7.5.6 Dipendenza di Pe da Eb/No

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1 7.5.6 Dipendenza di Pe da Eb/No Sviluppiamo ora la (7. in modo da esprimere l argomento di {} in unzione di una grandezza ( E b/ che riassume in sé i valori dei parametri intriseci del collegamento (potenza ricevuta P R, densità di rumore, requenza binaria b. Inatti la grandezza SNR P R P N generalmente indicativa della qualità del segnale ricevuto, in questo caso dipenderebbe, oltre che dai parametri suddetti, anche da altre grandezze indicative invece delle speciiche scelte relative ai parameri di trasmissione, come γ e, ed il cui contributo vorremmo invece mantenere separato. Inatti, la potenza di rumore P N B N, da cui SNR dipende, a sua volta è unzione dalla banda del iltro di ricezione, che come abbiamo visto è posta pari alla massima requenza presente in r (t, e quindi (prendendo in considerazione un codice di linea g (t a coseno rialzato, vedi 5... pari a B N s (1 + γ b (1 + γ log dipendendo quindi anch essa da e γ, oltre che dalla b. Pertanto, al variare di e γ, varia anche SNR Contributo di Eb/No all SNR Allo scopo quindi di mantenere separati tra loro i diversi elementi che determinano la probabilità di errore, e di porre nella giusta evidenza i parametri di sistema b ed, esprimiamo le potenze P N e P R in unzione di T b 1/ b : P N B N (1 + γ T b log e P R E b T b (7.1 in modo da ottenere SNR P R E b T b log P N T b (1 + γ E b log (1 + γ (7. a grandezza E b rappresenta l energia per bit 1 e la sua deinizione E b P R T b P R b mostra come essa riassume in sè i parametri di sistema potenza di segnale e velocità binaria, mentre invece non dipende dai parametri di trasmissione e γ. Anche, inoltre, costituisce un parametro di sistema, rappresentando una grandezza su cui non è possibile intervenire a componente di segnale Prima di ottenere una espressione per P α in unzione di E b/, occorre esprimere P R in unzione dei parametri di trasmissione e γ, nonché della dinamica. Si può dimostrare che sotto le ipotesi in cui: 1. si adotti un impulso di Nyquist a coseno rialzato con roll-o γ; 1 si riletta sulla circostanza che la potenza è una energia per unità di tempo. 1

2 . i simboli a [k] siano statisticamente indipendenti ed a valori a i equiprobabili;. tali valori siano distribuiti uniormemente su livelli, con dinamica a a 1 ; al?? si ottiene P R + 1 ( 1 γ ( Se in particolare risulta e γ 0 (come nel caso di trasmissione binaria a banda minima allora si ha P R. Ma per essere utilizzata nel prosieguo, la (7. deve prima essere invertita, in modo da esprimere in unzione di P R : 1 1 P R ( (1 γ / Espressione della P e per simbolo Non resta ora che inserire la (7. nella espressione di P α, ricordare che σn tenere conto della (7., in modo da ottenere P e ( 1 1 { E b log ( 1 (1 + γ ( 1 γ } P N, e (7.5 E che è graicata alla Fig 7.1, come unzione di b db, per tre condizioni operative. In particolare, notiamo che per e γ 0 si ottiene: { } P e 1 Eb e scelte progettuali (γ e diverse da e γ 0 determinano immancabilmente un peggioramento della P e, ma vengono intraprese per soddisare esigenze di risparmio di banda (aumentando, e per ridurre i termini di intererenza intersimbolica (aumentando γ. Anche se il risultato sarà dimostrato al??, merita comunque un commento: osserviamo che P R diminuisce all aumentare di γ (si stringe inatti l impulso nel tempo; inoltre P R diminuisce al crescere di, in quanto nel caso di più di livelli, la orma d onda assume valori molto vari all interno della dinamica di segnale, mentre con ha valori molto più estremi. Per chiarezza sviluppiamo i passaggi, piuttosto banali anche se non ovvi: P e 1 1 «P α 1 1 «j σ N ( «(s 1 1 P R (1 γ / P N ( «(s (1 γ / SNR 1 1 «(s E b ( 1 1 log ( 1 (1 + γ `1 γ 1 1 «( s 1 r (1 γ / PR 1 P N ( «(s 1 1 E b log 1 (1 γ / 1 + γ Aumentando, l argomento di (7.5 diminuisce, in quanto ` 1 cresce più velocemente di log.

3 Due domande riassuntive: 1. Perché P e peggiora se aumento i livelli? Risposta ( Pe g0 g1 g0. Perché P e peggiora se aumento γ? Risposta ( 6. Compromesso banda - potenza a circostanza che, a parità di b, la riduzione della banda occupata ottenibile aumentando possa essere compensata (in modo da ottenere ancora la stessa P e solamente a seguito di un aumento di E b, ovvero un aumento della potenza trasmessa, è un aspetto di un risultato generale della teoria dell Inormazione. Claude Shannon ha inatti dimostrato che è possibile trasmettere senza errori (ricorrendo a tecniche di codiica di canale oltremodo soisticate purchè la velocità di trasmissione b non ecceda la Capacità di Canale, deinita, in cui W è la come C W log (1 + P R W e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 Eb/No(dB 1e Figura 7.1: Andamento di P e vs. E b/ banda del canale, P R la potenza ricevuta, e W la potenza del rumore. Un secondo canale, con W minore, dispone di una minore Capacità, in quanto log (. cresce più lentamente di quanto non decresca W ; pertanto, per mantenere la stessa Capacità, è necessario trasmettere con una maggiore potenza di segnale P R. E questo il motivo per cui, nel caso in cui vi siano limitazioni di potenza ma non di banda, come ad esempio nelle comunicazioni satellitari, conviene occupare la maggior banda possibile, mantenendo, in modo da risparmiare potenza. Compromesso velocità - distorsione Abbiamo appena atto notare come, riducendo la banda occupata dal segnale dati, occorra aumentare la potenza ricevuta per mantenere la stessa P e. Viceversa, osserviamo anche che l aumento della velocità binaria (e quindi dell occupazione di banda dovuta all adozione di strategie per il controllo di errore (vedi 5., consente di ridurre la probabilità di errore stessa, e dunque migliorare la edeltà del lusso binario, anche a parità di potenza ricevuta. Per contro, volendo mantenere immutata la qualità, e dunque la P e, l aumento dell occupazione di banda prodotta dal controllo di errore, consente di ridurre la potenza di segnale! 5 Perché a parità di P R gli intervalli di decisione sono più ravvicinati, e le code della gaussiana sottendono un area maggiore. 6 Perché occorre aumentare la banda del iltro di ricezione e dunque ar entrare più rumore. D altra parte questo peggioramento è compensato dalla riduzione dell ISI.

4 Esercizio Un sistema di trasmissione basato sul campionamento e sulla trasmissione numerica è rappresentato in igura 7.. Il canale riportato all estremità destra è considerato ideale entro una banda Campionamento Interaccia numerica Modulatore numerico x(t x[ntc] {a} {b} {c} Cod. Canale Q( P/S Ripetizione Cod. S/P :1 Gray Tc M bit/campione a b livelli/simbolo s D/A π Ts (t G( roll o γ y(t Canale ideale in + B PMax y z(t W H( W D/A π Tc (t S/P Decodiica di Canale P/S Dec. Gray {a } {b } {c } A/D Decisore a soglie P e T s y (t n(t Guadagno 10 Restituzione Demodulatore numerico Soluzione Figura 7.: Sistema di trasmissione a cui si rierisce l esercizio ±B ±1.5 KHz, purchè la potenza al suo ingresso non superi il valore Py Max 1 Volt ; in tal caso la potenza in uscita risulta P y 0.01 P y. Al segnale ricevuto è sovrapposto un rumore additivo gaussiano bianco stazionario ergodico a media nulla, con spettro di densità di potenza P N ( Volt /Hz, e limitato nella banda ±B. 1 Se G ( è a coseno rialzato con γ.5, determinare la massima requenza di simbolo S 1 T S. Desiderando una P e P c e per la sequenza {c } pari a P e 10, determinare il massimo numero di livelli/simbolo. Indicare la requenza binaria b per la sequenza {b }. Valutare P b e per la sequenza {b } e mostrare che il numero di errori per unità di tempo in {b } è lo stesso che in {c }. 5 Mostrare che, adottando una codiica di canale a ripetizione : 1, la probabilità di errore P a e per la sequenza {a } risulta pari a circa P a e ( P b e. 6 Indicare la requenza binaria a per le sequenze {a} ed {a }. Supponiamo ora che Pe a 0, e si desideri un SNR P x /P z x Nel caso in cui x (t sia un processo con densità di probabilità p (x uniorme, ed indicando con W la banda di x (t; 7 Determinare il minimo numero di bit/campione M. 8 Determinare la massima banda W. 9 Se la banda è ridotta a W 1 W, determinare il nuovo valore di SNR ottenibile. 1 a banda B occupata dal segnale y vale B s (1 + γ, e quindi deve risultare s B 1+γ baud (baud simboli/secondo. Osserviamo che in questo caso la (7.5 non può essere applicata direttamente, in quanto non essendo ancora nota la b, non è possibile calcolare il valore di E b P y. Notiamo però che b essendo b s log, indicando con y l argomento dell {.}, questo può essere riscritto come E b log y ( 1 (1 + γ ( P 1 γ y 1 log s log ( P y.9 s 1

5 avendo tenuto conto che se γ 0.5, allora (1 + γ ( 1 γ 1.1. Inoltre, se 1 (come veriicheremo, la (7.5 può essere approssimata come P e {y}, e dunque per P e 10 la igura di pag. 17 ci permette di individuare il valore di y.7, e pertanto P y.9 s 1 y ( e, conoscendo i valori di s, P y e, scriviamo 1+ P y s e quindi che, essendo un valore massimo, limitiamo a 10 livelli Dato che ad ogni simbolo di {c} ad livelli, con requenza di emissione pari a S, corrisponde ad un gruppo di log 10 bit della sequenza {b}, la requenza b è di 10 volte S, e quindi b 10 S Kbps. Grazie all adozione del codice di Gray, in caso di errore tra livelli contigui per i simboli di {c }, nella sequenza {b } solo uno (tra dei bit associati ad un simbolo è errato; il bit errato è uno qualsiasi del gruppo di, e pertanto la probabilità che un bit speciico sia errato (quando è errato il simbolo di {c } è 1. Pertanto Pe b Pe b/c Pe c 1 Pe c, in cui Pe b/c è la probabilità condizionata che un generico bit di {b } sia sbagliato quando è sbagliato il simbolo di {c } da cui ha origine. Il numero di bit (della sequenza {b } errati per unità di tempo è dato da Pe b b ; sostituendo: Pe b b P c e b Pe c b Pe c S, ovvero è numericamente pari ai simboli errati (nella sequenza {c } per unità di tempo; risulta dunque inine: Pe b P c e ; P b e b P c e S errori secondo 5 Ogni bit di {a } è sbagliato solo se sono sbagliati o più bit in un gruppo di ; come mostrato al capitolo seguente, la probabilità di bit errati su è calcolabile dalla distribuzione di Bernoulli, e vale ( p e (1 p e p e (1 p e, a cui va sommata la probabilità di bit errati, pari a p e. Pertanto p a e p e (1 p e + p e p e p e + p e p e in cui ovviamente p e P b e, e l approssimazione è legittima in quanto se p e 10 5 allora p e e p e 10 15, trascurabili rispetto a p e. o stesso risultato si ottiene osservando che bit errati su hanno probabilità p e (1 p e, e questi possono essere scelti in tre modi diversi (1 o e o, 1 o e o, o e o. In deinitiva, risulta P a e ( P b e Dato che ad ogni bit di {b } corrisponde un solo bit di {a }, si ottiene a b Kbps, a cui corrisponde Pe a a errori secondo. 7 Sappiamo che per un processo uniorme l SN R di quantizzazione risulta approssimativamente SNR q ( 1, in cui è il numero di livelli del quantizzatore, a cui corrisponde l utilizzo di M log bit/campione. Risulta pertanto 1+ SNR q livelli. Per ottenere un numero intero di bit/campione ed un SNR q migliore od uguale a quello desiderato, determiniamo l intero superiore: M log 7 bit/campione (equivalente a 18 livelli. 8 Come sappiamo, la requenza di campionamento c 1 T c non può essere ineriore a W ; inoltre, la requenza binaria a risulta pari al prodotto dei bit/campione per i campioni a secondo: a c M; pertanto c a M KHz e dunque la W massima risulta W Max c 10 KHz. 9 Nel caso in cui W 1 W, allora si può dimezzare anche la requenza di campionamento c c 10 KHz, e pertanto utilizzare un M M per ottenere la stessa a. Pertanto il nuovo SNR q risulta SNR q ( 1 ( M 1 ( , ovvero SNR q (db 8. db. 5