Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione del tempo. E possibile trattare i problemi dinamici in modo differente, spesso più semplice e in ogni caso più potente, tramite il concetto di Energia. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo L Energia è un concetto della massima importanza in Fisica. Appare sotto varie forme, come ad esempio: Energia Cinetica velocità Energia Potenziale posizione Energia Termica temperatura Possiamo definire l Energia come capacità di compiere un lavoro.
Trasferimento e Conservazione dell Energia L energia di un corpo può variare solo se avviene un trasferimento di energia dall ambiente circostante al corpo stesso. Tale trasferimento può avvenire per esempio tramite Forze: compimento di lavoro meccanico Scambio di calore (termodinamica)... In un sistema isolato (in cui non avvengono scami di energia con l esterno), l energia si conserva (ovvero rimane invariata).
Energia Cinetica Definizione : K = 1 2 mv2 (per un punto materiale di massa m). L energia cinetica (e non solo) si misura in Joule: 1 J = 1 Kg m 2 /s 2. Se ci sono più particelle nel sistema, l energia cinetica complessiva del sistema è la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle. L energia cinetica è l energia dovuta al moto delle particelle ed è presente anche a livello microscopico: l energia termica o interna della Termodinamica in un gas è energia cinetica di atomi o molecole! Notare che 1 2 mv2 = 1 m( v v). 2
Energia Cinetica e Lavoro Cosa fa variare l energia cinetica? Se sulla particella agisce una forza F, il lavoro L if fatto da tale forza fra il punto iniziale i e finale f, definito come: f L if = F d r è responsabile della variazione di energia cinetica: i K f K i = L if Questo importante risultato va sotto il nome di Teorema dell energia cinetica. Se il lavoro è positivo, si ha aumento dell energia cinetica; se è negativo, si ha diminuzione dell energia cinetica. Il lavoro, come l energia cinetica e l energia in generale, si misura in J. Nel seguito il lavoro sarà indicato semplicemente come L in tutti i casi non ambigui
Lavoro, in generale In generale il lavoro dipende dalla traiettoria seguita dal punto Matematicamente il lavoro è è un integrale di linea, ovvero il limite della somma di tanti contributi L = F r piccoli, calcolati lungo la traiettoria. Nell esempio accanto, il calcolo e l interpretazione geometrica del lavoro L = xf x i F (x)dx per una forza F (x) in un caso unidimensionale.
Teorema dell energia cinetica, dimostrazione Richiamo: Il prodotto scalare è A B = A x B x + A y B y + A z B z = AB cos θ = B A. La derivata del prodotto scalare è D( A B) = (D A) B + A (D B). Dimostrazione del Teorema dell energia cinetica: K f K i = f i dk = f i m v d v = f i m d r dt d v ovvero K f K i = f i ( m d v ) dt d r = f i F d r = L.
Lavoro di una forza costante Il lavoro di una forza costante è L = F r, dove r è il vettore spostamento dalla posizione iniziale a quella finale. Solo la componente di F lungo la direzione dello spostamento r, F cos θ, compie lavoro. Il lavoro L = F r = F cos θ r è: positivo se lo spostamento avviene nella direzione della forza (cos θ > 0) nullo se lo spostamento è perpendicolare alla forza (cos θ = 0) negativo se lo spostamento avviene in direzione contraria alla forza (cos θ < 0).
Lavoro eseguito da più forze Se più forze agiscono su di una particella, la forza totale (o risultante) è F = F n e il lavoro L fatto dalla forza F : n L = f i ( n F n ) d r = n f i F n d r = n L n è uguale alla somma dei lavori fatti dalle singole forze, L n. Nell esempio accanto, solo la forza F fa lavoro; la forza peso e la reazione vincolare non fanno lavoro.
Esempio Supponiamo che le tre forze valgano: F 1 = 5 N, F 2 = 9 N, F 3 = 7.8 N. La cassa, di massa M = 3 Kg, viene spostata di 3 m verso sinistra. Calcolare il lavoro totale fatto dalle tre forze sulla cassa. L 1 = 15 J, L 2 = 13.5 J, L 3 = 0 L energia cinetica della cassa cresce o diminuisce? cresce perché L = L 1 + L 2 + L 3 = 1.5 J > 0 Assumendo che parta da ferma, quale sarà la sua velocità finale? mv 2 /2 = 1.5 J v = 1.0 m/s
Lavoro fatto dalla forza peso Un oggetto viene lanciato in aria con velocità iniziale v i. Lavoro fatto dalla forza peso sul corpo quando è arrivato all altezza d: L = f i F d r = mgd < 0 (negativo perché F e d r sono opposti) da cui L = K f K i v f < v i Una volta raggiunta la massima altezza, l oggetto ricade, L > 0, e l energia cinetica aumenta.
Esempio (con attrito) In assenza di attrito, con quale velocità arriva in fondo la massa m? K f K i = L = mgd sin 30 = mgh (dove h è l altezza) da cui mvf 2 /2 = mgh ovvero v f = 2gh = 3.13 m/s E quanto vale v f in presenza di attrito dinamico con coefficiente µ d = 0.2? Il lavoro della forza peso è lo stesso di prima; in più c è il lavoro negativo della forza di attrito, L a = mµ g gd cos 30, da cui mvf 2/2 = mgh mgdµ d cos 30 ovvero v f = 2g(h dµ d cos 30 ) = 2.53 m/s Il lavoro fatto dalle forze di attrito è sempre negativo!
Altro esempio Una cassa di massa m = 15 Kg è trascinata in salita su di un piano inclinato per d = 5.7 m a velocità costante, fino ad un altezza h = 2.5m Calcolare il lavoro fatto dalla tensione del filo e dalla forza peso T = mg sin θ perché la velocità è costante; L T = L g = mgd sin θ = mgh = 368J In presenza di attrito dinamico (coefficiente µ d = 0.1) cosa cambia? L a = µ d mgd cos θ = 75.5J; L g invariato, L T = L a L g = 443.5J
Lavoro fatto da una forza elastica Forza elastica: forza variabile il cui modulo è proporzionale allo spostamento rispetto alla posizione a riposo Legge di Hooke: F (x) = kx k è detta costante della molla e si misura in N/m. L > 0 o L < 0 a seconda che la massa si avvicini o si allontani dalla posizione di riposo
Potenza Rapidità con cui viene svolta una certa quantità di lavoro. Potenza media: P = L t ( L è il lavoro fatto in un tempo t) Potenza istantanea: P = dl dt = F v Dimostrazione: basta osservare che dl = F d r Unità di misura: 1 joule / 1 s = 1 watt (W)
Forze Conservative In generale il lavoro fatto da una forza (o da un campo di forze): L = f i F d r, può dipendere dal percorso seguito dalla particella. Se il lavoro fatto da una forza (o da un campo di forze) durante uno spostamento qualsiasi dipende solo dalla posizione iniziale e finale, ovvero è indipendente dal percorso scelto, si dice che la forza (o il campo di forze) è conservativa. (E immediato dimostrare che il lavoro fatto su di un percorso chiuso da forze conservative è nullo). A livello microscopico, tutte le forze sono conservative!
Forze Conservative e non Sono esempi di forze conservative: La forza gravitazionale (forza peso) La forza elastica (forza di una molla) La forza elettrostatica (attrazione fra cariche) e in generale, tutte le forze centrali, ovverosia forze dipendenti solo dalla distanza dal centro e dirette verso il centro Sono invece non conservative: Le forze di attrito e di resistenza
Forza peso: lavoro Il lavoro fatto dalla forza peso dipende solamente dalla differenza di quota fra punto iniziale e punto finale. E immediato verificare che per qualunque percorso, il lavoro fatto dalla forza peso è sempre L = mgh dove h = y i y f E immediato dimostrare che tutti i campi di forza costante sono conservativi.
Forza Elastica: lavoro Il lavoro fatto dalla forza elastica dipende solo dall allungamento della molla nel punto iniziale e finale. Calcoliamo esplicitamente il lavoro fatto fra x i e x f : L = xf x i F (x)dx = xf x i ( kx)dx = k x2 2 x f = 1 x i 2 k(x2 i x 2 f) (assumiamo una molla ideale e senza massa!)
Forza di attrito: lavoro Il lavoro fatto dalla forza di attrito dipende dal percorso fatto! Esempio: oggetto che striscia su superficie. Il lavoro fatto è proporzionale alla lunghezza del percorso: la forza di attrito è diretta in direzione opposta allo spostamento. NB: l attrito statico non fa lavoro, per definizione! Non fa lavoro nemmeno l attrito dinamico, se lo spostamento è ortogonale alla forza di attrito (è il caso della ruota).
Energia potenziale Perché le forze conservative sono così importanti? Per una particella sottoposta ad una forza conservativa è sempre possibile introdurre una funzione della posizione della particella, detta energia potenziale, U, tale per cui: U i U f = L if dove L if è il lavoro fatto dalle forze conservative fra lo stato iniziale i e lo stato finale f (che non dipende dal percorso seguito). Per un corpo nel campo gravitazionale terrestre: U(y) = mgy Per un corpo sottoposto a forze elastiche: U(x) = 1 2 kx2 Da notare che l energia potenziale è definita a meno di una costante. Solo differenze di energia potenziale sono significative.
Energia meccanica La quantità E = K + U è detta energia meccanica. Dal teorema dell energia cinetica e dalla definizione di energia potenziale: L if = K f K i, L if = U i U f si ottiene immediatamente la conservazione dell energia meccanica: K i + U i = K f + U f ovvero E non varia durante il moto (in presenza di sole forze conservative): è una costante del moto.
Energia meccanica in presenza di attrito Per una particella sottoposta ad una forza conservativa e a forze di attrito, l energia meccanica non si conserva. E però possibile enunciare, a partire dal teorema dell energia cinetica, una legge più generale: (K + U) = (K f + U f ) (K i + U i ) = L a dove L a è il lavoro (sempre negativo) fatto dalle forze di attrito. NB: l energia si conserva sempre! L energia meccanica persa riappare sotto forma di energia termica (ovvero, di aumento della temperatura) della particella e della superficie con attrito. Vedere l equivalenza fra calore e lavoro enunciata in Termodinamica.
Forze ed Energia potenziale Le forze conservative determinano l energia potenziale tramite il lavoro. Possiamo determinare le forze se è nota l energia potenziale? Consideriamo un caso unidimensionale per semplicità. Per definizione: U(x) = U(x i ) x x i F (x )dx. Da qui si ricava immediatamente la forza: F (x) = d dx U(x). In tre dimensioni: ( F = x U(x, y, z), y U(x, y, z), ) U(x, y, z). z
Forze ed Energia potenziale (2) Per un corpo nel campo gravitazionale terrestre: U(y) = mgy, F = du dy = mg Per un corpo sottoposto a forze elastiche: Notare che: U(x) = 1 2 kx2, F = du dx = kx la forza è nulla nei minimi e massimi di U; nei minimi l equilibrio è stabile, nei massimi è instabile (vedi figura) la forza punta nella direzione in cui U diminuisce.
Esempio Quando inizia la salita, il camion viaggia a v = 130 Km/h Non c e attrito Calcolare il minimo valore di L affinché il camion si arresti (momentaneamente) K i = mv 2 /2 = mgl sin 15 da cui L = v 2 /(2g sin 15 ) = 257 m (v = 130Km/h (1000m/1Km) (1h/3600s) = 36.1 m/s; sin 15 = 0.258
Esercizi Inizialmente la molla è compressa di 20 cm, poi è lasciata libera. Quanto lontano lungo il piano inclinato viene spinto il blocco? Il blocco di massa m = 3.5 Kg viene spinto via da una molla di costante k = 640 N/m inizialmente compressa, si distacca quando la molla ha raggiunto la posizione di riposo, si ferma dopo 7.8 m per l attrito (µ d = 0.2). Di quanto era compressa la molla inizialmente?
Esercizio: pendolo semplice La pallina m è inizialmente ferma ad un altezza h 1. Quanto vale e in quale punto è massima la sua velocità? A quale altezza h risale dall altro lato? Se L = 1 m e θ 0 = 15, calcolare la velocità di m nella posizione θ 1 = 10.
Esercizio: skateboard m = 25 Kg, R = 3 m. Qual è la velocità alla fine della discesa (partendo da fermo)? E se invece salta giù dall altra parte? Supponiamo che l attrito riduca la velocità finale a v f = 7m/s. Quanto vale il lavoro fatto dalle forze di attrito?