Quantizzazione - Soluzioni

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1 Quantizzazione - Soluzioni INTRODUZIONE Il Passaggio da un segnale analogio ad un segnale digitale avviene tramite due operazioni prinipali: Campionamento, Quantizzazione. Durante la prima ase, ampionamento, si osserva il segnale e se ne preleva il valore he assume in istanti di tempo deiniti. Il segnale osì ampionato è tempo disreto ma i valori he può assumere variano nel ontinuo e per essere rappresentati rihiedereero una preisione ininita. La odiia numeria di uesti ampioni osservati si ottiene uindi mediante un proesso di uantizzazione nel disreto dei valori reali degli impulsi ampione: si divide la anda d ampiezza del segnale in intervalli (intervalli di uantizzazione aventi larghezza issa δ (Quantizzazione Uniorme, si sostituise il valore (reale di iasun ampione on il valore entrale (intero dell intervallo nel uale il ampione ade. In sostanza durante il proesso di uantizzazione viene assegnato al ampione il valore disreto più viino al valore ontinuo. È ailmente intuiile he aendo in tal modo vengono neessariamente introdotti degli errori dovuti alla dierenza tra il valore uantizzato del segnale ed il suo valore reale nel ampo ontinuo. Tale errore dipende dall ampiezza δ dell intervallo di uantizzazione. L insieme di uesti errori porta ad una degradazione del segnale e viene indiato on rumore di uantizzazione Stima del rumore di uantizzazione Ipotesi: uantizzazione uniorme: gli intervalli di uantizzazione hanno ampiezza δ Il numero di intervalli di uantizzazione è ininito (uantizzatore ideale Sia: v k il valore entrale del k-esimo intervallo (t i il ampione del segnale analogio on (k-/ δ < (t i <(k+/ δ allora il valore uantizzato v k k δ si può dimostrare he il rapporto segnale disturo è alolaile ome: ρ ρ dove ρ è il oeiiente di orrelazione ra (t i e e vale: ρ [ E( ] inoltre se il segnale ha una d.d.p. uniorme si dimostra he δ

2 Il rapporto segnale/disturo in sostanza dipende dal rapporto : per valori pioli la ontà del uantizzatore dipende solo da e non dal partiolare tipo di ddp del segnale. Per valori elevati del su sritto rapporto le prestazioni dipendono anhe dalle aratteristihe statistihe del segnale e la dipendenza della ualità da può essere un prolema se la potenza del segnale da onvertire è molto variaile (per es.: nel aso del segnale voale. In uesti asi si utilizza la Quantizzazione Non Uniorme. Gli intervalli di uantizzazione non hanno più tutti la stessa ampiezza, ma sono più pioli in orrispondenza dei valori più proaili del segnale. In partiolare il segnale teleonio ha una ddp delle ampiezze del tipo: I valori più proaili del segnale teleonio sono uelli di ampiezza più piola, mentre sono via via meno proaili i valori più grandi. Di onseguenza isogna utilizzare una legge di uantizzazione he preveda intervalli più itti in prossimità dello ed intervalli più larghi ma mano he i si allontana dai valori più proaili. In pratia avviene: (t LEGGE y QUNTIZZTORE UNIFORE QUNTIZZTORE NON UNIFORE

3 3 LEGGE : log( log( log( y Il parametro di norma vale 87,6 Per valori elevati di si ha log ( + Per valori assi di log ( 3 + si omporta ome un uantizzatore uniorme on log + Per </ </ Per /</ <

4 ESERCIZI Si onsideri un uantizzatore uniorme he opera su livelli deiniti tra E ed E. Si onsideri, inoltre un segnale (t on ddp uniorme tra ed on < E. Determinare l espressione del rapporto segnale rumore di uantizzazione in unzione della potenza di (t. FORULE: mpiezza dei livelli di uantizzazione on uantizzatore uniorme: Segnale/disturo: δ + ( d potenza del segnale. E ( B - -E E B + E d d d 3 E E 3 E OSSERVZIONI: E a Sruttando tutta la dinamia del uantizzatore ( E si ottiene he 3 rappresenta la potenza del segnale massima otteniile all usita del uantizzatore 4

5 Sruttando tutta la dinamia del uantizzatore si ottiene una maggiore eiienza (migliore rapporto segnale/rumore: inatti se E invee di E poihé < E < ed inoltre < i i Si onsideri un uantizzatore non uniorme he opera on legge si determini l espressione asintotia del rapporto segnale/rumore di uantizzazione uando il segnale all ingresso ha una ddp uniorme ed il suo livello è molto piolo. ( y - -E E -E E - + log( + log( yma E E + log( 3 Si onsideri un segnale aleatorio on spettro ostante tra B e B e zero altrove, essendo B4KHz; si assuma he tale segnale aia una densità di proailità uniorme. Per trasmettere tale segnale in orma numeria, di norma, esso viene ampionato alla reuenza B8KHz e uantizzato in modo uniorme utilizzando n 8it di uantizzazione. Si ottiene in tal modo una veloità di trasmissione di 64Kit/s on un rapporto segnale/disturo di uantizzazione di ira 48 db, senza riduzione della anda del segnale. Per esigenze di trasmissione si vuole trasmettere tale segnale su un anale numerio he onsente una veloità di trasmissioni di solo 3 Kit/s, ovviamente aettando una riduzione della ualità della trasmissione. Per ottenere tale risultato si riduono sia il numero n di it di uantizzazione (riduendo, uindi, il rapporto segnale/disturo di uantizzazione sia la anda del segnale per mezzo di un iltro he onsente il transito delle reuenze tra B e B on B <B. 5

6 Si onsiderino per n i valori 7,6,5,4; per iasuno di essi si aloli il valore B he onsente la trasmissione on 3Kit/s e il orrispondente valore del rapporto segnale/disturo di uantizzazione. FORULE: reuenza di ampionamento: veloità di trasmissione B n rapporto segnale/disturo n R R n a n 7it 4 6 log ( -4dB 3Kit/7it4,6KHz B,3KHz n 6it 4 log ( -36dB B 3Kit/,67KHz 6it n 5it log ( -3dB B 3Kit/ 3,KHz 5it d n 4it 8 56 log ( -4dB B 3Kit/ 4KHz 4it 4 un segnale (t on ddp uniorme e spettro di potenza: G ( è appliato + all ingresso del sistema indiato in igura (t Filtro Quantizzatore uniorme 6

7 Il iltro è rettangolare passa-asso on unzione di traserimento: H ( H ( > il uantizzatore è uniorme e opera su n it. Determinare: a- la veloità di trasmissione all usita (in it/s - l espressione del rapporto segnale/disturo omplessivo FORULE: veloità di trasmissione: R n rapporto segnale/disturo iltro: + G ( d ρ y dove ρ y ρ y y n rapporto segnale/disturo uantizzatore: rapporto segnale/disturo totale: t + a- il uantizzatore opera su n it, inoltre ualunue sia la reuenza di ampionamento, il segnale prima della uantizzazione passa dal iltro he taglia le reuenze superiori a uindi R n - + G + ( d d π + y G ( d + d artg 7

8 artg π artg π n t artg artg π ( n ( π ( n + ( 5 si aia da trasmettere un segnale di inormazione on anda pari a 5KHz e on ddp uniorme mediante un sistema PC. Si vuole he, operando al si sopra della soglia il rapporto segnale/disturo omplessivo non sia mai ineriore a 33dB. Determinare: il numero di it di uantizzazione rihiesti; la veloità di trasmissione in it/seondo; il valore massimo ammesso p* per la proailità di errore del anale trasmissivo; FORULE: rapporto segnale/disturo uantizzatore: n n log db n db db 6 veloità di trasmissione: R n B n valore massimo ammesso per la proailità di errore del anale trasmissivo: p * n+ (riorda: p* india il valore di soglia per la proailità di errore he onvenzionalmente omporta una riduzione di 3 db rispetto al solo rumore di uantizzazione ovvero al di sotto di tale valore il ontriuto sul rapporto segnale/disturo omplessivo è dato solo dal rapporto segnale/disturo del uantizzatore 8

9 Numero it di uantizzazione: alla soglia si ha: 36 T db 3 db 33dB n 6 it 6 Veloità di trasmissione: R B n 5KHz 6it 8 K s soglia: p * 5 6, 4 6 Per aluni sistemi di omuniazione di tipo militare è suiiente una ualità ineriore a uella del normale servizio teleonio. In partiolare si onsidera suiiente la trasmissione della anda 3-3 Hz (anzihé 3-34; inoltre è ritenuto suiiente un rapporto segnale/disturo di 36 db. Volendo odiiare in orma numeria il segnale da trasmettere determinare: la reuenza di ampionamento il numero di it per ampione la veloità di emissione in it/s FORULE: Numero it per ampione: db 6n db veloità di emissione e reuenza di ampionamento: R n B n N it per ampione: n36/66 it Freuenza di ampionamento: B 3 6 KHz Veloità di emissione: R n 6 KHz 6it 36 Kit/s 9

10 7 Si onsideri un segnale analogio avente una anda pari a 6KHz, lo si voglia odiiare in orma numeria, in modo da assiurare un rapporto segnale/disturo pari a 6 db. Determinare la veloità di emissione R in it/s (si assuma, per la reuenza di ampionamento, il valore minimo ammissiile. n 6dB/6 it R 6Hz it Kit / s 8 Si onsideri un segnale analogio avente una anda pari a 6KHz, lo si voglia odiiare in orma numeria e trasmettere su un anale he onsente una veloità di trasmissione di Kit /s Determinare il rapporto segnale/disturo (espresso in db otteniile on la uantizzazione (si assuma, per la reuenza di ampionamento, il valore minimo ammissiile. Kit / s n it 6 6dB 6KHz 9 Si onsideri un segnale analogio avente una anda pari a B, lo si voglia odiiare in orma numeria, in modo da assiurare un rapporto segnale/disturo pari a 6 db. vendo a disposizione un anale numerio he onsente la trasmissione di un lusso numerio on veloità pari a Kit/s, determinare il massimo valore ammesso per B (si assuma, per la reuenza di ampionamento, il valore minimo ammissiile. n it B //*6KHz