Il Modello di Romer (1990): seconda parte Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London) Università degli Studi della Calabria Modelli Macroeconomici a.a. 2011-2012 In questa seconda parte studieremo cosa determina g a ovvero il tasso di crescita della tecnologia. Studiando la sua dinamica capiremo cosa determina la dinamica del pil pro capite. Abbiamo de nito la funzione di produzione del settore R&D come: _ A t = B [a L L t ] A t (1) e abbiamo visto che dividendo entrambi i lati della precedente espressione Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; E-mail: giurose@unical.it; Homepage: www.ecostat.unical.it/rose. Tel. 0984-492446. 1
otteniamo: g a = B [a L L t ] A 1 t : (2) Questa è l espressione che ci permette di studiare g a e la sua dinamica. Infatti, se prendiamo i logaritmi di entrambi i lati della (2) otteniamo: log g a = log B + log a L + log L t + ( 1) log A t : Facendo la derivata rispetto al tempo (si ricorda che g a = _ A t A t, L t ed A t sono le variabili funzioni del tempo la cui derivata rispetto al tempo è indicata con un punto sulla nostra variabile) otteniamo: _g a g a = _ L t L t + ( A 1) _ t (3) A t ovvero: _g a g a = n + ( 1)g a (4) ovvero: _g a = ng a + ( 1)g 2 a: (5) L equazione (5) è l espressione fondamentale del nostro modello. Essa in- 2
fatti ci permette di studiare le variazioni rispetto al tempo di g a ( _g a sono proprio le variazioni nel tempo di g a ) e quindi possiamo studiare la dinamica di g a e quindi del pil pro capite: La dinamica di g a è rappresentata dall espressione ng a + ( 1)g 2 a: Dobbiamo studiare questa espressione. Poiché questa è funzione del parametro conviene dividere lo studio dell espressione nei tre casi possibili che possono sorgere ovvero: 1) < 1 2) = 1 3) > 1: Il caso dei rendimenti decrescenti della tecnologia nel settore R&D ovvero < 1: In questo caso speci co, l espressione (5) è una parabola con concavità verso il basso che passa per l origine. Nella Figura 1 possiamo disegnare questa espressione. Si noti che abbiamo una gura che, pur rappresentando semplicemente una parabola, ci da delle informazioni molto importanti circa la dinamica di g a : Infatti ciò che si vede è che per valori di g a > 0 vicini all origine (nella gura g a = g a ) noi troviamo variazioni di g a maggiori di zero ( _g a > 0). Questo vuol dire che in un certo istante di tempo in cui il valore di g a = g a si genera una variazione positiva di g a ( _g a > 0) per cui 3
l istante successivo ci sarà un livello di g a più grande di quello dell istante precedente (g a > g a ). Questo processo continua col passare del tempo e a fa crescere g a no a quando non si raggiunge il livello di g a in cui _g a = 0: In questo caso infatti g a non cresce più ( _g a = 0) per cui esso è costante nel tempo. Abbiamo quindi trovato una stato stazionario ovvero l esistenza di un equilibrio verso il quale l economia converge con il passare del tempo. Nello stato stazionario il tasso di crescita della tecnologia g a è costante nel tempo e non si modi ca. Indichiamo questo punto con le lettere SS: Si noti che questo punto SS verrebbe raggiunto anche qualora si partisse da un punto g a > SS: Infatti in questo caso avremmo che ad ogni livello di g a è associato una variazione negativa ( _g a < 0) per cui il livello di g a si riduce col passare del tempo no ad arrivare al livello di stato stazionario g a = SS: Cosa determina il nostro livello di g a di stato stazionario? Se capiamo cosa in uenza g a nello stato stazionario capiamo cosa determina il Pil pro capite di una economia nel suo stato stazionario (che risultato!) che abbiamo dimostrato essere uno stato che verrà raggiunto di sicuro. Dobbiamo quindi trovare il livello di g a di stato stazionario ovvero l intercetta della parabola con l asse delle ascisse ovvero il livello di g a per cui nell equazione (5) _g a = 0: 4
Figure 1: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala decrescenti nel settore R&D. 5
Ponendo nell equazione (5) _g a = 0 troviam che: g a = n 1 (6) Quest ultima espressione ci da il tasso di crescita del Pil pro capite nello stato stazionario quando il settore di ricerca e sviluppo è caratterizzato da rendimenti decrescenti della tecnologia. I risultati più importanti che si ricavano sono i seguenti: 1) Il tasso di crescita del pil pro capite non dipende da quante persone lavorano nel settore di ricerca e sviluppo (a L ). 2) Il tasso di crecita del pil pro capite cresce al crescere del tasso di crescita della popolazione n. Si noti che questo risultato potrebbe sembrare un controsenso poichè al crescere della popolazione ci si aspetterebbe una diminuzione del pil pro capite visto che cresce il denominatore del rapporto. In realtà innanzi tutto bisogna ricordare che la crescita della popolazione fa crescere anche il Pil (la variabile Y cresce poichè più lavoratori ci sono più si produce). Allo stesso tempo però in presenza di rendimenti di scala costanti nel settore dei beni e servizi ci asperemmo che il pil cresce così come cresce la popolazione quindi il rapporto debito pil non dovrebbe dipendere da n 6
(come accadeva nel modello di Solow dove la variabile n non in uenzava il tasso di crescita del pil pro capite). In questo caso sta accadendo qualcosa in più: la crescita della popolazione fa crescere la variabile A (questo accade nel settore R&D) la quale a sua volta in uenza la variabile Y: Il risultato nale è che al crescere della popolazione l output prodotto cresce più velocemente della popolazione stessa per cui il pil procapite cresce sempre. Si noti che si converge ad uno stato stazionario poichè nel settore ricerca e sviluppo i miglioramenti della tecnologia hanno rendimenti decrescenti: più si inventa meno velocemente si generano nuove tecnologie per cui i miglioramenti della tecnologia sono sempre più piccoli e questo fa si che il pil sia in uenzato sempre di meno dai miglioramenti tecnologici no ad arrivare ad un tasso di crescita costante. Il caso dei rendimenti costanti della tecnologia nel settore R&D ovvero = 1: Lo studio dell eq. (5) nel caso in cui = 1 è molto semplice, infatti ciò che si ricava è che tale espressione rappresenta una retta con pendenza positiva: _g a = ng a : (7) 7
Questa situazione è illustrata gra camente nella Figura 2. Da questo diagramma si vede che non esiste nessun livello di g a in cui _g a = 0 ovvero non esiste nessuno stato stazionario quindi il pil pro capite di questa economia esplode sempre. In questo caso la pendenza della retta dipende dalla variabile n: Se n > 0 il tasso di crescita del pil pro capite crescerà sempre col passare del tempo. L intuizione economica del risultato è molto semplice: al crescere della popolazione si produce sempre più tecnologia la quale, a di erenza del caso precedente, non ha rendimenti decrescenti ma costanti per cui i miglioramenti tecnologici fanno crescere sempre di più il pil pro capite il quale cresce ad un tasso sempre più grande. Il caso dei rendimenti crescenti della tecnologia nel settore R&D ovvero > 1: Lo studio dell eq. (5) nel caso in cui > 1 è anch esso molto semplice, infatti ciò che si ricava è che tale espressione è data da una parabola con concavità verso l alto: _g a = ng a + ( 1) g {z } a: 2 (8) >0 Questa situazione è illustrata gra camente nella Figura 3. Valgono la 8
Figure 2: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala costanti nel settore R&D. 9
Figure 3: Andamento nel tempo del tasso di crescita della tecnologia con rendimenti di scala crescenti nel settore R&D. stesse considerazioni fatte nel caso in cui = 1 solo che in questo caso la presenza di rendimenti crescenti della tecnologia fa crescere in maniera esponenziale il tasso di crescita del pil pro capite. 10