Calcolo delle probabilità

Capitolo 1 Calcolo delle probabilità Esercizio I. 1 Luca prende il treno per andare a scuola e cerca il suo amico Giovanni. Luca sa che è ugualmente probabile che Giovanni abbia preso il bus o il treno per andare a scuola e che, se ha preso il treno, può essere su una qualsiasi carrozza con uguale probabilità. Il treno consiste di carrozze e Luca ne ha già controllate 4 senza incontrare Giovanni. Determinare la probabilità che Luca trovi Giovanni nell ultima carrozza. Risposta: Per semplicità di scrittura indicheremo Giovanni con G, Luca con L e la frase nella carrozza non controllata da con ncncd. Risulta P(T = P(B = 1/2, essendo T (B l evento G ha preso il treno (bus. La probabilità cercata è dunque e, per il Teorema di Bayes, P(T G ncncd L P(T G ncncd L = = P(G ncncd L T P(T P(G ncncd L T P(T + P(G ncncd L B P(B = = 1 1 2 1 1 2 + 1 1 2 = 1 6 1

2 Calcolo, Probabilità e Statistica... Esercizio I. 2 Un bar consuma, ogni giorno, in media 40, litri di alcolici con una deviazione standard di 4, litri. Supponendo che il consumo giornaliero segua una distribuzione Normale, calcolare la probabilità che il bar, in un giorno qualsiasi, consumi al più 42, litri di alcolici. Risposta: P(X 42, = P(Z 0, 44 = 0, 67 Esercizio I. 3 Lo stato X viene suddiviso in tre regioni (regione A, regione B e regione C. La regione A ha il 3% della popolazione maggiorenne dello stato X, la regione B il 2%, mentre la regione C ne ha il 40%. Alle recenti elezioni di X, cui possono parteciparvi tutti i maggiorenni di X, nella regione A l affluenza alle urne è stata del 72%, quella della regione B del 68%, mentre quella della regione C del 70%. Si chiede quale sia stata l affluenza alle urne dello stato X alle recenti elezioni. Preso poi il nominativo di un maggiorenne dello stato X, qual è la probabilità che risieda nella regione A, sapendo che è andato a votare alle ultime elezioni? Risposta: L affluenza alle urne dello stato X alle recenti elezioni è data da 72 3 + 68 2 + 70 40 10000 = 70, 2 Indicato con V l evento essere votante e con A (risp. B, C l evento essere maggiorenne residente nella regione A (risp....nella regione B,... nella regione C, per il Teorema di Bayes, risulta P(A V = = P(V A P(A P(V A P(A + P(V B P(B + P(V C P(C 72 3 0, 36 72 3 + 68 2 + 70 40 Esercizio I. 4 In un cassetto ci sono 6 calze bianche e due blu, indistinguibili se non per il colore. Qual è la probabilità che, a estraendo due calze al buio, esse siano le due blu? b che siano due bianche? c che siano dello stesso colore?

Calcolo delle probabilità 3 Risposta: a 1/ ( 8 2 = 1/28 b ( 6 2 / ( 8 2 = 1/28 c 1/28 + 1/28 = 4/7 Esercizio I. Da un comune mazzo di 2 carte vengono estratte carte. È più probabile che tre di queste appartengano allo stesso seme oppure che due di queste siano una figura? Risposta: Essendo ( ( 13 39 4 3 2 ( = 2 4 13 12!39! 37!10!3!2! ( > 2 ( ( 12 40 2 3 ( = 2 4 10 12!39! 37!10!3!2! ( 2 e anche [ ( 13 4 k k=3 ( 2 ( ] 39 k > ( 12 k k=2 ( 2 ( 40 k risulta più probabile che tre delle cinque carte estratte appartengano allo stesso seme. Esercizio I. 6 Due giocatori, che sono stimati di pari livello, conducono una gara che consta di 7 partite consecutive. Qual è la probabilità che si abbia la vittoria di uno sull altro per un solo punto? FACOLTATIVO: Come sarebbe variata la risposta precedente se si assumeva che un giocatore prevalesse sull altro 3 volte su? Risposta: [( 7 + 3 ( ] 7 1 4 2 7 = 3 64

4 Calcolo, Probabilità e Statistica... PARTE FACOLTATIVA: ( 7 3 4 2 3 3 4 3 + ( 7 3 3 2 4 4 3 4 = 112 312 Esercizio I. 7 Nel piano cartesiano si tracciano le rette di equazione y = mx + q e y = nx + p dove i numeri m, q, n, p vendono stabiliti lanciando 4 volte un dado non truccato (si tratta quindi di numeri interi positivi minori o uguali a 6. Qualè la probabilità che le due rette abbiano uno ed un solo punto in comune? Risposta: La probabilità cercata coincide con quella che m sia diverso da n, ovvero, in simboli P(m n n/ fissato/. Quest ultima è ovviamente /6. Esercizio I. 8 Utilizzando numeri del tipo a = a 1 a 2 a 3 a 4 a le cui cifre possono assumere solo i valori 1, 2, 3, 4,, qualè la probabilità di ottenere un numero in cui la somma delle cifre che lo compongono è pari a 7? Risposta: Bisogna innanzitutto contare quanti sono i numeri a = a 1 a 2 a 3 a 4 a che si possono formare utilizzando le cifre 1, 2, 3, 4, : questi risultano essere tutte le disposizioni con ripetizione di oggetti su posti e quindi. Quelli con somma dell cifre pari a 7 sono pari al numero delle permutazioni diverse che si possono ottenere a partire dalla sequenza 11122, ovvero tutte le combinazioni formate da k 1 = 3 cifre 1 e k 2 = 2 cifre 2. Questo numero è (k 1 + k 2! k 1!k 2! =!/(3!2! = 120/12 = 10 La probabilità cercata vale quindi 10/ = 2/62 = 0.0032 Esercizio I. 9 Risulta più probabile ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte un dado oppure almeno una volta un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi? [LA QUESTIONE FU POSTA NEL 164 IN UNA LETTERA A B. PASCAL DAL CAVALIERE DI MÉRÉ] Risposta: In entrambi i casi si tratta di ricordare che n ( k n, k q n k = 1 q n. k=1 p

Calcolo delle probabilità Essendo, nel primo caso, p = 1/6, q = /6 e n = 4, la probabilità cercata è 1 (/6 4 3%, mentre nel secondo caso, poiché p = 1/36, q = 3/36 e n = 24, risulta 1 (3/36 24 49%. Pertanto è più probabile ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte un dado rispetto ad ottenere almeno una volta un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi. Esercizio I. 10 Ognuno di tre cofanetti identici per gioielli ha due cassetti. In ciascun cassetto del primo cofanetto c è un orologio d oro, in ciascun cofanetto del secondo cofanetto c è un orologio d argento mentre in un casetto del terzo cofanetto c è un orologio d argento e nell altro cassetto del medesimo cofanetto un orologio d oro. Si scegli uno dei tre cofanetti a caso e si apre uno dei due cassetti. Determinare la probabiltà di trovare un orologio d argento. Supposto di aver trovato un orologio d argento nel cassetto aperto del cofanetto prescelto, qual è la probabilità che l altro cassetto contenga un orologio d oro? Risposta: 1/2; 1/3 Esercizio I. 11 Nel poker si distribuiscono carte da un mazzo di 32 carte ben mescolate. Calcolare la probabilità di ricevere: a 4 assi e, più in generale, un poker servito; b tutte le carte di uno stesso seme (colore servito c 3 carte di un seme e due carte di un altro seme d 3 dieci e 2 assi e, più in generale, un tris e una coppia (full servito. Risposta: a ( ( 28 1 / 32 ( ; 8 28 ( 1 / 32 b 4 (8 ( / 32 ; c 4 (8 ( 3 3 8 ( 2 / 32 ; d ( ( 4 3 4 ( 2 / 32 ( ; 8 4 ( 3 7 4 ( 2 / 32 ; Esercizio I. 12 Due tiratori hanno sparato simultaneamente ad un medesimo piattello. La probabilità che il piattello sia colpito dal primo tiratore è p 1 = 0, 8 mentre viene colpito dal secondo tiratore con probabilità p 2 = 0, 4. Il piattello è colpito una sola volta. Determinare la probabilità che il piattello sia colpito dal primo tiratore.

6 Calcolo, Probabilità e Statistica... Risposta: Detto A l evento il piattello è stato centrato da un colpo, si tratta di trovare la probabilità condizionata P(B 1 A, essendo B 1 l evento il primo tiratore ha fatto centro ma il secondo no. A tale evento B 1 attribuiamo la probabilità p 1 (1 p 2 = 0, 48 non essendoci motivo di ritenere che un tiratore sia influenzato dall altro e che quindi il colpire il piattello da parte di un tiratore risulti indipendente dal fatto che l altro tiratore abbia fatto centro o meno. Indichiamo infine con B 2 l evento il secondo tiratore ha fatto centro ma il primo no cui attribuiamo per le ragioni già esposte probabilità p 2 (1 p 1 = 0, 08. Poiché P(A B 1 = P(A B 2 = 1, risulta P(B 1 A = P(B 1 P(A B 1 P(B 1 P(A B 1 + P(B 2 P(A B 2 = 0, 48 0, 48 + 0, 08 = 6 7. Esercizio I. 13 In una lotteria ci sono 100 biglietti di cui vincenti. Ne prendiamo 2; qual è la probabilità di vincere? Risposta: /100 4/99 + /100 9/99 + 9/100 /99 Esercizio I. 14 Due tiratori hanno sparato simultaneamente ad un medesimo piattello. La probabilità che il piattello sia colpito dal primo tiratore è p 1 = 0, 8 mentre viene colpito dal secondo tiratore con probabilità p 2 = 0, 4. Il piattello è colpito una sola volta. Determinare la probabilità che il piattello sia colpito dal primo tiratore. Risposta: Detto A l evento il piattello è stato centrato da un colpo, si tratta di trovare la probabilità condizionata P(B 1 A, essendo B 1 l evento il primo tiratore ha fatto centro ma il secondo no. A tale evento B 1 attribuiamo la probabilità p 1 (1 p 2 = 0, 48 non essendoci motivo di ritenere che un tiratore sia influenzato dall altro e che quindi il colpire il piattello da parte di un tiratore risulti indipendente dal fatto che l altro tiratore abbia fatto centro o meno. Indichiamo infine con B 2 l evento il secondo tiratore ha fatto centro ma il primo no cui attribuiamo per le ragioni già esposte probabilità p 2 (1 p 1 = 0, 08. Poiché P(A B 1 = P(A B 2 = 1, risulta P(B 1 A = P(B 1 P(A B 1 P(B 1 P(A B 1 + P(B 2 P(A B 2 = 0, 48 0, 48 + 0, 08 = 6 7. Esercizio I. 1 Cinque carte con i numeri dall 1 al vengono mescolate e disposte casualmente una di seguito all altra, in modo da formare un numero di cifre. Qualè la probabilità che il numero così ottenuto sia divisibile per 4? (Si tenga presente che un

Calcolo delle probabilità 7 numero intero positivo risulta divisibile per 4 se il numero rappresentato dalle ultime due cifre risultano divisibili per 4 Risposta: Le coppie formate dalle ultime due cifre a 4 a formano la seguente tabella 12 13 14 1 21 23 24 2 31 32 34 3 41 42 43 4 1 2 3 4 Si noti che la tabella è priva della diagonale principale visto che le carte sono esattamente cinque e quindi il numero ottenuto non ha mai due cifre uguali fra loro. Fra queste coppie risultano divisibili per 4 solo quelle indicate con un riquadro e cioè 4 su 20. Pertanto la probabilità cercata è 1/. Nota bene: nel modo in cui è formulato il testo dell esercizio è implicito che la sequenza dei cinque numeri sia stata definitivamente scelta. Si potrebbe comunque risolvere l esercizio in modo equivalente considerando, come insieme degli eventi possibili, tutte le permutazioni della disposizione 1234 e cioè! = 120. In tal caso le permutazioni favorevoli sono tutte quelle che si ottengono da x 1 x 2 x 3 a 4 a dove la coppia a 4 a è una qualsiasi delle 4 indicate con un riquadro nella tabella precedente. Dunque gli eventi favorevoli sono 4 3! = 24 e la probabilità cercata pari a 24/120 = 1/ (come doveva essere. Esercizio I. 16 Un urna contiene due monete assolutamente indistinguibili per quanto riguarda il loro aspetto esterno. Di queste una è equilibrata, mentre l altra no e, anzi, una volta lanciata, con probabilità 2/3 mostrerà Testa. Si pesca a caso nell urna una delle due monete la si lancia n volte. Indichiamo con X la variabile aleatoria che descrive il numero di Teste in n lanci. (1 Descrivere la variabile aleatoria X e trovarne il valor medio. (2 Se nei primi due lanci esce Teste, qual è la probabilità di aver estratto la moneta equilibrata? Risposta: (1 X = X 1 +...+X n è Binomiale con media n 7/12, essendo ciascuna X i una variabile aleatoria Bernoulliana di parametro p = 1/2(1/2 + 2/3 = 7/12.

8 Calcolo, Probabilità e Statistica... (2 Risulta (detto E l evento scelta la moneta equilibrata P(E X 1 = 1&X 2 = 1 = P(X 1 = 1&X 2 = 1 e P(E P(X 1 = 1&X 2 = 1 = 9 2. Esercizio I. 17 In una scuola in cui il 60% della popolazione è femminile, il 4% degli studenti maschi e solo l 1% delle studentesse ha un altezza superiore ai 18 cm. Viene a scelto a caso un individuo più alto di 18 cm: qual è la probabilità che sia una studentessa? Risposta: Definiamo gli insiemi T = { essere più alti di 18 cm} M = { essere studenti maschi} F = { essere studentesse} Allora si ha P(F = 0.6 P(M = 0.4 e P(F T = P(F P(T F P(M P(T M + P(F P(T F = 0.6 0.01 0.4 0.04 + 0.6 0.01 = 3 11 Esercizio I. 18 Antonio, Bruno e Carlo colpiscono un bersaglio con probabilità, rispettivamente, di 1/6, 1/4 e 1/3. Qual è la probabilità che il bersaglio sia colpito da uno solo dei tre? Se il bersaglio è stato colpito da uno solo dei tre, qual è la probabilità che a colpirlo sia stato Antonio? Risposta: Definiamo gli insiemi A = { bersaglio colpito solo da Antonio} B = { bersaglio colpito solo da Bruno} C = { bersaglio colpito solo da Carlo} E = { bersaglio colpito solo da un tiratore} Allora risulta P(E = 1 6 3 4 2 3 + 6 1 4 2 3 + 6 3 4 1 3 = 31 72 P(A E = P(A E P(E = 6 72 31 72

Calcolo delle probabilità 9 Esercizio I. 19 Data una urna contenente palle bianche e 6 rosse, calcolare la probabilità che estraendo 7 palle (con reintroduzione tra esse vi siano tutte e cinque le palle bianche. Risposta: Rientra tra le prove bernoulliane: il successo è estrarre una palla bianca e la sua probabilità è p = /11. Il numero delle prove è n = 7, il numero dei successi (k si vuole che sia. Pertanto la probabiltà richiesta è ( ( 7 11 ( 6 11 2 = 21 6 2 11 7. Esercizio I. 20 In una località marittima il 40% dei bagnanti è di sesso maschile. Il 60 % dei bagnanti usa una crema solare; il 1% degli uomini fa uso di crema così come il 40% delle donne. Qual è la probabilità che un bagnante sia maschio sapendo che usa la crema? Risposta: Siano C, U e D rispettivamente gli eventi il bagnante usa la crema, il bagnante è uomo e il bagnante è donna. Si deve calcolare P(U C. Per la formula di Bayes P(U C = P(C UP(U P(C UP(U + P(C DP(D dove P(C U = 0, 1, P(C D = 0, 4, P(U = 0, 4 e P(D = 0, 6. Pertanto P(U C = 0, 1 0, 4 0, 1 0, 4 + 0, 4 0, 6 = 0, 2. Esercizio I. 21 Sia S = {A, B, C} uno spazio di esiti. Sia poi assegnata la funzione P(A = α/2, P(B = (1 + α 2 /10, P(C = 1/2. Determinare α IR in modo che P definisca una probabilità su S. Risposta: Debbono essere P(A, P(B e P(C maggiori o uguali a 0, da cui α 0. Poi bisogna imporre P(S = 1, cioè α/2 + (1 + α 2 /10 + 1/2 = 1.

10 Calcolo, Probabilità e Statistica... Dobbiamo quindi determinare le soluzioni non negative di α + (1 + α 2 + = 10, da cui α 2 + 7α 4 = 0. Quindi α = 7 + 6. 2 Esercizio I. 22 Quand è che due eventi A e B sono sia incompatibili che indipendenti? Risposta: Due eventi A e B sono incompatibili se P(A B = 0. Si dicono indipendenti, invece, se P(A B = P(AP(B. Pertanto due eventi A e B sono incompatibili e indipendenti quando P(AP(B = 0 cioè quando P(A oppure P(B è 0. Esercizio I. 23 Ci sono 6 sedie allineate e persone. Ciascuna persona va a sedersi su una sedia (non più di una persona su una sedia!. In quanti modi si possono disporre? Risposta: Numeriamo le persone, assegnamo cioè un numero da 1 a a ciascuna di esse. A ciascun modo di sedersi possiamo associare una stringa di 6 caratteri: al primo posto mettiamo il numero della persona che si siede sulla prima sedia (6 se non si siede nessuno, al secondo posto mettiamo il numero della persona che si siede sulla seconda sedia (6 se non si siede nessuno e così via. Il problema ha la stessa soluzione del seguente: quanti numeri a 6 cifre si possono scrivere con i simboli 1, 2, 3, 4,, 6 senza ripetizioni di cifre? Ciò equivale a chiedersi quante sono le permutazioni di 6 elementi, cioè 6!=6..4.3.2.1=720. Esercizio I. 24 Se due eventi A e B sono incompatibili allora P(A A B+P(B A B = 1. Vero o falso? Risposta: Vero. Infatti e analogamente P(A A B = P(A (A B P(A B = P(A P(A B Quindi P(B A B = P(B (A B P(A B P(A A B + P(B A B = = P(B P(A B. P(A + P(B P(A B.

Indice Analitico 11 Ricordando che se due eventi sono incompatibili allora si ha che l affermazione è vera. P(A B = P(A + P(B