Matematica Introduzione alla geometria

Matematica Introduzione alla geometria prof. Vincenzo De Felice 2014 Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele. La matematica è sfuggente. Ziodefe 1

2 Tutto per la gloria di Dio

3 1 Assioma di Talete I concetti di punto, retta, piano ed appartenenza sono concetti primitivi, cioè non ulteriormente specificati. Definizione. dette semipiani. Una retta su un piano individua due regioni di piano ASSIOMA 1 (Talete) Tutti i semipiani sono uguali. Definizione. Un punto P su una retta individua su questa due parti dette semirette di estremo P. Definizione. Due rette si dicono incidenti se e solo se sono distinte e hanno un punto in comune. Definizione. Due rette incidenti nel punto P individuano quattro regioni di piano dette angoli di vertice P e di lati le semirette individuate da P. Definizione. Due angoli aventi in comune un lato e il vertice si dicono adiacenti. Definizione. Due rette incidenti individuano due coppie di angoli non adiacenti, dette coppie di angoli opposti al vertice, e quattro coppie di angoli adiacenti detti supplementari. Teorema 1 Gli angoli opposti al vertice sono uguali. ˆα=ˆγ ˆβ=ˆδ α β γ δ Dimostrazione. Dimostriamo che α = γ. onsideriamo i semipiani α + β e β + γ β α γ

4 Sono uguali per l assioma 1, e se da questi due oggetti uguali levo β ottengo oggetti uguali, cioè α = γ. Definizione. Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se formano quattro angoli uguali, detti retti. Definizione. La bisettrice di un angolo è la retta passante per il suo vertice che divide l angolo in due angoli uguali. Esercizio 1 Le bisettrici di due angoli supplementari sono perpendicolari.

5 2 Poligoni ASSIOMA 2 Per due punti distinti passa una e una sola retta. Definizione. Due punti distinti A e su una retta individuano su di essa due semirette e il segmento A di estremi i punti A e. Definizione. Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti uguali. Definizione. L insieme dei segmenti A,,..., KL e dei punti A,,,..., K e L si chiama spezzata. Se i punti A,,,..., K e L stanno su uno stesso piano e il punto L coincide col punto A, la spezzata prende il nome di poligono, i punti A,... prendono il nome di vertici e i segmenti A,... prendono il nome di lati. Poligoni con tre, quattro,..., n lati si chiamano triangoli, quadrilateri,..., n-agoni. Definizione. Gli n vertici di un poligono individuano n angoli, detti interni al poligono. I 2n angoli supplementari a questi si dicono esterni al poligono. Definizione. Un poligono è equilatero se ha tutti i lati uguali, è equiangolo se ha tutti gli angoli interni uguali, è regolare se è equilatero ed equiangolo. Definizione. In un poligono, due vertici sono opposti se non sono estremi di uno stesso lato, due angoli sono opposti se non hanno lati in comune, due lati sono opposti se non hanno vertici in comune, un vertice è opposto ad un lato se non è un suo estremo, un angolo è opposto ad un lato se il suo vertice non è un suo estremo. Definizione. Le bisettrici di un poligono sono le bisettrici dei suoi angoli interni. Una mediana di un poligono è una retta passante per un vertice e per il punto medio di un suo lato opposto. Un altezza di un poligono è una retta passante per un vertice e perpendicolare ad un suo lato opposto. Una diagonale di un poligono è un segmento i cui estremi sono vertici opposti.

6 Esercizio 2 In ogni n-agono, ogni vertice ha n 3 vertici opposti ed n 2 lati opposti. Esercizio 3 In ogni n-agono, ogni lato ha n 3 lati opposti ed n 2 angoli opposti. Esercizio 4 Ogni n-agono ha n bisettrici, n(n 2) mediane, n(n 2) altezze ed n(n 3)/2 diagonali.

7 3 Triangoli ASSIOMA 3 I o riterio di uguaglianza dei triangoli Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l angolo compreso, allora sono uguali. In ogni triangolo isoscele due angoli interni sono ugua- Teorema 2 li. A= Â=Ĉ A Dimostrazione. uguali Si tracci la bisettrice dell angolo compreso tra i due lati A D onsideriamo i triangoli AD e D. A = D A ˆD = D ˆ per ipotesi in comune per costruzione I triangoli sono uguali per il I o riterio, in particolare  = Ĉ.

8 Teorema 3 In ogni triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. ˆδ>Â ˆδ> ˆ δ A Dimostrazione. Dimostriamo che ˆδ > ˆ (ˆδ > Â è simile). Sia M il punto medio di. Sulla retta per A ed M (ass. 2) sia D il punto tale che AM = MD. Si tracci la retta per e D (ass. 2), ottenendo onsideriamo i triangoli AM e MD. M = M AM = MD D M A per costruzione per costruzione A ˆM = ˆMD per il teorema 1 I triangoli sono uguali per il I o riterio, in particolare MĈD = ˆ. Avremo perciò ˆδ > MĈD = ˆ. Teorema 4 II o riterio di uguaglianza dei triangoli Se due triangoli hanno rispettivamente uguali un lato e gli angoli adiacenti ad esso, essi sono uguali. Â=Â A=A Ĉ=Ĉ A=A

9 A A Dimostrazione. Per assurdo. Se i triangoli fossero diversi, avremmo anche gli altri due lati diversi, ad esempio A > A. Potrei perciò trovare su A un punto D tale che AD = A D A A onsideriamo i triangoli AD e A. AD = A A = A Â = Â per costruzione per ipotesi per ipotesi I triangoli sono uguali per il I o riterio, in particolare AĈD = Ĉ. Ma per ipotesi Ĉ = Ĉ, perciò AĈD = Ĉ, assurdo. Teorema 5 III o riterio di uguaglianza dei triangoli Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre lati, essi sono uguali. A=A = A=A A=A A A Dimostrazione. Sul lato A, dalla parte opposta a rispetto ad A, riportiamo il triangolo A, e si tracci il segmento per e.

10 A onsideriamo i triangoli A e : sono isosceli per ipotesi. In particolare A ˆ = A ˆ e ˆ = ˆ. Ma somme di angoli uguali sono angoli uguali, perciò A ˆ + ˆ = A ˆ + ˆ, cioè ˆ = ˆ. Ne segue che i due triangoli hanno uguali due lati e l angolo compreso e per il I o criterio sono uguali. Teorema 6 Se in un triangolo due lati non sono uguali, l angolo opposto al lato maggiore è maggiore dell angolo opposto al lato minore. A A> Ĉ>Â Dimostrazione. Se A >, posso prendere un punto D su A tale che D =. Tracciamo la retta per D e (ass. 2), ottenendo un triangolo isoscele D D A

11 Ĉ > DĈ per costruzione = ˆD per il teorema 2 > Â per il teorema 3 Teorema 7 Se in un triangolo due angoli non sono uguali, il lato opposto all angolo maggiore è maggiore del lato opposto all angolo minore. Ĉ>Â A> A Dimostrazione. Per assurdo. Se fosse A = avremmo per il teorema 2 che Ĉ = Â contraddicendo l ipotesi. Se fosse A < avremmo per il teorema 6 che Ĉ < Â, contraddicendo l ipotesi. Teorema 8 altri due. In ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli A<A+ A<+A <A+A A Dimostrazione. Mostriamo ad esempio che A < A +. Sul prolungamento di A sia D un punto tale che D =, e tracciamo la retta per D e, ottenendo il triangolo isoscele D: D A

12 Abbiamo per il teorema 2 che ˆD = ĈD < AĈD e quindi per il teorema 7 A < AD = A + Esercizio 5 In ogni triangolo isoscele due mediane sono uguali. Esercizio 6 In ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.

13 4 Assioma di Euclide Definizione. In un piano, due rette intersecate da una terza (trasversale) formano otto angoli, che a coppie assumono nomi particolari. Riferendoci alla figura 4 3 1 2 7 8 5 6 gli angoli 1 e 7, 2 e 8 si chiamano alterni interni, gli angoli 4 e 6, 3 e 5 si chiamano alterni esterni, gli angoli 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8 si chiamano corrispondenti, gli angoli 1 e 8, 2 e 7 si chiamano coniugati. Definizione. Due rette sono parallele se e solo se giacciono sullo stesso piano (sono complanari) e non hanno punti in comune. ASSIOMA 4 (Euclide) Data una retta r e un punto P esterno a questa, esiste una e una sola retta s passante per P e parallela ad r. Teorema 9 Due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni uguali se e solo se sono parallele. s r β α Dimostrazione. ( ) Supponiamo che ˆα = ˆβ e dimostriamo che r s. Per assurdo. Se le rette non fossero parallele, si intersecherebbero β r α s

14 formando un triangolo con un angolo esterno uguale ad uno interno non adiacente, contraddicendo il teorema 3. ( ) Supponiamo che r s e dimostriamo che ˆα = ˆβ. Per assurdo. Se i due angoli fossero diversi, potrei supporre ad esempio che ˆα < ˆβ, potendo tagliare dunque ˆβ con una retta t ottenendo un angolo ˆγ = ˆα s t γ r α da cui ne seguirebbe per la prima parte di questo teorema che t r, ottenendo in questo modo due parallele ad r passanti per uno stesso punto, contraddicendo l assioma 4. orollario 10 Due rette tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti uguali se e solo se sono parallele. Dimostrazione. Gli angoli corrispondenti sono uguali se e solo se gli angoli alterni interni sono uguali (teorema 1), e questo se e solo se le rette sono parallele (teorema 9). Teorema 11 In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto. ˆα+ ˆβ+ˆγ=π β α γ Dimostrazione. Tracciamo per un vertice del triangolo la parallela al lato opposto (assioma 4). δ ε β α γ

15 Avremo che ˆδ = ˆα e ˆε = ˆγ perchè alterni interni (teorema 9). Dunque ˆα + ˆβ + ˆγ = ˆδ + ˆβ + ˆε cioè un angolo piatto. Teorema 12 In ogni triangolo, ogni angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti. ˆδ= ˆα+ ˆβ β α δ Dimostrazione. Tracciamo per un vertice del triangolo la parallela al lato opposto (assioma 4). ε β α δ Avremo che ˆδ = ˆε + ˆβ e ˆα = ˆε perchè alterni interni (teorema 9). Dunque ˆδ = ˆε + ˆβ = ˆα + ˆβ. Esercizio 7 Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro (il parallelismo è transitivo). Esercizio 8 Due rette perpendicolari ad una terza sono parallele tra loro.

16 Esercizio 9 Una retta perpendicolare ad una retta r, è perpendicolare anche ad ogni retta parallela ad r. Esercizio 10 Per un punto passa una e una sola perpendicolare ad una retta data. Esercizio 11 Ogni triangolo con due angoli uguali è isoscele. Esercizio 12 Ogni triangolo è isoscele se e solo se ha due altezze uguali. Esercizio 13 In ogni triangolo isoscele due bisettrici sono uguali. Esercizio 14 La somma degli angoli interni di ogni quadrilatero è uguale ad un angolo giro. Esercizio 15 La somma degli angoli interni di ogni poligono ad n lati è uguale a (n 2)π.

17 5 Quadrilateri Ricordiamo le seguenti definizioni: Definizione. Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. Definizione. Un quadrilatero equilatero si chiama anche rombo, un quadrilatero equiangolo si chiama anche rettangolo, un quadrilatero regolare si chiama anche quadrato. Definizione. uguali. Un deltoide è un quadrilatero con due coppie di lati Teorema 13 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha i lati opposti uguali. A D AD A=D =AD A D Dimostrazione. Tracciamo la diagonale D A D ( ) onsideriamo i triangoli AD e D. D in comune A ˆD = ˆD per il teorema 9 A ˆD = D ˆ per il teorema 9

18 I triangoli sono uguali per il II o riterio, in particolare A = D e = AD. ( ) onsideriamo i triangoli AD e D. D A = D AD = in comune per ipotesi per ipotesi I triangoli sono uguali per il III o riterio, in particolare A ˆD = ˆD e A ˆD = D ˆ da cui seguono, rispettivamente, A D e AD. Teorema 14 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha gli angoli opposti uguali. A D AD Â=Ĉ ˆ= ˆD A D Dimostrazione. Dimostriamo ad esempio che β = δ. Per i teoremi 9 e 2, β = ε = ε = δ. β ε α ε δ γ ( ) Dimostriamo ad esempio che AD. Per l esercizio 14 si ha ˆα + ˆβ + ˆγ + ˆδ = 2π e per ipotesi abbiamo ˆα = ˆγ e ˆβ = ˆδ. Ne segue che ˆα + ˆβ = π. Ma abbiamo anche che ˆα + ˆε = π, da cui ˆβ = ˆε e per il teorema 9 si ha AD.

19 Esercizio 16 Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le diagonali si dividono scambievolmente a metà. Esercizio 17 Ogni rombo e ogni rettangolo è un parallelogramma. Esercizio 18 Ogni rombo ha le diagonali perpendicolari. Esercizio 19 In ogni rombo le bisettrici sono le diagonali. Esercizio 20 Ogni rettangolo ha le diagonali uguali. Esercizio 21 Ogni deltoide ha due angoli interni uguali. Esercizio 22 Ogni deltoide ha le diagonali perpendicolari ed una di esse è bisettrice di due angoli opposti e divide a metà l altra.

20 6 La circonferenza Definizione. Un luogo geometrico è l insieme di tutti e soli i punti che godono di una particolare proprietà. Definizione. Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro. Ogni segmento avente come estremi il centro di una circonferenza e un punto di questa prende il nome di raggio. Una corda di una circonferenza è un segmento i cui estremi appartengono a questa. Un diametro è una corda passante per il centro. Definizione. Un triangolo è inscritto in una circonferenza se i suoi vertici appartengono a questa. Un triangolo è inscritto in una semicirconferenza se inscritto in questa e se un lato è anche diametro. Ogni triangolo inscritto in una semicircon- Teorema 15 (Talete) ferenza è rettangolo. O A ˆ=π/2 A O Dimostrazione. Tracciamo il raggio di cui un estremo è il vertice ˆ. A O

21 I due triangoli AO e O sono isosceli perchè AO, O e O sono raggi della stessa circonferenza. In particolare  = A ˆO e Ĉ = O ˆ (teorema 2). Ne segue che ˆ = A ˆO + O ˆ =  + Ĉ. Di qui,  + ˆ + Ĉ = ˆ + ˆ ma la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (teorema 11), da cui ˆ è retto. Esercizio 23 In ogni circonferenza, ogni sua corda è minore o uguale di ogni suo diametro.