eoria dei sisemi - Capiolo 8 Raggiungibilià e conrollabilià ( ) Sisemi empo-coninui lineari empo-invariani... Inroduzione... Deerminazione del soospazio di raggiungibilià e crierio di Kalman... La conrollabilià...6 Esempio...8 Esempio... Forme canoniche... 4 Inroduzione... 4 Scomposizione canonica di Kalman per la raggiungibilià... 5 Legame ingresso-uscia e marice di rasferimeno... 8 uovalori raggiungibili e auovalori non raggiungibili... Esempio... Scomposizione canonica di Jordan per la raggiungibilià... 3 Forma canonica di conrollo... 5 Deerminazione della marice di rasformazione... 6 Esempio... 7 Sisemi inerconnessi... 9 Inroduzione... 9 Inerconnessione di due sisemi lineari in cascaa... 3 Inerconnessione di due sisemi in parallelo... 3 Sisemi a dai campionai... 3 Conrollabilià dell uscia... 34 Inroduzione... 34
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Sisemi empo-coninui lineari empo- invariani INRODUZIONE Nei paragrafi precedeni ci siamo occupai dello sudio della raggiungibilià e della osservabilià con riferimeno ai sisemi (empo-coninui) lineari, regolari e a dimensioni finie. desso resringiamo uleriormene il campo di osservazione, aggiungendo l ipoesi di empo-invarianza. I sisemi che consideriamo sono dunque descrii da una equazione di sao nella forma &x Fx + Gu C dove U ed X sono spazi veoriali di dimensione, rispeivamene, m ed n e dove anche l insieme Ω delle funzioni di ingresso ammissibili è a sua vola uno spazio veoriale. Il primo risulao che ci ineressa è sao già anicipao in precedenza: abbiamo infai enunciao un eorema in base al quale, se il sisema lineare (olre che regolare e a dimensioni finie) è periodico, allora, fissao un qualsiasi isane ξ, risula che l insieme degli sai conrollabili dall isane ξ coincide con l insieme degli sai raggiungibili all isane ξ: in alre parole, fissao un cero sao x X, se esise una funzione di ingresso ale da porare il sisema da ale sao nello sao nullo, in un cero inervallo di empo, allora esise anche un alra funzione di ingresso ale da riporare il sisema, parendo dallo sao nullo, nello sao x, in un cero inervallo di empo e viceversa. Una paricolarizzazione di queso risulao si ha se il sisema è anche empo-invariane: infai, abbiamo viso in precedenza che, daa proprio la empo-invarianza, risula X ( ξ ) X e X ( ξ ) X ; d alra pare, un sisema empoinvariane è periodico di periodo qualsiasi, dal che deduciamo che X C X r, il che significa che ui gli sai conrollabili sono raggiungibili e viceversa. Il fao che nei sisemi lineari, empo-coninui e empo-invariani (olre che regolari a dimensioni finie), conrollabilià e raggiungibilià coincidano fa si che, spesso, gli sai conrollabili vengano definii come quegli sai rasferibili nell origine o raggiungibili nell origine. Queso non deve però indurre a pensare che i due problemi siano sempre equivaleni, dao che queso non è assoluamene vero: basi pensare ai sisemi lineari, empo-invariani e empo-discrei, nei quali si ha infai che X X e non cero che X X. C r C r C r r DEERMINZIONE DEL SOOSPZIO DI RGGIUNGIBILIÀ E CRIERIO DI KLMN Sia dao dunque il sisema descrio dall equazione di sao nella forma &x Fx + Gu Sia X lo spazio di sao di queso sisema e sia n (numero inero posiivo finio) la dimensione di ale spazio. bbiamo in precedenza dimosrao che l insieme X r, conenene ui e soli gli sai raggiungibili del sisema, è uno spazio veoriale (che abbiamo chiamao soospazio di
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare raggiungibilià ) di dimensione finia non superiore ad n. Ci chiediamo, allora, come si fa a deerminare queso spazio veoriale. Fissao l isane τ come isane iniziale e un generico sao iniziale x(), sappiamo che u ξ, è l evoluzione emporale dello sao del sisema, in corrispondenza di un ingresso generico ( ) regolaa dalla formula di Lagrange ( ξ) F F( ξ) x( ) e x( ) + e Gu dξ Vogliamo d alra pare sudiare gli sai raggiungibili del sisema, per cui lo sao iniziale da considerare è quello nullo: ponendo x(), abbiamo dunque che ( ξ) F( ξ) x( ) e Gu dξ Concenriamoci sulla marice e F( ξ ) : in base al noo eorema di Cayley-Hamilon, sappiamo che quesa marice può essere espressa nella forma ( ) ( ) ( )... ( ) F( ξ) e α ξ I + α ξ F + α ξ F + + α ξ F dove ricordiamo che n è l ordine del sisema (pari all ordine della marice di sao F, ossia anche al α ξ, α ξ, α ξ,..., α ξ sono grado del polinomio caraerisico di F), menre ( ) ( ) ( ) ( ) n n n coefficieni, funzioni di -ζ, ossia funzioni di -ζ. llora, se sosiuiamo l espressione di e F( ξ) appena ciaa nell espressione di x() e applichiamo la proprieà di linearià degli inegrali definii, oeniamo n ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) ( ) x( ) α ξ Gu ξ dξ + α ξ FGu ξ dξ+... + α ξ F Gu ξ dξ Per semplicià, consideriamo dapprima il caso in cui il sisema ha solo ingresso (quindi m): ciò significa che u( ξ) è una funzione scalare (cioè ad una sola componene) e che G è un veore riga ad n componeni. Poniamo allora ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ... ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ n n 3
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Quese quanià ρ, ρ,..., ρ n sono evidenemene dei numeri e prendono il nome di prodoi scalari. Usando quesi prodoi scalari, possiamo esprimere x() nella forma n x( ) G + FG + F G +... + F ρ ρ ρ Gρ n o anche, in forma mariciale, come ρ ρ n x( ) [ G FG F G... F G] ρ 44444 44444 3 K... ρ n Quesa relazione mariciale, una vola fissao il valore di x() (cioè il valore numerico delle sue componeni), rappresena un sisema lineare di n equazioni in n incognie, che sono appuno gli n prodoi scalari ρ, ρ,..., ρ n. La marice dei coefficieni di queso sisema è G FG F n G... F G e prende il nome di marice di raggiungibilià per evideni K [ ] moivi. Il sisema può o meno essere compaibile: è chiaro che, indicao con x il valore numerico dello sao considerao, il sisema è compaibile se e solo se [ n ] x Range G FG F G... F G RangeK La conclusione cui siamo arrivai è dunque che uno sao x X è raggiungibile se e solo se x RangeK, il che significa che il soospazio di raggiungibilià è X r RangeK. Quindi, la deerminazione del soospazio di raggiungibilià del sisema in esame corrisponde alla deerminazione del range della marice di raggiungibilià K. Queso significa, in paricolare, che la dimensione di X r (cioè il numero massimo di veori linearmene indipendeni che si possono rovare in ale spazio) è pari al rango della marice di raggiungibilià. Nauralmene, la conseguenza più immediaa di queso risulao riguarda la complea raggiungibilià: inano, dire che un sisema è compleamene raggiungibile significa dire che ui i suoi sai sono raggiungibili, ossia che X X r ; allora, avendo rovao che X r RangeK, è chiaro che la complea raggiungibilià del sisema corrisponde alla siuazione per cui X RangeK ; perché quesa condizione sia verificaa, la marice K deve avere rango pari all ordine di X, ossia rango pari ad n. Quano deo fino ad ora vale nel caso in cui il sisema abbia un solo ingresso, ossia nel caso in cui m. Vediamo allora se e come cambiano le cose nel caso di m generico. Pariamo sempre dalla relazione n ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) ( ) x( ) α ξ Gu ξ dξ + α ξ FGu ξ dξ+... + α ξ F Gu ξ dξ 4
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Se il sisema ha m ingressi, la quanià u( ξ) è una funzione ad m componeni e G è una marice di ordine n*m. llora, se poniamo ancora una vola ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ... ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ n n possiamo coninuare ad esprimere x() nella forma ρ ρ n x( ) [ G FG F G... F G] ρ 44444 444443 K... ρ n con la differenza che, adesso, i prodoi scalari ρ, ρ,..., ρ n sono dei veori ad m componeni e non più degli scalari. llora, quella relazione mariciale, per x( ) x fissao, rappresena ancora un sisema di n equazioni, ma in n*m incognie, cosiuie appuno dai prodoi scalari ρ, ρ,..., ρ. n La marice dei coefficieni di queso sisema è sempre la marice di raggiungibilià K, la quale è cosiuia da n blocchi, ciascuno di dimensione n*m (la verifica di queso è immediaa). Il sisema, inolre, è compaibile, ancora una vola, se e solo se x RangeK, per cui non è cambiao niene rispeo al caso viso prima (con l eccezione che i prodoi scalari sono adesso veori ad m componeni e non più degli scalari). Concludiamo, perciò, enunciando il seguene crierio di complea raggiungibilià, dovuo a Kalman: eorema - Dao un sisema descrio dall equazione di sao &x Fx + Gu, il sisema è compleamene raggiungibile se e solo se X RangeK, ossia se il rango della marice di raggiungibilià è massimo (cioè pari all ordine del sisema) Prima di passare alla conrollabilià, soffermiamoci un aimo sul seguene aspeo: abbiamo deo che, una vola fissao lo sao x X di ineresse, se risula x RangeK, ale sao è raggiungibile, per cui il sisema ρ ρ n x [ G FG F G... F G] ρ 444444444 3 K... ρ n 5
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 risula compaibile: risolvendo il sisema, si oengono gli n prodoi scalari ρ, ρ,..., ρ n e, da quesi, è necessario risalire alla funzione di ingresso u( ξ ) che realizzi il rasferimeno desiderao, ossia che pori il sisema dallo sao nullo allo sao x : per il momeno, quesa funzione è definia nell inervallo [,] solo mediane i suoi prodoi con le funzioni α ξ, α ξ, α ξ,..., α ξ ; ma quese funzioni, per definizione, sono linearmene ( ) ( ) ( ) n( ) indipendeni ra di loro: ciò compora che esisano infinie funzioni u( ξ ) che soddisfano le relazioni ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ... ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ n n con ρ, ρ,..., ρ n che sono adesso dei numeri fissai. Quindi, esisono infinie funzioni che operano il rasferimeno desiderao. La scela va faa in base alle specifiche che si anno: per esempio, si può ipoizzare che le m componeni dell ingresso siano delle combinazioni lineari delle funzioni α ξ, α ξ,..., α ξ, il che significa supporre che ( ) ( ) ( ) n ( ξ) α ( ξ) + α ( ξ) + α ( ξ) + + α ( ξ) u c c c... c k,...,m k k k k kn n Imponendo che quese m funzioni soddisfino i valori dei prodoi scalari precedenemene deerminai, si oiene un sisema le cui incognie sono proprio i coefficieni c kj delle combinazioni lineari, che quindi possono essere deerminai. Negli esempi che faremo ra poco, queso aspeo sarà analizzao nei deagli. L CONROLLBILIÀ Per quano riguarda la conrollabilià nei sisemi (regolari a dimensioni finie) empo-coninui, lineari e empo-invariani, abbiamo poco da dire, in quano abbiamo in precedenza appurao che essa coincide con la raggiungibilià, nel senso che, per ali sisemi, risula X C X r, ossia risula che ui gli sai conrollabili sono anche raggiungibili e viceversa. Di conseguenza, le considerazioni da fare sono le sesse: in primo luogo, il soospazio di conrollabilià si oiene in base alla relazione X RangeK, il che spiega per quale moivo la marice K prenda anche il nome di marice di conrollabilià ; in secondo luogo, sussise il seguene crierio di complea conrollabilià : C 6
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare eorema - Dao un sisema descrio dall equazione di sao &x Fx + Gu, il sisema è compleamene conrollabile se e solo se il rango della marice K è massimo (cioè pari all ordine del sisema) d ogni modo, esaminiamo nei deagli il problema della conrollabilià così come abbiamo fao per la raggiungibilià. Fissao l isane τ come isane iniziale e un generico sao iniziale x, l evoluzione emporale dello sao del sisema, in corrispondenza di un ingresso generico u( ξ ), è regolaa dalla relazione ( ξ) F F( ξ) x( ) e x + e Gu dξ Siamo ineressai agli sai conrollabili, ossia a quegli sai parendo dai quali si riesca a porare il sisema nello sao nullo: poso allora (dove è l ampiezza, finia, dell inervallo necessario per il rasferimeno del sisema) e x(), per cui La marice e F x : F ( ξ) F( ξ) e x + e Gu dξ è una marice inveribile per qualunque valore di, per cui possiamo espliciare F F( ξ) F F( ξ) Fξ ( ) ( ) ( ) ( ) x e e Gu ξ dξ e e Gu ξ dξ e Gu ξ dξ pplicando ancora una vola il eorema di Cayley-Hamilon, possiamo scrivere che ( ) ( ) ( )... ( ) Fξ e α ξ I + α ξ F + α ξ F + + α ξ F per cui, sosiuendo nell espressione di x e applicando la proprieà di linearià degli inegrali definii, oeniamo n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... n( ) ( ) x α ξ Gu ξ dξ + α ξ FGu ξ dξ + α ξ F Gu ξ dξ+ + α ξ F Gu ξ dξ Facciamo adesso le segueni posizioni: ( ) u( ) ρ α ξ ξ dξ ( ) u( ) ρ α ξ ξ dξ... ( ) u( ) ρ α ξ ξ dξ n n n n 7
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Quese quanià ρ, ρ,..., ρ n sono ancora dei prodoi scalari e, nel caso generale di sisema con m ingressi, sono veori ad m componeni. Usando quesi prodoi scalari, possiamo esprimere x nella forma ρ ρ ρ 44444 44444 3 K... ρ n n x [ G FG F G... F G] Quesa relazione mariciale, una vola fissao il valore di x, rappresena un sisema lineare di n equazioni in m*n incognie, che sono appuno i prodoi scalari ρ, ρ,..., ρ n. La marice dei coefficieni di queso sisema è ancora una vola la marice K, la quale, come deo, prende anche il nome di marice di raggiungibilià. Il sisema può o meno essere compaibile: il sisema è compaibile se e solo se x RangeK il che significa, come anicipao, che uno sao x X è conrollabile se e solo se x RangeK, il che significa che il soospazio di conrollabilià è X C RangeK. Nauralmene, anche qui, la conseguenza più immediaa è il crierio di Kalman, enunciao prima, circa la complea conrollabilià del sisema. ESEMPIO Consideriamo il seguene circuio elerico: + u() - R C R C L ingresso al sisema è rappresenao dalla ensione u(); le variabili di sao sono ovviamene le ensioni x v C e x v C ai capi dei condensaori. Non consideriamo alcuna uscia viso che i problemi di raggiungibilià e osservabilià non ineressano queso aspeo del sisema. pplicando la LK e le relazioni di lao di resisore e condensaore, è immediao rovare che u R C x& + x u R C x& + x 8
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare per cui l equazione di sao del sisema, scria in forma esplicia, è x& x& R C x R C u + R C x R C u + In forma mariciale, abbiamo invece che x& x& R C R C x x R C + R C ndiamo a deerminare la marice di raggiungibilià del sisema: essendo n l ordine del sisema, K G FG e, facendo il prodoo FG, risula si raa della marice [ ] R C R C K R C R C Ci ineressiamo, per prima cosa, al rango di quesa marice: essendoci almeno un elemeno non nullo nella marice, deduciamo che il rango è oppure se il deerminane è diverso da zero; il deerminane di quella marice è dek + R C R C R C R C ed esso è diverso da zero solo se R C R C. llora, in base al crierio di Kalman, deduciamo subio che il sisema è compleamene raggiungibile e compleamene conrollabile se e solo se R C R C. Supponiamo allora che sia R C e R C, per cui il sisema è compleamene raggiungibile e conrollabile e la marice di raggiungibilià è K 4 x Consideriamo un generico sao x X x : queso sao, in base a quano deo, è raggiungibile dal sisema; vogliamo allora deerminare la ensione di ingresso u() che pori il sisema in ale sao (parendo ovviamene dallo sao nullo) dopo un empo fissao. 9
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Per risolvere queso problema, dobbiamo inano individuare il valore numerico dei prodoi scalari, che in queso caso sono ρ e ρ : quesi prodoi scalari si oengono risolvendo il sisema ρ K ρ x x che rappresena, in praica, l equazione del movimeno del sisema in ermini di prodoi scalari. vendo deo che la marice di raggiungibilià è non singolare, abbiamo facilmene che ρ ρ K x x x 4 ( ) x adjk dek x x / x / x da cui ρ ρ x x x x Quesi sono dunque i valori dei due prodoi scalari necessari per oenere lo sao x a parire dallo sao nullo. queso puno, la funzione di ingresso che siamo cercando è quella che soddisfa le due condizioni ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ ( ) ( ) ρ α ξ u ξ dξ Per imporre ali condizioni, dobbiamo deerminare le funzioni α ( ξ) α ( ξ) sono legae alla marice e F dalla relazione ( ) α ( ) F e α I + F, : quese funzioni Gli auovalori della marice di sao F sono chiaramene - e -, per cui le condizioni α ξ e α ( ξ) sono da imporre per deerminare ( ) Da queso sisema si ricava facilmene che ( ) α ( ) ( ) α ( ) e α e α α α ( ) ( ) e e e e
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Noe quese funzioni, dobbiamo scegliere una forma d onda dell ingresso ale da soddisfare i valori rovai prima per i due prodoi scalari: possiamo per esempio supporre che l ingresso sia del ipo u ξ c α ξ + c α ξ ( ) ( ) ( ) per cui dobbiamo calcolare i coefficieni scalari c e c. Le due condizioni, come deo, sono ρ ρ x x x x α α ( ξ) u( ξ) ( ξ) u( ξ) Sosiuendo l espressione che abbiamo scelo per l ingresso, oeniamo x x x x α α dξ dξ ( ξ) [ c α ( ξ) + c α ( ξ) ] ( ξ) [ c α ( ξ) + c α ( ξ) ] Quese due relazioni, da riscrivere in modo opporuno, cosiuiscono un sisema di equazioni nelle incognie c e c : in generale, si raerà di un sisema nella forma ( ) e ( ) a a a a c c ρ ρ La marice dei coefficieni di queso sisema è senz alro inveribile, in quano le funzioni α ξ α ξ sono indipendeni per definizione: si può perciò scrivere che c c a a a a ρ ρ ed il problema è così risolo. Nauralmene, quello rovao è solo ra gli possibili ingressi che realizzano il rasferimeno voluo, ossia che porano il sisema, in un inervallo di ampiezza, dallo sao nullo allo sao x voluo. Per esempio, anziché scegliere un ingresso nella forma u( ξ) c α ( ξ) + cα ( ξ), possiamo pensare di scegliere un ingresso cosane a rai del ipo indicao nella figura seguene: u() dξ dξ u u /
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 naliicamene, queso ingresso è rappresenabile nel modo seguene: u u( ξ) u ξ, ξ, llora, in queso caso le due condizioni ρ ρ α α ( ξ) u( ξ) ( ξ) u( ξ) dξ dξ divenano ρ ρ / / α α ( ξ) u dξ + α ( ξ) ( ξ) u dξ + α ( ξ) / / u dξ u dξ e permeono di deerminare i valori u e u che definiscono in modo univoco l ingresso voluo. ESEMPIO Sia dao un sisema &x Fx + Gu in cui le marici di sao e di ingresso siano rispeivamene C F L L C G L Vogliamo deerminare il soospazio di raggiungibilià X r di queso sisema. Cominciamo con l individuazione della marice di raggiungibilià: essendo n3, si raa della marice K [ G FG F G] La marice G è noa, per cui dobbiamo deerminare le marici FG e F G:
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare 3 ( ) FG C L L C L LC LC F G F FG C L L C LC LC L C Possiamo dunque cosruire la marice di raggiungibilià: [ ] K G FG F G LC L L C LC I veori colonna da cui è composa quesa marice generano il soospazio di raggiungibilià X r : queso significa che una base di X r è cosiuia dall insieme dei veori colonna della marice K che siano linearmene indipendeni e ali che ui gli alri veori colonna di K possano esprimersi come loro combinazioni lineari: si osserva subio che la marice K ha rango, il che significa che solo delle 3 colonne sono linearmene indipendeni. Di conseguenza, possiamo ad esempio scrivere che X sp L LC LC r
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Forme canoniche INRODUZIONE Come per il problema della sabilià, anche per i problemi della raggiungibilià e della conrollabilià esisono paricolari forme canoniche (cioè paricolari sruure delle marici che definiscono il sisema) che meono in evidenza le proprieà appuno di raggiungibilià e di osservabilià del sisema sesso. Nauralmene, menre, per la sabilià, le forme canoniche riguardavano solo la sruura della marice F (si pensi alla forma canonica di Jordan), ora le forme canoniche riguardano la sruura della coppia di marici (F,G). Il problema della deerminazione di quese forme canoniche è, essenzialmene, il problema dell analisi del cambiameno della sruura delle marici F e G conseguene ad un cambiameno della base dello spazio di sao X. Consideriamo perciò un sisema (regolare a dimensioni finie) empo-coninuo, lineare e empoinvariane rappresenao da una equazione di sao nella forma &x Fx + Gu Consideriamo inolre una marice quadraa di ordine n: per il momeno, non facciamo alcuna ipoesi su ale marice, salvo il fao che sia non singolare, ossia che de. Sulla base di quesa marice, consideriamo la rasformazione x z Quesa rasformazione rasforma appuno il veore di sao x (ineso come n-pla di numeri rappresenani le coordinae dello sao rispeo ad una cera base B ) nel nuovo veore z x ((ineso come n-pla di numeri rappresenani le coordinae dello sao rispeo ad una nuova base B ). Sosiuendo quesa espressione di x nell equazione di sao del sisema, oeniamo z& Fz + Gu Essendo non singolare, possiamo pre-moliplicare ambo i membri per -, oenendo &z Fz + Gu queso puno, se poniamo $ F F G$ G possiamo riscrivere quella equazione come z& Fz $ + Gu $ Quesa equazione rappresena una nuova rappresenazione, in forma di sao, dello sesso sisema di parenza: la differenza con l equazione &x Fx + Gu è solo nel fao che abbiamo cambiao il 4
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare riferimeno rispeo al quale consideriamo lo sao del sisema sesso. Si dice che il sisema &x Fx + Gu ed il sisema z& Fz $ + Gu $, per come è sao cosruio ques ulimo, sono (algebricamene) equivaleni ra di loro. E ovvio che la sruura della nuova marice di sao F $ e della nuova marice di ingresso G $ dipende sia dalla sruura delle marici iniziali F e G sia anche da quella della marice scela per operare la rasformazione. llora l obbieivo che ci poniamo è quello di rovare una marice che pori ad una coppia di marici F$, G $ ali che le proprieà di raggiungibilià e/o di conrollabilià del sisema siano immediaamene deducibili. E chiaro, infai, così come abbiamo già viso per la sabilià, che le proprieà di raggiungibilià e di conrollabilià del sisema sono assoluamene indipendeni dalla base scela per rappresenare gli elemeni di X, per cui il nosro obbieivo è solo quello di evidenziare, nel modo più immediao possibile, quese proprieà nelle marici F $, G $. SCOMPOSIZIONE CNONIC DI KLMN PER L RGGIUNGIBILIÀ La prima forma canonica cui ci ineressiamo è basaa sulla decomposizione dello spazio di sao in soospazio di raggiungibilià X r e in soospazio di non raggiungibilià X nr (ricordiamo, a ale proposio, che sussise la relazione X nr X r X ). Pariamo dal sisema rappresenao dall equazione &x Fx + Gu La conoscenza della coppia di marici (F,G) ci consene di individuare la marice di raggiungibilià del sisema, definia dalla relazione K [ G FG F n G... F G] Quesa marice è imporane in quano sappiamo che X r RangeK : queso significa, ra le alre cose, che il rango di K corrisponde alla dimensione del soospazio di raggiungibilià X r. Poso allora r rangok ρ( K), possiamo scrivere che r dim ( X r ) dim( ) n r X dove ricordiamo che X nr è il soospazio di non raggiungibilià del sisema, ossia l insieme dei veori di X che non sono raggiungibili e che sono orogonali ai veori di X r. queso puno, consideriamo una qualsiasi base del soospazio di raggiungibilià X r : indichiamo con ( ) p, p,..., p r i veori che cosiuiscono ale base. Usiamo quesi veori per cosruire le prima r colonne della marice di rasformazione : [ p p... p r...] La marice è una marice quadraa di ordine n, per cui resano da riempire alre n-r colonne; quese colonne devono essere indipendeni ra di loro e indipendeni anche dalle alre: fanno allora al nr 5
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 caso nosro gli n-r veori che cosiuiscono una qualsiasi base di ( p p p ),,..., ali veori, abbiamo dunque che r+ r+ n X nr : indicai con p p... p r p r+ p r+... p 4444 3 444 4443 n base di X r base di X nr (r veori) (n-r veori) Quesa marice, per come è saa cosruia, è senz alro non singolare, per cui può essere usaa come marice per la rasformazione z x che pora il sisema nella forma z& Fz $ + Gu $ dove $ F F G$ G Vediamo perciò di capire quali sono le proprieà di quesa nuova rappresenazione, che prende il nome di scomposizione canonica di Kalman rispeo alla raggiungibilià. Inano, per come abbiamo cosruio la marice, possiamo scrivere che x z z p + z p + + z p... Quesa relazione dice, in praica, che il generico sao x viene espresso come combinazione lineare di n componeni, secondo opporuni coefficieni, delle quali le prime r sono rispeo ad una base di X r, menre le resani n-r sono rispeo ad una base X nr. Possiamo allora pensare di parizionare il veore z nel modo seguene: z r componeni z z B n - r componeni Il blocco z racchiude le componeni di z corrispondeni alla base di X r, ossia rappresena le coordinae del veore di sao rispeo a X r, menre il blocco z B racchiude le componeni di z corrispondeni alla base di X nr, ossia rappresena le coordinae del veore di sao rispeo a X nr. Cerchiamo adesso di parizionare ua l equazione di sao z& Fz $ + Gu $ in accordo alla parizione scela per z: abbiamo che z& $ $ $ F F z G B z& F$ F$ z G$ u B B BB B + B queso puno, è possibile dimosrare che, in quesa rappresenazione, i blocchi $F B e $ G B conengono solo elemeni nulli. Possiamo perciò riscrivere quella equazione mariciale a blocchi nella forma z& z& B F$ F$ z $ B G F$ z BB B + n n u 6
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Se la scriviamo in forma esplicia, quesa relazione corrisponde a z& F$ z F$ z G$ + B B + u z& F$ B BBz B Quese sono due equazioni differenziali corrispondeni, rispeivamene, ad r e ad n-r equazioni differenziali scalari. Possiamo pensare a quese due equazioni come alle equazioni di sai di due soosisemi disini e inerconnessi ra di loro per formare il sisema complessivo: & $ $ $ veore di sao z z F z + FBz B + G u : soosisema S ingressi z B e u z& F$ veore di sao zb B BBz B : soosisema S B ingresso nullo Il seguene diagramma a blocchi aiua a capire l inerconnessione ra quesi due soosisemi: u S y S B z B Si osserva subio, dalle equazioni di sao dei due soosisemi, che S B è un sisema auonomo (nel quale, cioè, l ingresso non ha alcuna influenza sullo sao) di ordine n r. Ciò significa che, fissao lo sao z B di parenza per queso soosisema, esso rimane in ale sao a prescindere da quale sia l ingresso u applicao dall eserno. L immediaa conseguenza di ciò è chiaramene che l unico sao raggiungibile del soosisema S B è lo sao nullo, viso che ale soosisema, parendo da z B, non può che rimanere in ale sao a prescindere dall ingresso applicao. Possiamo allora affermare, in base alle definizioni dae in precedenza, che S B è un soosisema compleamene non raggiungibile. Diversa è invece la siuazione per il soosisema S (di ordine r ) : facciamo infai vedere che S è un soosisema compleamene raggiungibile. Inano, la marice di raggiungibilià del sisema z& Fz $ + Gu $ è n [ G FG F G F G] K $ $ $ $ $ $... $ $ Usando la parizione prima oenua per $ F e $ G, possiamo scrivere che $ $ $ $ $ $... $ $ $ $ K r n... G FG FG FG F G... 7
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Sappiamo che il rango di quesa marice deve essere pari alla dimensione del soospazio di raggiungibilià X r del sisema: queso soospazio non dipende dalla rappresenazione uilizzaa per lo spazio di sao, per cui la sua dimensione è sempre r ; di conseguenza, anche la marice $ K, così come la marice K, ha rango r. I blocchi nulli che compaiono nella espressione di K $ non incidono ovviamene sul suo rango; d alra pare, in base al eorema di Cayley-Hamilon, possiamo affermare che anche i blocchi $ r + $, $ r + F G F G $,..., F $ n G $ non incidono su ale rango. Di conseguenza, la marice che ha rango r è la marice K$ G $ F $ G $ F $ G $... F $ r G $ [ ] ben vedere, quesa marice K $ è la marice di raggiungibilià del soosisema S : il fao che la marice abbia rango r e che anche l ordine di S sia pari ad r ci dice che S è un soosisema compleamene raggiungibile, come volevamo dimosrare. Quindi, preso un qualsiasi sao s X di queso soosisema, siamo ceri che esisa una funzione di ingresso u ( ) che, in un inervallo di empo finio, rasferisca il sisema dallo sao nullo in ale sao. In conclusione, l uilià della scomposizione canonica di Kalman è quella di scomporre il sisema complessivo S in una pare (S ) compleamene raggiungibile e in una pare (S B ) compleamene non raggiungibile. Nauralmene, non è deo che esisano enrambi S ed S B : se il sisema è compleamene raggiungibile, è chiaro che nr, il che significa che SS ; se il sisema è compleamene non raggiungibile, è chiaro che r, il che significa che SS B. (pag. 7) Ricordiamo, inolre, che la scomposizione canonica di Kalman del sisema &x Fx + Gu non è unica, viso che c è la più oale liberà per la scela delle basi di X r e X nr con cui cosruire la marice di rasformazione. Inolre, al conrario di alre scomposizione che vedremo più avani, essa è valida per sisemi con un numero m di ingressi qualsiasi. Legame ingresso-uscia e marice di rasferimeno Un alra osservazione imporane sulla scomposizione canonica di Kalman riguarda il legame ingresso-uscia: in base alla inerconnessione ra S ed S B, si osserva che, se si cerca il legame ingresso-uscia in corrispondenza di sao nullo (cioè in corrispondenza di z e z B ), queso legame è influenzao SOLO dalle proprieà di S, menre non è in alcun modo influenzao da quella di S B. Possiamo visualizzare la cosa anche da un puno di visa analiico. Le equazioni rappresenaive del sisema, prima della rasformazione, sono &x Fx + Gu y Hx 8
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Mediane la rasformazione x z, abbiamo viso che l equazione di sao divena z& Fz $ + Gu $, menre è immediao verificare che quella di uscia divena dove si è poso $ H y Hz $ H. Parizionando ancora una vola lo sao nella forma z una equazione di uscia nella forma y [ H H ] z $ $ B H z H z z B $ + $ B B z z B, oeniamo Menre abbiamo viso che le marici F $ e G $, oenue mediane la suddea rasformazione x z, godono di paricolarià proprieà, si verifica che, invece, la marice H $ non gode di alcuna proprieà rilevane. llora, possiamo rappresenare la relazione y H$ z + H$ Bz B mediane il seguene schema a blocchi: u S z $H + y S B z B $H B Da queso sisema si osserva che se il sisema pare dallo sao nullo, solo il soosisema S influenza il legame ra l ingresso e l uscia, menre S B non ha alcuna rilevanza. Lo si capisce in quano, quale che sia il valore dell ingresso, S B, parendo dallo sao, permane in ale sao, menre S passa in uno sao che è influenzao dall ingresso e che, a sua vola, influenza l uscia. ndiamo a vedere allora come si raduce uo ciò in ermini di marice di rasferimeno del sisema. Inano, indicae con Y(s) e U(s) le rasformae di Laplace, rispeivamene, dell uscia e dell ingresso, sappiamo che, nell ipoesi di condizioni iniziali nulle, la marice di rasferimeno W(s) del sisema è daa da Y( s) W( s) H( si F) G U( s) La prima cosa che facciamo vedere è che ( ) ( ) W( s) H si F G H$ si F$ G$ 9
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Ricordando che $ F F G$ G H$ H si ha infai che H$ ( si F$ ) G$ H( si F) G H s{ F G I ( ( ) ) ( ) ( ) H si F G... H si F G W( s) Premesso queso, roviamo una espressione di W(s) che enga cono della paricolare sruura delle marici F $ e G $. Facendo la solia parizione del veore di sao z (e quindi anche della sua rasformaa) abbiamo che W s H( si F) G [ H H ] si F F B G ( ) $ $ $ $ $ $ $ $ B si F$ BB [ ] ( ) ( ) si F$ F$ H$ H$ B B ( si F$ BB ) H$ ( si F$ ) G$ G$ si F$ G$ [ ] ( ) H$ H$ B bbiamo dunque rovao che ( ) W( s) H$ si F$ G$ Quesa relazione, come era anche prevedibile, dice che la marice di rasferimeno W(s) dell inero sisema non coniene alcun elemeno legao al soosisema non raggiungibile S B. Non solo, ma possiamo verificare anche un alra cosa: abbiamo viso prima che la rappresenazione di sao del soosisema S è z& F$ z F$ z G$ + B B + u y H$ z bbiamo anche deo che $ F B, per cui la rappresenazione divena z& F$ z G$ + u y H$ z Da qui si deduce che la marice di rasferimeno di S è ( ) W ( s) H$ si F$ G$
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare e si osserva che è uguale alla marice di rasferimeno dell inero sisema. Quindi, la scomposizione canonica di Kalman compora anche che la marice di rasferimeno W(s) dell inero sisema, olre a non conenere alcun elemeno legao al soosisema S B, coincida con la marice di rasferimeno W (s) del soosisema S. uovalori raggiungibili e auovalori non raggiungibili C è ancora dell alro: la relazione ( ) ( ) W s H si F G ( ) ( si ) W ( adj si F s ) H de F G può anche essere scria nella forma Quesa relazione evidenzia che, in generale, la marice di rasferimeno di un sisema possa presenare come poli (cioè come zeri del denominaore) ui e soli gli auovalori della marice di sao F. Vediamo allora cosa succede nel caso in cui il sisema venga poso nella forma canonica di Kalman. Inano, per come viene cosruia, la marice F $ possiede gli sessi auovalori della marice F, pure con la sessa moleplicià; d alra pare, F $ è una marice diagonale a blocchi, per cui i suoi auovalori W( s) H$ si F$ G$, sono quelli dei blocchi $ F e $ F BB ; di conseguenza, avendo rovao che ( ) possiamo affermare, sempre in linea generale, che la marice W(s) può avere come poli ui e soli gli auovalori dei blocchi $ F e $ F BB. Per comodià, chiamiamo gli auovalori di $ F come auovalori raggiungibili, per indicare che sono relaivi ad S, menre gi auovalori di F $ BB saranno gli auovalori non raggiungibili, per indicare che sono relaivi a S B. desso, dall alra relazione W( s) H$ si F$ G$, se calcoliamo espliciamene quella inversa, oeniamo che ( ) W( s) H$ ( $ ) ( si F ) adj si F de $ Da qui si deduce che la marice di rasferimeno W(s) può avere come poli solo gli auovalori del blocco $ F, ossia gli auovalori raggiungibili. l conrario, gli auovalori non raggiungibili non sono poli per W(s). nche quesa è una caraerisica imporane garania dalla scomposizione canonica di Kalman. G$ Esempio Supponiamo di avere un sisema descrio dalla seguene rappresenazione di sao: x& x x& x x y [ ] x + u
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Queso sisema è sao già analizzao in precedenza e, in paricolare, si è rovao che esso non risula compleamene raggiungibile. La marice di raggiungibilià di queso sisema è K [ G FG] ed essa ha evidenemene rango ρ( K ) n (a conferma del fao che il sisema non è compleamene raggiungibile). Il soospazio di raggiungibilià ha dimensione n ρ( K) e corrisponde al range della marice K : essendo ale marice formaa da due colonne dipendeni, possiamo scegliere una qualsiasi di ali colonne per formare una base di X r : scela ad esempio la prima, avremo che X r sp Il soospazio di non raggiungibilià è l insieme dei veori di X che sono orogonali ai veori di X r : sarà evidenemene X nr sp. Premesso queso, avendo appurao che il sisema non è compleamene raggiungibile, ha senso rovarne la scomposizione canonica di Kalman, in modo da evidenziare la pare raggiungibile e quella non raggiungibile. Possiamo subio dire che il soosisema S compleamene raggiungibile ha dimensione pari a r ρ( K) e che il soosisema S B compleamene non raggiungibile ha dimensione n r. Per rovare ali soosisemi, dobbiamo inano cosruire la marice di rasformazione : quesa è una marice quadraa di ordine le cui colonne sono cosiuie da una base di X r ed una di X nr. In base a quano rovao poco fa, possiamo allora prendere La rasformazione da uilizzare è dunque z x dove Il nuovo veore di sao è dunque adj de ossia z x + x z B x + x z z B x x x x
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Quese due relazioni servono, in praica, a definire il significao fisico del nuovo veore di sao. Eseguendo la rasformazione, oeniamo $ F F G$ G H$ H [ ] [ ] N.B. Facciamo osservare che, in accordo a quano ci aspeavamo, risulano nulli sia l elemeno di poso nella marice F $ sia la seconda componene del veore G $ ; olre a quesi, compaiono anche alri elemeni nulli nelle marici, ma si raa di un eveno puramene casuale, non legao alla rasformazione uilizzaa. Inolre, si osserva anche che F $ F, il che è un uleriore eveno del uo casuale. La nuova rappresenazione del sisema è dunque z& z z& B z z y [ ] z B u + ndiamo a calcolare la marice di rasferimeno del sisema, che poi si riduce ad una sola funzione: abbiamo prima rovao che W( s) H$ si F$ G$ ( ) per cui si raa della funzione [ ]( si [ ]) [ ] W( s) Siamo dunque nel caso paricolare per cui il legame ingresso-uscia è nullo. Facciamo comunque osservare che, se la W(s) avesse avuo una cera espressione, avrebbe pouo avere, come unico polo, al più l unico auovalore raggiungibile, che in queso caso è $F [ ]. SCOMPOSIZIONE CNONIC DI JORDN PER L RGGIUNGIBILIÀ Passiamo adesso a vedere un alra possibile forma canonica nella quale è possibile porre il sisema &x Fx + Gu al fine di evidenziarne le proprieà di raggiungibilià. Il nosro scopo è quello di porre la marice di sao F in forma di Jordan. Per fare queso, dobbiamo scegliere in modo opporuno la marice che realizza la rasformazione x z : sapendo allora che F $ F e 3
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 sapendo anche che J M FM, dove M è la marice modale generalizzaa associaa ad F, è chiaro che ci basa prendere M. Con quesa posizione, oeniamo il sisema rappresenao nella forma z& Jz + Gu $ dove J M FM G$ M G Più che analizzare le caraerisiche di quesa rappresenazione, ci ineressa illusrare un imporane crierio per la complea raggiungibilià del sisema. ale crierio, valido per un sisema avene solo ingresso, ha il seguene enunciao: eorema - Condizione necessaria e sufficiene affinché il sisema z& Jz + Gu $ sia compleamene raggiungibile è che siano conemporaneamene verificae due condizioni: per ogni auovalore della marice F ci deve essere solo miniblocco nella marice J; il veore g MG$ deve avere elemeni diversi da in corrispondenza delle ulime variabili di ogni blocco di Jordan Vediamo di comprendere a cosa corrispondono quese due condizioni. La prima condizione è abbasanza chiara: essa corrisponde a richiedere che il polinomio caraerisico della marice F coincida con il polinomio minimo associao alla sessa marice (condizione che si esprime dicendo che la marice F, o anche la sua forma di Jordan J, è una marice ciclica ). Concenriamoci, invece, sulla seconda condizione. Pariamo dalla marice di Jordan, che sappiamo essere una marice diagonale a blocchi. l fine di comprendere la seconda condizione, affianchiamo quesa marice al veore colonna $ G, le cui componeni sono in numero pari alla dimensione di J: J... J... J 3... J................................... J k...... G$............ llora, la seconda condizione dice queso: si considera l ulima riga di ciascun miniblocco di Jordan J K ; in corrispondenza di quese righe, si individuano i corrispondeni elemeni nel veore colonna $ G ; ui quesi elemeni devono essere pari a. 4
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare FORM CNONIC DI CONROLLO La erza ed ulima forma canonica alla quale ci ineressiamo è quella che va soo il nome di forma canonica di conrollo. Il puno di parenza è sempre il sisema nella forma &x Fx + Gu La prima cosa da fare è individuare il polinomio caraerisico associao alla marice di sao F: se ale marice ha dimensione n (per cui n è anche l ordine del sisema), ale polinomio è nella forma p n a n ( ) a n λ λ + λ + λ +... + a λ + a Il passo successivo è quello di individuare una marice che abbia proprio p(λ) come polinomio caraerisico: esisono infinie marici aveni quesa caraerisica e una di esse è senz alro la marice n...... F$.................. a n a n a n... a Quesa marice è così cosruia: inano, si raa di una marice quadraa di ordine n; la sopradiagonale è cosiuia da elemeni ui uniari; l ulima riga presena, come elemeni, i coefficieni del polinomio p(λ), a parire da a n, ui cambiai di segno; ui gli alri elemeni sono nulli. Quesa marice, per come viene cosruia, prende il nome di marice compagna del polinomio p(λ). Esise allora il seguene risulao: eorema - Dao un sisema nella forma &x Fx + Gu, se il sisema ha solo ingresso (m) ed è compleamene raggiungibile, allora è possibile rovare una rasformazione x z che ponga il sisema nella forma z& Fz $ + Gu $, con F $ marice compagna del polinomio caraerisico di F llora, un sisema z& Fz $ + Gu $ (con u scalare) la cui marice di sao F $ sia del ipo illusrao prima e il cui veore di ingresso sia nella forma G [ ] n..., si dice che è espresso nella forma canonica di conrollo. In base al eorema appena enunciao, se il sisema, olre ad avere solo ingresso, è anche compleamene raggiungibile, allora è possibile porlo nella forma canonica di conrollo:... z... z z&............... z 3 +... u...... a n a n a n... a z n 5
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 La marice di rasformazione che pora il sisema dalla rappresenazione iniziale &x Fx + Gu alla forma canonica di conrollo si oiene a parire dal polinomio caraerisico della marice F. DEERMINZIONE DELL MRICE DI RSFORMZIONE Supponiamo di avere a che fare con un sisema rappresenao, in forma di sao, dall equazione &x Fx + Gu Supponiamo inolre di voler rovare quella marice di rasformazione ale che la rasformazione xz pori il sisema in una forma prefissaa z& Fz $ + Gu $ (per esempio, la forma canonica di Kalman o quella di conrollo, viso che, per la forma di Jordan, sappiamo che M). Per individuare quesa marice, possiamo uilizzare le marici di raggiungibilià K e K $, che sappiamo essere definie come K n [ G FG F G... F G] n [ G FG F G F G] K$ $ $ $ $ $... $ $ Facciamo l ipoesi che il sisema sia compleamene raggiungibile: queso significa che X X r e quindi che il rango delle due marici di raggiungibilià è pari all ordine del sisema, ossia ad n. Cerchiamo di individuare il legame ra K e K $ : parendo da ques ulima e ricordando che $G G, abbiamo inano che n n [ G FG F G F G] [ G F G F G F G] K $ $ $ $ $ $... $ $ $ $... $ D alra pare, è anche F $ F, per cui n [ G F G ( F) G ( F) G] n [ G F G ( F ) G... ( F ) G] n n [... ] [... ] K$... G FG F G F G G FG F G F G bbiamo dunque rovao che le due marici di raggiungibilià sono legae semplicemene dalla relazione $K K La marice è per definizione non singolare, per cui possiamo anche scrivere che K K $. Inolre, essendo il sisema compleamene raggiungibile, le due marici di raggiungibilià hanno enrambe rango n e queso ci consene di scrivere che KK $ KK $ $ K 6
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare da cui concludiamo che ( KK ) KK$ $ $ Queso risulao vale nel caso di un sisema con m ingressi; l enunciao compleo del eorema è il seguene: eorema - Se un sisema compleamene raggiungibile è descrio, rispeo a due diverse basi di X (spazio di sao), da due F$, G $, la marice non singolare coppie di marici ( F G), e ( ) che fornisce il cambiameno di coordinae è unica ed è daa da ( KK ) KK$ $ $ dove K e K $ sono le marici di raggiungibilià F$, G$ rispeivamene di ( F G), e ( ) Nel caso paricolare in cui il sisema ha m ingresso, le due marici K e $ K sono quadrae di ordine n e inveribili: di conseguenza, quella relazione divena semplicemene KK $ Esempio Supponiamo che il sisema in esame sia rappresenao da una equazione di sao nella forma x& x& x x u + Vogliamo deerminare la marice di rasformazione che consena di esprimere queso sisema nella forma canonica di conrollo. Perché quesa rappresenazione del sisema possa esisere, il sisema sesso deve essere compleamene raggiungibile; per verificare se ciò accade, possiamo seguire due srade: quella più generale consise nel deerminare la marice di raggiungibilià K e nel verificae che essa abbia rango massimo, ossia rango pari all ordine del sisema, cioè a ; d alra pare, dao che la marice F è in forma di Jordan e dao che il sisema è ad un solo ingresso, possiamo anche usare il crierio illusrao in precedenza che si basa proprio sugli auovalori della F e sugli elemeni del veore colonna G. scopo eserciaivo, seguiamo enrambe le srade. 7
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 Cominciamo a calcolare la marice di raggiungibilià del sisema: essendo n l ordine del sisema, abbiamo che K [ G FG] Il deerminane di quesa marice è diverso da, il che significa che ρ( K ), ossia che il sisema è compleamene raggiungibile (ossia anche che è nullo il soospazio di non raggiungibilià, menre quello di raggiungibilià coincide con lo spazio di sao X). Vediamo se si arriva allo sesso risulao usando il crierio di Jordan. La prima condizione da verificare è che la marice di sao F sia ciclica, il che significa che la corrispondene marice di Jordan J abbia solo miniblocco per ciascun auovalore: considerando che la marice di sao è già in forma di Jordan e che c è solo auovalore (λ-), deduciamo che la marice ha solo miniblocco (coincidene con la marice sessa) e quindi che la ciclicià è verificaa. La seconda condizione è che, in corrispondenza dell ulima riga di queso miniblocco, il corrispondene elemeno di G sia diverso da zero: { 4 34 ulima riga del miniblocco F J G L elemeno da considerare corrisponde alla seconda componene del veore G e si raa evidenemene di un elemeno non nullo. Deduciamo, perciò, ancora una vola che il sisema è compleamene raggiungibile e che quindi esise almeno una rasformazione x z che consena di rappresenarlo nella forma canonica di conrollo. Per individuare quesa forma canonica di conrollo, sappiamo già come è fao il nuovo veore di ingresso G $, menre, per cosruire la nuova marice di sao F $ abbiamo bisogno di conoscere i coefficieni del polinomio caraerisico di F: λi + p( λ) de λ λ λi + + 4 + 4 Noi quesi coefficieni, possiamo cosruire la nuova marice di sao: F $ 4 4 La rappresenazione in forma canonica di conrollo del nosro sisema è dunque la seguene: &z z u + 4 4 L ulima cosa da fare è individuare la marice che consena il passaggio dalla rappresenazione iniziale a quella di conrollo. queso scopo, possiamo uilizzare quano rovao nel paragrafo precedene: in paricolare, essendo il sisema ad solo ingresso, la relazione da uilizzare è KK $ Conosciamo già la marice K, per cui dobbiamo adesso deerminare $ K e poi la sua inversa: 8
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare [ G FG] $ $ $ $ K K$ 4 inverendo 4 Possiamo dunque concludere che la marice di rasformazione ricercaa è KK $ 4 3 Ovviamene, la conoscenza della marice di rasformazione ci è indispensabile se, parendo dalla marice di uscia H della rappresenazione iniziale del sisema, vogliamo conoscere la nuova marice di uscia $ H che si ha nella rappresenazione di conrollo: risulerà infai $ [ * * 3 H H ]... Sisemi inerconnessi INRODUZIONE Quando abbiamo sudiao la sabilià dei sisemi, ci siamo anche occupai di sudiare la sabilià di quei sisemi realizzai inerconneendo, in modo arbirario, vari soosisemi più piccolo. Vogliamo fare adesso lo sesso a proposio della raggiungibilià. uavia, vedremo come il problema della raggiungibilià degli aggregai di sisemi non sia semplice come il problema della sabilià dei sisemi in cascaa ed in parallelo. d esempio, abbiamo a suo empo fao vedere che un sisema cosiuio da ani soosisemi lineari collegai in cascaa e/o in parallelo è asinoicamene sabile se e solo se ui i soosisemi sono a loro vola asinoicamene sabili. Una conclusione così semplice non vale nei riguardi del problema della raggiungibilià. Supponiamo dunque che il sisema complessivo S sia formao da N soosisemi disini S, S,..., S N, inerconnessi in modo del uo arbirario. Sappiamo inano che, a prescindere dai vincoli di inerconnessione, se X, X,..., sono i rispeivi spazi di sao, lo spazio di sao del X N sisema complessivo è X S S... S N : ciò significa che, fissao un generico sao x [ x x... x N ], richiedere che il sisema sia compleamene raggiungibile significa richiedere che ciascun soosisema sia compleamene raggiungibile. Possiamo perciò enunciare una condizione necessaria per la complea raggiungibilià del sisema: eorema - Condizione necessaria affinché un sisema lineare S, cosiuio da N soosisemi lineari S, S,..., S N, sia compleamene raggiungibile è che ciascun soosisema sia compleamene raggiungibile Queso risulao differenzia il problema della raggiungibilià da quello della sabilià in modo molo neo: infai, menre abbiamo viso che si possono oenere sisemi asinoicamene sabili per mezzo di opporune connessioni di soosisemi insabili, non è invece possibile conneere in alcun 9
ppuni di EORI DEI SISEMI - Capiolo 8 modo sisemi non compleamene raggiungibili per oenere sisemi compleamene raggiungibili. In alre parole, possiamo affermare che, menre la sabilià è una proprieà che si può acquisare (esise infai il cosiddeo problema della sabilizzabilià ), la raggiungibilià è una proprieà che si può solo perdere. Nauralmene, è lecio chiedersi se valga o meno il viceversa del eorema prima enunciao. Come anicipao prima, il viceversa non vale e ce ne accorgeremo considerando ancora una vola le connessioni in cascaa ed in parallelo. INERCONNESSIONE DI DUE SISEMI LINERI IN CSC Consideriamo due sisemi lineari S ed S connessi in cascaa: u y S u y S Facciamo l ipoesi che enrambi quesi sisemi siano compleamene raggiungibile. Ci chiediamo se il sisema complessivo S sia anch esso compleamene raggiungibile. Supponiamo, allora, che i due soosisemi siano descrii dalle segueni equazioni di sao e di uscia: S S x& F x + G u F x + G u y x& F x + G u F x + G y F x y y H x La paricolarià è nel fao che l uscia di S, che poi è l ingresso di S, sia idenicamene nulla: queso compora che S, parendo dallo sao nullo, non possa che rimanere in ale sao, viso che S sesso riceve un ingresso cosane e uguale a. Di conseguenza, menre è possibile raggiungere qualsiasi valore di x parendo da x, lo sesso non vale per x, che, parendo da, può solo rimanere in. Di conseguenza, il sisema complessivo non è compleamene raggiungibile. Non si raa, ovviamene, di una conclusione generale, nel senso che è possibile che un sisema formao da N sisemi lineari compleamene raggiungibili sia a sua vola compleamene raggiungibile. uo dipende dai vincoli di inerconnessione ra i vari sisemi. INERCONNESSIONE DI DUE SISEMI IN PRLLELO Consideriamo adesso due sisemi S ed S connessi in parallelo: S y S u S y 3
Raggiungibilià e conrollabilià - Pare Facciamo ancora una vola l ipoesi che ali sisemi (ovviamene lineari empo-invariani) siano compleamene raggiungibili: se le rispeive equazioni di sao sono S S x& F x + G u F x + G u y H x x& F x + G u F x + G u y y H x l equazione di sao del sisema complessivo è x& x& F x G F x + G 4 34 3 F : marice di sao del sisema complessivo Si osservano due cose fondamenali in quesa equazione: G: marice di ingresso del sisema complessivo la prima è che la marice di sao è una marice diagonale a blocchi, i cui blocchi sono le marici di sao dei due soosisemi; ciò significa che gli auovalori della marice F coincidono con quelli dei due soosisemi messi insieme; la seconda è che la marice di ingresso G è una marice a blocchi i cui blocchi corrispondono alle marici di ingresso dei due soosisemi. llora, ricordando il crierio di complea raggiungibilià di Jordan, è facile dedurre il seguene crierio di complea raggiungibilià: u eorema - Condizione necessaria e sufficiene affinché un sisema lineare S, cosiuio da N soosisemi lineari S, S,..., S N connessi in parallelo, sia compleamene raggiungibile è che ciascun soosisema, olre ad essere compleamene raggiungibile, abbia auovalori ui diversi SISEMI DI CMPIONI Supponiamo di avere un sisema (empo-coninuo, regolare, a dimensioni finie, lineare e empoinvariane) descrio dall equazione di sao &x Fx + Gu Facciamo l ipoesi che il sisema abbia solo ingresso. Mediane queso sisema, sappiamo di poer cosruire il seguene sisema a dai campionai : 3