Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente a 1 1 1 0 0 1 3 3 0 0 7 7 x y + z = 0 y + 3z = 3 7z = 7. Dall ultima equazione ricaviamo quindi, che sostituito nella seconda dà y = 0; questi valori sostituiti nella prima equazione danno x = 1. Esercizio Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y = 1 x y + z = 0 x + z = 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 = 0 1 1 = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 { x + y = 1 Il di partenza è quindi equivalente a y +. Dall ultima equazione possiamo ricavare y in funzione di z e, sostituendo nella prima, anche x in funzione di z: y = z 1 x = z 1 L insieme delle soluzioni del è quindi dato da x = t 1 y = t 1 z = t (t R) 1
Esercizio 3 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y z = x + y = 3 x + y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 = 0 0 1 1 = 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 { x + y z = Il di partenza è quindi equivalente a. L ultima equazione dà il valore di z e dalla prima equazione possiamo ricavare x in funzione di y: x = 3 y L insieme delle soluzioni del è quindi dato da x = 3 t y = t (t R) Esercizio 4 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare x + y z = x y z = 0 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 = 0 0 = 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 1 La matrice incompleta ha quindi rango mentre quella completa ha rango 3. Il non ha quindi soluzioni. NB: Il rango (o caratteristica) di una matrice A risulta uguale al numero di righe non nulle di una qualsiasi forma ridotta di A. Si dimostra che tutte le forme ridotte di una matrice hanno lo stesso numero di righe non nulle. Esercizio 5 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x +z = 0 λx +λy + x λy +z = 3
: 1) sottrarre dalla seconda riga la prima moltiplicata per λ, ) sommare alla terza riga la prima moltiplicata per, 3) sommare alla terza riga la seconda moltiplicata per 1 0 0. Eseguendo nell ordine queste operazioni otteniamo la matrice 0 λ λ 1. 0 0 10 4λ 5 Per λ / {0, 5 }, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = 5 5 λ, y = 3 5 λ, z = 5 (5 λ) 1 0 0 Per λ = 0, otteniamo la matrice 0 0 1 che è equivalente a 0 0 10 5 (0 λ 5 ). 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Matrice completa ed incompleta hanno dunque rango, mentre il numero delle incognite x = 1 è 3. Il ha quindi infinite soluzioni y = t. z = 1 1 0 0 Per λ = 5 otteniamo la matrice 0 5 3 1. La matrice completa ha rango 3, 0 0 0 5 mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 6 Trovare le soluzioni del lineare λx + y + z = 3 λ x = λ + 1 λx + (1 λ)y z = λ + La matrice completa è equivalente alla matrice λ 1 1 3 0 λ λ λ + 1 0 0 λ 0.. Per λ / {0, }, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = λ 1, y = λ + 1, z = 0 (λ / {0, }). λ λ Per λ =, abbiamo la matrice completa 1 1 3 0 3 0 0 0 0. Matrice completa ed incompleta hanno rango e il ha infinite soluzioni x = 3 4, y = 3 t, z = t (t R) 3
Per λ = 0, abbiamo la matrice completa 0 1 1 3 0 0 0 1 0 0 0 equivalente a 0 1 1 3 0 0 0 0 0 0 1 La matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 7 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + x λy +( + λ) x λy + La matrice completa è equivalente alla matrice 1 0 1 0 λ λ 0 0 0 6 λ 3. Per λ / {0, 3}, matrice completa ed incompleta hanno rango 3 ed il ha quindi un unica soluzione della forma x = λ 6 λ, y = 3 6 λ, z = 3 6 λ (0 λ 3). Per λ = 0, matrice completa ed incompleta hanno rango, il ha infinite soluzioni x = 0 y = t. Per λ = 3, la matrice completa ha rango 3, mentre quella incompleta ha rango e quindi il non ha soluzioni. Esercizio 8 Trovare le soluzioni del lineare { λx + λy + λz = λ + 1 λ x y + (1 λ )z = λ ( ) λ λ λ λ + 1 La matrice completa è equivalente alla matrice 0 λ 1 1 λ. Per λ 0, matrice completa ed incompleta hanno rango ed il ha quindi infinite soluzioni. Per λ { 1, 1} le infinite soluzioni hanno la forma forma x = λ λ 1 + t( λ 3 + λ) λ(λ 1), y = λ t, z = t (λ / {0, 1, 1}, t R) λ 1 Per λ = 1 e λ = 1, le infinite soluzioni del sono rispettivamente x = 1 (t + 1) x = 1 (1 t) y = t (t R) y = t (t R) 4.
( 0 0 0 1 Per λ = 0, otteniamo la matrice 0 1 1 0 quella completa ha rango. Il non ha quindi soluzioni. Esercizio 9 Trovare le soluzioni del lineare x + y = λx y = 0 x λy = 1 ). La matrice incompleta ha rango 1 e 1 1 La matrice completa è equivalente alla matrice 0 1 λ λ. Per λ 0 0 1 + λ { 1, 1 }, la matrice completa ha rango 3 mentre quella incompleta ha rango ; il non ha quindi soluzioni. Per λ = 1, la matrice completa diventa 1 1 0 0 0 0 3 equivalente a 1 1 0 0 0 0 0 (aggiungere alla terza riga la seconda moltiplicata per 3 ). Matrice complete e incompleta hanno rispettivamente rango e 1 e quindi il non ha soluzioni. 1 1 Per λ = 1, otteniamo la matrice 0 3 1. Matrice completa ed incompleta 0 0 0 hanno { rango, uguale al numero delle incognite, e quindi il ha l unica soluzione x = 4 3. y = 3 Esercizio 10 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = λ x + y = 1 λx + y + (λ + 1)z = λ Esercizio 11 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = 0 x + λy + (λ + 1) λx + (λ 1)z = 1 5
Esercizio 1 Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = λ x + y = 1 λx + y + (λ + 1)z = λ Esercizio 13 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + x λy +( + λ) x λy + Esercizio 14 Trovare le soluzioni del lineare x + y z + t = 1 (λ 1)y + z t = 1 x + λy + (λ + 1)z + ( λ 1)t = Esercizio 15 Trovare le soluzioni del lineare x + 3y λx + 4λy + ( λ)z = + λ x + (λ + 3)y + λz = 3 Esercizio 16 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ )z = λ 1 x + λy = 3 x + λy + (λ 1)z = 3 + λ Esercizio 17 Discutere l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ 1)y + z = λ 1 x + (λ 1)y + z = 3λ x + (λ 1)y + λ z = 3λ 6
Esercizio 18 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare { λx + λy + (λ ) λ x + 4y + (4 λ)z = Esercizio 19 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare x + (λ 1)y = 3λ + λ 3 (λ 1)y = λ 1 x + λy = λ 1 Esercizio 0 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare (λ 1)x + λy = + λ (λ 1)x + λy + λz = λy λz = λ Esercizio 1 Determinare l insieme delle soluzioni del lineare λx + (λ 1)y = 5 λx + λz = 3 + λ (λ 1)y + λz = + λ Esercizio Trovare le soluzioni del lineare x + λy + z = 0 x + λy + (λ + 1) λx + (λ 1)z = 1 7