? C 20,2 = = 10 = = 190
File e gruppi con ripetizione Se nella formazione di file e gruppi è possibile ripetere gli oggetti si usano le seguenti formule: Dr n,k = n k Cr n,k =
Esempio Quanti numeri di 3 cifre si possono formare con 4 cifre eventualmente ripetendo una cifra? Dr 4,3 = 4 3 = 64 Dr 4,7 = 4 7 NB La formula Dr n,k si può utilizzare anche quando k > n!
Esempio Mescolando 4 vernici tra di loro, in quantita uguali, eventualmente anche ripetendo uno o più colori, quante gradazioni si possono ottenere? Cr 4,4 = = = 35
EVENTI ALEATORI Un EVENTO ALEATORIO è un evento, legato ad un determinato fenomeno, il cui verificarsi può avere più di un caso Esempi di eventi aleatori: il lancio di un dado, l estrazione di un carta da un mazzo, l estrazione di numeri al lotto, ecc. ALEATORIO è il risultato del dado lanciato, la carta estratta, il numero estratto.
CALCOLO DELLE PROBABILITA Il Calcolo delle probabilità è lo studio degli eventi aleatori e della previsione del loro verificarsi.
CALCOLO DELLE PROBABILITA Si definisce lo SPAZIO DEGLI EVENTI l insieme di tutti gli eventi aleatori possibili di un determinato fenomeno. Uno SPAZIO DEGLI EVENTI può avere anche una dimensione infinita. Consideriamo soprattutto spazi degli eventi finiti i cui possibili risultati siano determinabili a priori
DEFINIZIONE DI PROBABILITA Sia E un evento aleatorio appartenente ad uno SPAZIO DEGLI EVENTI finito. Si definisce PROBABILITA di E il RAPPORTO tra i casi favorevoli all evento e il numero di tutti i casi possibili dello SPAZIO DEGLI EVENTI.
Esempio Qual e la probabilità che esca 5 al lancio di un dado? P(E 1 ) = 1/6 Qual e la probabilità che non escano 3 o 5 al lancio di un dado? P(E 2 ) = 4/6 = 2/3
Esempio Qual è la probabilità che esca 7 nel lancio di due dadi? 1 2 3 4 5 6 1 7 2 7 P(E) = 6/36 = 1/6 3 7 4 7 5 7 6 7
QUESITO
SUGGERIMENTO La lancetta delle ore è orizzontale se l orologio segna le 3 o le 9. Per qualsiasi posizione raggiunta prima dell ultimo lancio abbiamo..
SOLUZIONE La lancetta delle ore è orizzontale se l orologio segna le 3 o le 9. Per qualsiasi posizione raggiunta prima dell ultimo lancio abbiamo 1 risultato utile su 6 per raggiungere o il 9 (fig 1) o il 3 (fig 2). Quindi la probabilità è 1/6. Fig. 1 Fig. 2
QUESITO
SUGGERIMENTO Si consideri la scacchiera colorata come in figura; un passo della pedina può solo condurla da una casella bianca a una casella grigia, e viceversa: ne consegue che, dopo un numero dispari di passi,..
SOLUZIONE Si consideri la scacchiera colorata come in figura; un passo della pedina può solo condurla da una casella bianca a una casella grigia, e viceversa: ne consegue che, dopo un numero dispari di passi, la pedina non può che trovarsi in una delle quattro caselle bianche. Qualunque sia la casella bianca in cui la pedina si trova dopo 11 passi, vi sono 4 caselle che essa può raggiungere con il dodicesimo passo, una sola delle quali è un casella d'angolo. La probabilità che la pedina si trovi in un angolo dopo 12 passi (cos come dopo un qualunque numero positivo pari di passi) e quindi 1/4.
PROBABILITA ED INSIEMISTICA Consideriamo un evento E di uno spazio degli eventi S ed il suo complementare E. S E E p(s) = 1 p( ) = 0 p(e) + p(e) = 1 EVENTO CERTO EVENTO IMPOSSIBILE p(e) = 1 p(e)
Esempio Qual è la probabilità che non escano monete uguali nel lancio di tre monete? P(E) = 1 P(E) = 1-2/8 = 3/4 M1 M2 M3 T T T T T C T C T C T T C C T C T C C T T C C C
UNIONE ED INTERSEZIONE DI EVENTI S E 1 E 2 p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) p(e 1 E 2 ) Due eventi sono incompatibili se E 1 E 2 = p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 1 ) S E 1 E 2
Esempio Qual è la probabilità che estraendo una carta da un mazzo di 52 carte sia una figura o una carta di cuore? E 1 = Si estrae una figura (12 possibilità) E 2 = Si estrae una carta di cuori (13 possibilità) E 1 E 2 = Figure di cuori (3 possibilità) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ) = 12/52 + 13/52 3/52 = 22/52 = 11/26
PROBABILITA COMPOSTA EVENTI INDIPENDENTI Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell uno non condiziona il verificarsi dell altro Ad esempio l estrazione di squadre per un sorteggio di coppa. Ad esempio l estrazione successiva di carte da un mazzo con reinserimento.
PROBABILITA COMPOSTA EVENTI INDIPENDENTI Si può facilmente dimostrare che se due eventi sono indipendenti vale: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 )
PROBABILITA COMPOSTA EVENTI INDIPENDENTI Qual è la probabilità che in tre estrazioni successive con reinserimento siano estratti 3 assi? Qual è la probabilità che due squadre inserite in due urne distinte di 4 squadre siano estratte insieme? P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) = 1/4 1/4 = 1/16 P(E 1 E 2 E 3 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) P(E 3 ) = 1/13 1/13 1/13 = 1/2197
QUESITO Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte (A e B), la seconda domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e così via, fino all'undicesima domanda che ha 12 possibili risposte. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?
SUGGERIMENTO Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte (A e B), la seconda domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e così via, fino all'undicesima domanda che ha 12 possibili risposte. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?
SOLUZIONE Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una sola risposta giusta. La prima domanda ha 2 possibili risposte (A e B), la seconda domanda ha 3 possibili risposte (A, B, C), e così via, fino all'undicesima domanda che ha 12 possibili risposte. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?
PROBABILITA CONDIZIONALE In altri casi il verificarsi di un evento dipende dal verificarsi di un altro. Ad esempio qual è la probabilità che estratto un asso da un mazzo se ne estragga un altro? F = Si estrae il primo asso dal mazzo E = Si estrae il secondo asso dal mazzo senza reinserire il primo PROBABILITA DI E DATO F P(E/F) = 3/51
PROBABILITA CONDIZIONALE Vale: Esempio: Si deve sorteggiare un alunno con un profitto almeno discreto di una classe di 25 alunni. La classe è composta da 10 ragazze tra le quali 6 alunne su un totale di 13 alunni con profitto almeno discreto. Qual è la probabilità di scegliere una ragazza? P(Estrarre una ragazza / Scelto un alunno con profitto almeno discreto) =
INTERSEZIONE DI EVENTI DIPENDENTI Dalla formula della probabilità condizionale si può ricavare: P(E F) = P(F) P(E / F) Esempio: Qual è la probabilità che da un mazzo di carte siano estratte due figure (senza reinserire la prima carta)? F = Si estrae la prima figura dal mazzo E = Si estrae la seconda figura dal mazzo senza reinserire la prima P(E/F) = 11 / 51 P(E F) = P(F) P(E / F) = 3/13 11/51 = 11/221
PROVE RIPETUTE Consideriamo una evento aleatorio che si ripete n volte. Sia p la probabilità che l evento abbia risultato E La probabilità che E si verifichi k volte su n è:
QUESITO
SUGGERIMENTO Considera separatamente i casi in cui Nicola abbia rispettivamente perso e vinto l ultima partita. Nel primo caso (che avviene con probabilità 1/3) Nicola deve aver vinto le prime quattro partite.. Nel secondo caso (che avviene con probabilità 2/3), Nicola deve non aver perso più di due partite tra le prime quattro: quest ultimo evento ha probabilità complementare rispetto a quella di perdere tutte le prime quattro partite, o di vincerne esattamente una su quattro..
SOLUZIONE
QUESITO A RISPOSTA NUMERICA Un cavallo è posto in una casella d'angolo di una scacchiera 3 x 3. Una mossa consiste nello spostare il cavallo in una casella raggiungibile mediante due passi in orizzontale seguiti da un passo in verticale, o due passi in verticale seguiti da un passo in orizzontale. In quanti modi è possibile spostarlo nella casella d'angolo opposta, con esattamente 12 mosse?
SUGGERIMENTO Osserviamo che il cavallo si muoverà sempre su caselle adiacenti al perimetro della scacchiera (tutte tranne quella centrale) e che da ogni casella sono possibili due mosse: una che porta il cavallo avanti di 3 caselle sul perimetro in senso orario, e una che lo sposta di 3 caselle in senso antiorario. Se si numerano le caselle del perimetro della scacchiera da 1 a 8 in senso orario, dove la casella 1 è quella di partenza, le mosse del cavallo possono essere rappresentate come nella figura che segue: ciascuna mossa porta il cavallo dal vertice dell'ottagono corrispondente alla casella in cui si trova a uno dei due adiacenti, a seconda che sia in senso orario o antiorario. Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale di 4 posizioni sull'ottagono, più eventualmente di un numero intero di giri dell'ottagono (8 mosse in senso orario o antiorario riportano il cavallo sulla casella di partenza). Sia x il numero di mosse effettuate in senso orario, y il numero di mosse effettuate in senso antiorario; dobbiamo contare il numero di percorsi possibili in cui x + y = 12 (si compiono 12 mosse in totale) e x - y è un numero della forma 8k+4 (con k intero)..
SOLUZIONE Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale di 4 posizioni sull'ottagono, più eventualmente di un numero intero di giri dell'ottagono (8 mosse in senso orario o antiorario riportano il cavallo sulla casella di partenza). Per arrivare all'angolo opposto, il cavallo deve spostarsi in totale di 4 posizioni sull'ottagono, più eventualmente di un numero intero di giri dell'ottagono (8 mosse in senso orario o antiorario riportano il cavallo sulla casella di partenza). Sia x il numero di mosse effettuate in senso orario, y il numero di mosse effettuate in senso antiorario; dobbiamo contare il numero di percorsi possibili in cui x + y = 12 (si compiono 12 mosse in totale) e x - y è un numero della forma 8k+4 (con k intero). Le coppie ordinate di soluzioni possibili (con x e y non negativi) sono le seguenti: x = 12, y = 0; x = 0, y = 12; x = 8, y = 4; x = 4, y = 8. Le prime due coppie rappresentano i due percorsi in cui il cavallo fa tutte le mosse in senso orario o antiorario. Le altre due coppie rappresentano percorsi in cui vengono fatte 8 mosse in senso orario e 4 in senso antiorario, o viceversa; il numero di tali percorsi è dato dal numero di modi in cui è possibile scegliere l'ordine delle mosse: in particolare, si tratta di in entrambi i casi (fra le 12 mosse da effettuarsi, dalla prima alla dodicesima, vanno scelte le 4 che saranno svolte in senso antiorario nel primo caso, orario nel secondo).