APPUNTI DI ALGEBRA B

APPUNTI DI ALGEBRA B Prof. Gloria Rinaldi dal testo Algebra autori P.Quattrocchi, G.Rinaldi, ed. Zanichelli Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia, Via Amendola 2 Padiglione Morselli, I-42100 Reggio Emilia, Italy. email: gloria.rinaldi@unimore.it tel.0522522024 1

1 Anelli e Corpi: generalità Definizione 1.1 Chiamiamo anello (A, +, ) ogni insieme non vuoto A con due operazioni binarie + e (addizione e moltiplicazione) tali che: (1) (A, +) è un gruppo commutativo (con elemento neutro 0); (2) a (b c) = (a b) c per ogni a, b, c A; (3) a (b + c) = a b + a c e (b + c) a = b a + c a per ogni a, b, c A. Spesso indicheremo con A l anello (A, +, ) e scriveremo ab al posto di a b per indicare il prodotto di a e b; l elemento neutro 0 dell addizione si chiamerà lo zero dell anello. Definizione 1.2 L anello (A, +, ) è detto unitario se esiste 1 A {0} tale che 1 a = a 1 = a per ogni a A; è detto commutativo se è a b = b a per ogni a, b A. È immediato che ogni anello unitario ammette un solo elemento neutro rispetto alla moltiplicazione (infatti 1 1 = 1 e 1 1 = 1 = 1 = 1 ); tale elemento si indica con 1 e si chiama l unità dell anello. Esempi: l insieme Z degli interi (rispettivamente l insieme Q dei razionali, l insieme R dei reali) con le ordinarie operazioni di addizione e di moltiplicazione è un anello commutativo, unitario. L insieme 2Z degli interi pari, con le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione, è un anello commutativo ma non unitario. L insieme delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi numeri razionali (rispettivamente reali) con le seguenti operazioni ( a b c d ) ( a1 b + 1 c 1 d 1 ) ( a + a1 b + b = 1 c + c 1 d + d 1 ) ( ) ( ) ( ) a b a1 b 1 aa1 + bc = 1 ab 1 + bd 1 c d c 1 d 1 ca 1 + dc 1 cb 1 + dd 1 Più in generale l insieme delle matrici quadrate di ordine n, n 2, ad elementi in un anello A, con le seguenti operazioni: 2

a 11... a 1n......... a n1... a nn + b 11... b 1n......... b n1... b nn con h ij = a ij + b ij per ogni i, j {1,..., n}. a 11... a 1n......... a n1... a nn b 11... b 1n......... b n1... b nn = = h 11... h 1n......... h n1... h nn k 11... k 1n......... k n1... k nn con k ij = n t=1 a itb tj per ogni i, j {1,..., n}, è un anello, abitualmente indicato con M n (A). L insieme Z n delle classi resto modulo n (n 2) con le ordinarie operazioni fra classi: [h]+[k] = [h+k] e [h] [k] = [hk] è un anello commutativo unitario. L ultimo è un esempio di anello finito, cioè formato da un numero finito di elementi. Proposizione 1.1 Se A è un anello, per ogni a, b, c A si ha: a0 = 0a = 0 a( b) = ( a)b = (ab) ( a)( b) = ab Dim. Si ha ab = a(b + 0) = ab + a0 e quindi a0 = 0; analogamente ba = (b + 0)a = ba + 0a e dunque 0a = 0, cioè vale la prima condizione. Ancora: 0 = a0 = a(b + ( b)) = ab + a( b) cioè a( b) = (ab); analogamente, ( a)b = (ab) e dunque vale la seconda. Infine: ( a)( b) = [( a)b] = [ (ab)] = ab, cioè vale la terza condizione. Se A è unitario, dalla precedente proposizione segue ( 1)( 1) = 1 e ( 1)a = a per ogni a A. Definizione 1.3 Sia A un anello; un elemento a A, a 0 si dice un divisore destro, rispettivamente sinistro, dello zero se esiste b A, b 0, tale che ba = 0, rispettivamente ab = 0. Si dice che a A, a 0 è un divisore dello zero se è un divisore sinistro oppure un divisore destro dello zero. 3

Ovviamente se A è un anello commutativo ogni divisore destro dello zero è anche un divisore sinistro dello zero e viceversa. Esempi: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) sono anelli privi di divisori dello zero. L anello delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in un anello unitario ha divisori dello zero; per esempio risultano essere divisori dello zero gli elementi a = ( 1 0 0 0 ) e b = ( 0 0 1 1 ). Si ha infatti ab = ( 0 0 0 0 Anche l anello Z n delle classi resto modulo n (n 2) ha divisori dello zero quando n non è un numero primo. Infatti, se n non è primo, sia n = rs con 1 < r, s < n allora [r], [s] Z n, [r][s] = [0] e [r] [0], [s] [0]. Dato invece un numero primo p l anello Z p è privo di divisori dello zero. Infatti, se [r][s] = [0] allora rs è divisibile per p e quindi, essendo p primo, p divide r oppure p divide s, cioè [r] = 0 oppure [s] = 0. ). Definizione 1.4 Si chiama dominio di integrità ogni anello A {0} commutativo e privo di divisori dello zero. Esempi: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) sono domini di integrità; Z p, con p primo, è un dominio di integrità. Definizione 1.5 Sia A un anello unitario. Un elemento a A, a 0, si dice invertibile se esiste b A tale che ab = ba = 1. L elemento b verrà detto inverso di a, facilmenete si verifica che esso è unico poiché se ab = ba = 1 e ac = ca = 1 con b, c A {0} allora c = c(ab) = (ca)b = b. L elemento inverso di A sarà indicato con a 1. Definizione 1.6 Chiamiamo corpo ogni anello in cui gli elementi diversi da zero formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione; se tale gruppo risulta abeliano, il corpo sarà detto corpo commutativo o campo. Dalla definizione segue subito che ogni corpo è un anello unitario privo di divisori dello zero ma non viceversa (infatti (Z, +, ) è un anello unitario privo di divisori dello zero ma non è un corpo). Ogni campo è un dominio di integrità ma non viceversa (infatti (Z, +, ) è un dominio di integrità ma non 4

è un campo). Infine un anello unitario è un corpo se e solo se ogni elemento non nullo ammette inverso (si veda l esercizio 1.1). Esempi: (Q, +, ), (R, +, ) sono campi. Anche Z p, con p primo, è un campo. Infatti Z p è chiuso in prodotto essendo Z p privo di divisori dello zero, inoltre (Z p, ) è unitario e commutativo, ciò basta a dimotrare che (Z p, ) è un gruppo abeliano. Esercizi e complementi Negli esercizi seguenti considereremo solo anelli con più di un elemento (e quindi che non si riducono a {0}). Esercizio 1.1 Dimostrare che in un anello unitario un elemento invertibile non è né un divisore destro né un divisore sinistro dello zero. Esercizio 1.2 Sia A un anello unitario finito. Dimostrare che ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro dello zero e viceversa. [Suggerimento: sia a A, a 0 un divisore destro dello zero e sia b A {0} tale che ba = 0, per assurdo si supponga che a non sia un divisore sinistro dello zero e si considerino tutti i prodotti ac al variare di c A {0}... ]. Esercizio 1.3 Sia A un anello unitario; sia a A, a 0. Se esistono b, c A {0} tali che ab = ca = 1 allora b = c, cioè a è invertibile. Esercizio 1.4 Si provi che in un anello finito A unitario gli elementi diversi da zero non invertibili sono tutti e soli i divisori dello zero. [Suggerimento: sia x A, x 0 non invertibile se x non fosse un divisore dello zero per ogni a, b A, a b si avrebbe xa xb e ax bx perché... e dunque {xa a A} = {ax a A} = A...]. Si osservi che quanto affermato nell esercizio 1.4 non è più valido se l anello unitario non è finito. Si pensi ad esempio all anello (Z, +, ). Esercizio 1.5 Dimostrare che i divisori dello zero dell anello delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in un campo sono tutte e sole le matrici aventi il determinante uguale a zero. [Suggerimento: per quanto dimostrato nell esercizio 1.1 i divisori dello zero sono da ricercare tra le matrici con determinante zero. Sia O 2 la matrice nulla e sia A una matrice con il determinante uguale a 0, è possibile trovare B tale che AB = O 2...]. 5

Esercizio 1.6 Dimostrare che in M 2 (K) (K campo) ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro dello zero e viceversa. ( ) a1 0 Esercizio 1.7 Sia A = { a a 2 a 1, a 2, a 3 Z}. Verificare che A con le 3 usuali operazioni definite in M 2 (Z) è un anello dotato di unità. Si determinino gli elementi invertibili e i divisori dello zero. Si verifichi inoltre che ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro e viceversa. Anche l anello A del precedente esercizio 1.7 possiede elementi non invertibili che non sono divisori dello zero: precisamente tutte le matrici con determinante diverso da 0, 1, 1. ( ) a b Esercizio 1.8 Sia A = { a, b R} verificare che A, con le usuali 0 0 operazioni definite in M 2 (R), è un anello privo di unità. Esercizio ( ) 1.9 Sia k un numero reale fissato; sia A k l anello così definito: A k = x ky { x, y R}, con le usuali operazioni definite in M y x 2 (R). Si determinino i valori di k per i quali A k è un campo. ( ) a 5b Esercizio 1.10 Si verifichi che l insieme delle matrici del tipo con b 3b + a a, b R è un campo rispetto alle usuali operazioni definite in M 2 (R). ( ) 3a 3b Esercizio 1.11 Sia H = { a, b, c Z 0 3c 6 }. Dimostrare che H è un anello con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 6 ). Quanti e quali sono gli elementi di H? H è unitario? È commutativo? Quali elementi di H sono divisori dello zero? Esercizio 1.12 Sia A un anello unitario tale che a 2 = a per ogni a A. Dimostrare che a = a per ogni a A e dimostrare che A è commutativo. [Suggerimento: comunque presi a e b A si ha (a + b) 2 = a + b, dunque ab = ba...]. ( ) a b Esercizio 1.13 Sia U = { a, b Z b a 5 }. Provare che U con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 5 ) è un anello commutativo unitario. Determinare gli elementi invertibili e i divisori dello zero. Quanti sono gli elementi invertibili? Quanti i divisori dello zero? 6

Esercizio 1.14 Sia A un anello unitario. Sia a A, con a 0, 1 tale che a 2 = a. Dimostrare che a è un divisore dello zero. Un elemento a 0 di un anello A si dice nilpotente se esiste un intero n > 1 tale che a n = 0. Esercizio 1.15 Dimostrare che un elemento nilpotente di un anello A è un divisore dello zero. ( ) x y Esercizio 1.16 Sia R = { x, y R}. Dimostrare che R con le usuali y x operazioni definite in M 2 (R) è un anello commutativo unitario. Individuare gli elementi invertibili e i divisori dello zero. ( ) 2a 3b Esercizio 1.17 Sia R = { a, b, c Z 2c 0 6 } verificare che R con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 6 ) è un anello. Verificare che R non è unitario e non è commutativo, trovare la cardinalità e i divisori dello zero di R. ( ) ( ) 0 0 0 a Esercizio 1.18 Siano M = { a, b K} e N = { a, c K}. a b 0 c Dimostrare che M ed N con le usuali operazioni definite in M 2 (K) sono anelli. Verificare che ogni elemento non nullo di M (rispettivamente di N) è divisore destro (rispettivamente sinistro) dello zero, mentre non tutti gli elementi non nulli di M (rispettivamente di N) sono divisori sinistri (rispettivamente destri) dello zero. M ed N forniscono esempi di anelli in cui l insieme dei divisori destri non coincide con l insieme dei divisori sinistri. Dati due anelli (A, +, ) e (B, +, ) si dice anello somma diretta di A e B l insieme A B su cui siano definite le seguenti operazioni: (a, b) (a, b ) = (a + a, b + b ) (a, b) (a, b ) = (a a, b b ) dove abbiamo indicato con gli stessi simboli + e l addizione e la moltiplicazione negli anelli A e B. È facile verificare che (A B,, ) è un anello. Esercizio 1.19 Siano M ed N gli anelli considerati nel precedente esercizio 1.18 e sia K = Z 3. Considerato l anello somma diretta M N individuarne i divisori dello zero distinguendo tra divisori destri e divisori sinistri. Esercizio 1.20 Sia A l anello somma diretta di Z 5 e Z 6. Determinare i divisori dello zero di A e gli elementi invertibili. Esercizio 1.21 Verificare che l anello somma diretta di due campi non è un campo, anzi non è neppure un dominio di integrità. 7

2 L anello dei polinomi in una indeterminata Sia A un anello commutativo unitario. Definizione 2.1 Chiamiamo polinomio sopra A (o a coefficienti in A) ogni successione (a 0, a 1,..., a n,... ) di elementi di A definitivamente nulla, cioè tale che da un certo indice in poi tutti i suoi termini sono uguali a zero. In base alla precedente definizione, allora, la successione costante (1, 1,..., 1,... ) non è un polinomio, mentre è un polinomio la successione (0, 0,..., 0,... ) : polinomio zero o polinomio nullo. Definizione 2.2 Sia f = (a 0, a 1,..., a n,... ) un polinomio non nullo; diremo che f è di grado n se è a n 0 e a i = 0 per ogni i > n; in tal caso diremo coefficienti di f gli elementi a 0, a 1,..., a n e chiameremo a n coefficiente principale del polinomio f. Il polinomio f si dice monico se il suo coefficiente principale è 1. Sia S l insieme dei polinomi sopra A. Siano f, g S; f = (a 0, a 1,..., a n,... ) e g = (b 0, b 1,..., b n,... ); definiamo: f + g = (a 0 + b 0, a 1 + b 1,..., a n + b n,... ), ossia il termine di indice n della successione f + g è a n + b n. fg = (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,... ), ossia il termine di indice n della successione fg è a 0 b n + a 1 b n 1 + + a i b n i + + a n 1 b 1 + a n b 0. Dalla definizione segue subito che fg e f +g sono successioni definitivamente nulle di elementi di A e pertanto sono polinomi sopra A. Precisamente, se f è di grado n e g è di grado m, si ha: f + g di grado = max{n, m}, se n m f + g = 0 oppure f + g di grado n se n = m. fg = 0 oppure fg di grado n + m e risulta fg di grado n + m se e solo se è a n b m 0 (cosa che è assicurata quando A è un dominio di integrità). Dunque, in S risultano definite due operazioni una di addizione ed una di moltiplicazione e si ha: Proposizione 2.1 (S, +, ) è un anello commutativo e unitario. 8

Dim. È una banale verifica che discende immediatamente dalla definizione di + e e dal fatto che A è un anello commutativo unitario; in particolare osserviamo che lo zero di (S, +, ) è il polinomio 0 = (0, 0,..., 0,... ), cioè il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono nulli; che l opposto di f = (a 0, a 1,..., a n,... ) è il polinomio f = ( a 0, a 1,..., a n,... ) e, infine, che l unità è il polinomio 1 = (1, 0, 0,..., 0,... ), cioè il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono uguali a zero eccetto il primo che è uguale a 1. Poniamo x = (0, 1, 0,..., 0,... ); si ha x 2 = x x = (0, 0, 1, 0,..., 0,... ), x 3 = (0, 0, 0, 1, 0,..., 0,... )... in generale per ogni m 2 si ha: x m = (0,..., 0, 1, 0,... ), dove 1 occupa il posto (m+1)-esimo. Cioè, per ogni m 2, x m è il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono uguali a zero tranne il termine di indice m, che è uguale ad 1. Poniamo inoltre a = (a, 0,..., 0,... ) per ogni a A. Con queste posizioni, se f è un polinomio di grado n si ha f = (a 0, a 1,..., a n, 0,... ) = (a 0, 0,..., 0,... ) + (0, a 1, 0,..., 0,... ) + + + +(0,..., 0, a n, 0,... ) = (a 0, 0,..., 0,... ) + (a 1, 0,..., 0,... )(0, 1, 0,... )+ +(a 2, 0,... )(0, 0, 1, 0,... ) + + (a n, 0,... )(0,..., 0, 1, 0,... ) = a 0 + a 1 x +... a n x n. Diremo allora che x è una indeterminata e che il polinomio f = (a 0, a 1,..., a n,... ) di grado n si può esprimere come polinomio nella indeterminata x nella forma f = a 0 + a 1 x + + a n x n (a i A i ; a n 0). Conseguentemente, l anello (S, +, ) sarà chiamato anello dei polinomi in x (o nell indeterminata x) a coefficienti in A (o sopra A); l elemento f sarà indicato preferibilmente con f(x) e l anello S con A[x]. Inoltre deg f(x) indicherà il grado del polinomio f(x). Proposizione 2.2 Sia A un anello commutativo unitario. A[x] è un dominio di integrità se e solo se A è privo di divisori dello zero. Dim. È una banale verifica. Esempi: Z[x], Q[x], R[x] sono domini di integrità; Z n [x] è un dominio di integrità se e solo se n è primo (la verica è lasciata al lettore). Proposizione 2.3 Sia K[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti sopra il campo K. Comunque presi f(x), g(x) K[x] con g(x) 0 esistono e sono 9

univocamente determinati q(x), r(x) K[x] tali che f(x) = g(x)q(x) + r(x) dove r(x) è il polinomio nullo oppure ha grado minore del grado di g(x). Dim. Proviamo prima l esistenza di un quoziente q(x) e di un resto r(x) e poi la loro unicità. Sia g(x) di grado m. Se f(x) è il polinomio nullo, f(x) = 0, i polinomi q(x) = 0 e r(x) = 0 soddisfano alla tesi. Sia f(x) 0 e sia n il suo grado, deg f(x) = n. Sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m. Procediamo per induzione su n. Se n = 0 e m > 0 si ha f(x) = g(x) 0 + f(x); se è n = 0 e m = 0 si ha f(x) = a 0 0 g(x) = b 0 0 e f(x) = g(x)b 1 0 a 0 + 0. Sia ora n 1 e proviamo che se per ogni polinomio di grado < n esistono un quoziente ed un resto lo stesso accade per ogni polinomio di grado n. Se è n < m si ha f(x) = g(x) 0+f(x) e il risultato è vero (senza necessità di sfruttare l ipotesi di induzione). Se è n m, sia h(x) = f(x) a n b 1 m x n m g(x). Se h(x) = 0, f(x) = q(x)g(x) con q(x) = a n b 1 m x n m. Se h(x) 0 = deg h(x) < n e quindi esistono t(x), r(x) K[x] tali che h(x) = t(x)g(x) + r(x) con r(x) = 0 oppure deg r(x) < m; dunque f(x) = h(x) + a n b 1 m x n m g(x) = g(x)(t(x) + a n b 1 m x n m ) + r(x). È così provata l esistenza di q(x), r(x) con r(x) = 0 oppure deg r(x) < deg g(x) tali che f(x) = g(x)q(x)+r(x). Proviamo ora la loro unicità; supponiamo che q(x), r(x) siano polinomi di K[x] con r(x) = 0 oppure deg r(x) < deg g(x) tali che f(x) = g(x) q(x) + r(x). Confrontando le due uguaglianze si ottiene g(x)(q(x) q(x)) = r(x) r(x) e quindi r(x) = r(x) e q(x) = q(x). Sia A un anello commutativo unitario e sia S = A[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti in A; poiché S è a sua volta un anello commutativo unitario è possibile definire l anello dei polinomi nell indeterminata y a coefficienti in S, S[y], il quale risulta, a sua volta, un anello commutativo unitario. S[y], anche indicato con A[x, y], verrà detto anello dei polinomi nelle indeterminate x e y a coefficienti nell anello A (o in A). Tale procedimento può essere iterato più volte ottenendo anelli di polinomi a più indeterminate. 10

3 Il corpo dei quaternioni Finora si sono incontrati esempi di corpi commutativi; vogliamo ora fornire un esempio di corpo non commutativo. Sia H = {(a 1, a 2, a 3, a 4 ) a i R} l insieme delle quaterne ordinate di numeri reali. Definiamo in H le seguenti operazioni: (a 1, a 2, a 3, a 4 ) + (b 1, b 2, b 3, b 4 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3, a 4 + b 4 ) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) (b 1, b 2, b 3, b 4 ) = (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4, a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 + a 4 b 3, a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 a 2 b 4, a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 a 3 b 2 ). Gli elementi di H si chiamano quaternioni (reali) e si può provare che (H, +, ) è un corpo non commutativo. È più agevole esprimere i quaternioni in forma polinomiale vale a dire scrivendo a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k al posto di (a 1, a 2, a 3, a 4 ); è così più agevole operare su essi; i quaternioni si sommano e si moltiplicano come se fossero polinomi in i, j, k a coefficienti reali, tenendo conto delle regole di calcolo a seguito riportate: i 2 = j 2 = k 2 = 1; ij = k; ji = k; jk = i; kj = i; ki = j; ik = j. Osserviamo che gli elementi 1, 1, i, i, j, j, k, k formano un gruppo non abeliano di ordine 8 rispetto alla moltiplicazione fra quaternioni. Tale gruppo è noto anche come gruppo dei quaternioni. Utilizzando la scrittura polinomiale è facile provare che i quaternioni formano un corpo; in particolare se è b = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k 0, posto h = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 si ha b 1 = a 1 h a 2 h i a 3 h j a 4 h k. Chiamiamo coniugato del quaternione b = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k il quaternione b = a 1 a 2 i a 3 j a 4 k, si ha b b = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4; il numero reale N(b) = b b si chiama norma del quaternione b (e si ha N(b) = 0 se e solo se è b = 0); dunque, per ogni quaternione b 0, si ha b 1 = N(b) b. 1 Il corpo dei quaternioni non è commutativo (infatti ij ji). 4 Omomorfismi. Ideali Definizione 4.1 Siano (A, +, ) e (A, +, ) due anelli e sia f : A A un applicazione di A in A ; diremo che f è un omomorfismo di A in A se per ogni a, b A si ha f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b). 11

L omomorfismo f si dirà iniettivo (rispettivamente suriettivo) se l applicazione f risulterà iniettiva (rispettivamente suriettiva). Se un omomorfismo è iniettivo e suriettivo si dirà isomorfismo ed in tal caso gli anelli A e A si diranno isomorfi. Un isomorfismo di un anello A in sé si dirà automorfismo. Dalla definizione segue subito che un omomorfismo dell anello A nell anello A è in particolare un omomorfismo del gruppo (A, +) nel gruppo (A, +) e pertanto si ha f(0) = 0 (avendo indicato con 0 lo zero di A ) e f( a) = f(a) per ogni a A. Se f(x) = 0, per ogni x A, f si chiamerà omomorfismo nullo. Esempi: sia φ : Z Z n, φ(m) = [m] essendo [m] la classe resto modulo n cui appartiene l intero m; φ è un omomorfismo suriettivo dell anello Z sull anello Z n. Sia R[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti reali; sia φ : R[x] R così definito: φ(f(x)) = f(0); φ è un omomorfismo suriettivo. Sia φ : Z Z 6 così definito: φ(n) = [0] se n è pari φ(n) = [3] se n è dispari. φ è un omomorfismo (non suriettivo). L ultimo esempio presenta due anelli (commutativi) unitari ed un omomorfismo che trasforma l unità del primo anello in un elemento diverso dall unità del secondo anello. Questo è stato possibile perché l omomorfismo considerato non è suriettivo. Si ha infatti: Proposizione 4.1 Siano A, A anelli unitari e sia f un omomorfismo suriettivo di A in A ; si ha f(1) = 1. (Avendo indicato con 1 l unità di A ). Dim. Sia x A e f(x) = 1 ; si ha 1 = f(x) = f(1 x) = f(1)f(x) = f(1) 1 = = f(1). Vale anche la Proposizione 4.2 Siano A e A anelli unitari, A privo di divisori dello zero. Se f è un omomorfismo di A in A allora f è l omomorfismo nullo oppure è f(1) = 1. Dim. Se esiste x A tale che f(x) 0 si ha f(x) = f(x 1) = f(x)f(1) cioè f(x) 1 f(x)f(1) = 0 e dunque f(x)(1 f(1)) = 0 da cui si trae f(1) = 1. Se A è un anello esistono sempre almeno gli omomorfismi banali di A in A : l omomorfismo nullo e quello identico (f(x) = x per ogni x A). 12

Dalla proposizione 4.2 segue subito che (Z, +, ) e (Q, +, ) non ammettono altri omomorfismi in sé oltre quelli banali. Definizione 4.2 Sia A un anello e sia I un sottoinsieme non vuoto di A; diremo che I è un ideale sinistro (rispettivamente destro, bilatere) di A se si ha: per ogni a, b I è a b I; per ogni a I e ogni x A è xa I (rispettivamente ax I, ax I e xa I). Dalla definizione segue subito che ogni ideale è un sottogruppo del gruppo (A, +); inoltre se A è commutativo ogni ideale è bilatere. In ogni anello A esistono almeno gli ideali banali: < 0 >= {0} e A. Proposizione 4.3 Ogni corpo ha solo ideali banali. Dim. Sia I un ideale sinistro (rispettivamente destro) del corpo K; supponiamo che sia I < 0 > e sia a I, a 0; si ha a 1 K e a 1 a I (rispettivamente aa 1 I) dunque 1 I e di conseguenza, per ogni x K x = x 1 I (rispettivamente x = 1 x I) cioè I = K. Se F è una famiglia non vuota di ideali sinistri (rispettivamente destri, bilateri) di A, banalmente l intersezione degli ideali apparteneneti ad F è ancora un ideale sinistro (rispettivamente destro, bilatere) di A. Questa osservazione rende lecita la seguente Definizione 4.3 Sia A un anello commutativo e sia a A (rispettivamente E un sottoinsieme di A); chiamiamo ideale generato da a (rispettivamente da E) e lo indichiamo con < a > (rispettivamente con < E >) l intersezione degli ideali di A ciascuno dei quali contiene l elemento a (rispettivamente l insieme E). Se E = {a 1,..., a n } è un insieme finito l ideale generato da E sarà indicato anche con < a 1,..., a n >. Proposizione 4.4 Sia A un anello commutativo e a A; si ha: < a >= {xa+na x A, n Z}, se A è unitario si ha < a >= {xa x A}. 13

Dim. Banale. Dalla precedente proposizione si deduce che se l anello commutativo A non è unitario, preso a A l insieme {xa x A} non sempre contiene tutti gli elementi di < a >. Per chiarire meglio questo fatto si consideri l anello (2Z, +, ), allora 6 < 6 > ma {x6 x 2Z} = 12Z e dunque non contiene 6. Proposizione 4.5 Sia A un anello commutativo unitario, I un suo ideale e a A; l ideale generato dall insieme I {a} è < a, I >= {ax + i x A, i I}. Dim. Banale. Definizione 4.4 Sia A un anello commutativo unitario; un ideale di A si dice principale se è generato da un elemento (I =< a >); se ogni ideale di A è principale l anello A è detto ad ideali principali. Esempi: gli ideali banali di ogni anello commutativo unitario sono principali. (Z, +, ) è un anello ad ideali principali. (Si veda l esercizio 4.13). L anello K[x] dei polinomi in x a coefficienti in un campo K è ad ideali principali. (Si veda l esercizio 4.14). Proposizione 4.6 Un anello commutativo unitario è un campo se e solo se è privo di ideali non banali. Dim. Dalla proposizione 4.3 discende subito che ogni campo ha solo ideali banali. Viceversa, supponiamo che A sia un anello commutativo unitario privo di ideali non banali e sia a A, a 0; l ideale < a > contiene almeno l elemento a e pertanto si ha < a >= A cioè A = {xa x A}; poiché 1 A esiste x A tale che 1 = x a cioè l elemento a A, a 0, ammette inverso e pertanto A è un campo. Osserviamo che l ipotesi che A sia unitario è essenziale per la validità della precedente proposizione; infatti sia A = {0, a} e siano definite in A le seguenti operazioni: 0 + 0 = 0 0 + a = a + 0 = a a + a = 0 14

0 0 = a 0 = 0 a = a a = 0 ebbene, (A, +, ) è un anello commutativo privo di ideali non banali ma (A, +, ) non è un campo. Definizione 4.5 Sia (A, +, ) un anello (rispettivamente corpo, campo) e sia B un sottoinsieme non vuoto di A; diremo che B è un sottoanello (rispettivamente sottocorpo, sottocampo) di (A, +, ) se (B, +, ) è un anello (rispettivamente corpo, campo) rispetto alle stesse operazioni +, definite in A. Si hanno subito le seguenti proposizioni: Proposizione 4.7 Sia A un anello e B un suo sottoinsieme non vuoto; B è un sottoanello di A se e solo se a b B e a b B per ogni a, b B. Proposizione 4.8 Sia K un corpo (rispettivamente un campo) e sia B un sottoinsieme di K contenente almeno due elementi; B è un sottocorpo (rispettivamente sottocampo) se e solo se a b B per ogni a, b B e a b 1 B per ogni a, b B con b 0. Esempi: ogni ideale di un anello A è anche un sottoanello di A. (Q, +, ) è un sottocampo del campo (R, +, ). (Q, +, ) non ha sottocampi diversi da Q stesso. (si veda l esercizio 4.22). Nella teoria degli anelli gli ideali bilateri giocano un ruolo analogo a quello giocato dai sottogruppi normali nell ambito della teoria dei gruppi; alcune delle seguenti proposizioni metteranno in risalto questa analogia. Definizione 4.6 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo di A in A ; chiamiamo nucleo di f l insieme degli elementi di A che sono trasformati da f nello zero di A : Ker f = {x A f(x) = 0 }. È banale verificare la seguente Proposizione 4.9 Se A, A sono anelli ed f è un omomorfismo di A in A, Ker f è un ideale bilatere di A e si ha Ker f =< 0 > se e solo se f è iniettivo. Proposizione 4.10 Sia A un anello e I un suo ideale bilatere. Sia A/I = {a+i a A}. La relazione che associa ad ogni coppia (a+i, b+i) di elementi di A/I l elemento ab + I è un operazione in A/I. 15

Dim. Basta provare che si tratta di un applicazione di A/I A/I in A/I. Cioè basta provare che se è a+i = a +I e b+i = b +I si ha a b +I = ab+i. Ebbene a + I = a + I = a = a + i con i I, b + I = b + I = b = b + j con j I; dunque a b = (a + i)(b + j) = ab + aj + ib + ij ab + I (poiché aj, ib, ij I) e dunque a b + I = ab + I (poiché le due classi laterali a b + I e ab + I del sottogruppo I del gruppo (A, +) hanno in comune l elemento a b ). Proposizione 4.11 Sia A un anello e sia I un suo ideale bilatere. Sia A/I = {a + I a A}; A/I è un anello rispetto alle seguenti operazioni: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I. Inoltre, se A è commutativo anche A/I è commutativo; se A è unitario e I A anche A/I è unitario. Dim. (A/I, +) è un gruppo abeliano perché quoziente di un gruppo abeliano. Inoltre, la proposizione 4.10 ci assicura che l operazione di moltiplicazione è ben definita (non dipende dai rappresentanti e quindi è un operazione fra classi). Tutte le rimanenti verifiche sono banali. In particolare, se A ammette unità 1 e se I A, anche A/I è unitario e 1 + I è la sua unità. Definizione 4.7 Sia A un anello ed I un suo ideale bilatere; l anello A/I (di cui alla precedente proposizione) è detto anello quoziente. Proposizione 4.12 Sia A un anello e I un suo ideale bilatere; l applicazione f : A A/I definita da f(a) = a + I è un omomorfismo (detto omomorfismo naturale) suriettivo di A su A/I e si ha Ker f = I. Dim. Banalmente, si ha f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b); inoltre f è suriettiva e x Ker f f(x) = I x + I = I x I cioè Ker f = I. Proposizione 4.13 Siano A, A anelli, f un omomorfismo suriettivo di A su A. Si ha A isomorfo ad A/Ker f. Dim. Poniamo I = Ker f e definiamo φ : A/I A, φ(a + I) = f(a). La φ è una applicazione: a + I = b + I = a b I = f(a b) = 0 = f(a) f(b) = 0 = f(a) = f(b). Banalmente, poi, φ è suriettiva e φ((a+i)+(b+i)) = φ(a+i)+φ(b+i) φ((a+i) (b+i)) = φ(a+i) φ(b+i); 16

pertanto φ è un omomorfismo. Infine, φ(a+i) = φ(b+i) = f(a) = f(b) = f(a b) = 0 = a b I = a + I = b + I e pertanto φ è iniettiva e dunque è un isomorfismo di A/I su A. Le due proposizioni precedenti ci permettono di affermare che le immagini omomorfe di un anello A sono tutte e sole i quozienti di A. Esempi: i quozienti di (Z, +, ) rispetto agli ideali banali sono Z/Z isomorfo a < 0 > e Z/ < 0 > isomorfo a Z; gli altri quozienti sono gli anelli Z n delle classi resto modulo n, n 2. (Infatti, si veda anche l esercizio 4.13, ogni sottogruppo di (Z, +) è un ideale bilatere dell anello (Z, +, )). Definizione 4.8 Sia A un anello commutativo e I un suo ideale; I è detto massimale se I A e non esistono altri ideali, oltre A, che contengono propriamente I. Quindi, un ideale I di un anello commutativo A è massimale quando non coincide con A e ogni qualvolta esiste un ideale J di A tale che I J A si ha I = J oppure J = A. Esempi: gli ideali massimali di Z sono tutti e soli quelli generati da numeri primi. Si veda l esercizio 4.13. In Q[x] gli ideali < x >, < 2x + 1 >, < x 2 + 1 > sono massimali mentre < x 2 >, < x 2 1 > non sono massimali. Si veda l esercizio 4.18. Proposizione 4.14 Sia A un anello commutativo unitario e sia I un suo ideale. Si ha I massimale se e solo se A/I è un campo. Dim. Sia I massimale; proviamo che A/I è un campo. Sia a + I I; allora si ha < a, I >= A e quindi 1 < a, I > cioè (in base alla proposizione 4.5) esistono i I e x A tali che a x + i = 1 e quindi a x = 1 i 1 + I cioè (a+i)( x+i) = 1+I; ciò significa che ogni elemento a+i I ammette inverso in A/I e quindi A/I è un campo. Viceversa, sia A/I un campo; proviamo che I è massimale. Da A/I campo segue intanto I A (infatti A/A è un anello costituito da un solo elemento, lo zero, e pertanto non può essere un campo). Sia J un ideale di A che contenga propriamente I; proviamo che J = A; infatti, sia a J, a / I; si ha a + I I e dunque esiste b + I A/I tale che (a + I)(b + I) = 1 + I cioè si ha ab + I = 1 + I e dunque ab 1 I 17

e perciò ab 1 J; ma poiché anche ab J si ha 1 = ab (ab 1) J cioè 1 J e dunque J = A. Proposizione 4.15 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo di A in A ; per ogni sottoanello B di A, f(b) = {f(x) x B} è un sottoanello di A ; per ogni sottoanello B di A, f 1 (B ) = {x A f(x) B } è un sottoanello di A. Dim. Sia B un sottoanello di A; se x, ȳ f(b) si ha x = f(x), ȳ = f(y) con x, y B e pertanto x y, xy B e dunque x ȳ = f(x y) f(b) e xȳ = f(xy) f(b). Inoltre, si ha f 1 (B ). Siano x, y f 1 (B ); si ha x, y A e f(x), f(y) B e pertanto f(x y) B e f(xy) B cioè x y f 1 (B ) e xy f 1 (B ). Proposizione 4.16 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo iniettivo di A in A ; allora f(a) è un sottoanello di A isomorfo ad A. Dim. È banale conseguenza della iniettività di f e della proposizione 4.15. Proposizione 4.17 Siano K, K corpi e sia φ un omomorfismo di K in K ; allora φ è l omomorfismo nullo oppure φ è iniettivo. Dim. Ker φ è un ideale bilatere di K; pertanto per la proposizione 4.3 si ha Ker φ = K oppure Ker φ =< 0 >; nel primo caso φ è l omomorfismo nullo, nel secondo caso (si veda proposizione 4.10) φ è iniettivo. Proposizione 4.18 Siano K e K corpi e sia φ un omomorfismo non nullo di K in K allora φ(k) è un sottocorpo di K isomorfo a K. Dim. Banale conseguenza della proposizione precedente. Esercizi e complementi Nei seguenti esercizi ogni qual volta parleremo di ideali senza specificare se ideale destro o ideale sinistro intenderemo bilatere. 18

Esercizio 4.1 Sia Z( 2) = {a + b 2 a, b Z}. Dimostrare che Z( 2) è un sottoanello del campo dei numeri reali e determinare gli automorfismi di Z( 2). [Suggerimento: per la seconda parte si osservi che se φ è un automorfismo di Z( 2) φ induce l identità su Z, infatti... Dunque φ(2) = φ( 2)φ( 2) = 2 e ciò implica φ( 2) =...]. Esercizio 4.2 Dimostrare che l insieme degli automorfismi di un anello A è un gruppo, sottogruppo di Sym A. Esercizio 4.3 Sia Q( 2) = {a + b 2 a, b Q}. Verificare che è un sottocampo del campo dei numeri reali e trovarne gli automorfismi. [Si proceda come nell esercizio 4.1]. Esercizio 4.4 Sia R un anello. Sia a R, r(a) = {x R ax = 0}. Dimostrare che r(a) è un ideale destro di R. Sia s(a) = {x R xa = 0}, s(a) è ideale sinistro di R. Esercizio 4.5 Sia R un anello. Sia a R e Ra = {xa x R}; dimostrare che Ra è un ideale sinistro di R. Analogamente dimostrare che ar = {ax x R} è un ideale destro di R. Esercizio 4.6 Sia R un anello e siano I e J ideali bilateri di R. Dimostrare che {a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n n N, a i I, b i J} è un ideale bilatere di R, contenuto in I J. Esercizio 4.7 Sia A un anello commutativo e sia N l insieme degli elementi nilpotenti di A. Dimostrare che N è un ideale di A. [Suggerimento: se N = {0} è verificato. Sia N {0}, siano a, b N e sia a n = 0 e b m = 0. Allora (a b) n+m = n+m i=0 ( 1)i( ) n+m i a i b n+m i. Se i n, a i = a n a i n = 0, se i < n allora n + m i > m e b n+m i = 0 perciò (a b) n+m = 0 e a b N. Il resto si ottiene facilmente] Esercizio 4.8 Siano I e J due ideali bilateri di un anello A. Verificare che l insieme I + J = {x + y x I, y J} è un ideale bilatere di A. Esercizio 4.9 Sia A un anello unitario e sia I un ideale destro (rispettivamente sinistro) di A. Si ha I = A oppure preso b I {0} non esiste un elemento c A {0} tale che bc = 1 (rispettivamente cb = 1). Questo assicura che ogni ideale non banale di un anello unitario, sia esso ideale destro, ideale sinistro o ideale bilatere non può contenere elementi invertibili. 19

( ) a b Esercizio 4.10 Sia K un campo e sia A = { a, b K}. Dimostrare che A è un sottoanello di M 2 (K) e determinare gli ideali bilateri di A. b a + 2b [Suggerimento: si ricordi che un ideale non banale non contiene elementi invertibili]. Esercizio 4.11 Verificare che l anello somma diretta di R e Z non è un corpo. Verificare che, fissato m Z, A m = {(x, y) x Q, y mz} è un sottoanello di R Z. Esercizio 4.12 Trovare tutti gli ideali dell anello somma diretta di Z 3 e Z 5. Esercizio 4.13 Dimostrare che (Z, +, ) è un anello ad ideali principali e che un ideale è massimale se e solo se è generato da un numero primo. Esercizio 4.14 L anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K è ad ideali principali. [Suggerimento: sia I un ideale di K[x] diverso dall ideale < 0 >; sia m = min{deg f(x) f(x) I} e sia g(x) I tale che deg g(x) = m. Il polinomio g(x) genera I. Sia infatti f(x) I, f(x) 0; allora esistono q(x), r(x) K[x], con r(x) = 0 oppure deg r(x) < m tali che f(x) = q(x)g(x) + r(x)...]. Esercizio 4.15 Sia K un campo e sia a K un elemento fissato. Sia φ : K[x] K l applicazione definita ponendo φ(f(x)) = f(a). Si verifichi che φ è un omomorfismo suriettivo e si determini un generatore dell ideale Ker φ. Esercizio 4.16 Sia K un campo. Dimostrare che comunque preso un elemento c K l ideale di K[x] generato da c coincide con tutto K[x]. Esercizio 4.17 Sia p un numero primo. Sia A p Q l insieme così definito: A p = {0} {± m m, n N MCD (m, n) = MCD (n, p) = 1}. Dimostrare che n A p è un sottoanello di Q ed è in particolare un dominio di integrità ad ideali principali. Trovare gli elementi invertibili in A p. Dimostrare che l ideale generato da p è massimale. [Suggerimento: la prima parte è di facile verifica. Per dimostrare che A p è ad ideali principali si osservi che se I è un ideale non banale di A p ogni elemento non nullo di I è non invertibile e pertanto può essere scritto nel seguente modo: p s a b con s > 0 e con MCD (a, p) = MCD (b, p) = 1. Posto a d(ps ) = s, sia b m = min{d(x) x I, x 0}. Si verifichi che un elemento t I {0} e tale che d(t) = m genera I]. L anello studiato nel precedente esercizio è conosciuto come anello dei p-adici razionali. 20

Esercizio 4.18 Sia K un campo. Dimostrare che un ideale di K[x] è massimale se e solo se è generato da un polinomio f(x) non avente grado 0 e che non può essere scritto come prodotto di due polinomi g(x), h(x) di K[x] entrambi di grado non nullo. [Suggerimento: si ricordi che K[x] è ad ideali principali, si veda l esercizio 4.14]. Esercizio 4.19 Sia A = 4Z il sottoanello di Z contenente tutti e soli i multipli di 4. Dimostrare che 8Z è un ideale massimale di A. ( Esercizio ) 4.20 Sia B il sottoanello di M 2 (R) costituito ( dalle ) matrici del tipo 0 0 0 0 al variare di a e b in R. Verificare che I = { a R} è un a b a 0 ideale bilatere di B e che B/I è isomorfo al campo R. Esercizio 4.21 Su R R siano definite le seguenti operazioni:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, bc + ad). Verificare che (R R, +, ) è un anello commutativo unitario. Determinare gli elementi invertibili e dimostrare che ogni elemento non invertibile è divisore dello zero. Detto M l insieme degli elementi non invertibili dimostrare che M è un ideale massimale. [Suggerimento: per l ultima parte trovare un omomorfismo suriettivo di R R su un campo avente come nucleo M]. Esercizio 4.22 Dimostrare che (Q, +, ) non ha sottocampi diversi da Q stesso. [Soluzione: sia K un sottocampo di Q. Poiché 1 K segue Z K; sia x Q esistono a Z e b Z, con b 0, tali che x = ab 1 dunque x K e Q = K]. Esercizio 4.23 Dimostrare che il campo (Z p, +, ) non ha sottocampi diversi da Z p stesso. Esercizio 4.24 Sia A un anello commutativo unitario, dimostrare che l anello quoziente A[x]/ < x > è isomorfo ad A. Esercizio 4.25 Un anello unitario privo di ideali sinistri (rispettivamente di ideali destri) non banali è un corpo. [Suggerimento: si ricordi l esercizio 4.5]. Esercizio 4.26 Nell anello M 2 (R) trovare sottoanelli che non sono ideali. Esercizio 4.27 Nell anello M 2 (R) trovare ideali destri ed ideali sinistri non banali e provare che non esistono ideali bilateri non banali. ( [Suggerimento: ) per la a1 a seconda parte sia I un ideale bilatere, I < 0 > e sia 2 I una matrice a 3 a 4 non nulla; cercare di individuare in I un elemento invertibile]. 21

Esercizio 4.28 Dimostrare che l insieme delle matrici a 1 a 2 a 3 a 4 a 2 a 1 a 4 a 3 a 3 a 4 a 1 a 2 a 4 a 3 a 2 a 1 al variare di a 1, a 2, a 3, a 4 in R, rispetto all addizione elemento per elemento e alla moltiplicazione riga per colonna, è un corpo isomorfo al corpo dei quaternioni. 5 Domini di integrità e campi Abbiamo detto (definizione 1.4) che dominio di integrità è ogni anello non nullo, commutativo e privo di divisori dello zero. Abbiamo osservato che ogni campo è un dominio di integrità. Proviamo ora la seguente Proposizione 5.1 Ogni dominio di integrità finito è un campo. Dim. Sia D un dominio di integrità finito e sia D = {0, a 1, a 2,..., a n }; basta provare che gli elementi di D = D {0} formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione. Poiché il prodotto in D è commutativo, basta provare che per ogni a i, a j D esiste un a h D tale che a i a h = a j. Ebbene, consideriamo gli elementi a i a 1, a i a 2,..., a i a n. Essi sono tutti elementi di D (poiché D è privo di divisori dello zero) e sono tutti a due a due distinti (infatti a i a r = a i a s = a i (a r a s ) = 0 = a r = a s ); dunque essi sono tutti gli elementi di D e quindi esattamente uno di essi è a j, questo dimostra l esistenza di a h D tale che a i a h = a j. Dunque preso a D, 1 D tale che a1 = a. Sia ora b un qualunque elemento di D, esiste y D tale che ya = b allora (ya)1 = b1 ma (ya)1 = y(a1) = ya = b perció b1 = b, b D. Ovvero D é unitario. Ora, a D é possibile trovare x tale che ax = 1, quindi a é invertibile. Concludiamo che D é un campo. Come conseguenza della precedente proposizione ritroviamo che l anello Z n delle classi resto modulo n (n 2) è un campo se e solo se n è primo. Proposizione 5.2 Sia D un dominio di integrità e sia a D = D {0}; se l elemento a ha periodo finito n nel gruppo additivo (D, +) allora ogni elemento non nullo di (D, +) ha periodo n. 22

Dim. Sia b D ; da na = 0 segue (na)b = 0 e quindi a(nb) = 0 cioè nb = 0; se il periodo di b nel gruppo (D, +) fosse m < n da mb = 0 seguirebbe (procedendo in modo analogo) ma = 0 e questo contraddirebbe l ipotesi che a sia di periodo n. Conseguenza immediata della proposizione precedente è la Proposizione 5.3 Se D è un dominio di integrità ed a D è un elemento tale che na 0 per ogni numero naturale n 0, allora è nb 0 per ogni b D e ogni n N. Quanto visto in queste due ultime proposizioni permette di dare la seguente Definizione 5.1 Diciamo che un dominio di integrità D ha caratteristica zero, car D = 0, se na 0 per ogni n N e ogni a D ; diciamo che D ha caratteristica n > 0, car D = n, se ogni elemento non nullo di D ha periodo n nel gruppo additivo (D, +). Esempi: (Z, +, ) ha caratteristica zero; così pure hanno caratteristica zero il campo dei razionali ed il campo dei reali. Per ogni p numero primo Z p è un campo di caratteristica p e Z p [x] è un dominio di caratteristica p. Proposizione 5.4 La caratteristica di un dominio di integrità è zero oppure è un numero primo. Dim. Sia D un dominio di integrità e sia car D = n 0. Il numero n è primo; infatti in caso contrario esisterebbero due fattori propri r, s (1 < r, s < n) di n tali che n = rs; ma allora, per a D, da na = 0 seguirebbe (rs)a = 0 cioè r(sa) = 0 e questo implicherebbe sa = 0 (assurdo essendo car D = n) oppure sa 0, sa di periodo r (assurdo essendo car D = n). Proposizione 5.5 Se D è un dominio di integrità e a, b, c D con a 0 si ha ab = ac = b = c (regola di cancellazione). Dim. ab = ac = a(b c) = 0 = b = c. 23

L anello degli interi (Z, +, ) è un dominio di integrità contenuto nel campo (Q, +, ) dei numeri razionali; anzi, ogni numero razionale si può esprimere come quoziente a di due interi a, b con b 0. b Quanto osservato per gli interi ed i razionali si può estendere ad ogni dominio di integrità, vale infatti la seguente Proposizione 5.6 Se D è un dominio di integrità esiste un campo K, detto campo dei quozienti di D, tale che K contiene un sottodominio D isomorfo a D ed ogni elemento di K si può esprimere nella forma ab 1 con a, b D e b 0 (diremo l elemento ab 1 quoziente di a e b). Dim. Sia D = D {0}; definiamo in D D la seguente relazione (a, b) (c, d) se ad = bc. Verifichiamo che la relazione è di equivalenza. Per ogni (a, b) D D : (a, b) (a, b); infatti è ab = ba. (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b); infatti da ad = bc segue cb = da. Infine (a, b) (c, d) e (c, d) (e, f) = (a, b) (e, f); infatti da ad = bc e da cf = de segue, moltiplicando la prima per f 0 e la seconda per b 0, adf = bcf, bcf = bde cioè adf = bde e quindi af = be (per la regola di cancellazione) cioè (a, b) (e, f). Resta così provato che la relazione è una relazione di equivalenza in D D. Sia K = D D / l insieme delle classi di equivalenza; indichiamo con [(a, b)] la classe di equivalenza che contiene la coppia (a, b). Definiamo in K le seguenti operazioni: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)], [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]. Le precedenti definizioni sono lecite; infatti se abbiamo [(a, b)] = [(a, b )] e [(c, d)] = [(c, d )] si ha ab = ba, cd = dc e dunque si ha anche (ad + bc)b d = adb d + bcb d = ba dd + dc bb = bd(a d + b c ) cioè [(ad + bc, bd)] = = [(a d + b c, b d )]; ed anche acb d = bda c cioè [(ac, bd)] = [(a c, b d )]. (K, +) è un gruppo abeliano, come risulta facilmente; osserviamo che lo zero di (K, +) è la classe [(0, b)]; l opposto di [(a, b)] è la classe [( a, b)]. Valgono la proprietà commutativa della moltiplicazione e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione; inoltre la classe [(a, a)] (a D ) funge da elemento neutro della moltiplicazione ed infine, per ogni [(a, b)] K, K = K {[(0, c)]} si ha [(a, b)] 1 = [(b, a)] K. Dunque K è un campo. Osserviamo che è [(ah, h)] = [(ab, b)] e poniamo D = {[(ab, b)] a D, b D }. Definiamo f : D K, f(a) = [(ab, b)]. Si ha f(x) + f(y) = [(xh, h)] + [(yk, k)] = [(xhk + yhk, hk)] = f(x + y) e f(x)f(y) = [(xh, h)] [(yk, k)] = [(xyhk, hk)] = f(xy); pertanto f è un 24

omomorfismo di D in K. Inoltre f è un omomorfismo iniettivo infatti: f(x) = f(y) = [(xh, h)] = [(yk, k)] = xhk = yhk = x = y; poiché è f(d) = D ne viene (proposizione 4.16) che D è isomorfo a D. Sia infine [(a, b)] K; si ha [(a, b)] = [(ac, c)] [(d, bd)] = [(ac, c)] [(bd, d)] 1 e quindi ogni elemento [(a, b)] di K si scrive come quoziente di due elementi [(ac, c)] e [(bd, d)] di D con [(bd, d)] [(0, h)]. Abbiamo visto che i domini D e D sono isomorfi; quindi possiamo identificarli e dire che il campo K contiene come sottodominio D ed ogni elemento a K si esprime come quoziente a = bc 1 di due elementi b, c D con c 0. Osserviamo che in ogni campo K per ogni b, c K con c 0 si ha bc 1 = c 1 b e pertanto tale elemento si può indicare con b c. Esempi: abbiamo già osservato che (Q, +, ) è il campo dei quozienti di (Z, +, ). Se K[x] è il dominio di integrità dei polinomi in x a coefficienti nel campo K, il campo dei quozienti di K[x] si indica con K(x) e si ha: K(x) = { f(x) f(x), g(x) K[x], g(x) 0}. g(x) Si ha ovviamente car K(x) = car K; in particolare, Z p [x] e Z p (x) sono esempi di domini e campi di caratteristica p (per ogni numero primo p) costituiti da infiniti elementi. Proposizione 5.7 Sia K un campo e sia H l intersezione insiemistica di tutti i sottocampi di K. H è un sottocampo di K (detto sottocampo minimo o fondamentale) e H è isomorfo a Q se car K = 0, H è isomorfo a Z p se car K = p. Dim. H contiene 0, 1; inoltre, banalmente a b H per ogni a, b H e ab 1 H per ogni a, b H con b 0; pertanto H è un sottocampo di K. Sia ora car K = 0 e sia f : Q K, f( m n ) = (mu)(nu) 1 avendo indicato con u l unità di K. La f è una applicazione da Q in K; infatti, se è m n = r s si ha ms = nr e pertanto (ms)u = (nr)u cioè (mu)(su) = (nu)(ru) e dunque (mu)(nu) 1 = (ru)(su) 1 cioè f( m n ) = f(r s ). Si ha f( m n + r + nr ) = f(ms ) = (ms + nr)u(nsu) 1 ; s ns f( m n ) + f(r s ) = (mu)(nu) 1 + (ru)(su) 1 = (mu)(su)(su) 1 (nu) 1 + 25

+(ru)(nu)(nu) 1 (su) 1 = [(mu)(su) + (ru)(nu)](nu) 1 (su) 1 = = (ms + nr)u[(nu)(su)] 1 = (ms + nr)u(nsu) 1 cioè è f( m n + r s ) = f(m n ) + f( r s ). Inoltre è f( m n r s ) = f(mr ns ) = (mru)(nsu) 1 = (mu)(ru)[(nu)(su)] 1 = = (mu)(nu) 1 (ru)(su) 1 = f( m n ) f(r s ). Pertanto f è un omomorfismo e poiché non è nullo, f è iniettivo (proposizione 4.17); ne viene che f(q) è un sottocampo di K isomorfo a Q (proposizione 4.18). Si ha dunque H f(q) = {(mu)(nu) 1 m, n Z, n 0}. D altra parte, gli elementi di f(q) sono contenuti in ogni sottocampo di K e pertanto è f(q) H cioè H = f(q). Sia infine car K = p e sia g : Z p K, g([n]) = nu essendo u l elemento unità di K. La g è una applicazione da Z p in K : infatti se è [n] = [m] si ha n m 0 mod p e pertanto (n m)u = 0 (essendo K di caratteristica p) e quindi nu = mu cioè g([n]) = g([m]). Si ha poi g([n] + [m]) = = g([n + m]) = (n + m)u = (nu) + (mu) = g([n]) + g([m]) e g([n] [m]) = g([nm]) = = nmu = (nu)(mu) = g([n]) g([m]). Dunque g è un omomorfismo di Z p in K e poiché g non è nullo, g risulta (per la proposizione 4.17) iniettivo e dunque (proposizione 4.18) g(z p ) è un sottocampo di K isomorfo a Z p. Si ha dunque H g(z p ) = {nu n Z} = {0, u, 2u,..., (p 1)u} e poiché banalmente 0, u,..., (p 1)u sono contenuti in ogni sottocampo di K, e quindi stanno in H, si ha H = g(z p ). Proposizione 5.8 Sia C = R R; definiamo in C le seguenti operazioni: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). (C, +, ) è un campo e contiene un sottocampo isomorfo ad R. Dim. (C, +) è un gruppo abeliano, come si verifica facilmente; in particolare, il suo elemento zero è (0, 0) e (a, b) = ( a, b). C = C {(0, 0)} è un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione; in particolare, (1, 0) è l elemento neutro della moltiplicazione e se è (a, b) (0, 0) si ha (a, b) 1 = a ( a 2 + b, b ); infine, vale la proprietà distributiva della moltiplicazione 2 a 2 + b2 rispetto all addizione, quindi (C, +, ) è un campo. Gli elementi (x, 0) al variare di x in R formano un sottocampo di C isomorfo ad R. 26

Definizione 5.2 Il campo (C, +, ) di cui alla precedente proposizione si chiama campo dei complessi ed i suoi elementi si chiamano numeri complessi Analogamente a quanto fatto per i quaternioni, possiamo rappresentare i complessi nella forma polinomiale scrivendo a + bi al posto di (a, b); in questa nuova forma i complessi si sommano e si moltiplicano come se fossero polinomi in i, ricordando di scrivere 1 al posto di i 2. Tale forma trova una giustificazione razionale osservando che è (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1); identificando (x, 0) con il numero reale x e ponendo (0, 1) = i si ha (a, b) = a + bi; inoltre, da (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) segue i 2 = 1. Esercizi e complementi Esercizio 5.1 Sia D un dominio di integrità di caratteristica p. Si studi l applicazione f di D in D così definita f(x) = x p, per ogni x D. È iniettiva? È suriettiva? È un omomorfismo? Esercizio 5.2 Sia K un campo di caratteristica p. Provare che per y K e n N {0} si ha y pn = 1 se e solo se y = 1. ( ) x y Esercizio 5.3 Dimostrare che C = { x, y Z y x y 5 } è un campo rispetto alle usuali operazioni definite in M 2 (Z 5 ). Determinare la caratteristica e l ordine di C. Esercizio 5.4 Sia K un campo e sia u la sua unità moltiplicativa. Determinare la caratteristica di K sapendo che u + u + u + u = 0 e u + u + u + u + u + u = 0. Esercizio 5.5 Sia Z[i] il sottoinsieme del campo C dei numeri complessi così definito: Z[i] = {a + bi a, b Z}. Dimostrare che Z[i] con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi è un dominio di integrità unitario. Individuare gli elementi invertibili. L anello Z[i] è detto anello degli interi di Gauss. Esercizio 5.6 Si determini la caratteristica di C e di Z[i]. 27