01GSZ Tecniche di protezione dell informazione. parte 1

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1 01GSZ Tecniche di protezione dell informazione parte 1 1

2 Scopo del corso Il corso si propone di fornire agli studenti gli elementi per l analisi ed il progetto di codici di canale capaci di proteggere l informazione digitale durante la trasmissione sul canale di comunicazione 2

3 Contesto trasmissivo 3

4 Contesto trasmissivo Per la maggior parte delle lezioni ci focalizziamo su un applicazione ben precisa di utilizzo dei codici, legata al livello fisico: sistema di trasmissione numerica dove un utente trasmettitore invia ad un utente ricevitore sequenze binarie di informazione ad una velocità R b [bit/s] su un canale wireless o wired trasmissione di sequenze continue con bit rate R b 4

5 Scenari wireless e wired

6 Scenari wireless e wired Le motivazioni nei due casi sono diverse, ma il risultato è lo stesso: In un sistema wireless o wired, lo spettro del segnale trasmesso deve rimanere confinato all interno della banda utile assegnata a quel sistema. 6

7 Wireless 1/3 L etere è condiviso tra tutti i sistemi wireless. Sull asse delle frequenze, a ogni sistema viene assegnato un canale con una banda limitata. Lo spettro del segnale trasmesso deve rimanere confinato all interno di questo canale per non disturbare chi trasmette su canali adiacenti. 7

8 Wireless 2/3 Esempi importanti di sistemi wireless: WiFi (802.11n, canali di 20 (40) MHz nell intorno di 2.45 GHz) WiMAX (802.16m, canali da 5 a 20 MHz intorno a 3.5 GHz) 3G-LTE (canali da 1.25 a 20 MHz intorno a 2.5 GHz) 8

9 Risultato finale: Wireless 3/3 Ad ogni sistema è assegnato un canale in banda-passante (centrato attorno a una frequenza di trasmissione f 0 0 ), di ampiezza B u. f 0 trasmissione di altri sistemi 9

10 Wired 1/3 Il cavo collega il trasmettitore al ricevitore: su quel cavo trasmettono solo loro in teoria, si potrebbe occupare tutto l asse delle frequenze Tuttavia, i cavi hanno tipicamente una risposta di tipo passa-basso 10

11 Esempio doppino telefonico La risposta in frequenza è inversamente proporzionale alla frequenza (al quadrato) e alla distanza (al quadrato) H k distanze in km Carrier Frequenza = indice carrier * 4 khz 11

12 Wired 2/3 In teoria, si potrebbe occupare tutto l asse delle frequenze. Si sceglie invece di limitare la frequenza massima di trasmissione f MAX : al di sopra di questa frequenza l attenuazione del cavo è ritenuta troppo grande inutile sprecare potenza. Nota: l attenuazione dipende dalla distanza, quindi anche la frequenza massima dipende spesso dalla distanza. VDSL da centrale: f MAX = 8 MHz VDSL da cabinet: f MAX = 17 MHz Esempio pratico 12

13 Risultato finale: Wired 3/3 Ad ogni sistema è assegnato un canale in banda-base (parte dalla continua) di ampiezza B u = f MAX f MAX risposta del mezzo inadeguata

14 Catena di trasmissione

15 Catena di trasmissione u T s( t ) r( t) u R Sorgente sequenze binarie informaz. Rb TX CANALE RX Rb u T R b s( t) r( t) u R Sequenze binarie di informazione da trasmettere Bit rate [bit/s] (velocità sequenze binarie informazione) Segnale trasmesso Segnale ricevuto Sequenze binarie di informazione ricevute 15

16 Sequenze binarie di informazione da trasmettere u T

17 Sequenze binarie di informazione da trasmettere u T Modello utilizzato: Sequenze continue Random ideali Caratterizzate da una velocità R b [bps]

18 Discussione modello sequenze binarie 1/3 Sequenze continue (lunghezza semi-infinita): A livelli superiori i bit di informazione vengono raggruppati in pacchetti. Alcuni sistemi possono trasmettere a burst (numero limitato di pacchetti).

19 Discussione modello sequenze binarie 2/3 Sequenze random ideali: 1. Bit statisticamente indipendenti P(u i u j )=P(u i ) i j 2. Stazionarie ed equiprobabili P(u i = 0) = P(u i = 1)=0.5 i Nella pratica ci sarà invece della correlazione (campi intestazione pacchetti, ecc.)

20 Discussione modello sequenze binarie 3/3 Caratterizzate da una velocità R b [bps] Ogni bit u i ha una durata di T b =1/R b secondi u i CLOCK T b utn u Tn

21 Trasmettitore 21

22 Segnale trasmesso Sequenze binarie di informazione u T per poter essere trasmesse sul canale vanno convertite in un segnale fisico s(t) segnale trasmesso s(t) = forma d onda trasmessa sul canale (tensione che evolve nel tempo) u T = sequenza di v.c. binarie s(t) = processo casuale 22

23 Banda del segnale trasmesso s(t) è un processo casuale caratterizzato da uno spettro di potenza G s (f) che descrive il suo andamento sull asse delle frequenze Banda B del segnale trasmesso s(t) = Intervallo di frequenze che contiene una porzione significativa dello spettro G s (f) In pratica: definizione di banda dipende dalla convenzione 23

24 Definizione di banda Per semplicità in questo corso useremo la definizione di banda monolatera totale: Intervallo di frequenze positive che contiene tutto lo spettro G s (f) Nota: Questa definizione è applicabile solo nel caso di filtri con risposta all impulso illimitata nel tempo. Nella pratica, le bande utili sono definite tramite maschere di PSD (power spectral density) cui lo spetto G s (f) del segnale trasmesso deve sottostare 24

25 Scelta del segnale trasmesso Come scegliere il segnale s(t)? Ogni sistema di trasmissione ha a disposizione un intervallo di frequenze limitato all interno del quale deve rimanere confinato lo spettro del segnale trasmesso: banda utile B u Abbiamo visto prima le motivazioni: Fuori da questo intervallo la risposta in frequenza del mezzo trasmissivo è inadeguata (es. attenuazione troppo elevata rapporto S/N in ricezione troppo basso) (wired) Interferenze con trasmissioni su canali adiacenti (wireless) 25

26 Scelta del segnale trasmesso s(t) deve essere scelto in modo che il suo spettro G s (f) sia posizionato all interno della banda utile del canale Nota: Si cerca sempre di scegliere la modulazione in modo che la banda del segnale trasmesso copra tutta la banda utile (massimizza la bit rate) 26

27 Modulazioni non codificate Esempio più semplice di TX = modulazioni non codificate (studiate a trasmissione numerica. Esempi: PSK,QAM) Nota: in teoria in uno scenario wired si potrebbe usare una modulazione in banda-base (PAM). Tuttavia, è ormai di uso comune usare modulazioni in banda-passante (PSK-QAM) anche per canali in banda-base: basta scegliere la frequenza di trasmissione in mezzo alla banda utile. Prestazioni ed efficienza spettrale sono del tutto equivalenti Consideremo solo modulazioni PSK/QAM 27

28 Modulazioni PSK e QAM p(t)sin(2π f 0 t) 1001/ s 3 p(t)sin(2π f 0 t) / s b ( t) 2 3a 1010 / s / s / s / s 6 a 0010 / s / s p(t)cos(2π f 0 t) 3a 0101/ s 11 a 0100 / s 10 a a 0110 / s 9 3a 0111/ s 8 b 0( t ) p(t)cos(2π f 0 t) 1101/ s / s / s / s 12 3a Modulazioni PSK più usate in pratica: 2, 4 e 8 PSK Modulazioni QAM più usate in pratica: Wireless: fino a 256 QAM Wired: fino a 2 15 QAM 28

29 Schema modulatore QAM Filtro di trasmissione (α) p(t) k u T e cos(2πf 0 t) 90 s(t) sin(2πf 0 t) (β) p(t) 29

30 Modulazione M = insieme di 2 m segnali Modulazioni non codificate R b = data rate (bit rate) T b =1/R b = tempo di bit Ad ogni segnale trasmesso corrispondono m bit di informazione tramite il labeling binario (corrispondenza 1 a 1 tra vettori di m bit e segnali di M) Ogni simbolo trasmesso ha una durata temporale pari a m bit, quindi ha durata T secondi e velocità R=1/T: T=1/R=m T b = tempo di simbolo R = R b /m = symbol rate Data una sequenza di simboli di velocità R, qual è la minima banda occupata? 30

31 Modulazioni non codificate Per una modulazione PSK/QAM, lo spettro del segnale trasmesso è dato da questa espressione: 2 2 Gs ( f ) = z P( f f0) + P( f + f0) z R Forma dipende da P(f) (trasformata di Fourier del filtro di trasmissione) La posizione dipende da f 0 centrata attorno a f 0 (frequenza della portante) 31

32 Filtri di trasmissione considerati per calcolare la banda totale 1. Filtro ideale passa basso (minima banda occupata) R=1/T simboli al secondo 32

33 Filtri di trasmissione considerati per calcolare la banda totale 2. Filtro a coseno rialzato con roll-off α R=1/T simboli al secondo I filtri RRC si possono approssimare molto bene con un filtro FIR, purché α non sia troppo piccolo Es. DVB: α = 0.2 UMTS α =

34 Definizione di efficienza spettrale η = R b B [ bps / Hz] Bit rate R b sequenze informazione u T Banda B segnale trasmesso s(t) (definizione usata: banda totale) 34

35 EFFICIENZA SPETTRALE DI MODULAZIONI PSK e QAM 2 m -PSK 2 m -QAM Filtri di trasmissione = passa basso ideale B id = R = R b m η = m [ bps / Hz] R b η id = = B m 35

36 EFFICIENZA SPETTRALE DI MODULAZIONI PSK e QAM 2 m -PSK 2 m -QAM Filtri di trasmissione = RRC con roll-off α f 0 f T 1 1 T R (1 + α ) R (1 + α ) ( + α ) ( +α ) B R b = R(1 + α) = (1 + α) m m η = 1 +α [ bps / Hz] b η = R = m bps / Hz B (1 +α )

37 EFFICIENZA SPETTRALE DI MODULAZIONI PSK e QAM 2 m -PSK 2 m -QAM Ideale 2-PSK η=1 bps/hz 4-PSK η=2 bps/hz 8-PSK η=3 bps/hz 16-PSK η=4 bps/hz 8-QAM η=3 bps/hz 16-QAM η=4 bps/hz 32-QAM η=5 bps/hz 64-QAM η=6 bps/hz 128-QAM η=7 bps/hz 256-QAM η=8 bps/hz 37

38 Legame tra banda utile e bit rate massima Dato un canale di banda utile B u, se si utilizza una modulazione PSK o QAM con 2 m segnali, la massima bit rate che si può trasmettere è pari a R b = mb u Ottenuta scegliendo Filtri di trasmissione ideale B=R Saturando tutta la banda utile B u =B Esempio B u =20 MHz Se si usa una 256-QAM, la massima bit rate sarà 160 Mbps 38

39 Legame tra banda utile e bit rate massima In pratica la massima bit rate ottenibile sarà minore (si deve usare un filtro RRC, con efficienza spettrale più bassa di un fattore (1+α), anche la massima bit rate diminuisce dello stesso fattore): R b = mb u / (1+α) Ottenuta scegliendo Filtri di trasmissione RRC B=R (1+α) Saturando tutta la banda utile B u =B Esempio B u =20 MHz Se si usa una 256-QAM e filtri RRC con α=0.2 la massima bit rate sarà 133 Mbps 39

40 Trade-off tra efficienza spettrale e prestazioni Guardando la formula R b = mb u / (1+α) Si vorrebbe utilizzare una QAM più grande possibile Purtroppo, le prestazioni peggiorano al crescere del numero di segnali 2 m 1 BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E Eb/N0 [db] 4-QAM 16-QAM 64-QAM 256-QAM 1024-QAM 40

41 Come dimensionare la QAM? Consideriamo un canale di ampiezza B u. Supponiamo di conoscere il rapporto segnale disturbo Secondo il teorema di Shannon, il massimo numero di bit che si possono allocare è dato dalla PRX b log2 1 + PN Se si vuole utilizzare una modulazione QAM, quale costellazione si può utilizzare? Di solito l allocazione si può effettuare mediante la formula di Bingham, scegliendo una modulazione 2 b -QAM dove (se target BER = 10-7 ): P P RX N b log2 1 + P P RX N

42 Dimostrazione formula di Bingham E S Per una costellazione q-pam si ha 1 2 q 1 q q q/ [ αi ] [(2i 1) α] α i= 1 q i= 1 3 = = = x i= 1 i Dove si sono utilizzate le seguenti proprietà: x = ( x + 1) 2 x i= 1 x = ( ) i x x 42

43 Dimostrazione formula di Bingham d Per una costellazione q-pam si ha q min = 4α 2 12E ES = α d s min = 2 q 1 Per una costellazione x=q 2 -QAM si ha d α x min = 4 ES = α d 2 min = 6 E s x 1 43

44 Dimostrazione formula di Bingham Consideriamo le approssimazioni asintotiche della BER P ( e) b 1 wmin d erfc 2 k 4N 2 min 0 trascuriamo le molteplicità e approssimiamo la erfc con la exp: P ( e) b 2 min d 4N e 0 Fissiamo una targer BER = 1 e-7: 2 min d ln(1e 7) 16 4N = 0 44

45 Dimostrazione formula di Bingham essendo 1 Es x N E P = = E R = E P s RX s s s Ts N N 0 = 2 = N 0 2 Si ottiene la formula di Bingham riferita a costellazioni QAM per target BER 1e-7, senza codifica e senza margine di sicurezza: b log P P 0 RX N

46 Dimostrazione formula di Bingham avevamo d 2 min = 6 E s x 1 da cui x = + 6E s 1 2 dmin dove 2 min d 4N 0 16 quindi 6Es 1 x = N 10 E N 0 0 s 46

47 Come dimensionare la QAM? BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 4-QAM 16-QAM 64-QAM 256-QAM 1024-QAM b log2 1 + P P RX N E-11 1E-12 1E-13 1E Eb/N0 [db] Tanto più è alto il rapporto segnale disturbo tanto più alto m=b aumenta la bit rate R b = mb u / (1+α)

48 Esempio: collegamento tra due antenne in piena vista Sono date la potenza trasmessa P TX e la banda B, si vuole calcolare la massima Bit Rate che si può trasmettere. Equazione LOS G G TX RX 2 PRX = PTX c 2 ( 4π fd ) Esempio guadagno antenna parabolica G Φπ = λ 2 η Φ = diametro λ=c/f = lunghezza d onda η=efficienza 48

49 Esempio: collegamento tra due antenne in piena vista Densità spettrale potenza del rumore termico: G n (f)=n 0 /2=KT/2 K = costante di Boltzman T = temperatura in gradi Kelvin Potenza di rumore: P n =2G n (f)b=ktb Cifra di rumore ricevitore F P n =2G n (f)bf In prima approssimazione la potenza di rumore dipende solo dall ampiezza della banda utile 49

50 Esempio: collegamento tra due antenne in piena vista ALTRE ATTENUAZIONI/PERDITE (non considerate nel seguito) Wireless: Attenuazione atmosfera Attenuazione pioggia Perdita cavi Wired: Interferenza doppini adiacenti (FEXT) Rumore impulsivo 50

51 Potenza trasmessa Fissata la banda, la bit rate dipende da m, quindi dal rapporto segnale/disturbo. Fissata la banda, la potenza di rumore è fissa. La potenza ricevuta dipende invec dalla potenza trasmessa e dalla distanza. La potenza trasmessa spesso è fissata: Esempio ADSL P TX = 20.5 dbm (14.5 dbm da cabinet) WiFi Access point: P TX = 20 dbm 51

52 Sulla modulazione OFDM Tutti i sistemi di nuova generazione sia wired che wireless (xdsl, WiFi, WiMAX, LTE) prevedono l uso della modulazione OFDM. In pratica, la banda utile B u viene partizionata in N sottobande di ampiezza B u =B u /N. Su ogni sottobanda si utilizza una modulazione QAM. Nota: Se il canale è ideale, data una banda utile B u, la massima bit rate che si ottiene con una singola QAM o con una OFDM a N toni è ovviamente identica (nel secondo caso è pari a R b =NR b =N mb u / (1+α) = mb u / (1+α)) 52

53 Sulla modulazione OFDM Il successo della OFDM è dovuto a un certo numero di ottime proprietà per canali reali (per approfondimenti, fuori dallo scopo di questo corso, si veda ad esempio -La symbol rate è N volte più piccola, quindi il tempo di simbolo è N volte più grande. Si riece a neutralizzare l interferenza intersimbolica dovuta alla risposta all impulso non ideale del canale mediante un intervallo di guardia (tecnica del prefisso ciclico): ogni sottobanda appare come piatta in frequenza. -Possibilità di allocare (dinamicamente) la bit rate allocando più bit nelle sottobande dove il rapporto segnale-disturbo è più alto -Implementazione completamente digitale del modem mediante DFT/IDFT In questo corso, data una banda utile, supporremo di utilizzare una modulazione QAM (PSK): tutte le tecniche introdotte si applicano similmente alla modulazione OFDM. 53

54 Riassunto progetto modulazione 54 Fissato il canale possiamo scegliere: 1. La frequenza di trasmissione f 0 (in mezzo alla banda utile) 2. La symbol rate mediante la R = B u / (1+α) Data la potenza ricevuta P RX possiamo scegliere m mediante la m b log2 1 + P P RX N 1 10 Utilizzando una 2 m QAM si ottiene una bit rate pari a R b = m R 54

55 Canale di trasmissione 55

56 Canale Gaussiano bianco -Risposta in frequenza piatta su tutto l asse della frequenze: H(f)=1 f -Aggiunta di rumore bianco: processo casuale n(t) con densità spettrale di potenza costante pari a N 0 /2 56

57 Discussione modello canale -Risposta in frequenza piatta: se si usa OFDM vero ma per la sola sottobanda -Aggiunta di rumore bianco: ci possono essere rumori più importanti (impulsivi, interferenze - FEXT su cavi) 57

58 Ricevitore 58

59 Segnale ricevuto Segnale trasmesso s(t) Trasmissione sul canale segnale ricevuto r(t) Distorsione dovuta alla non idealità della risposta in frequenza del canale Rumore aggiunto dal canale e dagli apparati r( t) s( t) 59

60 Schema ricevitore QAM p(t) CAMPIONATORE cos(2πf 0 t) r(t) 90 sin(2πf 0 t) RECUPERO SINCRONISMO di SIMBOLO DECISORE A MINIMA DISTANZA EUCLIDEA (VORONOI) e -1 u R CAMPIONATORE RECUPERO PORTANTE p(t) 60

61 Sequenze binarie di informazione ricevute u = ( v, v,..., v i,...) R 0 1 Poiché r( t) s( t) Si può avere u u = ( u, u,..., u i,...) R T

62 Probabilità di errore Probabilità di errore sul bit (Bit Error Rate, BER) P ( e) = P( u v ) b i i Interpretazione statistica P ( e ) = b numero bit ricevuti errati numero bit ricevuti (Se i bit di informazione sono raggruppati in pacchetti, interessa anche la Packet Error Rate. In questo corso calcoleremo anche la Frame Error Rate.) 62

63 BER 1E-111E-101E-91E-81E-71E-61E-51E-41E E-141E-131E Eb/N0[dB] Probabilità di errore Tendenza: Error Rates richieste sempre più basse (scarsa resistenza agli errori delle tecniche di compressione di sorgenti multimediali). Esempi Voce: BER 10-4 DVB-S2: PER 10-7 su pacchetti MPEG (corrisponde a BER ) 63

64 BER 1E-111E-101E-91E-81E-71E-61E-51E-41E E-141E-131E Eb/N0[dB] Probabilità di errore In questo corso valuteremo l andamento della probabilità di errore (BER/FER) in funzione del rapporto segnale-disturbo (E b /N 0 ) Esempio: Ber per costellazione 2-PSK non codificata su canale Gaussiano bianco: 1 E Pb ( e) = erfc 2 N b 0 BER BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E Eb/N0 [db] E b N S/N [db] 0 [ d B ] Per sistemi semplici è possibile una valutazione analitica esatta. Per sistemi complessi si deve ricorrere ad approssimazioni o alla simulazione. 64

65 BER 1E-111E-101E-91E-81E-71E-61E-51E-41E E-141E-131E Eb/N0[dB] Legame E b /N 0 e P RX E P = E R = R N b RX b b b N0 0 Proporzionalità diretta tra la potenza ricevuta e il rapporto (E b /N 0 ) Il guadagno che otterremo in termini di E b /N 0 si può interpretare come un guadagno di potenza ricevuta 65

66 Complessità Si riferisce alla difficoltà di implementare in pratica TX e RX È legata al numero totale di operazioni elementari da effettuare, ma è una grandezza di difficile definizione perché strettamente legata al tipo di implementazione (analogica, digitale software, digitale hardware) e alle soluzioni scelte (es. grado di parallelismo, memorie ecc.). In questo corso: tecniche che consentono di migliorare le prestazioni senza alterare data-rate, banda, potenza trasmessa, ma solo aumentando la complessità (es. algoritmo di Viterbi per codici convoluzionali con numero di stati crescente, codici TCM). 66

67 Ritardo Intervallo di tempo in secondi D tra l istante in cui un bit di informazione entra nel TX e l istante in cui esce dal RX. (le tecniche di codifica aumenteranno il ritardo, alcune in modo consistente, altre no) 67

68 Grandezze fondamentali considerate 1. Bit rate R b 2. Banda B 3. Potenza trasmessa P TX 4. Distanza coperta d 5. Probabilità di errore P b (e) 6. Complessità 7. Ritardo D 68

69 Sul teorema di Shannon Dato un canale discreto senza memoria, possiamo calcolare la sua capacità C. Shannon s Noisy-Channel Coding Theorem Dato un numero reale ε piccolo a piacere, è possibile trasmettere sul canale un traffico di data-rate R b con probabilità di errore piccola a piacere purché R b C-ε 69

70 Sul teorema di Shannon Teorema di Shannon per AWGN Dato un canale Gaussiano bianco di banda B, è possibile trasmettere un traffico con data-rate R b con probabilità di errore piccola a piacere purché R b C- ε, dove C è la capacità del canale, data dalla: C = B log2 1+ S N 70

71 Sul teorema di Shannon Si può riformulare così: Teorema di Shannon per AWGN Dato un canale Gaussiano bianco, esiste un sistema codificato (modulazione + codice) che realizza un efficienza spettrale η = R b B e che consegue probabilità di errore piccola a piacere con rapporto segnaledisturbo E log [db] η b = N0 SH 10 η 71

72 Sul teorema di Shannon E log [db] η b = N0 SH 10 η 10 Shannon eta [bps/hz] Eb/N0 [db] 72

73 Sul teorema di Shannon E 2 1 E b 10 log [db] η = 1 bps / Hz = 0 N0 η b = N0 SH 10 η 1 BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 BER 2-PSK BER Shannon Eb/N0 [db] per BER=1e db di guadagno rispetto alla 2-PSK SH db 73

74 Sul teorema di Shannon E 2 1 E b 10 log [db] η = 2 bps / Hz = 1.8 N0 SH η b = 10 N0 η SH 1 BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 BER 4-PSK BER Shannon Eb/N0 [db] per BER=1e db di guadagno rispetto alla 4-PSK db 74

75 Sul teorema di Shannon E 2 1 E b 10 log [db] η = 3 bps / Hz = 3.7 N0 SH η b = N0 SH 10 η BER E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1E-8 1E-9 1E-10 1E-11 1E-12 1E-13 1E-14 BER 8-PSK BER 8-QAM BER Shannon Eb/N0 [db] per BER=1e-6 10 db di guadagno rispetto alla 8-QAM db 75

76 Sul teorema di Shannon E log [db] η b = N0 SH 10 η Shannon BER = 1e-6 7 eta [bps/hz] QAM PSK 2-PSK Eb/N0 [db] 76

77 Sul teorema di Shannon La costruzione di modulazioni capaci di avvicinare il teorema di Shannon passa per l utilizzo di opportuni codici di canale. Si tratta di un teorema di esistenza: si dimostra che la probabilità di errore mediata su tutti i possibili codici può essere resa piccola a piacere, quindi esiste almeno un codice che lo soddisfa. Non vengono date indicazioni su come costruirlo. Problema: se le parole di codice devono essere molto lunghe, come si decodificano in pratica? 77

78 Breve e approssimativa storia della codifica di canale Anni 50/60/70: codici algebrici (metodi di matematica discreta per progettare e decodificare i codici a blocco) Anni 70: codici convoluzionali (shift register encoder e algoritmo di Viterbi per decodificare) Anni 80: codici TCM (estensione dei codici convoluzionali a costellazioni con efficienza spettrale più alta, distanze Euclidee invece che di Hamming) Anni 90: codici turbo (rivoluzione: codici concatenati e decodifica iterativa) 2000 e oltre: LDPC e turbo-like codes (riscoperta di codici LDPC e estensione della decodifica iterativa a nuove classi di codici) 78