Espansione dell Universo e redshift

Espansione dell Universo e redshift Primo Galletti Aldo Aluigi Roma, 21 Settembre 2002 In un Universo in ui avviene ontinuamente la nasita e la morte della materia 1 l ipotesi di una grande esplosione iniziale (Big-Bang), avvenuta ira 20 miliardi di anni fa, per spiegarne la sua espansione non é piú sostenibile 2. Si vuole, qui, proporre una diversa interpretazione della espansione dell Universo piú in linea, anhe, on l esistenza di uno spazio fisio. Vedremo ome on questa nuova interpretazione il signifiato del redshift z risulta molto diverso dall effetto Doppler, anhe se la sua espressione é molto bene approssimata on la seguente 3 : z + 1 = v he, ome é ben noto, oinide on una delle espressioni relative all effetto Doppler lassio 4. 1 Si vedano a questo proposito le Parti 2 e 5 di Un rivelatore di onde Gravitazionali. 2 Con il Big-Bang il redshift z viene interpretato in termini di effetto Doppler ( relativistio ) della radiazione elettromagnetia emessa dagli oggetti elesti in allontanamento rispetto a noi. Piú preisamente si ha: + v z + 1 = v Si vuole fare presente soltanto ome questa oinide, in pratia, on la (1) solo per piole distanze (z 0.5) (v. Figura 7). D altronde, la validitá della suddetta espressione é stata verifiata soltanto attraverso l analisi della radiazione elettromagnetia emessa da orpi elesti relativamente viini a noi. 3 Siano A ed B due orpi elesti he supponiamo allontanarsi tra di loro alla veloitá v. Se al tempo t = t 0 il orpo A emette un segnale di durata T A he puó essere rievuto da B e indihiamo on T B la durata del segnale registrato da quest ultimo, risulta he: T A > T B Tale effetto viene omunemente hiamato redshift in quanto onsiste in uno spostamento verso le basse frequenze (ossia verso il rosso nel aso di un segnale luminoso) dello spettro del segnale registrato da B e viene definito nel modo seguente: z = T B T A T A 4 Nella Appendie A.1 vengono riportate le espressioni relative all effetto Doppler lassio. (1) 1

Abbiamo giá visto he la (1) funziona molto bene nell analisi delle onde gravitazionali di elevata intensitá ( forhette ) prodotte, anhe a notevole distanza da noi, dai ollassi dei nulei dei Quasar a Nuleo Multiplo (QNM) 5. 1 Espansione dell Universo Si vuole riavare l espressione he avrebbe il redshift e le altre grandezze ad esso assoiate nell ipotesi he l espansione dell Universo sia dovuta alla ontinua interposizione (generazione) di nuovo spazio fisio. A tale sopo identifihiamo on Γ 0 la quantitá di spazio fisio generato nell unitá di tempo per unitá di volume 6 : Γ 0 = m 3 /s di spazio per m 3 di volume Siano A e B due orpi elesti e onsideriamo una sfera on entro in A e on raggio pari a r AB in modo he sulla sua superfiie sia ontenuto il orpo B (v. Figura 1). La variazione del volume V AB (t) nell unitá di tempo della sfera osí ostruita é direttamente proporzionale al volume V AB (t) stesso. Piú preisamente, per il volume V AB é possibile srivere la seguente relazione (differenziale): V AB = Γ 0 V AB (2) dove il punto rappresenta la derivata rispetto al tempo. La soluzione della (8), nell ipotesi he Γ 0 possa essere ritenuto ostante, é data da: V AB (t) = V 0 e Γ 0 (t t 0 ) (3) dove V 0 é il volume iniziale (t = t 0 ). É faile verifiare he per la distanza r AB (t) vale, invee, la seguente relazione: r AB (t) = r 0 e Γ 0 3 (t t 0 ) (4) dove r 0 é la distanza iniziale tra A e B (ossia per t = t 0 ). Derivando rispetto al tempo la (9) si ottiene la veloitá di allontanamento v AB tra i due orpi: v AB ṙ AB = Γ 0 3 r AB (5) La (5) i mostra he esiste una relazione di proporzionalitá tra la veloitá di allontanamento e la distanza. Possiamo riassumere quanto sopra nel modo seguente: nella misura in ui il rateo di produzione di spazio Γ 0 possa essere onsiderato ostante, i due orpi elesti A e B si allontanano tra di loro on una veloitá he é direttamente proporzionale alla loro distanza. 5 Si veda l Appendie A.1 della Parte 2 di Un rivelatore di Onde Gravitazionali. 6 Non i ouperemo, per ora, di ome possa essere generato un tale mezzo. 2

A B Figura 1: Allontanamento tra A e B per effetto dell espansione Dal onfronto della (5) on la legge di Hubble: v = H 0 r (6) si ottiene la seguente relazione tra Γ 0 e la ostante di Hubble H 0 7 : Γ 0 = 3 H 0 (7) Per ui, la (3) e la (4) si possono srivere, anhe, nel seguente modo: V AB (t) = V 0 e 3 H 0 (t t 0 ) r AB (t) = r 0 e H 0 (t t 0 ) (8) (9) 2 La propagazione dei segnali Supponiamo he A emetta un segnale di tipo impulsivo he possa essere rievuto da B. Sia r 0 la distanza tra A e B al tempo t 0 dell emissione dell impulso. Indihiamo, inoltre, on r pulse (t) la distanza per t > t 0 perorsa dall impulso (v. Figura 2). 7 Sul valore da attribuire alla ostante di Hubble é, anora oggi, molto disaordo. Il suo valore sembra possa essere ompreso tra 45 e 80 km/s per Mp (ossia onpreso tra 12.5 e 25 km/s per milione di anni-lue). 3

A B Figura 2: Propagazione dell impulso emesso da A Per r pulse (t) possiamo srivere la seguente relazione (differenziale): ṙ pulse (t) = + v pulse (t) (10) dove, é veloitá di propagazione del segnale (rispetto al mezzo di omuniazione) e v pulse ṙ pulse é la veloitá di espansione della sfera di raggio r pulse. Poihé per la (5) si ha: v pulse (t) = Γ 0 3 r pulse(t) H 0 r pulse (t) (11) Sostituendo la (11) nella (10) si ottiene la seguente espressione (differenziale): dr pulse + H 0 r pulse = dt (12) la quale integrata on la ondizione iniziale: fornise: r pulse (t 0 ) = 0 ln + H 0 r pulse = H 0 (t t 0 ) (13) 4

da ui si ottiene: r pulse (t) = ] [e H 0 (t t 0 ) 1 H 0 (14) É possibile stabilire il tempo t impiegato dall impulso prima di essere rievuto da B uguagliando la (14) on la (9). Si ha: r pulse (t) = ] [e H 0 (t t 0 ) 1 (15) H 0 dalla quale si riava la seguente importante espressione: t = 1 H 0 ln 1 H 0 r 0 H 0 ln v 0 (16) dove v 0 é la veloitá di allontanamento iniziale tra A e B (ossia al momento dell emissione dell impulso da parte di A): v 0 = H 0 r AB (t 0 ) = H 0 r 0 (17) La distanza tra A e B al momento della riezione dell impulso da parte di B si riava sostituendo la (16) nella (9): r AB ( t) = r 0 R U (18) dove r 0 é la distanza iniziale tra A e B. La distanza perorsa dall impulso prima di essere rievuto da B si riava sostituendo la (16) nella (14): r pulse ( t) = R U r 0 (19) 3 Raggio dell Universo visibile Se si osservano la (16), (18) e (19) si nota he sono possibili tempi di perorrenza dell impulso finiti solo se: r 0 < r rit H 0 (20) ossia, se la sorgente A si trovava, al momento dell emissione dell impulso, ad una distanza dal rievitore B inferiore alla distanza ritia r rit. Pertanto, possiamo definire il Raggio dell Universo Visibile on la quantitá: R U = 3 Γ 0 H 0 (21) É faile verifiare he R U é la distanza tra A e B in ui la veloitá di allontanamento v diventa uguale alla veloitá di propagazione degli impulsi. Infatti, v = H 0 R U = H 0 H 0 = (22) 5

Per distanze tra A e B uguali o superiori a R U gli impulsi emessi da A non riesono piú a raggiungere B (ossia il orpo A non puó piú essere visto da B). Con la definizione (20), la (16) puó essere sritta anhe nel modo seguente: dove, t = t H ln R U (23) t H 1 H 0 = 3 Γ 0 (24) rappresenta il tempo aratteristio (tempo di Hubble) del proesso di espansione dell Universo. Infatti, se nella (14) poniamo: t t 0 = t H si ottiene una distanza perorsa dall impulso pari a (1 e) R U (ossia, ira il 63 % di R U ) oppure, se si preferise, t H é il tempo neessario a raggiungere una veloitá di allontanamento tra A e B pari a ira il 63 % di. Il tempo t 2 di raddoppio della distanza iniziale (r 0 ) tra A e B si ottiene uguagliando a 2 r 0 la (9): 2 r 0 = r 0 e H 0 t 2 (25) dalla quale si riava: t 2 = ln 2 H 0 = 0.693... t H (26) t 2 é anhe il tempo neessario affinhé il volume iniziale (V 0 ) diventi 8 volte piú grande. 4 Una rappresentazione geometria É possibile fornire una interpretazione geometria molto semplie a quanto po anzi detto. Se poniamo: w = e H 0 (t t 0 ) sia la (9) he la (14) diventano funzioni lineari della nuova variabile w (v. Figura 3). É faile verifiare he l intersezione tra le due rette rappresenta l istante in ui l impulso emesso da A viene rievuto da B. Dalla intersezione tra le due rette si ottiene: w = R U (28) R U r = r 0 (29) he, ome si vedrá, insieme alla (21) rappresentano le relazioni fondamentali del proesso di espansione dell Universo. 6 (27)

distane r Visible Universe Not visible Universe path of the pulse emitted by A line of expansion between A and B w Figura 3: Rappresentazione geometria dell impulso emesso da A 5 Redshift e allargamento dell onda Supponiamo he al tempo t = t 0 il orpo eleste A emetta l impulso 1 e dopo un tempo T A emetta l impulso 2. Sia, invee, T B l intervallo di tempo he interorre tra la riezione dell impulso 1 e l impulso 2 da parte di B (v. Figura 4). Si vuole riavare la relazione esistente tra T A e T B nell ambito delle ipotesi fatte ai punti preedenti. Siano r 1 (t) ed r 2 (t) le distanze da A perorse rispettivamente dall impulso 1 e dall impulso 2 (v. Figura 5). Il tempo di perorrenza dell impulso 1, in base alla (23) é dato da: t 1 = 1 H 0 ln R U (30) dove r 0 é la distanza iniziale tra A e B. Per l impulso 2 si ha, invee: t 2 = 1 H 0 ln R U R U ( r 0 + r 0 ) (31) dove r 0 é l inremento di distanza tra A e B durante l emissione dei due impulsi. Utilizzando la (9) si ha he: r 0 + r 0 = r 0 e H 0 T A 7

T A 2 1 A B T B A 2 1 B Figura 4: Propagazione della oppia di impulsi emessi da A E poihé, H 0 T A 1 si ottiene, on ottima approssimazione: r 0 r 0 H 0 T A Ora, il tempo T B tra la riezione dei due impulsi da parte di B é dato da: T B = T A + t 2 t 1 (32) nella quale sostituendovi la (30) e la (31) si ottiene: T B = T A + t 2 t 1 = T A 1 H 0 ln R U ( r 0 r 0 ) H 0 (33) Inoltre, poihé, ( ) 1 r 0 r 0 ln 1 H 0 T A T A (34) 8

A B la (33) si semplifia: Figura 5: Allargamento della oppia di impulsi emessi da A T B = T A T A r 0 = T A R U T A v 0 (35) La (35) rappresenta la relazione tra l intervallo di tempo T A di emissione degli impulsi da parte di A e l intervallo di tempo T B di riezione degli stessi da parte di B. La Figura 6 riporta la situazione he si ha in questo aso. Introduendo il redshift z: z = T B T A T A la (35) diventa: (36) T B = T A (z + 1) (37) dalla quale si ha: z = v 0 v 0 r 0 (38) 9

distane r Not visible Universe pulse 2 pulse 1 Visible Universe line of expansion between A and B w Figura 6: Rappresentazione geometria della oppia di impulsi emessi da A É faile verifiare he la variabile w introdotta in preedenza altro non é he l allargamento, dovuto al proesso di espansione, tra i due impulsi emessi: w = T B T A (39) e quindi, w = v 0 R U (40) Combinando la (38) on la (40) si ottiene la seguente relazione tra il redshift z e l allargamento w: w = z + 1 (41) Le preedenti relazioni (9) e (16) diventano: r AB = r 0 (z + 1) (42) t = 1 H 0 ln(z + 1) (43) 10

10.0 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Figura 7: Differenze tra redshift lassio e relativistio Per il volume V AB si ha la seguente relazione: V AB = V = (z + 1) 3 (44) 11

osí ome una relazione dello stesso tipo vale per il volume V ontenuto tra i due impulsi. Noti il redshift z (o l allargamento w ) e la veloitá di propagazione, é possibile alolare la veloitá di allontanamento iniziale v 0 dell oggetto. Infatti, dalla (38) e dalla (40) si riava: v 0 = z z + 1 Poihé la veloitá di allontanamento é data da: (45) v 0 = H 0 r 0 (46) Confrontando la (46) nella (45) si ottiene: r 0 = R U z z + 1 Per ui se é noto il raggio dell Universo visibile R U é possibile alolare la distanza da noi dell oggetto in questione. Infine, onfrontando la (45) on la (47) si nota he la veloitá e la distanza dell oggetto hanno la stessa dipendenza dal redshift. 6 Disussione Con questa nuova interpretazione dell espansione dell Universo in termini di generazione ontinua di spazio fisio valgono le seguenti osservazioni: (47) 1. Il redshift si distingue in modo sostanziale dall effetto Doppler (anhe se l espressione he si ottiene é, in pratia, la stessa!). Qui, sia A he B si trovano sempre in quiete rispetto al mezzo di omuniazione he li ironda. 2. C é perfetta simmetria tra la sorgente A ed il rievitore B. Ossia, l espressione del redshift non ambia se é B ad emettere gli impulsi ed A a rieverli. 3. Esiste una distanza ritia oltre la quale il fenomeno perde di signifiato fisio. A questa distanza é stato dato il nome di Raggio dell Universo visibile. 4. Possiamo parlare di raggio dell Universo visibile nella misura in ui Γ 0 (e, quindi, H 0 ) puó essere onsiderata ostante. 5. Sia la veloitá di espansione tra i due orpi A e B he la loro distanza hanno la stessa dipendenza dal redshift z. 6. w rappresenta l allargamento temporale dell impulso il quale, abbiamo visto, risulta essere anhe il suo allargamento spaziale. 7. L allargamento w é un parametro piú adatto del redshift z a rappresentare il fenomeno dell espansione dal punto di vista fisio. 12

Si vuole onludere aennando al problema della alibrazione della urva del redshift. Si tratta, nella sostanza, della determinazione del raggio dell Universo visibile (e, quindi, della ostante di Hubble), la ui onosenza onsente di riavare, noto l allargamento w (o il redshift z), la distanza da noi dell oggetto eleste he ha emesso l impulso. É ben noto he per poter alibrare questa urva oorre individuare una andela standard, ossia una sorgente le ui aratteristihe energetihe siano note a priori. Affronteremo questo problema, in seguito, e proveremo ad utilizzare ome andela standard il fenomeno del ollasso dei nulei dei QNM. 13

A APPENDICE A.1 Effetto Doppler lassio Si abbia una sorgente S he emette impulsi on periodo proprio T S ed un rievitore R he rieve gli impulsi emessi da S. Si vuole determinare il periodo di riezione degli impulsi T R da parte di R. Tra S ed R esiste il mezzo la ui veloitá di propagazione degli impulsi sia. S R Figura 8: Sorgente (S) in quiete e rievitore (R) in movimento Caso 1: Sorgente (S) in quiete e rievitore (R) in movimento. Se R é in allontanamento on veloitá v R, il periodo T R di riezione degli impulsi si riava dalla seguente espressione: T R = T S + r R dove r R é la distanza perorsa da R tra l arrivo di due impulsi. Poihé, (48) r R = v R T R (49) Sostituendo la (49) nella (48) e riavando T R si ottiene: T R = T S (50) v R 14

Ossia, R rieve gli impulsi on un periodo superiore rispetto a quello di emissione (v. Figura 8). Vieversa, se R é in avviinamento é faile verifiare he: T R = T S (51) + v R S R Figura 9: Rievitore (R) in quiete e sorgente (S) in movimento Caso 2: Sorgente in movimento e Rievitore in quiete. In questo aso il rievitore R vede la sorgente S emettere gli impulsi on un periodo apparente dato dalla seguente espressione: T R = T S + r S dove r S é la distanza perorsa da S tra due impulsi emessi. Poihé anhe in questo aso si ha: (52) r S = v S T S (53) Sostituendo la (53) nella (52) si ottiene: T R = T S + v S (54) 15

La Figura 9 mostra la situazione he si ha in questo aso. Vieversa, se S é in avviinamento si ha: T R T S = T S v S Come si vede onfrontando la (50) e (51) on la (54) e (55), l effetto dovuto al movimento di R é diverso dall effetto dovuto al movimento di S. (55) 16