RESISTENZA A FATICA MULTIASSIALE DI PROVINI IN ACCIAIO 40CrMoV13.9 INDEBOLITI DA INTAGLI CIRCONFERENZIALI

AIAS ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI 42 CONVEGNO NAZIONALE, 11-14 SETTEMBRE 2013, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO AIAS 2013-193 RESISTENZA A FATICA MULTIASSIALE DI PROVINI IN ACCIAIO 40CrMoV13.9 INDEBOLITI DA INTAGLI CIRCONFERENZIALI C. Marangon, F. Berto, P. Lazzarin Università degli Studi di Padova - Dipartimento di Tecnica e gestione dei sistemi industriali, Stradella San Nicola 3, 36100 Vicenza, e-mail: marangon@gest.unipd.it Sommario Il presente lavoro è focalizzato allo studio del comportamento a fatica multiassiale di provini cilindrici in acciaio 40CrMoV13.9 indeboliti da intagli circonferenziali (a V con raggio di raccordo all'apice di 1 mm e angolo di apertura di 90, e semicircolari con raggio di raccordo all'apice =4 mm). I provini sono stati sottoposti a carichi combinati di trazione-compressione e torsione, sia in fase che fuori fase. Tale scelta ha permesso di valutare anche l'effetto dell angolo di fase sulla resistenza a fatica. I risultati ottenuti dai test multiassiali sono stati confrontati con quelli ottenuti da prove di fatica assiali e torsionali effettuate su provini caratterizzati dalla stessa geometria. I risultati sono stati dapprima presentati in termini di ampiezza di tensione nominale e poi ri-analizzati in termini di densità di energia di deformazione valutata all'interno di un volume di controllo posto all'apice dell'intaglio. Abstract The work deals with multiaxial fatigue strength of notched specimens made of 40CrMoV13.9. Circumferentially V-notched specimens and semicircular notched were tested under combined tension and torsion loading, both in-phase and out-of-phase. The geometry of axis-symmetric V-notched specimens was characterized by a constant notch tip radius (1 mm) and V-notch opening angle of 90. The semicircular specimens were characterized by a constant notch tip radius. In both cases the diameter of the net sectional area was 12 mm. The results from multi-axial tests are discussed together with those obtained under pure tension and pure torsion loading from notched specimens with the same geometry. Altogether more than 120 new fatigue data are summarised in the present work. All fatigue data are presented first in terms of nominal stress amplitudes and then re-analysed in terms of the mean value of the strain energy density evaluated over a finite size semicircular sector surrounding the tip of the notch. Parole chiave: Fatica multiassiale, Criterio SED, Componenti intagliati, Sollecitazioni fuori fase 1. INTRODUZIONE Sono numerosi i criteri in letteratura finalizzati alla previsione del cedimento di componenti criccati e intagliati soggetti a carichi ciclici multiassiali [1-4]. In un lavoro recente Sonsino e Nieslony [5] hanno fornito una panoramica dei criteri maggiormente utilizzati nella pratica corrente, applicandoli anche a diverse serie di dati sperimentali tratte dalla letteratura. I provini considerati risultavano indeboliti da intagli di diversa forma e soggetti a carichi multiassiali. L'approccio di piano critico è stato recentemente modificato da Carpinteri e Spagnoli [1,2] correlando l'orientazione del piano stesso alle direzioni delle tensioni principali. Lagoda et al. [3] hanno

sviluppato un criterio energetico basato su un parametro di danneggiamento definito come la somma delle energie associate alle tensioni normali e tangenziali agenti sul piano critico. Il criterio di Ye et al. [4] si basa invece su considerazioni termodinamiche che vengono utilizzate per scindere la quota parte di energia immagazzinata all'interno del componente dall'energia dissipata in calore durante le sollecitazioni cicliche. Il criterio permette di ricavare le tensioni e le deformazioni "vere", considerando la presenza di una zona plastica all'apice dell'intaglio. Il lavoro fornisce un'espressione unificata per il calcolo dello stato tensionale per la quale la regola di Neuber ed il criterio ESED diventano due casi limite del più generale criterio proposto. La fatica multiassiale dei componenti criccati e intagliati è un campo di ricerca ancora aperto. Non esiste infatti un criterio di cedimento univoco e risulta molto complessa la corretta interpretazione dei risultati sperimentali. Alcune difficoltà di carattere teorico e pratico sono ben documentate in numerosi lavori riportati in letteratura [6-12]. Per esempio le condizioni di soglia per la propagazione di cricche a fatica soggette a modo misto (I+III) sono state analizzate da Pook e Sharples [6] attraverso l'analisi dei campi di tensione all'apice della cricca. Pook [7] ha inoltre sottolineato la necessità, in condizioni di carico misto, di distinguere tra differenti condizioni di soglia per spiegare sia l'innesco che l'arresto di cricche soggette a carichi ciclici. Tong et al. [8] hanno mostrato come la definizione di un K th in condizioni di carico di modo misto non sia banale. L'applicazione di un carico di torsione comporta infatti, in molti casi, la formazione di una importante zona plastica all'apice dell'intaglio. La presenza di uno stato di snervamento localizzato combinato ad altri fenomeni di attrito legati allo sfregamento dei fianchi della cricca fanno sì che i risultati ottenuti dai test a fatica siano pesantemente influenzati dalla geometria iniziale del componente. I fenomeni intrinseci ed estrinseci che inducono gli effetti di "shielding" agenti durante la propagazione delle cricche di fatica sono stati classificati da Ritchie [9] mentre il comportamento a fatica in prossimità della condizione di soglia è stato studiato da Yu et al. [10] e da Tanaka et al. [11]. E' stato riscontrato che la velocità di propagazione si riduce all'aumentare delle dimensioni della cricca per effetto dell'attrito tra i lembi della cricca stessa. I meccanismi di propagazione sono stati recentemente oggetto di studio anche da parte di Pippan et al. [12]. In particolare sono stati indagati la presenza di cricche corte, lo snervamento localizzato ed esteso, nonchè i fattori legati all'ambiente esterno su materiali caratterizzati da un comportamento duttile. Da questi studi è stato possibile dimostrare che una metodologia sviluppata ad hoc per un certo tipo di materiale (sottoposto a particolari condizioni di carico) può essere estesa ad altri materiali (sottoposti a carichi simili) solamente se i meccanismi di propagazione della cricca sono simili. Un recente modello analitico è stato sviluppato da Christopher et al. [13]. Il metodo ha preso in considerazione gli effetti indotti dallo snervamento all'apice della cricca attraverso un'analisi accurata degli effetti di "shielding" e delle forze che entrano in gioco durante tale meccanismo. La capacità del modello di caratterizzare gli effetti indotti, sul campo di tensione lineare elastico, dalla plasticità localizzata, è stata dimostrata mediante la fotoelasticità. Oltre al fenomeno della propagazione, recentemente è stato studiato anche il fenomeno dell innesco delle cricche considerando l'effetto combinato dell apertura dei lembi della cricca e dello scorrimento relativo tra i fianchi. Ravi-Chandar et al. [14] hanno dimostrato che l'accrescimento non sempre avviene per mezzo di un'evoluzione continua della cricca. Risulta infatti frequente che il fronte di cricca subisca una brusca frammentazione o una segmentazione. In [15,16] sono stati analizzati provini indeboliti da tre diverse geometrie di intaglio circonferenziale. Sono stati considerati due diversi materiali, in particolare un acciaio austenitico (SUS316L) ed un acciaio al carbonio (SGV410). I provini sono stati sottoposti dapprima ad un carico ciclico di torsione pura a cui è stato sovrapposto in seguito un carico statico. E stato possibile osservare come la differente geometria dell'intaglio influenzi l'innesco e la propagazione delle cricche di fatica. E' stato inoltre riscontrato che la vita a fatica dei provini intagliati in acciaio austenitico risultava maggiore rispetto a quella dei corrispettivi provini lisci (con riferimento alle tensioni sull'area netta). Addirittura il trend era crescente all'aumentare del fattore teorico di concentrazione delle tensioni. Questo comportamento apparentemente anomalo è stato attribuito alla presenza di una zona di contatto tra i fianchi della cricca, la quale risulta in genere più estesa nel caso di intagli severi ed è tale da provocare un ritardo nella propagazione. La sovrapposizione di un carico statico di trazione diminuisce il ritardo della propagazione poichè il contatto tra le superficie si riduce per effetto del carico di apertura imposto. Per quanto riguarda invece il secondo materiale, l'effetto benefico legato alla presenza dell'intaglio non è stato riscontrato in nessuna delle due configurazioni di carico.

Di recente un approccio basato sulla densità di energia di deformazione mediata su un volume di controllo è stato esteso al calcolo della resistenza di componenti intagliati e giunti saldati soggetti a carichi statici e ciclici. In particolare l'approccio SED è stato utilizzato per sintetizzare più di 300 dati a fatica monoassiale e multiassiale ricavati da prove sperimentali su componenti assialsimmetrici in acciaio C40 [17] e 39NiCrMo3 [18] indeboliti da diverse geometrie d'intaglio. I fenomeni dissipativi riscontrati durante la campagna di prova, oltre che le superficie di frattura e le cricche individuate nei provini non rotti, sono stati ampiamente descritti in [18]. Una sintesi finale, con l'esclusione dei soli risultati ottenuti da prove con sollecitazioni fuori fase, è stata presentata in termini di SED, adattando il volume di controllo alle sollecitazioni nominali applicate [18]. Nel caso di applicazione di modo III puro è stato riscontrato come il volume di controllo risenta pesantemente dei meccanismi di "shielding". Per quanto concerne il caso di intagli severi, in [19] è riportata una sintesi dei dati sperimentali ricavati in [17,18] con l'aggiunta di ulteriori dati ricavati da alcune campagne di prova effettuate su provini lisci e intagliati in AISI 416 (allo stato incrudito e temprato) sollecitati a fatica multiassiale, in fase e fuori fase. Tutti i risultati sono stati ri-analizzati in termini di SED locale dimostrando come lo stesso valore di energia di deformazione all'interno di un volume strutturale possa essere ottenuto utilizzando due differenti volumi di controllo (uno legato alle sollecitazioni di modo I ed uno a quelle di modo III). La costanza del volume di controllo non è quindi la regola, ma un caso particolare. Il presente lavoro ha come obiettivo la caratterizzazione della resistenza a fatica multiassiale di provini in 40CrMoV13.9 indeboliti da intagli di forma diversa. In particolare sono stati testati provini con intagli circonferenziali caratterizzati da due diverse geometrie. I carichi nominali sono stati applicati sia in fase che fuori fase in modo da poter discriminare l'eventuale influenza dello sfasamento sulla resistenza a fatica del componente. Il primo intaglio considerato è a V caratterizzato da un raggio di raccordo all'apice di 1 mm ed un angolo di apertura di 90. Il secondo intaglio è invece semicircolare con un raggio di 4 mm. I risultati ottenuti dalle prove a fatica multiassiale sono stati analizzati assieme a quelli ottenuti da prove a fatica monoassiale di trazione-compressione e torsione pura per un totale di 120 nuovi risultati. L'utilizzo del criterio basato sull energia locale di deformazione, per questa particolare tipologia di materiale, ha permesso di superare le problematiche legate all'effetto apportato dallo sfasamento dei carichi nominali imposti utilizzando un unico valore del raggio del volume di controllo. 2.MATERIALE E PROVINI UTILIZZATI Il materiale utilizzato per la fabbricazione dei provini assialsimmetrici impiegati per lo sviluppo della campagna di prove sperimentali è l'acciaio 40CrMoV13.9. Inizialmente sono state effettuate alcune prove di trazione per poter caratterizzare le proprietà statiche del materiale in esame. Le principali proprietà sono riportate in Tabella 1, mentre la composizione chimica è mostrata in Tabella 2. Tensione di rottura (MPa) Tabella 1. Proprietà meccaniche dell'acciaio 40CrMoV13.9. Tensione di snervamento (MPa) Allungamento a rottura (%) Durezza Brinnell 1355 1127 15.2 393-415 Tabella 2. Composizione chimica dell'acciaio 40CrMoV13.9. C Mn Si S P Cr Ni Mo V Al W 0.38 0.5 0.27 0.006 0.003 3.05 0.24 1.04 0.24 0.013 0.005

Le geometrie dei provini testati sono riportate in Figura 1. La profondità (d) dell'intaglio è pari a 4 mm per entrambi i casi. I provini indeboliti da intagli a V sono caratterizzati da un raggio all'apice dell'intaglio di 1 mm e da un angolo di apertura dell'intaglio di 90. La geometria dell'intaglio semicircolare è invece caratterizzata da un raggio di raccordo di 4 mm. 90 20 =1.0 mm d = 4 mm 20 =4.0 mm (a) d = 4 mm (b) Figura 1: Geometria dei provini indeboliti da intagli a V e semicircolari (a) e dettaglio (b). I provini sono stati testati a fatica monoassiale di trazione-compressione, di torsione pura ed a fatica multiassiale (trazione-compressione e torsione) con differenti rapporti di biassialità ( a a =0.6 e 1). In particolare sono state effettuate dieci differenti serie sperimentali seguendo la suddivisione riportata in seguito: Due serie di test su provini intagliati (V e semicirconferenziali) soggetti a fatica monoassiale di torsione pura (Rapporto nominale di ciclo R=-1);

Una serie di test su provini indeboliti da intagli a V soggetti a fatica monoassiale di trazionecompressione (Rapporto nominale di ciclo R=-1); Due serie di test su provini indeboliti da intagli a V soggetti a fatica multiassiale (Rapporto di biassialità =1, Rapporto nominale di ciclo R=-1, Angolo di sfasamento tra le sollecitazioni =0, =90 ); Due serie di test su provini indeboliti da intagli a V soggetti a fatica multiassiale (Rapporto di biassialità =0.6, Rapporto nominale di ciclo R=-1, Angolo di sfasamento tra le sollecitazioni =0, =90 ); Due serie di test su provini indeboliti da intagli semicirconferenziali soggetti a fatica multiassiale (Rapporto di biassialità =1, Rapporto nominale di ciclo R=-1, Angolo di sfasamento tra le sollecitazioni =0, =90 ); Una serie di test su provini indeboliti da intagli semicirconferenziali soggetti a fatica multiassiale (Rapporto di biassialità =0.6, Rapporto nominale di ciclo R=-1, Sollecitazioni in fase =0 ); 3.MODALITA' DI PROVA Prima dei test tutti i provini sono stati lucidati allo scopo di ridurre al minimo la presenza di eventuali graffi o abrasioni legati alla lavorazione effettuata durante la fabbricazione. Le prove di fatica sono state effettuate con una macchina di prova MTS 809 (Carico massimo 100KN, Coppia massima 1100Nm). Tutti i test sono stati effettuati in controllo di carico con frequenze variabili da 1 a 10 Hz a seconda del carico applicato e della geometria del provino. Alla fine di ogni test sono state attentamente analizzate le superficie di frattura e le eventuali cricche non propagate nei casi di run-out attraverso l'utilizzo di un microscopio ottico e di uno elettronico. In Figura 2 e 3 sono riportate alcune delle superficie di frattura ottenute applicando cicli di carico monoassiale e multiassiale. Figura 2: Superficie di frattura per carichi di fatica monoassiale di torsione pura (a) e trazionecompressione (b).

Figura 3: Superficie di frattura per carichi di fatica multiassiale in fase (a) e fuori fase (b). I risultati dell' analisi statistica effettuata assumendo una distribuzione log-normale sono riassunti in Tabella 3. In particolare sono stati riportati i valori medi delle ampiezze nominali ottenuti per tre valori di riferimento del numero di cicli effettuati, la pendenza inversa k della curva di Wöhler e l'indice di dispersione T riferita ad una probabilità di sopravvivenza del 10% e del 90%. Le rotture per fatica comprese tra i 10 4 e i 5x10 6 cicli sono state incluse nell'analisi statistica, mentre i run-out sono stati esclusi. Tabella 3. Risultati dei test di fatica. Valori medi (P s =50%). Tensioni riferite all'area netta. Serie Tipo di sollecitazione N k T σ o T τ σ a - τ a 10 6 2 10 6 5 10 6 1 Torsione R= -1 16 τ 13.33 1.144 281 267 249 2 Multiassiale R=-1, =0, =1.0 14 σ 9.39 1.176 183 170 154 3 Multiassiale R=-1, =90, =1.0 13 σ 7.67 1.428 146 133 118 4 Trazione-Compressione R= -1 12 σ 8.42 1.335 254 234 210 σ 215 200 182 5 Multiassiale R=-1, =0, =0.6 12 9.9 1.202 τ 129 120 109 σ 187 171 152 6 Multiassiale R=-1, =90, =0.6 13 7.63 1.485 τ 112 103 91 7 Torsione R= -1 Semicircolare 11 τ 14.27 1.160 367 350 328 8 9 10 Multiassiale R=-1, =0, =1.0 Semicircolare Multiassiale R=-1, =90, =1.0 Semicircolare Multiassiale R=-1, =0, =0.6 Semicircolare 15 σ 7.68 1.268 240 219 194 17 σ 10.79 1.260 264 247 227 In Figura 4 sono riportate le curve di fatica per il caso di provini con intaglio a V soggetti a trazionecompressione, torsione pura, fatica multiassiale in fase e fuori fase. Il rapporto di biassialità è unitario. Dal grafico è possibile vedere come lo sfasamento tra i carichi nominali applicati causi un decremento della vita a fatica rispetto all'applicazione del carico in fase. Tale effetto è stato osservato solamente per intagli a V, mentre per quanto riguarda il caso di intagli semicircolari le curve ottenute nel caso di carichi fuori fase sono comparabili con quelle ottenute per il carico in fase (Figura 5). E' stato riscontrato che, per quanto riguarda gli intagli a V, l'effetto peggiorativo legato allo sfasamento risulta evidente anche al variare del rapporto di biassialità. Sembra quindi che lo sfasamento tra le 12 σ 333 313 289 11.45 1.307 τ 200 188 173

Ampiezza di tensione nominale [MPa] Ampiezza di tensione nominale [MPa] 42 CONVEGNO NAZIONALE SALERNO, 11-14 SETTEMBRE 2013 sollecitazioni nominali possa incrementare o viceversa diminuire la vita di un componente in funzione della geometria dell'intaglio ed in particolare del raggio di raccordo. 600 Intaglio a V Torsione R=-1 Trazione-Compressione R=-1 Multiassiale R=-1 =1 =0 Multiassiale R=-1 =1 =90 60 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Numero di cicli a rottura, N Figura 4: Dati a fatica ricavati da test su provini indeboliti da intagli a V. 1000 Intaglio semicircolare Torsione, R = -1 Multiassiale, R=-1, =0, =1 Multiassiale, R=-1, =90, =1 Multiassiale, R=-1, =0, =0.6 100 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Numero di cicli a rottura, N Figura 5: Dati a fatica ricavati da test su provini indeboliti da intagli semicirconferenziali.

4.SINTESI IN TERMINI DI SED MEDIATO SU UN VOLUME STRUTTURALE Il criterio basato sulla densità di energia di deformazione (SED) mediato su un volume strutturale si basa sull'idea che le condizioni di incipiente cedimento del componente si verificano quando si raggiunge un valore critico, legato al materiale in esame, dell'energia di deformazione (W c ). Il SED critico quindi varia da materiale a materiale ma non dipende dalla geometria dell'intaglio. In particolare per il caso dell'acciaio 40CrMoV13.9, il raggio critico del volume di controllo è risultato pari a 0.05 mm [20]. Considerando il caso di intaglio a V, il volume di controllo è definito come in Figura 6a. In particolare tale volume risulta centrato ad una distanza uguale ad r 0 dall'apice dell'intaglio ed assume una forma crescente spostandosi dai fianchi alla bisettrice dello stesso. La distanza r 0 dipende dal raggio di raccordo ( ) e dall'angolo di apertura dell'intaglio (2 ), secondo le relazioni: 2 2 q (1) q 1 r 0 (2) q Per quanto riguarda il caso di un intaglio semicircolare soggetto a modo I+III, il volume di controllo assume la forma di Figura 6b, dove R c è la quota misurata lungo la bisettrice dell'intaglio. Il raggio esterno del volume di controllo risulta pari a R c + /2, essendo /2 la distanza tra l'apice dell'intaglio e l'origine del sistema di coordinate. 2 r 0 R c /2 R c R c +r 0 (a) (b) Figura 6: Volumi critici per intagli a V (a) ed intagli semicirconferenziali (b) Il valore del SED all'interno del volume strutturale, accuratamente definito come riportato in precedenza, è stato calcolato attraverso una serie di analisi agli elementi finiti effettuate con il software Ansys 12.0 per entrambe le geometrie di intaglio analizzate. La Figura 7 riassume la sintesi effettuata in termini di densità di energia di deformazione sottolineando come la banda di dispersione dei dati sia molto più contenuta rispetto a quella effettuata in tensione nominale (Fig.3-4).

SED [MJ/m 3 ] 42 CONVEGNO NAZIONALE SALERNO, 11-14 SETTEMBRE 2013 10.0 Pendenza inversa k = 5.0 40CrMoV13.9 R c =0.05 mm 120 nuovi dati SED (2x10 6, P.s. 50%) = 0.75 MJ/m 3 1.0 Trazione R=-1 Torsione R=-1 Multiassiale R=-1 =1 =0 Multiassiale R=-1 =1 =90 Multiassiale R=-1 =0.6 =0 T Multiassiale R=-1 =0.6 =90 W ( P.s. 10-90%) = 1.96 Semicircolare Torsione R=-1 Semicircolare Multiassiale R=-1 =1 =0 Semicircolare Multiassiale R=-1 =1 =90 Semicircolare Multiassiale R=-1 =0.6 =0 0.1 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 Numero di cicli a rottura, N Figura 7: Sintesi in termini di SED di 120 nuovi dati sperimentali su provini intagliati. 4.CONCLUSIONI La presente memoria si è posta come obiettivo quello di sintetizzare 120 nuovi dati sperimentali su provini in 40CrMoV13.9 indeboliti da intagli circonferenziali e soggetti a fatica monoassiale e multiassiale. Tutti i risultati ottenuti sono stati dapprima riassunti in termini di ampiezza di tensione nominale applicata e poi rianalizzati utilizzando il criterio dell'energia di deformazione mediata all'interno di un volume strutturale che abbraccia i fianchi dell'intaglio. La sintesi in termini di SED ha permesso di ottenere una banda di dispersione dei dati sperimentali con un T W =1.96 (P.s.=10-90 %), inferiore a 1.5 in termini di range di tensione equivalente. E' stato inoltre dimostrato che è possibile calcolare l'energia di deformazione all'interno di un volume costante indipendente dalla geometria dell'intaglio e dalle condizioni di carico imposte. BIBLIOGRAFIA 1. An. Carpinteri, A. Spagnoli. "Multiaxial high-cycle fatigue criterion for hard metals", International Journal of Fatigue, 23, 135-145 (2001). 2. An. Carpinteri, A. Spagnoli, S. Vantadori. "Multiaxial fatigue life estimation in welded joints using the critical plane approach", International Journal of Fatigue, 31, 188-196 (2009). 3. T. Łagoda, E. Macha, W. Bedkowski. "A critical plane approach based on energy concepts: application to biaxial random tension-compression high-cycle fatigue regime", International Journal of Fatigue, 21, 431-443 (1999). 4. D. Ye, O. Hertel, M. Vormwald. "A unified expression of elastic plastic notch stress strain calculation in bodies subjected to multiaxial cyclic loading", International Journal of Solids and Structures, 45, 6177-6189 (2008). 5. A. Nieslony, C.M. Sonsino. "Comparison of some selected multiaxial fatigue assessment criteria", LBF Report No. FB-234 (2008). 6. L.P. Pook, J.K. Sharples. "The mode III fatigue crack growth threshold for mild steel",

International Journal of Fracture, 15, R223-R226 (1979). 7. L.P. Pook, "The fatigue crack direction and threshold behaviour of mild steel under mixed mode I and III loading", International Journal of Fatigue, 7, 21-30 (1985). 8. J. Tong, J.R. Yates, M.W. Brown, "Some aspects of fatigue thresholds under mode III and mixed mode and I loadings". International Journal of Fatigue, 18, 279-285 (1986). 9. R.O. Ritchie. "Mechanics of fatigue crack propagation in metals, ceramics and composites: Role of crack tip shielding", Material Science and Engineering A-Strucurest; 103, 15-28 (1988). 10. H.C. Yu, K. Tanaka, Y. Akiniwa. "Estimation of torsional fatigue strength of medium carbon steel bars with circumferential crack by the cyclic resistance-curve method", Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures; 21, 1067-1076 (1998). 11. K. Tanaka, Y. Akiniwa, H. Yu. "The propagation of a circumferential fatigue crack in mediumcarbon steel bars under combined torsional and axial loadings". In: Mixed-Mode Crack Behaviour, ASTM 1359 (eds KJ Miller and DL McDowell), West Conshohocked, PA, 295-311 (1999). 12. R. Pippan, C. Zelger, E. Gach, C. Bichler, H. Weinhandl. "On the mechanism of fatigue crack propagation in ductile metallic materials". Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 34, 1-16 (2011). 13. C.J. Christopher, M.N. James, E.A. Patterson, K.F. Tee. "Towards a new model of crack tip stress fields", International Journal of Fracture, 148, 361 371 (2007). 14. B. Lin, M.E. Mear, K. Ravi-Chandar. "Criterion for initiation of cracks under mixed-mode I + III loading", International Journal of Fracture, 165, 175-188 (2010). 15. K. Tanaka. "Small crack propagation in multiaxial notch fatigue", International Conference on Crack Paths, Gaeta, 19-21 September 2012. 16. K. Tanaka. "Crack initiation and propagation in torsional fatigue of circumferentially notched steel bars". In Press, Accepted Manuscript, Available online 18 January http://dx.doi.org/10.1016/j.ijfatigue.2013.01.002 (2013). 17. B. Atzori, F. Berto, P. Lazzarin, M. Quaresimin. "Multiaxial fatigue behaviour of a severely notched carbon steel". International Journal of Fatigue, 28, 485-493 (2006). 18. F. Berto, P. Lazzarin, J. Yates. "Multiaxial fatigue of V-notched steel specimens: a nonconventional application of the local energy method", Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 34, 921 943 (2011). 19. F. Berto, P. Lazzarin. "Fatigue strength of structural components under multi-axial loading in terms of local energy density averaged on a control volume", International Journal of Fatigue, 33, 1055-1065 (2011). 20. L. Nian, D. Bai-ping, Z. Hui-jiu. "On the relationship between fatigue limit, threshold and microstructure of a low-carbon Cr-Ni steel", International Journal of Fatigue, 6, 89-94 (1984).