Mat Compl 2015/16 - Esercizi - Settimana 05 Isometrie. 1. Dati un mezzo giro ρ O,π e una riflessione σ r con O / r, esprimere ρ O,π come prodotto di riflessioni in cui compaia una sola volta σ r. Soluzione. Sia s ortogonale a r e passante per O. Allora σ s σ r è un mezzo giro attorno a P = s r. Per spostare il centro di rotazione su O basterà comporre con la traslazione τ 2P O = σ u σ t dove t e u sono due rette diverse da r, ortogonali a s e tali che, posto A = s t e B = s u, sia AB = P O. Si ha allora ρ O,π = σ t σ u σ s σ r. 2. Dati un mezzo giro ρ O,π, esprimerlo come prodotto di quattro riflessioni a due a due distinte, ma con le rette di riflessione passanti per O. Soluzione. Un modo veloce è di prendere quattro rette r i, i = 1, 2, 3, 4 per P, tali che r i, r i+1 = π/4 per i = 1, 2, 3. Allora una decomposizione buona è ρ O,π = σ r4 σ r3 σ r2 σ r1. Più in generale basterà prendere le rette in modo che r 1, r 2 + r 3, r 4 = ±π/2. 3. Dato il triangolo equilatero A 1 A 2 A 3, siano M i i punti medi dei lati A j A h. Determinare le seguenti isometrie in funzione dei punti dati: (a) ρ A3,π/3 σ A1 A 2 ρ A1,π/3 (b) σ A1 A 3 ρ A3.π/3 σ A1 A 2 (c) τ A1 A 2 τ A1 A 2 σ A1 A 2 (d) ρ A1,π ρ A2,π ρ A3,π (e) ρ A1,π ρ A2,π ρ A1,π (f) ρ M1,π ρ M3,π σ M1 M 2 Soluzione. (a) L isometria è dispari, quindi una glissoriflessione, eventualmente impropria. Esaminiamo la sua azione sui vettori (attenzione: quando un vettore è denotato con un segmento orientato P Q, esso può essere sostituito da un qualunque segmento parallelo e concorde a P Q). Il vettore A 1 A 2 subisce successivamente le seguenti azioni (indicheremo
Figura 1: Prodotti di isometrie con il simbolo A B il punto del piano per il quale risulta B = A+AB 2, cioè tale che B sia il punto medio di AA B ): A1A2 A1A3 A1A M2 3 A1A2 e quindi l asse di scorrimento (o di riflessione) è parallelo ad A1A2. Inoltre A1 A1 A2 e quindi l asse di scorrimento è proprio A1A2 e la traslazione associata è τa1a2. (b) Si tratta di una rotazione con θ = π/3. Infatti il vettore A1A2 subisce le seguenti trasformazioni (la terza mappatura dipende dal fatto che come vettori A2A M1 1 = A1A2): A1A2 A1A2 A2A M1 1 A2A M1 1 = A1A3 e quindi complessivamente ruota di π/3. L isometria mappa A1 A M2 2 e quindi il centro della rotazione è il punto A A1 2. (c) Essendo τa1a2 τa1a2 = τ2a1a2 è una glissoriflessione con asse di scorrimento A1A2 e vettore di traslazione 2A1A2.
(d) È un mezzo giro. Poiché A 3 A 3 A A 2 3 (A A 2 3 ) A 1, il suo centro è A M 2 2. (e) È la coniugata di ρ A 2,π sotto l azione di ρ A1,π ed e quindi il mezzo giro di centro ρ A1,π(A 2 ) = A A 1 2. (f) È una glissoriflessione. Si noti che il vettore M 1M 2 resta fisso perchè la riflessione lo fissa e i due mezzi giri lo invertono e poi lo riportano su se stesso. Inoltre A 3 M 3 M 3 M M 1 3 e dunque l asse di scorrimento è A 3 M M 1 3 (per il parallelismo M 1 M 2 A 3 M M 1 3 ) ed il vettore di traslazione è sempre A 3 M M 1 Similitudini. 3. 4. Dati A, B, sia M = (A + B)/2. Trovare i punti uniti delle omotetie che mandano (a) AB MB (b) AB MA (c) AB AM 5. Trovare il gruppo delle similitudini che fissano l insieme formato da una coppia di rette parallele e distinte. Soluzione. Dette r 1 e r 2 le due rette, supponiamo che esista una similitudine non isometrica φ che le fissi o le scambi. Detto U il punto unito di φ, la perpendicolare s per U alle due rette deve andare in sé e quindi i punti P i = s r i vengono fissati o scambiati, il che contraddice l ipotesi che φ sia non isometrica. Il gruppo richiesto, costituito solo da isometrie, è allora G = τ R u ρ O,π σ r, dove u è parallelo alle r i, r è la retta dei punti equidistanti dalle r i e O è un suo punto. 6. Trovare il gruppo delle similitudini che fissano l insieme formato da una coppia di rette (distinte) incidenti in un punto O. 7. Dati i triangoli isosceli in figura (con base uguale all altezza) A = A 1 A 2 A 3 e A 1 = A 3 B 2 B 3, si trovino le similitudini che mandano A A 1 Soluzione. Deve essere A 1 A 2 A 3 B 2 (similitudine pari) o A 1 A 2 B 2 A 3 (dispari). La prima similitudine è l omotetia η O,1/2 con O che
Figura 2: Due triangoli simili. separa A 1 A 3 nel rapporto 2. Il centro 1 della dilatazione riflessiva è invece O, che divide A 1 B 2 nel rapporto 2. 8. Sia r 1 una retta e P 1 un punto non appartenente a r 1 e lo stesso dicasi per r 2 e P 2. Trovare le similitudini che mandano r 1 P 1 r 2 P 2. Qual è il fattore di scala di queste similitudini? Soluzione. Rispondiamo prima alla seconda domanda. Sia φ una similitudine che manda r 1 P 1 su r 2 P 2. Se a i sono le perpendicolari alle r i per P i, allora φ manda il piede Q 1 = a 1 r 1 nel piede Q 2 = a 2 r 2 e il suo fattore di scala è µ = P 2 Q 2 / P 1 Q 1. Il gruppo delle similitudini (isometrie! perché?) che stabilizzano r 1 P 1 si riduce a G = σ a1. Le similitudini richieste si ottengono componendo G con una opportuna similitudine che mandi r 1 P 1 su r 2 P 2. Per esempio possiamo usare ψ = τ P1 P 2 ρ P1, P 1 Q 1,P 2 Q 2 η P1,µ. 1 Per individuare ad occhio il punto unito si pensi che per vedere i segmenti A 1 A 2 e B 2 A 3 sotto lo stesso angolo orientato bisognerà mettersi nella striscia di piano tra le loro rette e precisamente sulla loro parallela r che passa per O e che è anche la retta della riflessione che è uno dei fattori canonici della similitudine. La posizione di O su r la si individua pensando che una omotetia di centro O deve riportare su B 2 il riflesso di A 1.
9. (Continuazione dell esercizio precedente) Dimostrare che due parabole sono sempre simili. Quando sono omotetiche? Qual è il fattore di scala di una similitudine che mandi y = x 2 x = 2y 2? Soluzione. Le parabole sono completamente individuate da fuoco e direttrice e viceversa. Quindi, in base all esercizio precedente ci sono sempre due similitudini (eventualmente isometriche) tra due parabole, che sono omotetiche quando la ψ definita nella precedente soluzione è a sua volta una omotetia, il che accade se e solo se i vettori P 1 Q 1 e P 2 Q 2 sono paralleli, in altre parole se r 1, r 2 = 0. La prima parabola ha distanza fuoco-direttrice pari a 1/2, la seconda 1/4. Il fattore di scala è quindi µ = 1/2. 10. Costruzione 2 del punto unito di similitudini dispari non isometriche. Figura 3: Costruzione coi parallelogrammi. La similitudine dispari γ mandi AB A B, in particolare A A. Per quanto detto sugli angoli tra vettori, se u ha AB per rappresentante (scriviamo con la solita ambiguità u = AB) e inoltre u = A B, 2 Svolto a lezione.
allora i vettori v tali che u, v = v, u sono tutti paralleli e individuano univocamente una direzione, che diremo direzione bisettrice della coppia ordinata di vettori ( u, u ). Scelta a piacere una retta b in questa direzione (nella figura b è una bisettrice delle rette AB e A B ), tracciamo per A la perpendicolare a b e per A la parallela a b. Queste due rette si incontrino in F. Sia P ora il punto che separa il segmento F A nel rapporto λ = A B e sia r la retta per P parallela a b. Si tracci AB per P la parallela r a b. Ora si rifletta AB su σ r (AB) = A B parallelo e concorde a A B. Per la proprietà di separazione di P, abbiamo che P F = λ e quindi il P A centro U dell omotetia η U,λ che manda A A appartiene a r (in altre parole U = r A A ). Ora γ = η U,λ σ r e U è il punto unito cercato.