Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e a sinistra) del prodotto rispetto alla somma. Per la somma si usa la notazione additiva e per il prodotto la notazione moltiplicativa. L elemento neutro della somma si indica con 0 e quello del prodotto con 1. Si assume sempre che 0 1. La legge di cancellazione per la somma vale sempre: per ogni a, b, c A, a + c = b + c a = b. Valgono le seguenti proprietà: a0 = 0a = 0, per ogni a A; a( b) = ( a)b = (ab) e ( a)( b) = ab, per ogni a, b A. Per ogni a, b A, con la scrittura a b si intende a + ( b) (questa ultima espressione in notazione moltiplicativa sarebbe a b 1 ); il prodotto di a e b va invece indicato utilizzando le parentesi, cioè come a( b), o in modo più esplicito come a ( b). Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Multipli interi. Per ogni a A e per ogni n Z, il multiplo na è definito da: 0a = 0, (n + 1)a = na + a se n 0 e na = ( n)( a) se n < 0. Per ogni a A e ogni n Z, si ha: ( n)a = n( a) = (na). Per ogni a A e ogni m, n Z, si ha: ma + na = (m + n)a e n(ma) = m(na) = (mn)a. Per ogni a, b A e ogni m Z, si ha: ma + mb = m(a + b). Potenze intere. Per ogni a A e per ogni n N, la potenza a n è definita da: a 0 = 1 e a n+1 = a n a. Se a è invertibile rispetto al prodotto, la potenza a n è definita anche per ogni n Z da a n = (a 1 ) n se n < 0. Per ogni a A che sia invertibile e per ogni n Z, si ha a n = (a 1 ) n = (a n ) 1. Per ogni a A e ogni m, n N, si ha: a m a n = a m+n e (a m ) n = (a n ) m = a mn ; se a è invertibile queste proprietà valgono per ogni m, n Z. Per ogni a, b A e ogni m N, si ha: a m b m = (ab) m ; se a e b sono invertibili questa proprietà vale per ogni m Z. Divisori dello zero. Un elemento a di un anello A è un divisore dello zero se a 0 ed esiste b A, con b 0, tale che ab = 0 oppure ba = 0. Gli elementi 0 e 1 non sono divisori dello zero. Gli anelli Z, Q, R e C non hanno divisori dello zero; mentre gli anelli M n (Z) hanno divisori dello zero. I divisori dello zero dell anello Z/nZ sono le classi di congruenza [h], al variare di h N, con 1 < h < n e (h, n) 1. Quindi, se p è primo l anello Z/pZ non ha divisori dello zero. Se c è un elemento di un anello A, c 0 e c non è un divisore dello zero, allora valgono le due leggi di cancellazione per c, cioè: per ogni a, b A, da ac = bc segue a = b, e da ca = cb segue a = b. Elementi invertibili. Un elemento a di un un anello A è invertibile se è invertibile rispetto al prodotto. L elemento 0 non è invertibile (mentre, 1 lo è, ovviamente). Un divisore dello zero non è invertibile; ovvero, un elemento invertibile non è un divisore dello zero. Gruppo degli elementi invertibili. L insieme degli elementi invertibili di un anello A è un sottomonoide di (A, ), risulta un gruppo e si indica con U(A). In generale, U(A) non è chiuso rispetto alla somma. Considerando alcuni degli anelli più comuni, si ha: U(Z) = {1, 1}, U(Q) = Q, U(R) = R, U(C) = C, U(Z/nZ) = {[a] : a N, 1 a < n, (a, n) = 1}, U(M n (Q) = GL n (Q), U(R[X]) = R, U(R R ) = (R ) R. 1

Dominio d integrità. Un dominio d integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. In un dominio d integrità vale la legge di cancellazione per ogni elemento diverso da zero (le due leggi di cancellazione si riducono ad una sola poiché il prodotto è commutativo). Campo. Un campo è un anello commutativo tale che ogni suo elemento diverso da zero è invertibile. Un campo è un dominio d integrità; ma esistono domini d integrità che non sono campi. Un dominio d integrità finito è necessariamente un campo. Sottoanelli. Un sottoinsieme S di un anello A è un sottoanello di A se è un sottogruppo di A rispetto alla somma e è un sottomonoide di A rispetto al prodotto. Un sottoanello di A è un anello rispetto alle operazioni indotte da quelle di A, contiene 0 e contiene 1. Ogni anello è sottoanello di se stesso. Ogni sottoanello di un anello commutativo è commutativo. L intersezione, anche infinita, di sottoanelli è un sottoanello. Se A è un anello e S A, allora S è un sottoanello di A se, e solo se: 0 S e 1 S; per ogni x, y S, x + y S e xy S; per ogni x S, x S. Ideali. Un sottoinsieme I di un anello A è un ideale di A se è un sottogruppo rispetto alla somma e se per ogni a A e ogni x I si ha ax I e xa I. Ogni ideale contiene 0. Il sottoinsieme {0} è un ideale, detto ideale nullo o ideale banale. Ogni anello è ideale di se stesso, ed è detto l ideale improprio. L intersezione, anche infinita, di ideali è un ideale. Se A è un anello e I A, allora I è un ideale di A se, e solo se: 0 I; per ogni x, y I, x + y I; per ogni x I, x I; per ogni x I e ogni a A, ax I e xa I. In alternativa, I è un ideale di A se, e solo se: I ; per ogni x, y I, x + y I; per ogni x I e ogni a A, ax I e xa I. Gli ideali di Z sono tutti i soli i sottoinsiemi nz, con n N. Un ideale che contiene 1 o un qualsiasi elemento invertibile è necessariamente l ideale improprio. I soli ideali di un campo sono l ideale nullo e l ideale improprio. Ideali principali. Se A è un anello commutativo e a A, l insieme (a) = {xa : x A} è un ideale, viene chiamato l ideale generato da a e viene anche indicato con Aa o aa. Un ideale I di un anello commutativo A si dice principale se esiste a A tale che I = (a). L ideale (a) è il più piccolo ideale di A che contiene a. L ideale nullo è principale, perché {0} = (0); l ideale improprio è principale, perché A = (1). Un anello commutativo A i cui soli ideali sono {0} e A è necessariamente un campo. Un dominio a ideali principali è un dominio d integrità in cui ogni ideale è principale. Somma di ideali. Se I e J sono due ideali di un anello A, l insieme I + J = {x + y : x I, y J} è un ideale e viene chiamato somma di I e J. L ideale I + J è il più piccolo ideale di A che contiene sia I che J (cioè, che contiene I J). Nel caso dell anello Z, se m, n N, si ha: mz + nz = (m, n)z, mentre mz nz = [m, n]z. Anello quoziente. Se I è un ideale proprio di un anello A, l anello quoziente A/I è l insieme delle classi laterali di A modulo I rispetto alla somma, con le operazioni di somma e prodotto definite sui rappresentanti. Utilizzando quanto già visto per i gruppi, sappiamo già che A/I è un gruppo rispetto alla somma [ricordiamo le definizioni e i ragionamenti seguiti: la classe laterale di un elemento a A rispetto a I è l insieme a + I = {a + x : x I}; l insieme delle classi laterali è una partizione di A; per ogni a, b A, a e b appartengono a una stessa classe laterale (a + I) (b + I) a b + I b a + I a + I = b + I a b I b a I; la relazione di equivalenza I è la relazione associata alla partizione e può essere anche definita da una qualunque delle precedenti condizioni, tra loro equivalenti; le classi laterali 2

coincidono con le classi di equivalenza, precisamente si ha [a] I = a + I, per ogni a A; la somma è definita da (a + I) + (b + I) = (a + b) + I; la somma è ben definita e rispetto a questa operazione A/I è un gruppo abeliano]. Sullo stesso insieme A/I si definisce il prodotto, ponendo (a+i) (b+i) = (a b)+i; questa definizione è ben posta, cioè non dipende dalla scelta dei rappresentanti delle classi; l insieme A/I con tali somma e prodotto verifica tutte le proprietà di un anello. L elemento neutro della somma è I (cioè la classe di 0); l opposto di a + I è a + I, per ogni a A; l elemento neutro del prodotto è 1 + I. Un esempio importante è dato dall anello Z e da un suo ideale nz, con n N e n 2. Dallo studio di Z come gruppo additivo, sappiamo già che la relazione di equivalenza associata alla partizione di Z in classi laterali modulo nz coincide con la relazione di congruenza modulo n; e sappiamo anche che l insieme quoziente Z/nZ è un gruppo, abeliano e di ordine n. Ora osserviamo che Z/nZ è un anello, ed è evidente che coincide con l anello delle classi di congruenza modulo n, cioè con (Z/ n, +, ), che già conosciamo. Omomorfismi. Se A e B sono due anelli, un applicazione φ : A B è un omomorfismo di anelli se è compatibile con le operazioni di A e di B, cioè se, per ogni x, y A, φ(x + y) = φ(x) + φ(y) e φ(xy) = φ(x)φ(y) e, inoltre, φ(1 A ) = 1 B. Quindi, un applicazione tra due anelli è un omomorfismo di anelli se, e solo se, è un omomorfismo di gruppi rispetto alla somma e un omomorfismo di monoidi rispetto al prodotto. Se φ : A B è un omomorfismo di anelli, allora φ(0 A ) = 0 B, φ(nx) = nφ(x) per ogni x A e ogni n Z, e φ(x) n = φ(x n ) per ogni x A e ogni n N; l ultima uguaglianza vale per ogni n Z, se x è invertibile. Un isomorfismo è un omomorfismo biettivo. L inverso di un isomorfismo è un isomorfismo. La composizione di omomorfismi è un omomorfismo. Due anelli si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo tra di loro. Nucleo e immagine di un omomorfismo di anelli. Se φ : A B è un omomorfismo di anelli, l immagine di φ, denotata con Im(φ), è l insieme {φ(x) : x A} e il nucleo di φ, denotato con Ker(φ), è l insieme {x A : φ(x) = 0 B }. L immagine di un omomorfismo φ : A B è un sottoanello di B. Osserviamo che la definizione di immagine di un omomorfismo non coinvolge le due operazioni di somma e prodotto dei due anelli; quindi tale definizione coincide con la definizione di immagine di φ, considerato solo come applicazione tra insiemi. Il nucleo di un omomorfismo φ : A B è un ideale di A. Osserviamo che la definizione di nucleo di un omomorfismo (di anelli) coinvolge solo le operazioni di somma dei due anelli, ma non quelle di prodotto; quindi tale definizione coincide con la definizione di nucleo di φ, considerato solo come omomorfismo di gruppi (i gruppi additivi dei due anelli.) Un omomorfismo φ : A B è iniettivo se, e solo se, Ker(φ) = {0 A }. Se I è un ideale proprio di A, la proiezione canonica π : A A/I, definita da x x + I, è un omomorfismo di anelli, suriettivo, con nucleo I. Da ciò segue che gli ideali propri di un anello sono tutti e soli i nuclei degli omomorfismi con dominio l anello stesso. Teorema fondamentale sugli omomorfismi di anelli. Se φ : A B è un omomorfismo di anelli, allora esiste un unica applicazione φ : A/Ker(φ) B tale che φ π = φ; tale applicazione è un omomorfismo iniettivo e la sua immagine coincide con quella di φ. Considerando solo le operazioni di somma su A e B, l applicazione φ è un omomorfismo di gruppi (abeliani) e quindi per il teorema fondamentale sugli omomorfismi di gruppi, sappiamo già che esiste un unica applicazione φ tale che il diagramma φ A B π φ A/Ker(φ) 3

è commutativo e che φ è iniettiva, Im( φ) = Im(φ) e φ è un omomorfismo di gruppi. Tenendo conto che φ(x + Ker(φ)) = φ(x), per ogni x A, si verifica subito che φ è un omomorfismo di anelli. Come corollario, si ha: se φ : A B è un omomorfismo di anelli, allora A/Ker(φ) è isomorfo a Im(φ); e come caso particolare: se φ : A B è un omomorfismo suriettivo di anelli, allora A/Ker(φ) è isomorfo a B. Ricordiamo che per ogni x, y A, x φ y φ(x) = φ(y) φ(x y) = 0 B x y Ker(φ) x Ker(φ) y; e quindi che per ogni z Im(φ), se x φ 1 (z), allora φ 1 (z) = x + Ker(φ). Caratteristica di un anello. La caratteristica di un anello A è : 0, se h1 A 0 A per ogni h N + ; il minimo degli interi h N + tali che h1 A = 0 A, altrimenti (dove h1 A è il multiplo intero di 1 A con coefficiente h, cioè la somma di h volte 1 A ). Consideriamo l omomorfismo di anelli φ : Z A, dato da z z1 A. Il suo nucleo è un ideale di Z, e quindi è principale: sia Ker(φ) = mz, con m 0. Allora m è la caratteristica di A. La caratteristica di A può anche essere definita nel modo seguente, considerando l ordine additivo di 1 A, cioè l ordine di 1 A nel gruppo additivo di A, (A, +): è 0 se tale ordine è infinito, ed è uguale a tale ordine, altrimenti. Sia m la caratteristica di A. Allora m 1, poiché 1 A 0 A ; inoltre, m = 0 se, e solo se, φ è iniettivo; infine, per ogni a A, si ha ma = 0 A. In generale, Im(φ) è un sottoanello di A, isomorfo a Z/mZ, e viene chiamato anello fondamentale, o anello primo, di A. Esso è contenuto in ogni sottoanello di A. In termini discorsivi (precisamente, a meno di isomorfismi), possiamo dire che ogni anello contiene l anello degli interi Z (se la sua caratteristica è 0), oppure contiene l anello delle classi di congruenza modulo m Z/mZ (se la sua caratteristica è m, con m 2). La caratteristica di un dominio d integrità (e quindi anche di un campo) è 0, oppure è un numero primo p. Esempi classici di anelli. Insiemi numerici: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ). Matrici quadrate: (M n (Z), +, ), (M n (Q), +, ), (M n (R), +, ), (M n (C), +, ). Polinomi: (Z[X], +, ), (Q[X], +, ), (R[X], +, ), (C[X], +, ). Classi di congruenza modulo n : (Z/ n, +, ). Parti di un insieme con la differenza simmetrica e l intersezione: (P(X),, ). Funzioni reali su un intervallo: (R I, +, ), (C(I), +, ), (C h (I), +, ) (I intervallo dell asse reale e h N). (Z[ 2], +, ), (Z[i], +, ), (Q[ 3], +, ). (Z n, +, ), (Q n, +, ), (R n, +, ), (C n, +, ), ((Z/mZ) n, +, ). Esempi classici di campi. Q, R, C. Z/pZ, con p un numero primo. Q[ 2], Q[ 3], Q[i]. Altri esempi di anelli. Z R, Q Z/nZ, M n (R) Q Q M n (Z/mZ), M n (R[X]), M n (R R ) Z/nZ[X], M n (R)[X], (Q[X])[Y ] 4

Il teorema cinese dei resti, II. Se m, n N, m, n 2 e (m, n) = 1, dalla teoria dei gruppi già sappiamo che l applicazione f : Z/mnZ Z/mZ Z/nZ, definita da [z] mn ([z] m, [z] n ), è un isomorfismo di gruppi (rispetto alle operazioni di somma). Si vede facilmente che f è compatibile anche con le operazioni di prodotto: quindi f è un isomorfismo di anelli. Come conseguenza, abbiamo che U(Z/mnZ) e U(Z/mZ Z/nZ) sono isomorfi (come gruppi moltiplicativi, ovviamente); in particolare, hanno lo stesso numero di elementi. Quindi, poiché U(Z/mZ Z/nZ) è uguale a U(Z/mZ) U(Z/nZ), abbiamo ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Questo risultato si generalizza a più interi: se n 1,..., n t N, dove t N e t 2, n i 2 e n i è primo con N/n i per ogni i = 1,..., t, dove N = n 1... n t, allora l applicazione f : Z/NZ Z/n 1 Z... Z/n t Z è un isomorfismo di anelli; in particolare, ϕ(n 1... n t ) = ϕ(n 1 )... ϕ(n t ). Una diversa generalizzazione, ad anelli qualsiasi, è la seguente: se A è un anello e I e J sono due suoi ideali propri tali che I + J = A, allora l applicazione f : A/I J A/I A/J è un isomorfismo di anelli. Questa applicazione f puó essere data direttamente ponendo, per ogni x A, f(x + I J) = (x + I, x + J), e dimostrando che questa è una buona definizione; oppure puè essere ottenuta considerando l omomorfismo φ : A A/I A/J, definito da x (x + I, x + J), e osservando che f = φ. 5