viene detto il sostegno della curva. Se σè iniettiva, diciamo che la superficieè semplice. Le equazioni

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1 Fondamenti di Analisi Matematia 2 - a.a (Canale 1) Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale, Meania e Meatronia Valentina Casarino Appunti sulle superfii 1. Superfii regolari Riordiamo he si die urva in R 3 una funzione ontinua γ : I R 3, ove I è un intervallo della retta reale. L immagine di γ, heè un sottoinsieme di R 3, si die sostegno della urva. Inoltre γ si die semplie seè iniettiva. Introduiamo ora il onetto di superfiie (in forma parametria), ottenuto sostituendo all intervallo I un opportuno sottoinsieme di R 2. Definizione 1. Sia D un aperto onnesso in R 2. Diiamo superfiie in R 3 una funzione ontinua L insieme immagine di σ σ : D R 3. Σ := σ(d) = {σ(u, v) : (u, v) D} viene detto il sostegno della urva. Se σè iniettiva, diiamo he la superfiieè semplie. Le equazioni x = σ 1 (u, v) y = σ(u, v) z = σ 3 (u, v) si diono equazioni parametrihe della superfiie, mentre u e v sono i parametri di σ. Esempio 1. I piani nello spazio sono esempi di superfii. Esempio 2. La superfiie di equazioni parametrihe x = sin u os v, 0 < u < π y = sin u sin v, 0 < v < 2π z = os u. ha ome sostegno una sfera di raggio 1 in R 3, on entro nell origine, privata di un meridiano. Esempio 3. Si onsideri il paraboloide di equazione z = x 2 +y 2. Equazioni parametrihe per questa superfiie sono, per esempio, x = u y = v z = u 2 + v 2 1

2 2 Esempio 4. Le equazioni parametrihe x = u y = v z = u 2 + v 2, u 2 + v 2 < 1 rappresentano la parte del grafio di z = x 2 + y 2 he giae sopra il erhio (del piano xy) x 2 + y 2 < 1. Più in generale, se f : D Rè una funzione di lasse C 1 in D, allora l appliazione da D in R 3 (1) σ(u, v) := u v f(u, v) è una superfiie semplie, il ui sostegno oinide on il grafio di f. Una superfiie di questo tipo, o del tipo σ(u, v) := u g(u, v) v o h(u, v) σ(u, v) := u, v on g e h funzioni in C 1 (D), viene detta artesiana. Riordiamo inoltre he una delle nozioni più signifiative nella teoria delle urve è quella di urva regolare. Nel aso delle urve, il onetto di regolarità garantiva l esistenza del vettore tangente in ogni punto. L estensione di questa nozione al aso delle superfii non è immediata; riusiremo omunque a definire anhe in questo aso una nozione di regolarità, in grado di garantire l esistenza del piano tangente in ogni punto. Definizione 2. Una superfiie σ si die regolare se σ C 1 (D) e se i due vettori σ σ (u, v) e (u, v) sono linearmente indipendenti (in partiolare, entrambi sono non nulli) in ogni punto (u, v) D. Il fatto he i due vettori σ σ (u, v) e (u, v) siano linearmente indipendenti si può e- sprimere in diversi modi: una possibilitàè per esempio rihiedere he la matrie jaobiana (2) J (u,v) σ := σ 1 u σ 2 u σ 3 u abbia rango uguale a 2 in ogni punto (u, v) D. σ 1 v σ 2 v σ 3 v

3 Osserviamo anhe he, indiati on A(u, v), B(u, v) e C(u, v) i minori di ordine due della matrie jaobiana (2), vale a dire A(u, v) = det (σ 2, σ 3 ) (u, v), B(u, v) = det (σ 3, σ 1 ) (u, v), C(u, v) = det (σ 1, σ 2 ) (u, v), la ondizione di indipendenza lineare è equivalente a rihiedere he per ogni oppia (u, v) D il vettore (A(u, v), B(u, v), C(u, v)) non si annulli, ioè he A 2 (u, v) + B 2 (u, v) + C 2 (u, v) > 0. Da un punto di vista formale, può essere utile srivere questa ondizione utilizzando la nozione di prodotto esterno. Riordiamo he se a e b sono due vettori in R 3, si definise prodotto esterno o prodotto vettoriale di a e b il vettore a b := (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ). Allora la ondizione he i due vettori σ σ (u, v) e (u, v) siano linearmente indipendenti si può srivere più brevemente nella forma σ (3) u σ 0 (u, v) D. v IL vettore σ σ svolge un ruolo partiolare nella teoria delle superfii. Infatti, se (ū, v) D, il vettore (4) N(ū, v) := σ σ (ū, v) (ū, v) viene detto vettore normale alla superfiie in P = σ(ū, v). Si osservi he N(ū, v) = ( A(ū, v), B(ū, v), C(ū, v) ) e he Il versore n(ū, v) = N(ū, v) 2 = A 2 (ū, v) + B 2 (ū, v) + C 2 (ū, v). N(ū, v) N(ū, v) = ( 1 ( ) ) A(ū, v), B(ū, v), C(ū, v) A2 (ū, v) + B 2 (ū, v) + C 2 (ū, v) viene detto versore normale alla superfiie in P = σ(ū, v). Esempio 5. Se fè di lasse C 1, ogni superfiie artesiana nella forma (1)è regolare. È faile verifiare, infatti, he 1 0 J (u,v) σ = 0 1 f f (u, v) (u, v) ha rango 2 in ogni punto (u, v) di D. Risulta inoltre n(u, v) = f 2 ( fu, f v, 1 ). 3

4 4 Si può dimostrare he se σ rappresenta una superfiie regolare on sostegno Σ e P = σ(ū, v), (ū, v) D, allora esiste un unio piano tangente alla superfiie (o meglio, al suo sostegno) in P. Esso risulta essere ortogonale al versore normale e ha quindi equazione A(ū, v)(x x) + B(ū, v)(y ȳ) + C(ū, v)(z z) = 0, ove ( x, ȳ, z) sono le oordinate di P = σ(ū, v). Infine, si die he ogni parametrizzazione del sostegno Σ di una superfiie semplie e regolare σ individua su di esso un verso di attraversamento o orientamento. Ogni sostegno di superfiie semplie e regolare ha quindi due orientamenti possibili. Il fatto di segliere l uno o l altro fra questi due orientamenti è puramente onvenzionale. Esempio 6. Se σè una superfiie artesiana della forma (1), risulta allora N(u, v) = ( f u (u, v), f v (u, v), 1 ), osì he la omponente lungo l asse z del vettore normaleè positiva. Per onvenzione, si die he l orientamento del grafio di una funzione z = f(x, y) (he, ome abbiamo visto, oinide on il sostegno di Σ) è nel verso delle z positive. 2. Integrali di superfiie Sia σ : D R 3 una superfiie semplie e regolare. Definizione 3. Si die alotta di σ la restrizione di σ a un qualsiasi ompatto misurabile ontenuto in D. Con abuso di linguaggio, parleremo talvolta di area di una alotta, anzihè di area del sostegno di una alotta. Definizione 4. Sia σ : R 3 una alotta regolare. 1 Sia Σ il sostegno della alotta. Si definise l area A σ della alotta ome A σ := N(u, v) du dv. Si può dimostrare he l area di una alotta regolare non dipende dalla partiolare parametrizzazione adottata, nè dall orientamento selto. Esempio 7 (area di un grafio). Se σè una superfiie artesiana della forma (1), ioè σ(u, v) := u v f(u, v) on f : D R funzione di lasse C 1 in D e è un ompatto misurabile ontenuto in D, riordando he N(u, v) = ( f u (u, v), f v (u, v), 1 ), si ha immediatamente he A σ := 1 + f 2 du dv. 1 Questo signifia he si onsidera la restrizione a di una superfiie regolare definita su un aperto onnesso D, ontenente.

5 Ci limitiamo nel seguito a dare la definizione di integrale di una una funzione ontinua sul sostegno di una alotta regolare, omettendo le dimostrazioni. Definizione 5. Sia σ : R 3 una alotta regolare on sostegno Σ. Sia f una funzione ontinua e limitata su Σ. Si definise integrale superfiiale di f sulla alotta σ il numero f := f(σ(u, v)) N(u, v) du dv. σ Si osservi he nel aso f 1 si ritrova ovviamente la definizione di area della alotta σ. Gli integrali di superfiie intervengono nel alolo di masse, barientri, momenti di inerzia e di altre grandezze fisihe assoiare a orpi laminari. Essi sono anhe alla base della nozione di flusso di un ampo vettoriale attraverso una superfiie. 5

6 6 3. Il teorema di Green Riordiamo he se F è un ampo vettoriale ontinuo su un aperto di A in R n a valori in R n e γ : [a, b] A è una urva hiusa, semplie e regolare, l integrale urvilineo di seonda speie F viene anhe detto iruitazione di F lungo γ e viene denotato on il γ simbolo F. γ Il Teorema di Gauss-Green stabilise una relazione fra erti integrali doppi su un aperto limitato di R 2 e erte iruitazioni lungo la frontiera dell aperto. Più preisamente, vale in seguente risultato. Teorema (Gauss-Green) Sia A un aperto di R 2. Sia un aperto limitato di R 2, ontenuto in A insieme alla sua frontiera. Sia F = (F 1, F 2 ) un ampo vettoriale di lasse C 1 in A. Supponiamo he la frontiera di oinida on il sostegno di una urva hiusa, semplie, regolare a tratti γ. Supponiamo inoltre he γ sia perorsa in senso antiorario. Vale allora ( F2 (3.1) F = x F ) 1 dxdy. y γ Dim. Dimostriamo il teorema in un aso partiolare. Supponiamo infatti he sia un dominio semplie rispetto all asse x, della forma := {(x, y) R 2 : < y < d, α(y) < x < β(y) }, on α e β funzioni ontinue sull intervallo [, d]. Supponiamo inoltre he F 1 = 0, ioè he il ampo F sia uguale a (0, F 2 ). Sotto queste ipotesi addizionali la formula (3.1) si ridue a F 2 (3.2) F 2 dy = dx dy. x γ Caloliamo i due integrali della formula (3.2) separatamente. Osserviamo he la frontiera di è il sostegno dell aro hiuso γ = γ 1 + γ 2 + γ 3 + γ 4, ove γ 1 (x) = (x, ), α() x β(), γ 2 (y) = (β(y), y), y d, ( γ 3 )(x) = (x, d), α(d) x β(d), ( γ 4 )(y) = (α(y), y), y d. L integrale di F lungo γ 1 e γ 3 dà ontributo nullo (perhé y è ostante lungo queste due urve), osì he F 2 dy = F 2 dy + F 2 dy + F 2 dy + F 2 dy γ γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 = (0, F 2 (β(y), y)), (β (y), 1) dy + (0, F 2 (α(y), y)), (α (y), 1) dy γ 2 γ 4 (3.3) = = d d F 2 (β(y), y) dy + F 2 (β(y), y) dy d d F 2 (α(y), y) dy F 2 (α(y), y) dy

7 Consideriamo ora l integrale a destra nella formula (3.2). Appliando la formula di riduzione per integrali doppi si ottiene F d β(y) 2 F 2 dx dy = dx dy. x x α(y) Ora il Teorema fondamentale del Calolo integrale implia d β(y) d ( ) F 2 (β(y), y) F 2 (α(y), y) dy (3.4) F 2 dx dy = x = d α(y) F 2 (β(y), y) dy d F 2 (α(y), y) dy. Un onfronto fra (3.3) e (3.4) i permette di onludere la dimostrazione del teorema in questo aso partiolare. Il Teorema di Green si può in realtà dimostrare in situazioni più generali rispetto a quella onsiderata sopra. In partiolare, si può provare he esso vale per un ampo vettoriale F = (F 1, F 2 ) ontinuo in un aperto onnesso, la ui frontiera è l unione di un numero finito di sostegni, a due a due disgiunti, di urve hiuse, semplii e regolari a tratti γ 1,..., γ m ( iò signifia he ognuna possiede una parametrizzazione di lasse C 1 on vettore tangente non nullo, eetto al più in un numero finito di punti). Come abbiamo visto prima, la formula di Green (3.1) oinvolge iruitazioni di F. Poihè gli integrali urvilinei di seonda speie dipendono dal verso di perorrenza della urva, è neessario segliere una orientazione di. Definizione 6. Se è un aperto onnesso ome sopra, diiamo he la sua frontiera (intesa ome unione di urve) è orientata positivamente se un osservatore ideale he la perorra vede alla sua sinistra. Per esempio, se è una regione piana delimitata da una singola urva hiusa, allora l orientazione positiva di è quella antioraria. Se invee è, per esempio, una orona irolare, allora l orientazione positiva di si ottiene perorrendo in senso antiorario la ironferenza esterna e in senso orario quella interna. Se la frontiera di è orientata positivamente, si die anhe he è un aperto on bordo. Siamo ora in grado di enuniare il Teorema di Gauss-Green sotto ipotesi più generali rispetto a prima. Teorema di Green (formulazione generale) Sia A un aperto di R 2. Sia un aperto on bordo in R 2, ontenuto in A insieme alla sua frontiera.. Siano γ 1,..., γ m le urve hiuse, semplii e regolari a tratti he formano la frontiera di. Sia F = (F 1, F 2 ) un ampo vettoriale di lasse C 1 in A. Vale allora (3.5) m F = γ k k=1 ( F2 x F 1 y ) dxdy. Un importante onseguenza del Teorema di Green è questa. Se segliamo ome ampo vettoriale F il ampo (0, x) oppure ( y, 0), si ha F 2 F 1 = 1, osì he la formula (3.1) x y i permette di alolare l area di un dominio piano attraverso un integrale di linea. Più preisamente, vale il seguente 7

8 8 Corollario. Sia un aperto on bordo in R 2. Sia F un qualsiasi ampo vettoriale tale he F 2 F 1 = 1. Vale allora x y m() = γ F. 4. Integrali di flusso Sia un ompatto misurabile in R 2. Sia σ : R 3 una alotta semplie e regolare. Sia F : R 3 un ampo vettoriale ontinuo e limitato su un aperto di R 3. Supponiamo inoltre he σ(). Il prodotto salare F (σ(u, v)), n(u, v) rappresenta la omponente del ampo F lungo la direzione del versore normale n(u, v) in un punto σ(u, v) del sostegno della alotta (on (u, v) ). Definizione 7. Si die flusso del ampo F attraverso la alotta σ l integrale della omponente di F lungo la direzione del versore normale n(u, v) sulla superfiie σ, vale a dire (4.1) F, n := F (σ(u, v)), n(u, v) N(u, v) dudv. σ In base alla Definizione 5 si ottiene F, n := F (σ(u, v)), n(u, v) N(u, v) dudv σ N(u, v) = F (σ(u, v)), N(u, v) dudv N(u, v) = F (σ(u, v)), N(u, v) dudv ove il vettore normale N(u, v) è stato definito in (4). Valgono i seguenti fatti: l integrale di flusso non dipende dalla partiolare parametrizzazione selta per la alotta. Se F : R 3 è un ampo vettoriale ontinuo sull aperto e σ : R 3 e σ : R 3 sono due alotte semplii on lo stesso sostegno (ontenuto in ), he però individuano sul sostegno omune due versori normali opposti, si ha allora F, n = F, n. σ σ Osservazione 1. Spesso, quando si vuole desrivere l orientamento di una alotta, si fa riferimento al sostegno, anzihè alla parametrizzazione. Per esempio, vi verrà spesso hiesto di alolare il flusso usente da una porzione di una erta superfiie. In questo aso, per svolgere i aloli oorre introdurre una opportuna parametrizzazione della superfiie, ontrollando poi he l orientamento fornito da questa parametrizzazione oinida on quello rihiesto dal problema. Se osì non fosse, si può proedere omunque on i aloli, ambiando poi segno al risultato finale.

9 Osservazione 2. Noi abbiamo definito il flusso di un ampo attraverso una alotta, ma è possibile estendere questa definizione in modo naturale anhe a superfii più ompliate, in partiolare a superfii regolari a pezzi, ioè a superfii ontenenti un numero finito di urve regolari a tratti, dette spigoli, he le suddividono in un numero finito di superfii regolari, dette fae, in modo he ogni spigolo onfini on al più due fae. Quando per esempio si parla di flusso di un ampo F attraverso un ubo, si intende la somma dei sei flussi di F attraverso le sei fae del ubo, orientate in modo tale he il versore normale sia orientato verso l esterno del ubo. 5. Il Teorema di Stokes Il Teorema di Stokes (o del rotore) ostituise un estensione del Teorema di Gauss- Green dal piano allo spazio. Esso mette infatti in relazione integrali di superfiie (più preisamente, integrali di flusso) on integrali urvilinei in R 3. Consideriamo una alotta σ : R 3, on ompatto misurabile in R 2. Supponiamo anhe he l interno di sia un aperto on bordo e he il bordo di sia formato da un numero finito di urve hiuse γ 1,..., γ m. Quando applihiamo σ a ognuna di queste urve γ j, otteniamo degli arhi di urva hiusi e regolari Γ j := σ(γ j ), j = 1,..., m in R 3. Definizione 8. Diiamo bordo della alotta σ l unione degli arhi hiusi e regolari Γ 1,..., Γ m. Ogni aro Γ j eredita un orientamento dall aro γ j tale he σ(γ j ) = Γ j. Più in partiolare, il verso di perorrenza di Γ j è tale he un osservatore ideale he perorra Γ j appoggiato sulla faia della alotta da ui ese il versore normale n veda la alotta alla sua sinistra. Teorema di Stokes Sia σ una alotta σ : R 3, on ompatto misurabile in R 2. Sia F un ampo vettoriale di lasse C 1 (), ove è un aperto ontenente il sostegno σ() della alotta. Il bordo della alotta σ sia l unione di un numero finito di arhi hiusi e regolari Γ 1,..., Γ m. Vale allora m F = (rotf ) n, Γ j σ j=1 ioé la iruitazione di F lungo il bordo della alotta σ è uguale al flusso del ampo rot F. 6. IlTeorema della divergenza Presentiamo infine il Teorema di Gauss ( della divergenza) he mette in relazione integrali di flusso on integrali tripli in R 3. Riordiamo he se F è un ampo vettoriale in R n, F = (F 1,..., F n ), si die divergenza di F il ampo salare divf = F 1 x F n x n. Iniziamo, in realtà, da una versione del Teorema della divergenza nel piano. Teorema di Gauss (in R 2 ) 9

10 10 Sia A un aperto di R 2. Sia un aperto on bordo in R 2, ontenuto in A insieme alla sua frontiera. Sia F = (F 1, F 2 ) un ampo vettoriale di lasse C 1 in A. Vale allora (6.1) F n = div F dxdy. Dim. (6.2) e (6.3) Appliando la formula (3.1) ai ampi (0, f) e (f, 0) otteniamo rispettivamente f f dy = x dxdy. f f dx = y dxdy. Applihiamo ora la formula (6.2) alla omponente F 1 e la formula (6.3) alla omponente F 2, ottenendo F 1 F 1 dy = x dxdy. e F 2 F 2 dx = y dxdy. Sottraendo membro a membro queste due equazioni otteniamo ( F 1 (6.4) F 1 dy F 2 dx = x + F 2 ) dxdy. y Confrontando (6.1) e (6.4), vediamo he per onludere è suffiiente dimostrare he (6.5) F 1 dy F 2 dx = F n. Per provare questa uguaglianza, parametrizziamo il bordo di attraverso le equazioni x = x(t), y = y(t), t [a, b]. Il versone normale orientato verso l esterno è allora dato da 1 ) n = (y (t), x (t), (x (t)) 2 + (y (t)) 2 osì he F n. = b a ( F 1 y (t) (x (t)) 2 + (y (t)) F 2 x (t) ) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt 2 (x (t)) 2 + (y (t)) 2 = b a (F 1 y (t) F 2 x (t))dt = F 1 dy F 2 dx. Presentiamo infine l enuniato del Teorema della divergenza in R 3. Sia un aperto onnesso e limitato in R 3. Diiamo he è un aperto on bordo se la sua frontiera è l unione di un numero finito di sostegni Σ 1... Σ m di alotte semplii e regolari σ 1,..., σ m, orientate seondo il verso usente da. Si die, in questo aso, he queste alotte ostituisono il bordo di,.

11 Definizione 8. Si die flusso totale usente da di un ampo vettoriale F è dato da m F n = F n σ j j=1 Vale allora il seguente teorema Teorema di Gauss (in R 3 ) Sia F un ampo vettoriale di lasse C 1 (A), e sia un aperto on bordo ontenuto in A on il suo bordo. Vale allora F n = divf dxdydz. 11