Elettronica delle Telecomunicazioni Esercizi cap 4: Conversione A/D/A

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1 4.1 Rapporto segnale/rumore di quantizzazione Determinare il numero di bit necessari per rappresentare con SNRq di 40 db su tutta la dinamica un segnale sinusoidale con valori di picco variabili da 100 mvp a 5 Vp. La dinamica di segnale è 5/0,1 = 50, corrispondenti a 34 db; il SNRq deve essere mantenuto su tutta questa dinamica, e la situazione più critica si ha per segnale a livello minimo. A livello massimo il segnale deve restare entro il fondo scala del convertitore, per non determinare errore di sovraccarico. La dinamica complessiva, intesa come rapporto tra rumore di quantizzazione (tale da garantire SNRq = 40 db al livello di segnale minimo) e il valore massimo del segnale (tale da non saturare il convrtitore) è pari a = 74 db Occorre determinare il valore di N tale che SNRq = 6N + 1,76 db = 74 db (segnale sinusoidale) N = (74-1,76) / 6 = 12,04 >> 12 bit Dato che per N deve essere preso il primo intero superiore, il risultato formalmente corretto è 13 bit; 12 bit è accettabile data la minima differenza rispetto al valore calcolato (0,4%). ETLes04g.doc - 18-Apr-00 1

2 4.2 Risoluzione effettiva (effetto del filtro anti-aliasing) Quale è la risoluzione effettiva (ENOB) per un convertitore da 14 bit, che campiona a 60 ks/s un segnale filtrato con 6 poli e F A = 10 khz? (tener conto solo della quantizzazione e del rumore di aliasing) Calcoliamo il SNR dovuto alle componenti fuori banda (aliasing) applicando il criterio A (più restrittivo, vedi nota in coda alla raccolta di esercizi): da 10 khz (F A ) a 30 khz (F S /2) il filtro scende di 6 x 20 db x log 3 = 57,2 db [SNRa(A) in figura] Con il criterio B (meno restrittivo), le frequenze tra cui valutare l attenuazione sono 10 khz (F A ) e 50 khz (F S - F A ). L attenuazione è di 6 x 20 db x log 5 = 83,9 db [SNRa(B) in figura] La sola quantizzazione determina un SNRq SNRq = 6 x ,76 = 85,76 db Il rumore complessivo Nt è somma di due termini: in db (se calcolato rispetto al segnale è SNRt): Caso A: Nt = 20 log (10 57,2/ ,76/20 ) = Nt = 20 log (1, , ) = 20 log 1, = - 56,9 db circa, Riapplicando la relazione tra numero di bit e rumore di quantizzazione: ENOB = (56,9 1,76) / 6 = 9,7 bit Caso B: Nt = 20 log (10 83,9/ ,76/20 ) = Nt = 20 log (63, , ) = 20 log = - 78,8 db circa, ENOB = (78,8 1,76) / 6 = 12,8 bit FA 10 khz SNRq 85,7 [db] SNRa(A) 57,2 [db] FS/2 30 khz SNRa(B) 83,9 [db] FS - FA 50 khz FS 60 khz F Possiamo anche osservare che nel caso B SNRq e SNRa sono circa uguali; il rumore complessivo è quindi doppio rispetto al solo SNRq, e questo corrispondere a diminuire di 1 bit la risoluzione. banda utile segnale dopo il filtro anti-aliasing livello del rumore di quantizzazione ETLes04g.doc - 18-Apr-00 2

3 4.3 Risoluzione effettiva (effetto del filtro anti-aliasing e del S/H) Un sistema di conversione ha le seguenti caratteristiche: Convertitore A/D da 6 bit, Limite superiore di banda del segnale di ingresso: F A = 10 khz, Cadenza di campionamento F S = 40 ks/s, Filtro anti-aliasing a 4 poli, Sample/hold con jitter di campionamento di 15 ns. Determinare la risoluzione effettiva (ENOB). Occorre valutare separatamente il contributo delle diverse fonti di errore/rumore: quantizzazione, campionamento e jitter del S/H; sommarle per ottenere il SNR complessivo e da questo calcolare il ENOB. Errore dovuto alla quantizzazione: SNRq = 6 N + 1,76 = 37,76 db Rumore di aliasing (SNRa): Sempre applicando il criterio A: F A e F S /2 sono separati da una ottava (10-20 khz); con 4 poli il filtro scende di 6 x 4 = 24 db, quindi: SNRa = 24 db Con il criterio B occorre valutare l attenuazione da 10 a 30 khz, pari a 4 x 20 x log 3 = 38,2 db. Errore dovuto al jitter di campionamento: Durante il tempo Tj il segnale si sposta di una quantità V, pari al prodotto Tj x Slew Rate: Indicando con Vs il valore massimo del segnale (corrispondente al fondo scala): V = Tj x SR = Tj x ωv = Tj 2π F A Vs SNRj = 20 log (Vs/ V) = 20 log (1/(2π F A Tj)) = 20 log (1/(2π x )) = 20 log (1/ ) = 20 x (6-2,97) = 60,5 db ETLes04g.doc - 18-Apr-00 3

4 SNR complessivo Per determinare il rapporto segnale/rumore totale (SNRt) occorre sommare i tre contributi espressi dai tre rapporti segnale/rumore: SNRq = 37,8 db SNRa = 24 db (38,2 con criterio B) SNRj = 60,5 db Da ciascun SNR si calcola l'ampiezza A del corrispondente rumore rispetto al segnale; dato che di tratta di un rapporto Rumore/Segnale, si prende SNR in db cambiato di segno: Ai = Ni/S = 10 SNRi/20 si sommano le ampiezze e si torna ai db. Con i dati valutati in base al criterio A: 1/SNRt = 20 log (Σ Ai) = 20 log (10 37,8/ / ,5/20 ) = 20 log (12, ,89) - 60 = - 22,3 db SNRt = 22,3 db Il numero di bit effettivi è: ENOB = (22,3-1,76)/6 = 3,42 bit Notare che il maggior contributo all errore viene dal rumore di aliasing; l elemento da modificare per migliorare la precisione del sistema è quindi il filtro. Per rendere SNRa confrontabile con SNRq occorre migliorarlo di 14 db circa; dato che la distanza tra Fa e Fs/2 è di una ottava, occorre aggiungere altri 3 poli. SNRa diventa: SNRa = 6 db/ott x (4+3)poli = 42 db 10 42/20 = 7, /SNRt = 20 log (12,9 + 7,9 + 0,89) - 60 = - 33,3 db SNRt = 33,3 db ENOB = (33,3 1,76)/6 = 5,26 bit Applicando il criterio B: 1/SNRt = 20 log (Σ Ai) = 20 log (10 37,8/ ,2/ ,5/20 ) = 20 log (12,9 + 12,3 + 0,89) - 60 = - 31,7 db Il numero di bit effettivi è: ENOB = (31,7-1,76)/6 = 5 bit ETLes04g.doc - 18-Apr-00 4

5 4.4 Bit rate per convertitore con uscita parallela e a inseguimento Un convertitore opera su segnale vocale con le seguenti caratteristiche: Banda del segnale 300 Hz 3 kkz Cadenza di campionamento 8 ks/s Conversione lineare, con SNRq > 40 db Quale è la cadenza di bit in uscita (bit rate) generata dal convertitore, utilizzando come uscita il codice binario pesato? Quale è la cadenza di bit in uscita (bit rate) generata dal convertitore, per un convertitore a inseguimento, utilizzando come uscita la sequenza di stati fornita dal comparatore (codice non pesato)? In generale, quale è il rapporto tra bit rate richiesto con codici pesati e non pesati (a pari risoluzione)? Dal rapporto segnale/rumore si determina il numero di bit; ricordando che il segnale vocale ha distribuzione di ampiezza esponenziale bilatera, approssimabile con una gaussiana troncata a 3σ: N = (40 + 4,8)/6 = 7.47 (8 bit) Il flusso di bit generato in uscita (Bit Rate) è di 8 bit x 8 ks/s = 64 kbit/s Nel caso di un convertitore a inseguimento con caratteristiche analoghe, eguagliando lo slew rate del segnale da convertire e di quello ricostruito si ha: <slew rate segnale> = <passo di quantizzazione>/<tempo di campionamento> ωv = (2V/2 N ) Fs Fs = ω 2 N-1 = 2,41 MHz In questo modo la cadenza di campionamento viene fissata al valore minimo che garantisce l inseguimento corretto (senza overload). Volendo invece eseguire una conversione completa per ogni campione (a 8 ks/s), dato che il numero di passi per coprire l escursione completa è 2 8 = 256, la cadenza di clock richiesta è di 8kS/s x 256 = 2,048 MHz. Il flusso di dati seriali generato in uscita è quindi di 2,41 o 2,048 MHz. In generale, un convertitore a N bit con cadenza di conversione Fs e uscita a codice pesato genera un bit rate pari a Fs x N, mentre lo stesso convertitore con uscita a codice non pesato richiede un flusso di Fs x 2 N bit. Il rapporto tra i bit rate è quindi N/2 N. ETLes04g.doc - 18-Apr-00 5

6 4.5 Dimensionamento del filtro anti aliasing Un sistema di conversione acquisisce segnali di frequenza massima 15 khz, con cadenza di campionamento 60 khz, convertitore A/D 10 bit. Quali caratteristiche deve avere il filtro antialiasing per ottenere un rumore di aliasing pari al rumore di quantizzazione? Quale è il numero di bit effettivi (ENOB) in queste condizioni (solo errori di quantizzazione e di aliasing)? Un segnale (sinusoidale) campionato a 10 bit presenta un rumore di quantizzazione SNRq = 6 N + 1,76 db = 61,76 db Il livello di segnale fuori banda riportato in banda base dal campionamento dipende dalle caratteristiche spettrali del segnale stesso e dalla pendenza del filtro anti-aliasing. Il caso peggiore si presenta quando il segnale di ingresso ha densità spettrale costante almeno fino alla frequenza di campionamento, perchè tutta l attenuazione per segnali fuori banda deve essere introdotta dal filtro anti-aliasing di ingresso. Z [db] F F A F S/2 F S segnale di ingresso banda utile segnale dopo il filtro anti-aliasing livello del rumore di aliasing L'attenuazione di un filtro dipende, a una certa distanza dalla frequenza di taglio, dal numero di poli (in prossimità della frequenza di taglio dipende dal tipo di funzione approssimante; in questo esercizio terremo conto solo della presenza asindotica). Ogni polo determina una pendenza di 6 db/ottava, o 20 db/decade. Con questa approssimazione, un filtro con P poli presenta, tra le frequenze F1 e F2 = kf1, una attenuazione Z calcolabile come: Z [db] = (numero_poli) (numero_ottave) (6 db per ottava) = (P 6 log 2 K ) db Oppure, ragionando in decadi: Z [db] = (numero_poli) (numero_decadi) (20 db per decade) = (P 20 log 10 K ) db Pertanto il numero di poli P necessario per ottenere una attenuazione Z tra le frequenze F1 ed F2 può essere ricavato come: Z P = oppure 20 log ( F1/ F2) 10 P = 6 Z log ( F1/ F2) 2 ETLes04g.doc - 18-Apr-00 6

7 Con i dati di questo problema, e applicando il criterio A: F A = 15 khz, F S = 50 khz K = F1/F2 = 25/15 = 1,67 P = 62 db/ (20 log 10 1,67) = 62 / 4.44 = 13,4 Per la specifica richiesta occorre un filtro a 14 poli. Il rumore totale è doppio di quello di quantizzazione, e ciò equivale a ridurre di 1 il numero di bit; pertanto: ENOB = 9 bit N.B. La specifica sul filtro, alquanto stringente, può essere alleggerita se il segnale è già limitato in banda per altri motivi (banda del trasduttore, amplificatori, ). 4.6 Filtro anti aliasing per convertitore a sovracampionamento Determinare le caratterisitiche del filtro anti-aliasing per un convertitore a sovracampionamento con le seguenti caratteristiche: - segnale di ingresso con frequenza massima di 2,5 khz - sovracampionamento a 1 MS/s - SNRq = 50 db Per introdurre un rumore di aliasing non superiore al rumore di quantizzazione, il filtro deve presentare un attenuazione di almeno 50 db tra 2,5 khz e 0,5 MHz (criterio A), che corrisponde a un rapporto 200 = 2 decadi + 1 ottava, oppure 2,5 khz e 997,5 khz (criterio B), che corrisponde a un rapporto 399 = 2 decadi + 2 ottave. In questi intervalli un singolo polo fa scendere la risposta rispettivamente di 20 x = 46 db, e di 20x2+6x2 = 52 db. Pertanto applicando il criterio B, come filtro anti-aliasing basta una cella RC, mentre applicando A occorrono due poli. A 50 db F 2,5 khz 0,5 MHz 1 MHz B 50 db F 2,5 khz 0,5 MHz 1 MHz ETLes04g.doc - 18-Apr-00 7

8 4.7 Dimensionamento di un sistema di acquisizione dati Tracciare lo schema a blocchi e indicare le specifiche dei singoli blocchi per un sistema di acquisizione A/D a 16 canali di ingresso, su ciascuno dei quali é presente un segnale con frequenza massima di 5 KHz, ampiezza massima di 300 mv di picco. Il convertitore A/D disponibile ha dinamica di +-5V. E richiesta una precisione globale dello 0,1 %. Eseguire il progetto dell amplificatore di condizionamento del segnale per il sistema di cui sopra, usando componenti reperibili nella raccolta di caratteristiche. Indicare il tipo di convertitore A/D piu opportuno, e tracciarne lo schema a blocchi. Schema a blocchi CIRCUITI DI PROTEZIONE AMPLIFICATORE FILTRO PASSA-BASSO MULTIPLEXER SAMPLE/HOLD CONVERTITORE A/D Guadagno dell amplificatore (G): La tensione di 300 mvpicco corrisponde a 600 mvpp. Questo campo deve corrispondere alla dinamica del convertitore A/D, pari a 10 V G = 10V / 600 mv = 16,67 (arrotondabile a 16) Cadenza di campionamento (Fs): Deve essere abbastanza più alta del limite di Nyquist (10 khz), ad esempio Fs = 40 khz, cui corrisponde un tempo di campionamento Ts = 25 µs. Filtro di ingresso: Deve avere una risposta piatta fino ad almeno 5 khz. Una volta definita Fs, da questa e dalla precisione richiesta è possibile determinare il numero di poli del filtro. L errore dello 0,1 % corrisponde a un SNR di 1000, pari a 60 db; per limitare anche il rumore di aliasing a 60 db rispetto al segnale, la risposta del filtro deve scendere di 60 db da 5 khz a 20 khz (Fs/2, criterio A), intervallo corrispondente a 2 ottave. Un singolo polo ha una risposta che scende di 12 db su 2 ottave; per scendere di 60 db servono quindi 5 poli. Applicando il criterio B, il filtro deve scendere di 60 db tra 5 khz e 35 khz. Il numero di poli è 60 ricavabile come P = = 3,6 (4 poli). 20 log (35 / 5) 10 ETLes04g.doc - 18-Apr-00 8

9 Tempo di conversione e di acquisizione: Entro il tempo Ts il sistema deve acquisire e convertire 16 grandezze; il tempo disponibile per ciascuna è quindi 25 µs / 16 = 1,56 µs. Questo tempo può essere ripartito in parti approssimativamente uguali tra tempo di acquisizione (Tacq) del S/H e tempo di conversione (Tc) dell A/D; prendendo un piccolo margine si ha Tacq = 0,7 µs; Tc = 0,7 µs Numero di bit: Assegnando all errore di quantizzazione ε q metà dell errore totale, si ha: ε q = 0,05 % = 0, = 1/2 N 1/ε q = = 2 N N >= lg N = 11 (lg indica logaritmo in base 2) Amplificatore di condizionamento del segnale Si tratta di realizzare un amplificatore con guadagno G = 16; per mantenere una elevata impedenza di ingresso conviene usare la configurazione non invertente. Per garantire l errore richiesto, l amplificatore operazionale deve avere bassi offset e basse derive. G = R1/R2 + 1; R1/R2 = 15 Vi R1 R2 Vu Dato che la resistenza equivalente vista dal morsetto non invertente dipende dal generatore collegato all ingresso, non è possibile garantire la perfetta compensazione dell errore dovuto alle correnti di polarizzazione di ingresso, e conviene scegliere la resistenza di reazione con valore prossimo al limite inferiore del campo ammesso. Con R1 = 15 kω (il valore minimo per cui viene garantita la dinamica di uscita è normalmente di 10 kω), risulta: R2 = 15 kω / 15 = 1 kω. Tipo di convertitore A/D piu opportuno, schema a blocchi. La precisione richiesta (11 bit) esclude la possibilità di usare convertitori parallelo (flash); un circuito ad approssimazione successive può soddisfare le specifiche di precisione (N = 11) e velocità (Tc = 0,7 µs). Lo schema a blocchi è in figura. Vi Va Vu LOGICA DI APPROSSIMAZIONE Clock D CONVERTITORE D/A ETLes04g.doc - 18-Apr-00 9

10 Relazioni utili Errore di quantizzazione εq = S/2 N εq = 1/2 N (errore assoluto) (errore relativo) Rapporto segnale/rumore di quantizzazione SNRq = 6N + 1,76 db (per segnali sinusoidali) Numero di bit equivalenti Effective Number Of Bits ENOB = (SNReffettivo - 1,76 db)/6 Dimensionamento del filtro anti-aliasing Il filtro anti-aliasing deve attenuare il segnale di ingresso fuori banda (per frequenze che possono dare aliasing, cioè al di sopra di Fs/2 oppure Fs - Fa). Il contenuto spettrale dopo il filtro antialiasing dipende dallo spettro del segnale originario e dalla fdt del filtro; nei calcoli seguenti si ipotizza che il segnale di ingresso abbia densità spettrale costante fino a Fs, e che tutta l attenuazione fuori banda derivi dal filtro. In realtà la densità spettrale fuori banda generalmente diminuisce, e questo allenta le specifiche sul filtro. In mancanza di altre indicazioni si può richiedere che i segnali fuori banda abbiano lo stesso livello del rumore di quantizzazione. f FA FS/2 F S - F A F S segnale di ingresso fdt del filtro anti-aliasing segnale filtrato Criterio A: Considerare fuori banda i segnali sopra F S /2, e quindi imporre una specifica sulla densità spettrale dopo il filtro nel campo F S /2 Fs (banda che viene ribaltata tra 0 e F S /2). ETLes04g.doc - 18-Apr-00 10

11 Criterio B Considerare fuori banda i segnali sopra F A, e quindi imporre una specifica sulla densità spettrale dopo il filtro nel campo (F S - F A ) Fs (banda che viene ribaltata tra 0 e F A ). Se il segnale occupa una banda fino a F A, tale frequenza deve in ogni caso essere compresa nella banda passante del filtro, e il filtro anti-aliasing può iniziare ad attenuare immediatamente dopo F A. Con l ipotesi di segnale di ingresso a densità spettrale costante, e se si vuole ottenere un rumore di aliasing pari al rumore di quantizzazone, l attenuazione minima per segnali che possono dar luogo ad aliasing deve essere pari a SNRq. Ogni polo fa calare la risposta di 20 db/decade o 6 db/ottava e da questo si può ricavare una relazione approssimata per il numero di poli P. Per il criterio A: Attenuazione in db = P 20 log 10 (F /2F S A ) Z [db] F F A F S/2 segnale di ingresso banda utile segnale dopo il filtro anti-aliasing livello del rumore di aliasing F S Per il criterio B Attenuazione in db = P 20 log10((fs - FA )/FA ) Z [db] F F A F S/2 FS - FA F S segnale di ingresso banda utile segnale dopo il filtro anti-aliasing livello del rumore di aliasing In entrambi i casi il numero di poli P è ricavabile come: Attenuazione in db P = oppure 20 log ((F ) / F ) 10 X A Attenuazione in db P = 6 log2 ((FX ) / FA ) Dove F X = F S /2 oppure F S - F A Notare che per F S = 2F A (limite di Nyquist) il numero di poli richiesto diventa infinito. ETLes04g.doc - 18-Apr-00 11

12 Somma tra quantità espresse in scala logaritmica Per sommare più segnali espressi in db (da due livelli, rispettivamente A e B) rispetto ad usa stessa grandezza di riferimento occorre esprimerli come rapporto rispetto a questa grandezza, sommarli, e riconvertire in db. La sequenza di operazioni è: (ricordiamo che SNR = A db indica che il rumore N è A db sotto il segnale S, quindi il livello di N rispetto a S (cioè il rapporto N/S) in db è A. Esempio con due SNR: SNR A e SNR B : passaggio in rapporto: A = 10 SNRA/20 ; B = 10 SNRB/20 somma dei due termini : C = A + B; passaggio in db: Livello del rumore riferito al segnale: N T = 20 log C Questa relazione, generalizzabile su un numero qualsiasi di segnali, permette di calcolare il rumore complessivo in presenza di più componenti (ad esempio per effetto della quantizzazione, dell aliasing, del jitter del S/H, ). Dato che N T esprime il livello del rumore riferito al segnale, il rapporto segnale/rumore complessivo è il suo inverso: SNR C = 1/N T = -20 log C. ETLes04g.doc - 18-Apr-00 12