FORMARE COMPETENZE CON LA MATEMATICA marcata esigenza di promuovere nella formazione scolastica vere e proprie competenze e non solo conoscenze e abilità. Sembrerebbe che il valore educativo della matematica consista solo nella sua applicazione a situazioni di vita pratica /o professionale. Che non si diano, cioè, competenze disciplinari. 1
Competenza: capacità di attivare e coordinare le proprie risorse interne e valorizzare quelle esterne disponibili al fine di portare a termine in maniera valida ed efficace un compito, o una classe di compiti, socialmente rilevante. esistenza di competenze matematiche vere e proprie ai vari livelli della scolarità. uso delle conoscenze e abilità matematiche per leggere e interpretare contesti non direttamente matematici come la tecnologia, l arte e la natura. Sul concetto di competenza 1) Una competenza è definibile a partire dalla tipologia di compiti o attività che si devono svolgere validamente ed efficacemente. Essa, in base ai compiti per i quali è richiesta, può essere più specificatamente legate a una disciplina o materia di insegnamento, oppure avere carattere trasversale. In questo secondo caso i compiti che sollecitano hanno caratteristiche comuni quanto a conoscenze, abilità e disposizioni interne che devono essere attivate e coordinate. 2) La complessità e novità del compito o della attività da sviluppare caratterizzano anche la qualità e il livello della competenza implicata. Tali caratteristiche dipendono dall età e dall esperienza dello studente. 2
3) Una competenza si manifesta perché si riesce a mettere in moto e a coordinare un insieme di conoscenze, abilità e altre disposizioni interne al fine di svolgere positivamente il compito o l attività prescelta. Queste risorse interne debbono essere quindi possedute a un grado di significatività, stabilità e fruibilità adeguato, tale cioè da poter essere individuate e messe in moto quando esse siano necessarie per affrontare il compito richiesto. 4) Tra le risorse che occorre saper individuare, utilizzare e coordinare molto spesso occorre considerare non solo risorse interne, ma anche risorse esterne. Non si tratta solo di risorse di natura fisica o materiale come libri, strumenti di calcolo, computer, ma anche umana come il docente stesso, i compagni, altre persone che è possibile coinvolgere nella propria attività. Sulla competenza matematica PROBLEMA: Trasformate la figura seguente disegnata su un quadrettato e avente la forma di croce in un quadrato che abbia la stessa area. Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo. 3
si tratta di costruire una figura a forma di quadrato che abbia la stessa superficie di quella data a forma di croce. Procediamo nell esame della situazione, ricordando che si parla di competenza quando si è in grado di affrontare una situazione di sfida non banale in maniera positiva. Nel nostro caso è una competenza di tipo non ripetitivo abbastanza complessa per quella età, che implica una certa fluidità mentale e il possesso di alcune conoscenze previe in maniera significativa e non ripetitiva e rigida. La prima è la conoscenza della figura geometrica del quadrato: una conoscenza che raggiunge un livello sufficientemente sofisticato, come vedremo subito. La seconda riguarda il concetto di equivalenza tra due figure geometriche, cioè l uguaglianza delle loro aree, e la maniera di verificare tale equivalenza. A esempio, esiste una modalità di verifica dell equivalenza che viene definita per somma e un altra per sottrazione. Una terza conoscenza riguarda la capacità di scomporre figure geometriche e ricomporle. 4
I ragazzi sono abituati a lavorare nei vari gruppi in maniera autonoma. Se non riescono ad andare avanti possono chiedere aiuti specifici a un altro gruppo. L insegnante è l ultima risorsa. Le discussioni sono state animate. Varie proposte di soluzione cominciano a emergere, ma vengono facilmente falsificate dai compagni proprio sulla base dei principi di equivalenza. In questo caso si tratta di usare il principio di equivalenza per somma. Un ragazzo, Michele, intuisce dopo un po di riflessione la possibile soluzione, ma deve verificare mediante uno dei principi di equivalenza la sua correttezza. Ci riesce. Deve, ora, convincere i compagni del gruppo che è la soluzione buona. Supera anche questa prova. Chiama l insegnante e le comunica la Un ragazzo, Michele, intuisce dopo un po di riflessione la possibile soluzione, ma deve verificare mediante uno dei principi di equivalenza la sua correttezza. Ci riesce. Deve, ora, convincere i compagni del gruppo che è la soluzione buona. Supera anche questa prova. Chiama l insegnante e le comunica la soluzione a bassa voce, per non influenzare gli altri gruppi, che ancora stanno lavorando. La cooperazione è associata alla competizione tra gruppi. 5
Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo. Impossibile visualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere danneggiata. Riavviare il computer e aprire di nuovo il file. Se viene visualizzata di nuovo la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuovo. Analisi delle competenze Ha una chiara e fluida conoscenza della figura geometrica del quadrato. Questa è derivata da un insegnamento dinamico, che permette di muovere e spostare figure rigide sul piano. Un quadrato rimane se stesso anche se assume visivamente posizioni diverse. Molti ragazzi sviluppano invece una fissità o rigidità figurativa. E in grado di verificare che sia la figura originaria, sia quella trasformata, sono composte dallo stesso numero di figure rispettivamente uguali. Egli sa usare questo principio in maniera operativa per giustificare epistemologicamente il risultato ottenuto; non solo, anche dal punto di vista retorico riesce a persuadere i suoi compagni di gruppo. 6
I compagni del gruppo costituiscono come una risorsa esterna che consente una verifica sociale non pericolosa. Essi possono valutare la validità della soluzione al loro livello. C è anche un altra risorsa esterna assai importante in casi come questo: la lavagna sulla quale è possibile disegnare, cancellare. E meglio di un foglio di carta, perché libera da suggestioni negative, anche se può rendere più difficile all insegnante avere traccia del percorso di ricerca dell alunno o degli alunni. Come ha intuito la soluzione? Qui gli psicologi della forma suggerirebbero un ruolo abbastanza preciso della percezione: quello che è in più qua va a compensare quello che è di meno là, ecc., alla ricerca di una buona forma Ci sono altre risorse interne che sono messe in moto e combinate tra loro in modo da portare effettivamente alla soluzione? l interesse per il problema, sollecitato anche dal contesto sociale e da un atteggiamento generale di disponibilità a impegnarsi nell attività di ricerca in classe; la capacità di concentrarsi su un compito per un tempo sufficientemente prolungato; 7
risorse esterne: la stessa classe e il gruppo nel quale ci si trova inseriti La comunità formata dalla classe e dalla sua modalità di lavoro ha permesso una integrazione positiva tra risorse interne di ciascuno studente e quelle esterne costituite da tutti gli altri studenti l insegnante stesso: una risorsa motivazionale e di sostegno, che ha lasciato spazio all attività costruttiva e creativa degli studenti. La competenza nell utilizzare conoscenze e abilità matematiche oltre la matematica a) Il formato della carta Una esplorazione interessante può essere sviluppata valorizzando le conoscenze e le abilità acquisite riguardanti i rapporti e le proporzioni: essa riguarda il formato della carta, in particolare di quella che si usa nelle fotocopiatrici e nelle stampanti dei computer. Spesso si usano pacchi di carta, in termini tecnici si chiamano risme di carta, contenenti 500 fogli in formato A4. Se si prende una di queste risme e se ne legge l etichetta, si trova la seguente scritta. 500 fogli 80 gr/mq 21 x 29,7 cm 2,5 kg 8
Conoscenze di base necessarie per esplorare la situazione: concetto di rapporto; concetto di proporzione e proporzionalità; dimensioni del folio di carta; valore di radice quadrata di 2. Abilità di base per esplorare la situazione: saper approssimare; saper calcolare il valore di un rapporto; saper risolvere un proporzione. Una risma contiene 500 fogli di carta di formato A4. Le dimensioni di un singolo foglio di carta in cm sono 21 e 29,7. La cosiddetta grammatura della carta, cioè il peso in grammi di un metro quadrato di essa, è 80 grammi. Perché sono state scelte queste particolari misure per un foglio di carta e perché il suo formato viene denominato A4? Tutto deriva dal bisogno di avere a disposizione formati standard per produrre carta già predisposta per la stampa, sia di libri, sia di altre opere. Si è partiti dalla considerazione di un foglio di carta che ha la misura di un metro quadrato, ma di forma rettangolare. Si è scelto quello che nella tradizione tipografica si chiamava folio, da cui l espressione stampato in folio. Si tratta di un rettangolo che ha per lati 841 mm e 1189 mm. Il prodotto delle due dimensioni è 841 mm x 1189 mm = 999949 mm2, cioè 1 m2. approssimato a meno di un cm2. 9
Il rapporto tra il lato più lungo e quello più corto è dato da b : a = 1189 : 841 = 1,4137 radice di 2 ( 2 =1,4142) circa il valore di Ottieni un numero che è il valore approssimato di 2. Si hanno dunque i seguenti rapporti tra i lati a e b della figura che rappresenta il rettangolo in folio. b / a = 2 b = a 2 a / b = 1/ 2 Gli altri formati della carta si ottengono piegando il foglio in due parti in modo da far coincidere i lati. Si ottengono rettangoli più piccoli le cui dimensioni sono ancora nello stesso rapporto. Continuando nella piegatura della carta si ottengono via via formati sempre più piccoli che sono tutti proporzionali tra loro secondo la proporzione 1 : 2 = 2 : 2 10
I vari formati di carta che si ottengono hanno le seguenti denominazioni con le misure in mm. A0 = 841 x 1189 A1 = 594 x 841 A2 = 420 x 594 A3 = 297 x 420 A4 = 210 x 297 A5 = 148 x 210 A6 = 105 x 148 A7 = 74 x 105 Ecco un esempio di utilizzo dei vari formati della carta secondo la classificazione sopra descritta. A0, A1 disegno tecnico, poster A2, A3 disegno, diagrammi, tabelle A4 lettere, riviste, cataloghi, carta per stampanti e fotocopiatrici A5 blocchi per appunti 11
Se si prende ora un foglio di carta di formato A4 (quello che si usa comunemente nelle fotocopiatrici) e si piega in due dal taglio secondo la linea di piegatura si ottiene un foglio in A5. Ripetendo l operazione più volte si ottengono fogli di formato A6 e A7. Se si collocano i fogli ottenuti in modo che si sovrappongano in basso a destra i loro angoli come in figura, si nota che i vertici degli angoli opposti sono allineati. In effetti essi appartengono alla retta y = a/b x. Un esempio di situazione-problema può essere facilmente evocato. A studenti che hanno inizialmente affrontato il concetto di proporzionalità si può presentare un insieme di figure geometriche concrete (triangoli, trapezi o quadrati), di cartone o di altro materiale rigido, che messe insieme come in un puzzle formano un rettangolo (a es. di 8 cm per 5 cm). Si chiede allora agli studenti di ingrandire il puzzle di partenza, e quindi tutti i pezzi che lo compongono, in maniera che il lato di 8 cm diventi di 12 cm. E facile che sulla base delle loro preconfezioni essi pensino che, poiché occorre aggiungere 4 cm al lato di 8, basti aggiungere la stessa lunghezza a tutti i lati del puzzle. Tentando di costruire il nuovo puzzle secondo questo principio, si rendono conto da soli del carattere erroneo dell idea. 12
Anche se nessuno riesce a risolvere la situazione-problema, tuttavia si crea un bisogno di sapere e si è sollecitati a cercare una soluzione. Quando, magari sotto la guida dell insegnante, essi troveranno il principio risolutivo, il concetto di proporzionalità avrà acquisito non solo maggiore significatività, ma sarà agganciato a una sua competenza pratico-applicativa. 13