ARITMETICA MODULARE Scegliamo un numero m che chiameremo MODULO Identifichiamo ogni altro numero con il suo resto nella divisione per m Tutti i numeri col medesimo resto si trovano insieme nella classe di resto che è etichettata con un numero compreso tra 0 (zero) e m 1 (il precedente di m) ESEMPIO Usiamo il modulo m = 12 (come nell orologio analogico). Le classi di resto sono 12: la classe 0 (tutti i multipli di 12, per esempio 12,36,60), la classe 1 (1 + un multiplo di 12, per esempio 13,25,73), la classe 2 (2 + un multiplo di 12, per esempio 15,26,50)...... la classe 11 (11 + un multiplo di 12, per esempio 11,35,59,143). Infatti 35 = 12 2 + 11 come 59 = 12 4 + 11 Per scrivere che 35 è nella classe di resto 11 nell aritmetica modulo 12 scriviamo così: 35 11 (12) e leggiamo così: oppure leggiamo così: 35 è congruo a 11 modulo 12 35 è nella classe di resto 11 modulo 12 ESERCIZIO Trova le classi di resto di 72, 45, 38, 37, 21, 9, 64 modulo 12. Le operazioni di addizione e moltiplicazione si possono svolgere direttamente con le classi di resto degli addendi (o dei fattori). ESEMPIO Usiamo ancora il modulo m = 12. Quanto fa 49 + 27 modulo 12? So che 49 1 (12) e che 27 3 (12) allora 49 + 27 1 + 3 4 (12) Infatti 49 + 27 = 76 = 12 6 + 4
Quanto fa 35 14 modulo 12? So che 35 11 (12) e che 14 2 (12) allora 35 14 11 2 22 10 (12) Infatti 35 14 = 490 = 12 40 + 10. UN ALTRO ESEMPIO Quanto fa 34 18 modulo 12? Completa tu! So che 34... (12) e che 18... (12) allora 34 18........................... (12) Quanto vale il prodotto? Ti sembra strano o normale? Discutiamone insieme. In questa aritmetica modulo 12, abbiamo trovato due numeri (nessuno dei quali è zero - o classe di resto zero) il cui prodotto è zero. Questo accade anche nell aritmetica standard a cui siamo abituati? Perché è possibile che accada nell aritmetica modulo 12? Accade solo con questa coppia di numeri? Ne possiamo trovare altri? Come sono legati al valore del modulo (nel nostro caso a 12)? Prima di trarre delle conclusioni, analizziamo qualche altra aritmetica modulare, con altri valori per il modulo. Costruiamo le tabelle della moltiplicazione per i moduli m = 2, m = 5, m = 6. m=2 0 1 0 0 0 1 0 1 m=5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 m=6 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 4 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
In ogni tabella ci sono una riga (e una colonna) con soltanto cifre 0 perché sono il prodotto per 0 (e il prodotto è commutativo come nell aritmetica standard). Ma ci sono anche prodotti che valgono zero (si dice che sono prodotti nulli) quando nessuno dei fattori è zero: ora indaga sui motivi per cui questo accade... Per riflettere su questi argomenti devi aver presente i concetti di numeri primi, numeri composti, numeri primi tra loro. Completa le osservazioni che seguono. Nella tabella della moltiplicazione modulo 5 trovi una coppia di numeri non nulli il cui prodotto sia zero? Noti qualche altro dettaglio nei risultati delle moltiplicazioni, in ogni riga? Nella tabella della moltiplicazione modulo 6 trovi almeno una coppia di numeri non nulli il cui prodotto sia zero? Scrivi qui tutte le coppie di fattori: Perché pensi che ciò accada? Cosa hanno in comune i fattori con il modulo? Riesci a immaginare quali coppie potrebbero avere la stessa proprietà per esempio nell aritmetica modulo 20? E nell aritmetica modulo 7? Osserviamo ancora la tabella modulo 6: 5 2 5 8 (6) ed è vero che 2 8 (6) 3 2 3 4 (6) ma non è vero che 2 4 (6) Da cosa potrebbe dipendere?
CRITERI DI DIVISIBILITÀ Utilizzeremo l artimetica modulare per ricavare alcuni criteri di divisibilità, cioè dei metodi che consentano di verificare rapidamente se un numero n è divisibile per un certo numero d. Ci serviamo del nostro sistema di numerazione che è decimale e posizionale: ogni numero è infatti scritto a partire da potenze di 10 e una cifra cambia valore a seconda della posizione in cui è scritta. Così 678 = 6 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0 cioè 678 = 6 10 2 + 7 10 + 8 Quando posso dire che un numero è divisibile per 10?...se la sua classe di resto è 0. Facciamoci aiutare dalla notazione posizionale dei nostri numeri: 678 = 6 10 2 + 7 10 + 8 8 (10) quindi... Un numero è divisibile per 10 se e solo se la sua cifra delle unità lo è. Quando posso dire che un numero è divisibile per 2? Usiamo lo stesso stratagemma: 678 = 6 10 2 + 7 10 + 8 8 0 (2): 678 è divisibile per 2 9635 = 9 10 3 +6 10 2 +3 10+5 5 1 (2): 9635 non è divisibile per 2 perché 10 è multiplo di 2 e lo stesso vale per tutte le sue potenze, quindi modulo 2 tutte le cifre che non sono unità sono nulle e la classe di resto del numero è la classe della sua cifra delle unità. Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua cifra delle unità lo è, cioè se essa è pari. Puoi provare da solo a trovare il criterio di divisibilità per 5?
Quando posso dire che un numero è divisibile per 9? Partiamo con una osservazione: 9 0 (9) quindi 10 1 (9) 99 = 9 11 0 (9) quindi 10 2 = 100 1 (9) 999 = 9 111 0 (9) quindi 10 3 = 1000 1 (9) 9999 = 9 1111 0 (9) quindi 10 4 = 1000 1 (9) etc Adesso proviamo a calcolare la classe di resto di 4716 modulo 9: 4716 = 4 10 3 + 7 10 2 + 1 10 + 6 4 1 + 7 1 + 1 1 + 5 4 + 7 + 1 + 6 18 0 (9) Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9. Prova con 65685 e 747.