Questa viene trasmessa sul canale (wireless o wired). In questo corso, modellizzeremo il canale di trasmissione come un canale Gaussiano bianco

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1 Canale di trasmissione Dati una costellazione M un labeling binario e è possibile associare alle sequenze binarie di informazione u da trasmettere una forma d onda s(t). Questa viene trasmessa sul canale (wireless o wired). In questo corso, modellizzeremo il canale di trasmissione come un canale Gaussiano bianco (Additive White Gaussian Noise, AWGN) 1

2 AWGN Canale Gaussiano bianco: Lineare e tempo-invariante Risposta in frequenza ideale H(f)=1 Aggiunge rumore Gaussiano bianco n(t) s(t) Canale + r(t) = s(t) + n(t) n(t) 2

3 AWGN G ( n f ) N /2 0 f G f N ( ) n = /2 0 3

4 AWGN Fissati due istanti temporali diversi t 1 e t 2 le variabili casuali t n( t ) t 1 1 n( t ) 2 2 sono v.c. Gaussiane Statisticamente indipendenti 4

5 Problema in ricezione segnale trasmesso u st ( ) rt ( ) = st ( ) + nt ( ) sequenze binarie informazione segnale ricevuto PROBLEMA IN RICEZIONE: dato r(t) recuperare s(t) 5

6 Problema in ricezione PROBLEMA: dato r(t) recuperare s(t) Primo passo: dividere r(t) in segmenti di durata rt () = ([0]() r t r[1]()... t rn [ ]()... t 6

7 Problema in ricezione È possibile studiare indipendentemente ogni singolo intervallo? rt () = ([0]() r t r[1]()... t rn [ ]()... t st () = ([0]() s t s[1]()... t sn [ ]()... t n( t) = (n[0]( t) n[1]( t)... n[ n]( t)... rt () = st () + nt () 7

8 Problema in ricezione Ogni r[n](t) dipende solo da Il correspondente segnale trasmesso s[n](t) Le v.c. di rumore estratte per n t < ( n + 1) Ogni intervallo può essere analizzato indipendentemente rt () = ([0]() r t r[1]()... t rn [ ]()... t 8

9 Problema in ricezione Ogni intervallo può essere analizzato indipendentemente Concentriamoci sul primo intervallo, per 0 t < rt () = ([0]() r t r[1]()... t rn [ ]()... t 9

10 Problema in ricezione 0 t < s[0]( t) r[0]( t) = s[0]( t) + n[0]( t) Per semplicità, omettiamo l indice temporale [0] st () rt () = st () + nt () PROBLEMA: dato r(t) recuperare s(t) 10

11 Problema in ricezione Il segnale trasmesso s(t) certamente appartiene allo spazio dei segnali S Il segnale ricevuto r(t) appartiene a S? dipende da n(t) In generale, n(t) sarà un segnale generico di durata [0,], non appartenente a S: rt () = st () + nt () nt () S In generale si avrà quindi rt () S 11

12 Problema in ricezione nt () S Sappiamo che Proviamo a proiettare il rumore sui versori della base: B = ( b ) t = 1 () d La -esima proiezione è data dalla: n = 0 n() t b () t dt 12

13 Proprietà delle variabili casuali n n = 0 n() t b () t dt Sidimostrachequestecomponentin sono Variabili casuali Gaussiane Valor medio E[n ]=0 Varianza σ 2 =N 0 /2 Statisticamente indipendenti tra loro 13

14 Proprietà delle variabili casuali n n = 0 n() t b () t dt n () t = n b () t S Definiamo n S (t) S : è la porzione di n(t) appartenente a S nt () n() t S 14

15 Il segnale ricevuto Consideriamo r(t) Sappiamo che rt () S Proiettiamo r(t) sulla base B dello spazio S B = ( b ) t = 1 () d La -esima proiezione è: r = r() t b() t dt 0 15

16 Il segnale ricevuto Definiamo r () t = rb () t S Ovviamente rt () r() t È la parte del segnale ricevuto che appartiene allo spazio dei segnali S r () t S S 16

17 Il problema della decisione nello spazio dei segnali r S (t) è una statistica sufficiente per risovere il problema è sufficiente lavorare nello spazio dei segnali S utte le altre (infinite) dimensioni ortogonali non contengono informazione utile, ma solo rumore s.i. Nota importante: dato r(t), è facile da calcolare r () t = rb () t S 17

18 Il problema della decisione: formulazione vettoriale P2 PROBLEMA: dato r S (t) =s(t)+n S (t) recuperare s(t) I tre segnali appartengono a S Rappresentazione vettoriale da adesso, invece di lavorare con i segnali lavoro con i vettori 18

19 Il problema della decisione: formulazione vettoriale r () t = s() t + n () t S S r = s + n r = ( r,..., r,..., r ) 1 [ Noto a partire da r(t) ] s = ( s,..., s,..., s ) 1 d [ Ignoto, da stimare ] n= ( n,..., n,..., n ) 1 d d r s n = r() t b() t dt 0 = s() t b() t dt 0 = n() t b() t dt 0 [ Ignoto ] 19

20 Il problema della decisione: formulazione vettoriale P2 PROBLEMA: dato r S (t) =s(t)+n S (t) recuperare s(t) P3 PROBLEMA: dato r=s +n recuperare s IMPORANE: dato r(t), il vettore r è facile da calcolare (i versori della base sono noti) 20

21 Criterio di decisione P3 PROBLEMA: dato r=s +n recuperare s In ricezione, dato r vogliamo scegliere il segnale ricevuto sr M Obiettivo: effettuare la scelta giusta: s R = s Sfortunatamente questo non è sempre possibile, a causa del rumore. 21

22 Criterio di decisione Dato r dobbiamo stabilire un criterio di decisione che determina la scelta di s R Minimizzazione della probabilità di errore sul simbolo (segnale) P () e = P( s s ) S R 22

23 Criterio di decisione P3 PROBLEMA: dato r=s +n recuperare s Supponiamo di ricevere un dato r=ρ R d decidiamo di scegliere s R M tale che P S (e) sia minima Criterio di decisione C1 s = arg min P( s s r ρ) R = R s i M 23

24 Criterio a minima distanza si dimostra che si ottiene un criterio a minima distanza Euclidea C3 2 dato r = ρ scelgo s = arg min d ( ρ s ) R s M E i i 24

25 Criterio a minima distanza Esempio: Costellazione di due segnali (m =2) in una dimensione (d =1) M={s 1 =(-1) s 2 =(+1)} Supponiamo di ricevere r=ρ=(0.2) Calcoliamo la distanza Euclidea dai due segnali della costellazione: d 2 E(ρ,s 1 )=1.44 d 2 E(ρ,s 2 )=0.64 Criterio ML: s d s 2 = arg min ( ρ ) R s M E i i Scegliamo s R =s 2 25

26 Criterio a minima distanza Esempio: Costellazione di quattro segnali (m =4) in due dimensioni (d =2) M={s 1 =(1,0) s 2 =(0,1) s 3 =(-1,0) s 4 =(0,-1) } Supponiamo di ricevere r= ρ=(-0.5, 0.2) Calcoliamo la distanza Euclidee dai quattro segnali della costellazione: Criterio ML: d 2 E(ρ,s 1 )=2.29 d 2 E(ρ,s 2 )=0.89 d 2 E(ρ,s 3 )=0.29 d 2 E(ρ,s 4 )=1.69 s d s 2 = arg min ( ρ ) R s M E i i Scegliamo s R =s 3 26

27 Regioni di Voronoi Questo criterio di decisione associa ad ogni vettore un segnale ricevuto s M R d ρ R Possiamo introdurre la Regione di Voronoi (decisione) associata al segnale s i { ρ d } V( s ) = R : s = s i R i ( ) V s i = Insieme di tutti i vettori ricevuti che implicano la scelta s R = s i 27

28 Regioni di Voronoi Insieme dei vettori ricevuti che implicano la scelta s R = s i Quando scegliamo s R = s i? Quando M d ρ R è più vicino a s i che a tutti gli altri segnali di V s R d s d s s M d 2 2 ( i) = { ρ : E( ρ, i) E( ρ, ) } 28

29 Regioni di Voronoi Esempio Costellazione binaria antipodale Regioni di Voronoi = due semi-assi ( α ) ( +α ) 29

30 Regioni di Voronoi Esempio Costellazione 4-PSK Regioni di Voronoi = quattro quadranti s 1 a s 0 a s 2 s 3 30

31 Criterio basato sulle regioni di Voronoi NOA: Se riceviamo ρ V( s i ) certamente scegliamo sr = si Il criterio a minima distanza r = s = d s 2 dato ρ scelgo arg min ( ρ ) R s M E i i È equivalente ad un criterio basato sulle regioni di Voronoi C4 dato r = ρ se ρ V( s) scelgo s R = s 31

32 Ricevitore nello spazio dei segnali (con integratore) Dato il segnale ρ(t) ricevuto, il ricevitore deve svolgere tre operazioni: 1. Data ρ(t) calcolare le componenti 2. Dato il vettore ρ =( ρ 1,, ρ,,ρ d ) applicare il criterio ML per scegliere il segnale ricevuto s = d s (oppure s = s con ρ V( s) ) R 2 arg min E( ρ ) s M = ρ() tb() tdt 3. Dato s R risalire al vettore di informazione binario invertendo il labeling binario u = e 1 ( s ) R R ρ s R R 0 M (questo nel primo intervallo tra 0 e, parleremo dopo degli intervalli successivi) 32

33 Ricevitore nello spazio dei segnali (con integratore) 1. Data ρ(t) calcolare le componenti ρ = ρ() tb() tdt 0 Si può effettuare con questo schema: b () t ρ() t 0 dt ρ 33

34 Ricevitore nello spazio dei segnali (con integratore) 2. Dato il vettore ρ=( ρ 1,,ρ, ρ d ) applicare il criterio ML per scegliere il segnale ricevuto R 2 arg min E( ρ ) s M s R M s = d s (oppure s = s con ρ V( s) ) R ρ 01 ρ decisore a minima distanza s R ρ d 1 (Regioni di Voronoi) 34

35 Ricevitore nello spazio dei segnali (con integratore) 3. Dato s R risalire al vettore di informazione binario invertendo il labeling binario u = e 1 ( s ) R R s R e 1 () uv R 35

36 Ricevitore nello spazio dei segnali (con integratore) Il ricevitore complessivo si può quindi realizzare con lo schema seguente, che chiameremo ricevitore nello spazio dei segnali con integratore: b () 1 t 0 ρ() t b () t b () t b b () t d () 1 t 0 0 dt dt ρ 10 ρ decisore a minima distanza (Regioni di Voronoi) s R e 1 () uv R 0 dt ρ d 1 36

37 Esempio Data la costellazione: M = { s () t =+ VP (), t s () t = VP ()} t 1 2 Disegnare il ricevitore e spiegare in base a cosa viene presa la decisione (valor medio del segnale ricevuto) 37

38 Filtro adattato Metodo alternativo per calcolare le componenti di ρ(t) : ρ = ρ() tb() tdt Consideriamo un filtro con risposta all impulso 0 f () t = b ( t) Scriviamo l espressione dell uscita del filtro quando l ingresso è il segnale ricevuto ρ(t) 38

39 Filtro adattato Uscita del filtro con risposta all impulso : + + y() t ρ( τ) f ( t τ) dτ ρ( τ) b ( t τ) dτ = = + Consideriamo ora l uscita y(t) del filtro nell istante t= + yt ( ) ρ( τ) b( τ) dτ ρ( τ) b( τ) dτ ρ = = = = (il dominio di b e [0,]) f( t) = b ( t) 0 39

40 Filtro adattato Schema alternativo per calcolare le componenti di ρ(t) mediante il filtro adattato: b ( t) ρ () t yt () y ( ) = ρ 40

41 Ricevitore nello spazio dei segnali (con filtro adattato) Il ricevitore complessivo si può quindi realizzare con lo schema seguente, che chiameremo ricevitore nello spazio dei segnali con filtro adattato: b( t) 1 b ( t) 0 ρ 1 ρ 0 decisore a ρ ( t ) b ( t) b ( t) ρ ρ minima distanza s R e 1 () vu R (Regioni b ( t) bd ( ) 1 t ρ d ρ d 1 di Voronoi) 41

42 Ricevitori ed asse dei tempi Il filtro adattato consente di calcolare le componenti ρ del vettore ρ non solo per il primo intervallo, ma per ogni intervallo [n,(n+1)[ generico: È sufficiente campionare l uscita y(t) del filtro adattato: Con frequenza R=1/ Negli istanti t=(n+1) 42

43 Ricevitore nello spazio dei segnali (con filtro adattato) Il ricevitore ML con filtro adattato, valido per ogni intervallo di simbolo, si può quindi realizzare con lo schema seguente: R = 1/ t = ( n+ 1) b( t) 1 b ( t) 0 ρ 1 ρ 0 decisore a ρ ( t ) b ( t) b ( t) ρ ρ minima distanza s R e 1 () uv R (Regioni b ( t) b d ( ) d 1 t ρ d ρ d 1 di Voronoi) 43

44 Esempio Data la costellazione: M = { s () t =+ VP (), t s () t = VP ()} t 1 2 Disegnare la forma d onda trasmessa corrispondente alla sequenza Disegnare il filtro adattato In assenza di rumore disegnare l uscita del filtro adattato Mostrare che campionando negli istanti di campionamento t=(n+1) si ottiene esattamente il simbolo trasmesso 44