Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio Sia R il piano vettoriale euclideo, munito di base canonica e, e prodotto scalare standard Siano v = (, e w = (, due vettori espressi in componenti rispetto alla base canonica e (i Calcolare l orientazione della coppia ordinata {v, w}, ie Or(v, w; (ii Sia S 0 la riflessione rispetto all asse x Calcolare Or(S 0 (v, S 0 (w; (iii Sia S ϕ la riflessione rispetto alla retta vettoriale passante per l origine e formante un angolo convesso ϕ con l asse x Calcolare Or(S ϕ (v, S ϕ (w; (iv Sia R ψ la rotazione di centro l origine e angolo ψ Calcolare Or(R ψ (v, R ψ (w Svolgimento (i Osserviamo che ( det = = Or(v, w percio la coppia ordinata e orientata positivamente (ii Or(S 0 (v, S 0 (w = det(s 0 Or(v, w = = Or(v, w (iii Come prima Or(S ϕ (v, S ϕ (w = det(s ϕ = = Or(v, w (iv Or(R ψ (v, R ψ (w = det(r ψ = = Or(v, w Esercizio Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x, siano assegnati i punti P = (,, Q = (,, R = (, 0, le cui coordinate sono scritte per comodita per riga Trovare il punto Q simmetrico di Q rispetto a P e la retta r simmetrica rispetto a P della retta r RQ Svolgimento Il punto Q e il punto, diverso da Q, che giace sulla retta per P e Q e che e a distanza pari a d(p, Q da P La retta r e la retta parallela alla retta per R e Q e che passa per Q trovato precedentemente
Esercizio 3 Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x, sia Q il trapezio di vertici: (,, (6,, (, 3, (3, 3 (i Disegnare l immagine di Q dopo la traslazione T p, dove il vettore p = (0, ; (ii Disegnare l immagine di Q dopo la riflessione S 0 rispetto all asse x ; (iii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π di angolo π Svolgimento: (i Si tratta del trapezio Q di vertici (, 0, (6, 0, (,, (3, (ii La matrice di S 0 e data da ( 0 A := 0 Percio A(Q e il trapezio di vertici (,, (6,, (, 3, (3, 3 (iii La matrice di R π e data da ( 0 B := 0 Percio B(Q e il trapezio di vertici (,, ( 6,, (, 3, ( 3, 3 Esercizio 4 Sia Q il quadrato in R di vertici: (,, (,, (,, (, (i Per quali angoli ϕ la rotazione R ϕ manda il quadrato Q in se stesso? (ii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/4 Svolgimento (i Sono tutti gli angoli della forma ϕ = k π, con k un numero intero (ii La matrice della rotazione R π/4 e data da: ( / / A := / / Percio A(Q e il quadrato di vertici (, 0, (0,, (0,, (, 0 Esercizio 5 Sia R il piano cartesiano con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x (i Scrivere le equazioni della rotazione R P0,π/6 di centro il punto P 0 = (, ed angolo π/6; (ii Scrivere le equazioni della simmetria S r rispetto alla retta r : x x + = 0;
3 (iii Verificare che la retta s, passante per P 0 e di equazione cartesiana ( 3x x + 3 = 0 e tale che S r S s = R P0,π/6 Svolgimento: (i La matrice della rotazione di angolo π/6 attorno all origine e : ( 3/ / A = / 3/ Percio, le formule di rotazione sono, in forma vettoriale, date da equivalentemente in forma cartesiana x = A(x + P 0 A(P 0, x = /( 3x x + 4 3 x = /(x + 3x + 3 3 (ii Sia P = (α, β La retta n passante per P e perpendicolare a r ha equazione cartesiana x + x = α + β Sia N = r n, che ha coordinate N = ( (α + β, (α + β + Allora P sara il simmetrico di P rispetto a r se e solo se P = N P = (β, α+ Questo significa che le equazioni della simmetria sono x = x x = x + (iii Se deve essere S r S s = R P0,π/6, allora S s = Sr perche S r = Sr Le equazioni di S s sono quindi: R P0,π/6 = S r R P0,π/6, x = /( 3x + x 3/ x = /(x 3x + 3 + 3 Mediante questa trasformazione, notiamo che il luogo fissato da S s e proprio la retta s, come volevasi dimostrare Esercizio 6 Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano standard RC(O; x, x, sia data la retta r : X + X 3 = 0 (i Determinare le formule di riflessione rispetto a r
4 (ii Determinare l equazione cartesiana della( circonferenza C ottenuta per riflessione rispetto a r della circonferenza di centro C = e raggio Svolgimento (i Sia P = (a, b il punto generico di R La retta perpendicolare a r passante per P ha equazioni parametriche L intersezione con r determina X = a + t, X = b + t t = 5 a 4 5 b + 6 5 Pertanto le formule di riflessione sono ( ( ( x 3/5 4/5 f = 4/5 3/5 x x x + ( 6/5 /5 (ii Poiche una riflessione e un isometria, e sufficiente conoscere le coordinate ( del riflesso di C, visto che il raggio rimarra invariato Pertanto, poiche f(c = 36/5 /5, l equazione cartesiana della riflessa di C e (X + 36/5 + (X /5 = 4 Esercizio 7 Nel piano cartesiano R, con( riferimento cartesiano standard RC(O; ( x, x, 3 6+ sia data la circonferenza C di centro C = e raggio Sia inoltre P = + C (i Determinare l equazione cartesiana della retta l tangente alla circonferenza ( C in P (ii Scrivere l equazione del fascio (proprio di rette di centro Q = 4 3 e determinare l unica retta del fascio parallela a l (iii Data l affinita ( ( ( ( f = 0 x + 0 3 5, disegnare nel piano f(c x x x
Svolgimento (i Un vettore normale a C in P e dato dal vettore P a C = In altre parole, un equazione cartesiana per l e data da ( 5 (X ( 6 + + (X ( + = 0 che fornisce X + X 4 = 0 (ii L equazione del fascio di rette e λ(x 4 + µ(x 3 = 0, cioe ( λx + µx λ 4λ + 3µ = 0 La condizione di parallelismo con l fornisce che µ ( deve essere proporzionale a, ie λ = µ, che determina X + X 7 = 0 ( (iii Notiamo che f(c non e altro che l ellisse con centro di simmetria 7 8 e semiassi rispettivamente e 3 Esercizio 8: Siano r ed r due rette passanti ambedue per il punto p 0 = (, e rispettivamente per q = (8/5, /5 la prima e per q = (, la seconda Assumiamo che tali rette siano tangenti ad una circonferenza C rispettivamente in q ed in q (i Determinare il centro C, il raggio r e l equazione cartesiana di C; (ii Disegnare la circonferenza C Svolgimento (i Denotiamo con n i la retta perependicolare alla retta r i e passante per il punto q i, i Allora, il centro C sara determinato dall intersezione n n mentre il raggio sara dato dalla distanza d(c, q i, per uno qualsiasi dei due punti q i, i Un vettore direttore di r e (4, 3, percio la retta n ha equazione cartesiana 4x + 3x 5 = 0 Un vettore direttore di r e (0,, percio la retta n ha equazione cartesiana x = 0 Allora C = (3, mentre r = d(c, q = d(c, q = L equazione cartesiana della circonferenza C e data da (x 3 + (x =, cioe : x + x 6x x + 9 = 0 (ii Per disegnare la circonferenza, basta considerare C e r
6 Esercizio 9: Nel piano cartesiano R sono dati i tre punti non allineati di coordinate: ( ( ( P = Q = R = (i Determinare l equazione cartesiana dell unica circonferenza C passante per i tre punti dati (ii Disegnare la circonferenza C (iii Determinare l equazione cartesiana della retta tangente a C nel punto P C Svolgimento (i Il centro della circonferenza da determinare e il punto C intersezione degli assi delle due corde P Q e QR ( Percio, il punto ( medio di P Q e M P Q = 3/, mentre il punto medio di QR e M QR = Invece, la direzione 3/ / del vettore P Q= (,, mentre la direzione del vettore QR= (0, 3 = (0, Quindi, l asse del segmento P Q e la retta per M P Q con parametri direttori determinati da un vettore normale a P Q, per esempio (, Un equazione cartesiana di tale asse e quindi: x x = 0 Analogamente, l asse del segmento QR e la retta per M QR con parametri direttori determinati da un vettore normale a QR, per esempio (, 0 Un equazione cartesiana di tale asse e : x = 0 Il loro punto di intersezione e il punto C di coordinate C = della circonferenza e dato da r = d(c, P = 0/ Percio, l equazione della circonferenza voluta si determina con (x / + (x / = 0/4 ( / / Il raggio (ii Per disegnare la circonferenza, basta considerare il centro ed il raggio determinati al punto (i
7 (iii L equazione della tangente a C in P e data dalla formula ( /(x + ( /(x = 0 cioe : 3x + x 7 = 0