Probabilità esempi Paolo e Francesca giocano a dadi. Paolo scommette che, lanciando due dadi, si otterrà come somma 8 oppure 9. Francesca scommette che si otterrà come somma un numero minore o uguale a 5. Chi ha maggiori probabilità di vittoria? Aiutiamoci con una rappresentazione grafica: + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 p(paolo)= 9 0, 25 cioè 25% p(francesca)= 10 0, 277 cioè 27,8% 36 Francesca ha maggiori probabilità di vittoria. 36 Un azienda che produce batterie per auto ha rilevato la durata di un campione di batterie del proprio modello più venduto, ottenendo i dati in tabella. Qual è la probabilità che una batteria di quel modello duri almeno due anni? Durata (anni) [01) [11,5) [1,52) [22,5) [2,53) [3) N batterie 61 84 142 247 172 94 247 172 94 61 84 142 247 172 94 513 800 p(e) = 0, 641 cioè 64,1%
Probabilità La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u, quando essi sono tutti ugualmente possibili f pe u Esempio: nel lancio di un dado a sei facce consideriamo i seguenti eventi: E1= esce il numero 5 E2= esce un numero pari E3= esce un numero maggiore di 2 Calcoliamo la probabilità di ciascun evento supponendo che il dado non sia truccato! 1 6 3 6 4 6 p E 1 un caso favorevole su 6 possibili 1 2 2 3 p E tre casi favorevoli (2,4,6) su 6 possibili 2 p E quattro casi favorevoli (3,4,5,6) su 6 possibili NB: 3 se un evento è impossibile il numero dei casi favorevoli è 0, pertanto risulta p E 0 La probabilità di un evento impossibile è 0. f u 0 u se un evento è certo il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili e quindi f u p E 1 u u La probabilità di un evento certo è 1. La probabilità di un evento è pertanto un valore compreso tra 0 e 1 0 p 1. Dato un evento E, il suo evento contrario è quell evento che si verifica quando E non può verificarsi e lo si indica con E. Per esempio nel lancio del dado l evento contrario dell uscita è un numero dispari diventa è un numero pari. In generale vale p E pe 1 la probabilità di un evento sommata al suo contrario deve dare 1. Gli eventi e gli insiemi L evento unione Esempio: prendiamo dei biglietti numerati da 1 a 12 e consideriamo i seguenti eventi: E1= esce un numero pari E2= esce un numero maggiore di 7 Sia E = esce un numero pari o maggiore di 7 è formato dall unione dei due eventi ed è dato da E = E1 E2 = 2,4,6,8,9,10,11,12 evento unione è dato dal verificarsi di almeno uno dei due eventi.
L evento intersezione Prendiamo sempre i biglietti numerati da 1 a 12 e consideriamo l evento E = esce un numero pari e maggiore di 7 In questo caso l evento si verifica se entrambi gli eventi E1 e E2si verificano e perciò l evento è dato dalla loro intersezione. E = E1 E2 =8,10,12 L evento intersezione si ha quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati
Terminologia: due eventi E 1 e E 2 si dicono: PAG. 621 incompatibili: se il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro, cioè se non possono verificarsi contemporaneamente compatibili: se il verificarsi dell uno non esclude il verificarsi dell altro, cioè se possono avvenire contemporaneamente indipendenti: quando il verificarsi dell uno non influenza il verificarsi dell altro dipendenti: quando il verificarsi dell uno influenza il verificarsi dell altro Probabilità totale di due o più eventi incompatibili Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è l insieme vuoto. Esempio: sono due eventi incompatibili nel lancio di un dado E 1=esce il numero 2 E 2=esce un numero dispari p(e 1)=1/6 p(e 2)=3/6 p(e 1 U E 2)= p(e 1)+ p(e 2)=3/6 +1/6 =4/6 Esempio Unione di due eventi incompatibili 1 E2 ) E p p( E p E 1 2 A = da un mazzo di carte da 40 esce una figura B = da un mazzo di carte da 40 esce un asso A e B sono due eventi incompatibili AB= da un mazzo di carte da 40 esce una figura o un asso P(AB) = P(A) + P(B) =12/40+4/40=16/40=4/5 Probabilità totale di due o più eventi compatibili Esempio: lancio di un dado E 1=esce il numero 2 E 2=esce un numero pari p(e 1)=1/6 p(e 2)=3/6 p(e 1 E 2)= 1/6 p(e 1 U E 2)= p(e 1)+ p(e 2) p(e 1 E 2)=3/6+1/6 1/6=3/6 Esempio Unione di due eventi compatibili E pe p( E ) p( E1 E2 ) p 1 2 1 E2 A = da un mazzo di carte da 40 esce una regina B = da un mazzo di carte da 40 esce una carta di cuori A e B sono due eventi compatibili (infatti può uscire la regina di cuori) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)=4/40+10/40 1/40=13/40 Esercizi 1) Un urna contiene 5 palline rosse e 3 bianche. Calcola la probabilità che, estraendone una a caso, non esca una pallina bianca. [5/8] 2) Un urna contiene 8 palline bianche, 5 palline nere e 7 palline rosse. Si estrae una pallina. Calcola la probabilità che: Esca una pallina nera [1/4]
Non esca una pallina nera [3/4] Non esca una pallina rossa [13/20] Eventi incompatibili 3) Un urna contiene 6 gettoni neri, 5 rossi e 4 bianchi. Estraendo un gettone a caso si può verificare uno dei seguenti eventi: E 1 = estrazione di un gettone nero p(e 1)=. E 2 = estrazione di un gettone rosso p(e 2)=.. E 3 = estrazione di un gettone bianco p(e 3)=. Questi eventi sono tra loro incompatibili, calcoliamo ora la probabilità di E 4 = estrazione di un gettone nero o rosso p(e 4)= p(e 1) + p(e 2)=.. [11/15] E 5 = estrazione di un gettone bianco o rosso p(e 5)= p(e 3) + p(e 2)= [3/5] E 6 = estrazione di un gettone nero o bianco o rosso p(e 6)= [1] 4) In un sacchetto ci sono 30 gettoni rossi, 20 neri e 15 bianchi. Calcoliamo la probabilità che venga estratto a caso un gettone nero o bianco. Sol: 20/65+15/65=4/13+3/13=7/13 La probabilità composta Probabilità composta di due eventi indipendenti p(e)=p(e 1) p(e 2) Esempi 1. Da due mazzi da 40 carte si estrae una carta da ciascuno. Trova la probabilità che si verifichino entrambe le condizioni: la carta estratta dal primo mazzo sia un asso e quella del secondo una carta di fiori. (1/40) 4/40*10/40=1/40 probabilità composta di due eventi indipendenti 2. Da un mazzo di 52 carte vengono fatte due estrazioni, rimettendo la carta estratta nel mazzo. Calcola la probabilità che le due carte estratte siano due figure. (9/169) 12/52*12/52=3/13*3/13=9/169 3. Da un mazzo di 40 carte vengono fatte due estrazioni senza rimettere la carta estratta nel mazzo. Calcola la probabilità che le due carte estratte siano entrambe rosse. (19/78) 20/40*19/39=1/2*19/39=19/78
La probabilità condizionata Come si trova la probabilità di un evento che dipende da un altro evento? Consideriamo il caso di un sacchetto con 12 gettoni numerati da 1 a 12. E 1 = esce un multiplo di 3 4 1 I casi favorevoli a E 1 sono 3,6,9,12quindi p(e 1) = 12 3 Supponiamo ora che un amico estragga un numero e, senza farcelo vedere, ci dice che è minore di 9, E 2 = esce un numero minore di 9. I casi favorevoli di E 2sono 1,2,3,4,5,6,7,8. Cosa possiamo dire ora sulla probabilità di E 1? La probabilità di E 1 cambia ed è condizionata dal fatto che E 2 2 1 si è verificato, pertanto la indichiamo con il simbolo p(e 1 E 2) =. 8 4 Chiamiamo p(e 1 E 2) la probabilità di E 1 condizionata da E 2. 1 1 Poiché la probabilità di E 1 è mentre quella di p(e1 E 2) è i due eventi si dicono dipendenti 3 4 Consideriamo un altro caso. E 1 = esce un multiplo di 3 E 3 = esce un numero pari casi favorevoli 2,4,6,8,10,12 Supponiamo sempre che l evento E 3 si sia verificato. La probabilità di E 1 condizionata da E 3 diventa 2 1 p(e 1 E 3)= poiché p(e1) è uguale a p(e1 E 3) i due eventi si dicono indipendenti 6 3 Due eventi E 1 ed E 2si dicono dipendenti se p(e 1) è diversa dalla probabilità condizionata p(e 1 E 2). Due eventi E 1 ed E 2si dicono indipendenti se p(e 1) è uguale dalla probabilità condizionata p(e 1 E 2).