APPUNTI DI ALGEBRA B

APPUNTI DI ALGEBRA B Prof. Gloria Rinaldi dal testo Algebra autori P.Quattrocchi, G.Rinaldi, ed. Zanichelli Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia, Via Amendola 2 Padiglione Morselli, I-42100 Reggio Emilia, Italy. email: gloria.rinaldi@unimore.it tel.0522522024 1

1 Anelli e Corpi: generalità Definizione 1.1 Chiamiamo anello (A, +, ) ogni insieme non vuoto A con due operazioni binarie + e (addizione e moltiplicazione) tali che: (1) (A, +) è un gruppo commutativo (con elemento neutro 0); (2) a (b c) = (a b) c per ogni a, b, c A; (3) a (b + c) = a b + a c e (b + c) a = b a + c a per ogni a, b, c A. Spesso indicheremo con A l anello (A, +, ) e scriveremo ab al posto di a b per indicare il prodotto di a e b; l elemento neutro 0 dell addizione si chiamerà lo zero dell anello. Definizione 1.2 L anello (A, +, ) è detto unitario se esiste 1 A {0} tale che 1 a = a 1 = a per ogni a A; è detto commutativo se è a b = b a per ogni a, b A. È immediato che ogni anello unitario ammette un solo elemento neutro rispetto alla moltiplicazione (infatti 1 1 = 1 e 1 1 = 1 = 1 = 1 ); tale elemento si indica con 1 e si chiama l unità dell anello. Esempi: l insieme Z degli interi (rispettivamente l insieme Q dei razionali, l insieme R dei reali) con le ordinarie operazioni di addizione e di moltiplicazione è un anello commutativo, unitario. L insieme 2Z degli interi pari, con le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione, è un anello commutativo ma non unitario. L insieme delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi numeri razionali (rispettivamente reali) con le seguenti operazioni ( a b c d ) ( a1 b + 1 c 1 d 1 ) ( a + a1 b + b = 1 c + c 1 d + d 1 ) ( ) ( ) ( ) a b a1 b 1 aa1 + bc = 1 ab 1 + bd 1 c d c 1 d 1 ca 1 + dc 1 cb 1 + dd 1 Più in generale l insieme delle matrici quadrate di ordine n, n 2, ad elementi in un anello A, con le seguenti operazioni: 2

a 11... a 1n......... a n1... a nn + b 11... b 1n......... b n1... b nn con h ij = a ij + b ij per ogni i, j {1,..., n}. a 11... a 1n......... a n1... a nn b 11... b 1n......... b n1... b nn = = h 11... h 1n......... h n1... h nn k 11... k 1n......... k n1... k nn con k ij = n t=1 a itb tj per ogni i, j {1,..., n}, è un anello, abitualmente indicato con M n (A). L insieme Z n delle classi resto modulo n (n 2) con le ordinarie operazioni fra classi: [h]+[k] = [h+k] e [h] [k] = [hk] è un anello commutativo unitario. L ultimo è un esempio di anello finito, cioè formato da un numero finito di elementi. Proposizione 1.1 Se A è un anello, per ogni a, b, c A si ha: a0 = 0a = 0 a( b) = ( a)b = (ab) ( a)( b) = ab Dim. Si ha ab = a(b + 0) = ab + a0 e quindi a0 = 0; analogamente ba = (b + 0)a = ba + 0a e dunque 0a = 0, cioè vale la prima condizione. Ancora: 0 = a0 = a(b + ( b)) = ab + a( b) cioè a( b) = (ab); analogamente, ( a)b = (ab) e dunque vale la seconda. Infine: ( a)( b) = [( a)b] = [ (ab)] = ab, cioè vale la terza condizione. Se A è unitario, dalla precedente proposizione segue ( 1)( 1) = 1 e ( 1)a = a per ogni a A. Definizione 1.3 Sia A un anello; un elemento a A, a 0 si dice un divisore destro, rispettivamente sinistro, dello zero se esiste b A, b 0, tale che ba = 0, rispettivamente ab = 0. Si dice che a A, a 0 è un divisore dello zero se è un divisore sinistro oppure un divisore destro dello zero. 3

Ovviamente se A è un anello commutativo ogni divisore destro dello zero è anche un divisore sinistro dello zero e viceversa. Esempi: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) sono anelli privi di divisori dello zero. L anello delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in un anello unitario ha divisori dello zero; per esempio risultano essere divisori dello zero gli elementi a = ( 1 0 0 0 ) e b = ( 0 0 1 1 ). Si ha infatti ab = ( 0 0 0 0 Anche l anello Z n delle classi resto modulo n (n 2) ha divisori dello zero quando n non è un numero primo. Infatti, se n non è primo, sia n = rs con 1 < r, s < n allora [r], [s] Z n, [r][s] = [0] e [r] [0], [s] [0]. Dato invece un numero primo p l anello Z p è privo di divisori dello zero. Infatti, se [r][s] = [0] allora rs è divisibile per p e quindi, essendo p primo, p divide r oppure p divide s, cioè [r] = 0 oppure [s] = 0. ). Definizione 1.4 Si chiama dominio di integrità ogni anello A {0} commutativo e privo di divisori dello zero. Esempi: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) sono domini di integrità; Z p, con p primo, è un dominio di integrità. Definizione 1.5 Sia A un anello unitario. Un elemento a A, a 0, si dice invertibile se esiste b A tale che ab = ba = 1. L elemento b verrà detto inverso di a, facilmenete si verifica che esso è unico poiché se ab = ba = 1 e ac = ca = 1 con b, c A {0} allora c = c(ab) = (ca)b = b. L elemento inverso di A sarà indicato con a 1. Definizione 1.6 Chiamiamo corpo ogni anello in cui gli elementi diversi da zero formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione; se tale gruppo risulta abeliano, il corpo sarà detto corpo commutativo o campo. Dalla definizione segue subito che ogni corpo è un anello unitario privo di divisori dello zero ma non viceversa (infatti (Z, +, ) è un anello unitario privo di divisori dello zero ma non è un corpo). Ogni campo è un dominio di integrità ma non viceversa (infatti (Z, +, ) è un dominio di integrità ma non 4

è un campo). Infine un anello unitario è un corpo se e solo se ogni elemento non nullo ammette inverso (si veda l esercizio 1.1). Esempi: (Q, +, ), (R, +, ) sono campi. Anche Z p, con p primo, è un campo. Infatti Z p è chiuso in prodotto essendo Z p privo di divisori dello zero, inoltre (Z p, ) è unitario e commutativo, ciò basta a dimotrare che (Z p, ) è un gruppo abeliano. Esercizi e complementi Negli esercizi seguenti considereremo solo anelli con più di un elemento (e quindi che non si riducono a {0}). Esercizio 1.1 Dimostrare che in un anello unitario un elemento invertibile non è né un divisore destro né un divisore sinistro dello zero. Esercizio 1.2 Sia A un anello unitario finito. Dimostrare che ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro dello zero e viceversa. [Suggerimento: sia a A, a 0 un divisore destro dello zero e sia b A {0} tale che ba = 0, per assurdo si supponga che a non sia un divisore sinistro dello zero e si considerino tutti i prodotti ac al variare di c A {0}... ]. Esercizio 1.3 Sia A un anello unitario; sia a A, a 0. Se esistono b, c A {0} tali che ab = ca = 1 allora b = c, cioè a è invertibile. Esercizio 1.4 Si provi che in un anello finito A unitario gli elementi diversi da zero non invertibili sono tutti e soli i divisori dello zero. [Suggerimento: sia x A, x 0 non invertibile se x non fosse un divisore dello zero per ogni a, b A, a b si avrebbe xa xb e ax bx perché... e dunque {xa a A} = {ax a A} = A...]. Si osservi che quanto affermato nell esercizio 1.4 non è più valido se l anello unitario non è finito. Si pensi ad esempio all anello (Z, +, ). Esercizio 1.5 Dimostrare che i divisori dello zero dell anello delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi in un campo sono tutte e sole le matrici aventi il determinante uguale a zero. [Suggerimento: per quanto dimostrato nell esercizio 1.1 i divisori dello zero sono da ricercare tra le matrici con determinante zero. Sia O 2 la matrice nulla e sia A una matrice con il determinante uguale a 0, è possibile trovare B tale che AB = O 2...]. 5

Esercizio 1.6 Dimostrare che in M 2 (K) (K campo) ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro dello zero e viceversa. ( ) a1 0 Esercizio 1.7 Sia A = { a a 2 a 1, a 2, a 3 Z}. Verificare che A con le 3 usuali operazioni definite in M 2 (Z) è un anello dotato di unità. Si determinino gli elementi invertibili e i divisori dello zero. Si verifichi inoltre che ogni divisore destro dello zero è anche divisore sinistro e viceversa. Anche l anello A del precedente esercizio 1.7 possiede elementi non invertibili che non sono divisori dello zero: precisamente tutte le matrici con determinante diverso da 0, 1, 1. ( ) a b Esercizio 1.8 Sia A = { a, b R} verificare che A, con le usuali 0 0 operazioni definite in M 2 (R), è un anello privo di unità. Esercizio ( ) 1.9 Sia k un numero reale fissato; sia A k l anello così definito: A k = x ky { x, y R}, con le usuali operazioni definite in M y x 2 (R). Si determinino i valori di k per i quali A k è un campo. ( ) a 5b Esercizio 1.10 Si verifichi che l insieme delle matrici del tipo con b 3b + a a, b R è un campo rispetto alle usuali operazioni definite in M 2 (R). ( ) 3a 3b Esercizio 1.11 Sia H = { a, b, c Z 0 3c 6 }. Dimostrare che H è un anello con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 6 ). Quanti e quali sono gli elementi di H? H è unitario? È commutativo? Quali elementi di H sono divisori dello zero? Esercizio 1.12 Sia A un anello unitario tale che a 2 = a per ogni a A. Dimostrare che a = a per ogni a A e dimostrare che A è commutativo. [Suggerimento: comunque presi a e b A si ha (a + b) 2 = a + b, dunque ab = ba...]. ( ) a b Esercizio 1.13 Sia U = { a, b Z b a 5 }. Provare che U con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 5 ) è un anello commutativo unitario. Determinare gli elementi invertibili e i divisori dello zero. Quanti sono gli elementi invertibili? Quanti i divisori dello zero? 6

Esercizio 1.14 Sia A un anello unitario. Sia a A, con a 0, 1 tale che a 2 = a. Dimostrare che a è un divisore dello zero. Un elemento a 0 di un anello A si dice nilpotente se esiste un intero n > 1 tale che a n = 0. Esercizio 1.15 Dimostrare che un elemento nilpotente di un anello A è un divisore dello zero. ( ) x y Esercizio 1.16 Sia R = { x, y R}. Dimostrare che R con le usuali y x operazioni definite in M 2 (R) è un anello commutativo unitario. Individuare gli elementi invertibili e i divisori dello zero. ( ) 2a 3b Esercizio 1.17 Sia R = { a, b, c Z 2c 0 6 } verificare che R con le usuali operazioni definite in M 2 (Z 6 ) è un anello. Verificare che R non è unitario e non è commutativo, trovare la cardinalità e i divisori dello zero di R. ( ) ( ) 0 0 0 a Esercizio 1.18 Siano M = { a, b K} e N = { a, c K}. a b 0 c Dimostrare che M ed N con le usuali operazioni definite in M 2 (K) sono anelli. Verificare che ogni elemento non nullo di M (rispettivamente di N) è divisore destro (rispettivamente sinistro) dello zero, mentre non tutti gli elementi non nulli di M (rispettivamente di N) sono divisori sinistri (rispettivamente destri) dello zero. M ed N forniscono esempi di anelli in cui l insieme dei divisori destri non coincide con l insieme dei divisori sinistri. Dati due anelli (A, +, ) e (B, +, ) si dice anello somma diretta di A e B l insieme A B su cui siano definite le seguenti operazioni: (a, b) (a, b ) = (a + a, b + b ) (a, b) (a, b ) = (a a, b b ) dove abbiamo indicato con gli stessi simboli + e l addizione e la moltiplicazione negli anelli A e B. È facile verificare che (A B,, ) è un anello. Esercizio 1.19 Siano M ed N gli anelli considerati nel precedente esercizio 1.18 e sia K = Z 3. Considerato l anello somma diretta M N individuarne i divisori dello zero distinguendo tra divisori destri e divisori sinistri. Esercizio 1.20 Sia A l anello somma diretta di Z 5 e Z 6. Determinare i divisori dello zero di A e gli elementi invertibili. Esercizio 1.21 Verificare che l anello somma diretta di due campi non è un campo, anzi non è neppure un dominio di integrità. 7

2 L anello dei polinomi in una indeterminata Sia A un anello commutativo unitario. Definizione 2.1 Chiamiamo polinomio sopra A (o a coefficienti in A) ogni successione (a 0, a 1,..., a n,... ) di elementi di A definitivamente nulla, cioè tale che da un certo indice in poi tutti i suoi termini sono uguali a zero. In base alla precedente definizione, allora, la successione costante (1, 1,..., 1,... ) non è un polinomio, mentre è un polinomio la successione (0, 0,..., 0,... ) : polinomio zero o polinomio nullo. Definizione 2.2 Sia f = (a 0, a 1,..., a n,... ) un polinomio non nullo; diremo che f è di grado n se è a n 0 e a i = 0 per ogni i > n; in tal caso diremo coefficienti di f gli elementi a 0, a 1,..., a n e chiameremo a n coefficiente principale del polinomio f. Il polinomio f si dice monico se il suo coefficiente principale è 1. Sia S l insieme dei polinomi sopra A. Siano f, g S; f = (a 0, a 1,..., a n,... ) e g = (b 0, b 1,..., b n,... ); definiamo: f + g = (a 0 + b 0, a 1 + b 1,..., a n + b n,... ), ossia il termine di indice n della successione f + g è a n + b n. fg = (a 0 b 0, a 0 b 1 + a 1 b 0, a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,... ), ossia il termine di indice n della successione fg è a 0 b n + a 1 b n 1 + + a i b n i + + a n 1 b 1 + a n b 0. Dalla definizione segue subito che fg e f +g sono successioni definitivamente nulle di elementi di A e pertanto sono polinomi sopra A. Precisamente, se f è di grado n e g è di grado m, si ha: f + g di grado = max{n, m}, se n m f + g = 0 oppure f + g di grado n se n = m. fg = 0 oppure fg di grado n + m e risulta fg di grado n + m se e solo se è a n b m 0 (cosa che è assicurata quando A è un dominio di integrità). Dunque, in S risultano definite due operazioni una di addizione ed una di moltiplicazione e si ha: Proposizione 2.1 (S, +, ) è un anello commutativo e unitario. 8

Dim. È una banale verifica che discende immediatamente dalla definizione di + e e dal fatto che A è un anello commutativo unitario; in particolare osserviamo che lo zero di (S, +, ) è il polinomio 0 = (0, 0,..., 0,... ), cioè il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono nulli; che l opposto di f = (a 0, a 1,..., a n,... ) è il polinomio f = ( a 0, a 1,..., a n,... ) e, infine, che l unità è il polinomio 1 = (1, 0, 0,..., 0,... ), cioè il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono uguali a zero eccetto il primo che è uguale a 1. Poniamo x = (0, 1, 0,..., 0,... ); si ha x 2 = x x = (0, 0, 1, 0,..., 0,... ), x 3 = (0, 0, 0, 1, 0,..., 0,... )... in generale per ogni m 2 si ha: x m = (0,..., 0, 1, 0,... ), dove 1 occupa il posto (m+1)-esimo. Cioè, per ogni m 2, x m è il polinomio costituito dalla successione in cui tutti i termini sono uguali a zero tranne il termine di indice m, che è uguale ad 1. Poniamo inoltre a = (a, 0,..., 0,... ) per ogni a A. Con queste posizioni, se f è un polinomio di grado n si ha f = (a 0, a 1,..., a n, 0,... ) = (a 0, 0,..., 0,... ) + (0, a 1, 0,..., 0,... ) + + + +(0,..., 0, a n, 0,... ) = (a 0, 0,..., 0,... ) + (a 1, 0,..., 0,... )(0, 1, 0,... )+ +(a 2, 0,... )(0, 0, 1, 0,... ) + + (a n, 0,... )(0,..., 0, 1, 0,... ) = a 0 + a 1 x +... a n x n. Diremo allora che x è una indeterminata e che il polinomio f = (a 0, a 1,..., a n,... ) di grado n si può esprimere come polinomio nella indeterminata x nella forma f = a 0 + a 1 x + + a n x n (a i A i ; a n 0). Conseguentemente, l anello (S, +, ) sarà chiamato anello dei polinomi in x (o nell indeterminata x) a coefficienti in A (o sopra A); l elemento f sarà indicato preferibilmente con f(x) e l anello S con A[x]. Inoltre deg f(x) indicherà il grado del polinomio f(x). Proposizione 2.2 Sia A un anello commutativo unitario. A[x] è un dominio di integrità se e solo se A è privo di divisori dello zero. Dim. È una banale verifica. Esempi: Z[x], Q[x], R[x] sono domini di integrità; Z n [x] è un dominio di integrità se e solo se n è primo (la verica è lasciata al lettore). Proposizione 2.3 Sia K[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti sopra il campo K. Comunque presi f(x), g(x) K[x] con g(x) 0 esistono e sono 9

univocamente determinati q(x), r(x) K[x] tali che f(x) = g(x)q(x) + r(x) dove r(x) è il polinomio nullo oppure ha grado minore del grado di g(x). Dim. Proviamo prima l esistenza di un quoziente q(x) e di un resto r(x) e poi la loro unicità. Sia g(x) di grado m. Se f(x) è il polinomio nullo, f(x) = 0, i polinomi q(x) = 0 e r(x) = 0 soddisfano alla tesi. Sia f(x) 0 e sia n il suo grado, deg f(x) = n. Sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m. Procediamo per induzione su n. Se n = 0 e m > 0 si ha f(x) = g(x) 0 + f(x); se è n = 0 e m = 0 si ha f(x) = a 0 0 g(x) = b 0 0 e f(x) = g(x)b 1 0 a 0 + 0. Sia ora n 1 e proviamo che se per ogni polinomio di grado < n esistono un quoziente ed un resto lo stesso accade per ogni polinomio di grado n. Se è n < m si ha f(x) = g(x) 0+f(x) e il risultato è vero (senza necessità di sfruttare l ipotesi di induzione). Se è n m, sia h(x) = f(x) a n b 1 m x n m g(x). Se h(x) = 0, f(x) = q(x)g(x) con q(x) = a n b 1 m x n m. Se h(x) 0 = deg h(x) < n e quindi esistono t(x), r(x) K[x] tali che h(x) = t(x)g(x) + r(x) con r(x) = 0 oppure deg r(x) < m; dunque f(x) = h(x) + a n b 1 m x n m g(x) = g(x)(t(x) + a n b 1 m x n m ) + r(x). È così provata l esistenza di q(x), r(x) con r(x) = 0 oppure deg r(x) < deg g(x) tali che f(x) = g(x)q(x)+r(x). Proviamo ora la loro unicità; supponiamo che q(x), r(x) siano polinomi di K[x] con r(x) = 0 oppure deg r(x) < deg g(x) tali che f(x) = g(x) q(x) + r(x). Confrontando le due uguaglianze si ottiene g(x)(q(x) q(x)) = r(x) r(x) e quindi r(x) = r(x) e q(x) = q(x). Sia A un anello commutativo unitario e sia S = A[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti in A; poiché S è a sua volta un anello commutativo unitario è possibile definire l anello dei polinomi nell indeterminata y a coefficienti in S, S[y], il quale risulta, a sua volta, un anello commutativo unitario. S[y], anche indicato con A[x, y], verrà detto anello dei polinomi nelle indeterminate x e y a coefficienti nell anello A (o in A). Tale procedimento può essere iterato più volte ottenendo anelli di polinomi a più indeterminate. 10

3 Il corpo dei quaternioni Finora si sono incontrati esempi di corpi commutativi; vogliamo ora fornire un esempio di corpo non commutativo. Sia H = {(a 1, a 2, a 3, a 4 ) a i R} l insieme delle quaterne ordinate di numeri reali. Definiamo in H le seguenti operazioni: (a 1, a 2, a 3, a 4 ) + (b 1, b 2, b 3, b 4 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3, a 4 + b 4 ) (a 1, a 2, a 3, a 4 ) (b 1, b 2, b 3, b 4 ) = (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4, a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 + a 4 b 3, a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 a 2 b 4, a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 a 3 b 2 ). Gli elementi di H si chiamano quaternioni (reali) e si può provare che (H, +, ) è un corpo non commutativo. È più agevole esprimere i quaternioni in forma polinomiale vale a dire scrivendo a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k al posto di (a 1, a 2, a 3, a 4 ); è così più agevole operare su essi; i quaternioni si sommano e si moltiplicano come se fossero polinomi in i, j, k a coefficienti reali, tenendo conto delle regole di calcolo a seguito riportate: i 2 = j 2 = k 2 = 1; ij = k; ji = k; jk = i; kj = i; ki = j; ik = j. Osserviamo che gli elementi 1, 1, i, i, j, j, k, k formano un gruppo non abeliano di ordine 8 rispetto alla moltiplicazione fra quaternioni. Tale gruppo è noto anche come gruppo dei quaternioni. Utilizzando la scrittura polinomiale è facile provare che i quaternioni formano un corpo; in particolare se è b = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k 0, posto h = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 si ha b 1 = a 1 h a 2 h i a 3 h j a 4 h k. Chiamiamo coniugato del quaternione b = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k il quaternione b = a 1 a 2 i a 3 j a 4 k, si ha b b = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4; il numero reale N(b) = b b si chiama norma del quaternione b (e si ha N(b) = 0 se e solo se è b = 0); dunque, per ogni quaternione b 0, si ha b 1 = N(b) b. 1 Il corpo dei quaternioni non è commutativo (infatti ij ji). 4 Omomorfismi. Ideali Definizione 4.1 Siano (A, +, ) e (A, +, ) due anelli e sia f : A A un applicazione di A in A ; diremo che f è un omomorfismo di A in A se per ogni a, b A si ha f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b). 11

L omomorfismo f si dirà iniettivo (rispettivamente suriettivo) se l applicazione f risulterà iniettiva (rispettivamente suriettiva). Se un omomorfismo è iniettivo e suriettivo si dirà isomorfismo ed in tal caso gli anelli A e A si diranno isomorfi. Un isomorfismo di un anello A in sé si dirà automorfismo. Dalla definizione segue subito che un omomorfismo dell anello A nell anello A è in particolare un omomorfismo del gruppo (A, +) nel gruppo (A, +) e pertanto si ha f(0) = 0 (avendo indicato con 0 lo zero di A ) e f( a) = f(a) per ogni a A. Se f(x) = 0, per ogni x A, f si chiamerà omomorfismo nullo. Esempi: sia φ : Z Z n, φ(m) = [m] essendo [m] la classe resto modulo n cui appartiene l intero m; φ è un omomorfismo suriettivo dell anello Z sull anello Z n. Sia R[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti reali; sia φ : R[x] R così definito: φ(f(x)) = f(0); φ è un omomorfismo suriettivo. Sia φ : Z Z 6 così definito: φ(n) = [0] se n è pari φ(n) = [3] se n è dispari. φ è un omomorfismo (non suriettivo). L ultimo esempio presenta due anelli (commutativi) unitari ed un omomorfismo che trasforma l unità del primo anello in un elemento diverso dall unità del secondo anello. Questo è stato possibile perché l omomorfismo considerato non è suriettivo. Si ha infatti: Proposizione 4.1 Siano A, A anelli unitari e sia f un omomorfismo suriettivo di A in A ; si ha f(1) = 1. (Avendo indicato con 1 l unità di A ). Dim. Sia x A e f(x) = 1 ; si ha 1 = f(x) = f(1 x) = f(1)f(x) = f(1) 1 = = f(1). Vale anche la Proposizione 4.2 Siano A e A anelli unitari, A privo di divisori dello zero. Se f è un omomorfismo di A in A allora f è l omomorfismo nullo oppure è f(1) = 1. Dim. Se esiste x A tale che f(x) 0 si ha f(x) = f(x 1) = f(x)f(1) cioè f(x) 1 f(x)f(1) = 0 e dunque f(x)(1 f(1)) = 0 da cui si trae f(1) = 1. Se A è un anello esistono sempre almeno gli omomorfismi banali di A in A : l omomorfismo nullo e quello identico (f(x) = x per ogni x A). 12

Dalla proposizione 4.2 segue subito che (Z, +, ) e (Q, +, ) non ammettono altri omomorfismi in sé oltre quelli banali. Definizione 4.2 Sia A un anello e sia I un sottoinsieme non vuoto di A; diremo che I è un ideale sinistro (rispettivamente destro, bilatere) di A se si ha: per ogni a, b I è a b I; per ogni a I e ogni x A è xa I (rispettivamente ax I, ax I e xa I). Dalla definizione segue subito che ogni ideale è un sottogruppo del gruppo (A, +); inoltre se A è commutativo ogni ideale è bilatere. In ogni anello A esistono almeno gli ideali banali: < 0 >= {0} e A. Proposizione 4.3 Ogni corpo ha solo ideali banali. Dim. Sia I un ideale sinistro (rispettivamente destro) del corpo K; supponiamo che sia I < 0 > e sia a I, a 0; si ha a 1 K e a 1 a I (rispettivamente aa 1 I) dunque 1 I e di conseguenza, per ogni x K x = x 1 I (rispettivamente x = 1 x I) cioè I = K. Se F è una famiglia non vuota di ideali sinistri (rispettivamente destri, bilateri) di A, banalmente l intersezione degli ideali apparteneneti ad F è ancora un ideale sinistro (rispettivamente destro, bilatere) di A. Questa osservazione rende lecita la seguente Definizione 4.3 Sia A un anello commutativo e sia a A (rispettivamente E un sottoinsieme di A); chiamiamo ideale generato da a (rispettivamente da E) e lo indichiamo con < a > (rispettivamente con < E >) l intersezione degli ideali di A ciascuno dei quali contiene l elemento a (rispettivamente l insieme E). Se E = {a 1,..., a n } è un insieme finito l ideale generato da E sarà indicato anche con < a 1,..., a n >. Proposizione 4.4 Sia A un anello commutativo e a A; si ha: < a >= {xa+na x A, n Z}, se A è unitario si ha < a >= {xa x A}. 13

Dim. Banale. Dalla precedente proposizione si deduce che se l anello commutativo A non è unitario, preso a A l insieme {xa x A} non sempre contiene tutti gli elementi di < a >. Per chiarire meglio questo fatto si consideri l anello (2Z, +, ), allora 6 < 6 > ma {x6 x 2Z} = 12Z e dunque non contiene 6. Proposizione 4.5 Sia A un anello commutativo unitario, I un suo ideale e a A; l ideale generato dall insieme I {a} è < a, I >= {ax + i x A, i I}. Dim. Banale. Definizione 4.4 Sia A un anello commutativo unitario; un ideale di A si dice principale se è generato da un elemento (I =< a >); se ogni ideale di A è principale l anello A è detto ad ideali principali. Esempi: gli ideali banali di ogni anello commutativo unitario sono principali. (Z, +, ) è un anello ad ideali principali. (Si veda l esercizio 4.13). L anello K[x] dei polinomi in x a coefficienti in un campo K è ad ideali principali. (Si veda l esercizio 4.14). Proposizione 4.6 Un anello commutativo unitario è un campo se e solo se è privo di ideali non banali. Dim. Dalla proposizione 4.3 discende subito che ogni campo ha solo ideali banali. Viceversa, supponiamo che A sia un anello commutativo unitario privo di ideali non banali e sia a A, a 0; l ideale < a > contiene almeno l elemento a e pertanto si ha < a >= A cioè A = {xa x A}; poiché 1 A esiste x A tale che 1 = x a cioè l elemento a A, a 0, ammette inverso e pertanto A è un campo. Osserviamo che l ipotesi che A sia unitario è essenziale per la validità della precedente proposizione; infatti sia A = {0, a} e siano definite in A le seguenti operazioni: 0 + 0 = 0 0 + a = a + 0 = a a + a = 0 14

0 0 = a 0 = 0 a = a a = 0 ebbene, (A, +, ) è un anello commutativo privo di ideali non banali ma (A, +, ) non è un campo. Definizione 4.5 Sia (A, +, ) un anello (rispettivamente corpo, campo) e sia B un sottoinsieme non vuoto di A; diremo che B è un sottoanello (rispettivamente sottocorpo, sottocampo) di (A, +, ) se (B, +, ) è un anello (rispettivamente corpo, campo) rispetto alle stesse operazioni +, definite in A. Si hanno subito le seguenti proposizioni: Proposizione 4.7 Sia A un anello e B un suo sottoinsieme non vuoto; B è un sottoanello di A se e solo se a b B e a b B per ogni a, b B. Proposizione 4.8 Sia K un corpo (rispettivamente un campo) e sia B un sottoinsieme di K contenente almeno due elementi; B è un sottocorpo (rispettivamente sottocampo) se e solo se a b B per ogni a, b B e a b 1 B per ogni a, b B con b 0. Esempi: ogni ideale di un anello A è anche un sottoanello di A. (Q, +, ) è un sottocampo del campo (R, +, ). (Q, +, ) non ha sottocampi diversi da Q stesso. (si veda l esercizio 4.22). Nella teoria degli anelli gli ideali bilateri giocano un ruolo analogo a quello giocato dai sottogruppi normali nell ambito della teoria dei gruppi; alcune delle seguenti proposizioni metteranno in risalto questa analogia. Definizione 4.6 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo di A in A ; chiamiamo nucleo di f l insieme degli elementi di A che sono trasformati da f nello zero di A : Ker f = {x A f(x) = 0 }. È banale verificare la seguente Proposizione 4.9 Se A, A sono anelli ed f è un omomorfismo di A in A, Ker f è un ideale bilatere di A e si ha Ker f =< 0 > se e solo se f è iniettivo. Proposizione 4.10 Sia A un anello e I un suo ideale bilatere. Sia A/I = {a+i a A}. La relazione che associa ad ogni coppia (a+i, b+i) di elementi di A/I l elemento ab + I è un operazione in A/I. 15

Dim. Basta provare che si tratta di un applicazione di A/I A/I in A/I. Cioè basta provare che se è a+i = a +I e b+i = b +I si ha a b +I = ab+i. Ebbene a + I = a + I = a = a + i con i I, b + I = b + I = b = b + j con j I; dunque a b = (a + i)(b + j) = ab + aj + ib + ij ab + I (poiché aj, ib, ij I) e dunque a b + I = ab + I (poiché le due classi laterali a b + I e ab + I del sottogruppo I del gruppo (A, +) hanno in comune l elemento a b ). Proposizione 4.11 Sia A un anello e sia I un suo ideale bilatere. Sia A/I = {a + I a A}; A/I è un anello rispetto alle seguenti operazioni: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I. Inoltre, se A è commutativo anche A/I è commutativo; se A è unitario e I A anche A/I è unitario. Dim. (A/I, +) è un gruppo abeliano perché quoziente di un gruppo abeliano. Inoltre, la proposizione 4.10 ci assicura che l operazione di moltiplicazione è ben definita (non dipende dai rappresentanti e quindi è un operazione fra classi). Tutte le rimanenti verifiche sono banali. In particolare, se A ammette unità 1 e se I A, anche A/I è unitario e 1 + I è la sua unità. Definizione 4.7 Sia A un anello ed I un suo ideale bilatere; l anello A/I (di cui alla precedente proposizione) è detto anello quoziente. Proposizione 4.12 Sia A un anello e I un suo ideale bilatere; l applicazione f : A A/I definita da f(a) = a + I è un omomorfismo (detto omomorfismo naturale) suriettivo di A su A/I e si ha Ker f = I. Dim. Banalmente, si ha f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b); inoltre f è suriettiva e x Ker f f(x) = I x + I = I x I cioè Ker f = I. Proposizione 4.13 Siano A, A anelli, f un omomorfismo suriettivo di A su A. Si ha A isomorfo ad A/Ker f. Dim. Poniamo I = Ker f e definiamo φ : A/I A, φ(a + I) = f(a). La φ è una applicazione: a + I = b + I = a b I = f(a b) = 0 = f(a) f(b) = 0 = f(a) = f(b). Banalmente, poi, φ è suriettiva e φ((a+i)+(b+i)) = φ(a+i)+φ(b+i) φ((a+i) (b+i)) = φ(a+i) φ(b+i); 16

pertanto φ è un omomorfismo. Infine, φ(a+i) = φ(b+i) = f(a) = f(b) = f(a b) = 0 = a b I = a + I = b + I e pertanto φ è iniettiva e dunque è un isomorfismo di A/I su A. Le due proposizioni precedenti ci permettono di affermare che le immagini omomorfe di un anello A sono tutte e sole i quozienti di A. Esempi: i quozienti di (Z, +, ) rispetto agli ideali banali sono Z/Z isomorfo a < 0 > e Z/ < 0 > isomorfo a Z; gli altri quozienti sono gli anelli Z n delle classi resto modulo n, n 2. (Infatti, si veda anche l esercizio 4.13, ogni sottogruppo di (Z, +) è un ideale bilatere dell anello (Z, +, )). Definizione 4.8 Sia A un anello commutativo e I un suo ideale; I è detto massimale se I A e non esistono altri ideali, oltre A, che contengono propriamente I. Quindi, un ideale I di un anello commutativo A è massimale quando non coincide con A e ogni qualvolta esiste un ideale J di A tale che I J A si ha I = J oppure J = A. Esempi: gli ideali massimali di Z sono tutti e soli quelli generati da numeri primi. Si veda l esercizio 4.13. In Q[x] gli ideali < x >, < 2x + 1 >, < x 2 + 1 > sono massimali mentre < x 2 >, < x 2 1 > non sono massimali. Si veda l esercizio 4.18. Proposizione 4.14 Sia A un anello commutativo unitario e sia I un suo ideale. Si ha I massimale se e solo se A/I è un campo. Dim. Sia I massimale; proviamo che A/I è un campo. Sia a + I I; allora si ha < a, I >= A e quindi 1 < a, I > cioè (in base alla proposizione 4.5) esistono i I e x A tali che a x + i = 1 e quindi a x = 1 i 1 + I cioè (a+i)( x+i) = 1+I; ciò significa che ogni elemento a+i I ammette inverso in A/I e quindi A/I è un campo. Viceversa, sia A/I un campo; proviamo che I è massimale. Da A/I campo segue intanto I A (infatti A/A è un anello costituito da un solo elemento, lo zero, e pertanto non può essere un campo). Sia J un ideale di A che contenga propriamente I; proviamo che J = A; infatti, sia a J, a / I; si ha a + I I e dunque esiste b + I A/I tale che (a + I)(b + I) = 1 + I cioè si ha ab + I = 1 + I e dunque ab 1 I 17

e perciò ab 1 J; ma poiché anche ab J si ha 1 = ab (ab 1) J cioè 1 J e dunque J = A. Proposizione 4.15 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo di A in A ; per ogni sottoanello B di A, f(b) = {f(x) x B} è un sottoanello di A ; per ogni sottoanello B di A, f 1 (B ) = {x A f(x) B } è un sottoanello di A. Dim. Sia B un sottoanello di A; se x, ȳ f(b) si ha x = f(x), ȳ = f(y) con x, y B e pertanto x y, xy B e dunque x ȳ = f(x y) f(b) e xȳ = f(xy) f(b). Inoltre, si ha f 1 (B ). Siano x, y f 1 (B ); si ha x, y A e f(x), f(y) B e pertanto f(x y) B e f(xy) B cioè x y f 1 (B ) e xy f 1 (B ). Proposizione 4.16 Siano A, A anelli e sia f un omomorfismo iniettivo di A in A ; allora f(a) è un sottoanello di A isomorfo ad A. Dim. È banale conseguenza della iniettività di f e della proposizione 4.15. Proposizione 4.17 Siano K, K corpi e sia φ un omomorfismo di K in K ; allora φ è l omomorfismo nullo oppure φ è iniettivo. Dim. Ker φ è un ideale bilatere di K; pertanto per la proposizione 4.3 si ha Ker φ = K oppure Ker φ =< 0 >; nel primo caso φ è l omomorfismo nullo, nel secondo caso (si veda proposizione 4.10) φ è iniettivo. Proposizione 4.18 Siano K e K corpi e sia φ un omomorfismo non nullo di K in K allora φ(k) è un sottocorpo di K isomorfo a K. Dim. Banale conseguenza della proposizione precedente. Esercizi e complementi Nei seguenti esercizi ogni qual volta parleremo di ideali senza specificare se ideale destro o ideale sinistro intenderemo bilatere. 18

Esercizio 4.1 Sia Z( 2) = {a + b 2 a, b Z}. Dimostrare che Z( 2) è un sottoanello del campo dei numeri reali e determinare gli automorfismi di Z( 2). [Suggerimento: per la seconda parte si osservi che se φ è un automorfismo di Z( 2) φ induce l identità su Z, infatti... Dunque φ(2) = φ( 2)φ( 2) = 2 e ciò implica φ( 2) =...]. Esercizio 4.2 Dimostrare che l insieme degli automorfismi di un anello A è un gruppo, sottogruppo di Sym A. Esercizio 4.3 Sia Q( 2) = {a + b 2 a, b Q}. Verificare che è un sottocampo del campo dei numeri reali e trovarne gli automorfismi. [Si proceda come nell esercizio 4.1]. Esercizio 4.4 Sia R un anello. Sia a R, r(a) = {x R ax = 0}. Dimostrare che r(a) è un ideale destro di R. Sia s(a) = {x R xa = 0}, s(a) è ideale sinistro di R. Esercizio 4.5 Sia R un anello. Sia a R e Ra = {xa x R}; dimostrare che Ra è un ideale sinistro di R. Analogamente dimostrare che ar = {ax x R} è un ideale destro di R. Esercizio 4.6 Sia R un anello e siano I e J ideali bilateri di R. Dimostrare che {a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n n N, a i I, b i J} è un ideale bilatere di R, contenuto in I J. Esercizio 4.7 Sia A un anello commutativo e sia N l insieme degli elementi nilpotenti di A. Dimostrare che N è un ideale di A. [Suggerimento: se N = {0} è verificato. Sia N {0}, siano a, b N e sia a n = 0 e b m = 0. Allora (a b) n+m = n+m i=0 ( 1)i( ) n+m i a i b n+m i. Se i n, a i = a n a i n = 0, se i < n allora n + m i > m e b n+m i = 0 perciò (a b) n+m = 0 e a b N. Il resto si ottiene facilmente] Esercizio 4.8 Siano I e J due ideali bilateri di un anello A. Verificare che l insieme I + J = {x + y x I, y J} è un ideale bilatere di A. Esercizio 4.9 Sia A un anello unitario e sia I un ideale destro (rispettivamente sinistro) di A. Si ha I = A oppure preso b I {0} non esiste un elemento c A {0} tale che bc = 1 (rispettivamente cb = 1). Questo assicura che ogni ideale non banale di un anello unitario, sia esso ideale destro, ideale sinistro o ideale bilatere non può contenere elementi invertibili. 19

( ) a b Esercizio 4.10 Sia K un campo e sia A = { a, b K}. Dimostrare che A è un sottoanello di M 2 (K) e determinare gli ideali bilateri di A. b a + 2b [Suggerimento: si ricordi che un ideale non banale non contiene elementi invertibili]. Esercizio 4.11 Verificare che l anello somma diretta di R e Z non è un corpo. Verificare che, fissato m Z, A m = {(x, y) x Q, y mz} è un sottoanello di R Z. Esercizio 4.12 Trovare tutti gli ideali dell anello somma diretta di Z 3 e Z 5. Esercizio 4.13 Dimostrare che (Z, +, ) è un anello ad ideali principali e che un ideale è massimale se e solo se è generato da un numero primo. Esercizio 4.14 L anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K è ad ideali principali. [Suggerimento: sia I un ideale di K[x] diverso dall ideale < 0 >; sia m = min{deg f(x) f(x) I} e sia g(x) I tale che deg g(x) = m. Il polinomio g(x) genera I. Sia infatti f(x) I, f(x) 0; allora esistono q(x), r(x) K[x], con r(x) = 0 oppure deg r(x) < m tali che f(x) = q(x)g(x) + r(x)...]. Esercizio 4.15 Sia K un campo e sia a K un elemento fissato. Sia φ : K[x] K l applicazione definita ponendo φ(f(x)) = f(a). Si verifichi che φ è un omomorfismo suriettivo e si determini un generatore dell ideale Ker φ. Esercizio 4.16 Sia K un campo. Dimostrare che comunque preso un elemento c K l ideale di K[x] generato da c coincide con tutto K[x]. Esercizio 4.17 Sia p un numero primo. Sia A p Q l insieme così definito: A p = {0} {± m m, n N MCD (m, n) = MCD (n, p) = 1}. Dimostrare che n A p è un sottoanello di Q ed è in particolare un dominio di integrità ad ideali principali. Trovare gli elementi invertibili in A p. Dimostrare che l ideale generato da p è massimale. [Suggerimento: la prima parte è di facile verifica. Per dimostrare che A p è ad ideali principali si osservi che se I è un ideale non banale di A p ogni elemento non nullo di I è non invertibile e pertanto può essere scritto nel seguente modo: p s a b con s > 0 e con MCD (a, p) = MCD (b, p) = 1. Posto a d(ps ) = s, sia b m = min{d(x) x I, x 0}. Si verifichi che un elemento t I {0} e tale che d(t) = m genera I]. L anello studiato nel precedente esercizio è conosciuto come anello dei p-adici razionali. 20

Esercizio 4.18 Sia K un campo. Dimostrare che un ideale di K[x] è massimale se e solo se è generato da un polinomio f(x) non avente grado 0 e che non può essere scritto come prodotto di due polinomi g(x), h(x) di K[x] entrambi di grado non nullo. [Suggerimento: si ricordi che K[x] è ad ideali principali, si veda l esercizio 4.14]. Esercizio 4.19 Sia A = 4Z il sottoanello di Z contenente tutti e soli i multipli di 4. Dimostrare che 8Z è un ideale massimale di A. ( Esercizio ) 4.20 Sia B il sottoanello di M 2 (R) costituito ( dalle ) matrici del tipo 0 0 0 0 al variare di a e b in R. Verificare che I = { a R} è un a b a 0 ideale bilatere di B e che B/I è isomorfo al campo R. Esercizio 4.21 Su R R siano definite le seguenti operazioni:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, bc + ad). Verificare che (R R, +, ) è un anello commutativo unitario. Determinare gli elementi invertibili e dimostrare che ogni elemento non invertibile è divisore dello zero. Detto M l insieme degli elementi non invertibili dimostrare che M è un ideale massimale. [Suggerimento: per l ultima parte trovare un omomorfismo suriettivo di R R su un campo avente come nucleo M]. Esercizio 4.22 Dimostrare che (Q, +, ) non ha sottocampi diversi da Q stesso. [Soluzione: sia K un sottocampo di Q. Poiché 1 K segue Z K; sia x Q esistono a Z e b Z, con b 0, tali che x = ab 1 dunque x K e Q = K]. Esercizio 4.23 Dimostrare che il campo (Z p, +, ) non ha sottocampi diversi da Z p stesso. Esercizio 4.24 Sia A un anello commutativo unitario, dimostrare che l anello quoziente A[x]/ < x > è isomorfo ad A. Esercizio 4.25 Un anello unitario privo di ideali sinistri (rispettivamente di ideali destri) non banali è un corpo. [Suggerimento: si ricordi l esercizio 4.5]. Esercizio 4.26 Nell anello M 2 (R) trovare sottoanelli che non sono ideali. Esercizio 4.27 Nell anello M 2 (R) trovare ideali destri ed ideali sinistri non banali e provare che non esistono ideali bilateri non banali. ( [Suggerimento: ) per la a1 a seconda parte sia I un ideale bilatere, I < 0 > e sia 2 I una matrice a 3 a 4 non nulla; cercare di individuare in I un elemento invertibile]. 21

Esercizio 4.28 Dimostrare che l insieme delle matrici a 1 a 2 a 3 a 4 a 2 a 1 a 4 a 3 a 3 a 4 a 1 a 2 a 4 a 3 a 2 a 1 al variare di a 1, a 2, a 3, a 4 in R, rispetto all addizione elemento per elemento e alla moltiplicazione riga per colonna, è un corpo isomorfo al corpo dei quaternioni. 5 Domini di integrità e campi Abbiamo detto (definizione 1.4) che dominio di integrità è ogni anello non nullo, commutativo e privo di divisori dello zero. Abbiamo osservato che ogni campo è un dominio di integrità. Proviamo ora la seguente Proposizione 5.1 Ogni dominio di integrità finito è un campo. Dim. Sia D un dominio di integrità finito e sia D = {0, a 1, a 2,..., a n }; basta provare che gli elementi di D = D {0} formano un gruppo rispetto alla moltiplicazione. Poiché il prodotto in D è commutativo, basta provare che per ogni a i, a j D esiste un a h D tale che a i a h = a j. Ebbene, consideriamo gli elementi a i a 1, a i a 2,..., a i a n. Essi sono tutti elementi di D (poiché D è privo di divisori dello zero) e sono tutti a due a due distinti (infatti a i a r = a i a s = a i (a r a s ) = 0 = a r = a s ); dunque essi sono tutti gli elementi di D e quindi esattamente uno di essi è a j, questo dimostra l esistenza di a h D tale che a i a h = a j. Dunque preso a D, 1 D tale che a1 = a. Sia ora b un qualunque elemento di D, esiste y D tale che ya = b allora (ya)1 = b1 ma (ya)1 = y(a1) = ya = b perció b1 = b, b D. Ovvero D é unitario. Ora, a D é possibile trovare x tale che ax = 1, quindi a é invertibile. Concludiamo che D é un campo. Come conseguenza della precedente proposizione ritroviamo che l anello Z n delle classi resto modulo n (n 2) è un campo se e solo se n è primo. Proposizione 5.2 Sia D un dominio di integrità e sia a D = D {0}; se l elemento a ha periodo finito n nel gruppo additivo (D, +) allora ogni elemento non nullo di (D, +) ha periodo n. 22

Dim. Sia b D ; da na = 0 segue (na)b = 0 e quindi a(nb) = 0 cioè nb = 0; se il periodo di b nel gruppo (D, +) fosse m < n da mb = 0 seguirebbe (procedendo in modo analogo) ma = 0 e questo contraddirebbe l ipotesi che a sia di periodo n. Conseguenza immediata della proposizione precedente è la Proposizione 5.3 Se D è un dominio di integrità ed a D è un elemento tale che na 0 per ogni numero naturale n 0, allora è nb 0 per ogni b D e ogni n N. Quanto visto in queste due ultime proposizioni permette di dare la seguente Definizione 5.1 Diciamo che un dominio di integrità D ha caratteristica zero, car D = 0, se na 0 per ogni n N e ogni a D ; diciamo che D ha caratteristica n > 0, car D = n, se ogni elemento non nullo di D ha periodo n nel gruppo additivo (D, +). Esempi: (Z, +, ) ha caratteristica zero; così pure hanno caratteristica zero il campo dei razionali ed il campo dei reali. Per ogni p numero primo Z p è un campo di caratteristica p e Z p [x] è un dominio di caratteristica p. Proposizione 5.4 La caratteristica di un dominio di integrità è zero oppure è un numero primo. Dim. Sia D un dominio di integrità e sia car D = n 0. Il numero n è primo; infatti in caso contrario esisterebbero due fattori propri r, s (1 < r, s < n) di n tali che n = rs; ma allora, per a D, da na = 0 seguirebbe (rs)a = 0 cioè r(sa) = 0 e questo implicherebbe sa = 0 (assurdo essendo car D = n) oppure sa 0, sa di periodo r (assurdo essendo car D = n). Proposizione 5.5 Se D è un dominio di integrità e a, b, c D con a 0 si ha ab = ac = b = c (regola di cancellazione). Dim. ab = ac = a(b c) = 0 = b = c. 23

L anello degli interi (Z, +, ) è un dominio di integrità contenuto nel campo (Q, +, ) dei numeri razionali; anzi, ogni numero razionale si può esprimere come quoziente a di due interi a, b con b 0. b Quanto osservato per gli interi ed i razionali si può estendere ad ogni dominio di integrità, vale infatti la seguente Proposizione 5.6 Se D è un dominio di integrità esiste un campo K, detto campo dei quozienti di D, tale che K contiene un sottodominio D isomorfo a D ed ogni elemento di K si può esprimere nella forma ab 1 con a, b D e b 0 (diremo l elemento ab 1 quoziente di a e b). Dim. Sia D = D {0}; definiamo in D D la seguente relazione (a, b) (c, d) se ad = bc. Verifichiamo che la relazione è di equivalenza. Per ogni (a, b) D D : (a, b) (a, b); infatti è ab = ba. (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b); infatti da ad = bc segue cb = da. Infine (a, b) (c, d) e (c, d) (e, f) = (a, b) (e, f); infatti da ad = bc e da cf = de segue, moltiplicando la prima per f 0 e la seconda per b 0, adf = bcf, bcf = bde cioè adf = bde e quindi af = be (per la regola di cancellazione) cioè (a, b) (e, f). Resta così provato che la relazione è una relazione di equivalenza in D D. Sia K = D D / l insieme delle classi di equivalenza; indichiamo con [(a, b)] la classe di equivalenza che contiene la coppia (a, b). Definiamo in K le seguenti operazioni: [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)], [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]. Le precedenti definizioni sono lecite; infatti se abbiamo [(a, b)] = [(a, b )] e [(c, d)] = [(c, d )] si ha ab = ba, cd = dc e dunque si ha anche (ad + bc)b d = adb d + bcb d = ba dd + dc bb = bd(a d + b c ) cioè [(ad + bc, bd)] = = [(a d + b c, b d )]; ed anche acb d = bda c cioè [(ac, bd)] = [(a c, b d )]. (K, +) è un gruppo abeliano, come risulta facilmente; osserviamo che lo zero di (K, +) è la classe [(0, b)]; l opposto di [(a, b)] è la classe [( a, b)]. Valgono la proprietà commutativa della moltiplicazione e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione; inoltre la classe [(a, a)] (a D ) funge da elemento neutro della moltiplicazione ed infine, per ogni [(a, b)] K, K = K {[(0, c)]} si ha [(a, b)] 1 = [(b, a)] K. Dunque K è un campo. Osserviamo che è [(ah, h)] = [(ab, b)] e poniamo D = {[(ab, b)] a D, b D }. Definiamo f : D K, f(a) = [(ab, b)]. Si ha f(x) + f(y) = [(xh, h)] + [(yk, k)] = [(xhk + yhk, hk)] = f(x + y) e f(x)f(y) = [(xh, h)] [(yk, k)] = [(xyhk, hk)] = f(xy); pertanto f è un 24

omomorfismo di D in K. Inoltre f è un omomorfismo iniettivo infatti: f(x) = f(y) = [(xh, h)] = [(yk, k)] = xhk = yhk = x = y; poiché è f(d) = D ne viene (proposizione 4.16) che D è isomorfo a D. Sia infine [(a, b)] K; si ha [(a, b)] = [(ac, c)] [(d, bd)] = [(ac, c)] [(bd, d)] 1 e quindi ogni elemento [(a, b)] di K si scrive come quoziente di due elementi [(ac, c)] e [(bd, d)] di D con [(bd, d)] [(0, h)]. Abbiamo visto che i domini D e D sono isomorfi; quindi possiamo identificarli e dire che il campo K contiene come sottodominio D ed ogni elemento a K si esprime come quoziente a = bc 1 di due elementi b, c D con c 0. Osserviamo che in ogni campo K per ogni b, c K con c 0 si ha bc 1 = c 1 b e pertanto tale elemento si può indicare con b c. Esempi: abbiamo già osservato che (Q, +, ) è il campo dei quozienti di (Z, +, ). Se K[x] è il dominio di integrità dei polinomi in x a coefficienti nel campo K, il campo dei quozienti di K[x] si indica con K(x) e si ha: K(x) = { f(x) f(x), g(x) K[x], g(x) 0}. g(x) Si ha ovviamente car K(x) = car K; in particolare, Z p [x] e Z p (x) sono esempi di domini e campi di caratteristica p (per ogni numero primo p) costituiti da infiniti elementi. Proposizione 5.7 Sia K un campo e sia H l intersezione insiemistica di tutti i sottocampi di K. H è un sottocampo di K (detto sottocampo minimo o fondamentale) e H è isomorfo a Q se car K = 0, H è isomorfo a Z p se car K = p. Dim. H contiene 0, 1; inoltre, banalmente a b H per ogni a, b H e ab 1 H per ogni a, b H con b 0; pertanto H è un sottocampo di K. Sia ora car K = 0 e sia f : Q K, f( m n ) = (mu)(nu) 1 avendo indicato con u l unità di K. La f è una applicazione da Q in K; infatti, se è m n = r s si ha ms = nr e pertanto (ms)u = (nr)u cioè (mu)(su) = (nu)(ru) e dunque (mu)(nu) 1 = (ru)(su) 1 cioè f( m n ) = f(r s ). Si ha f( m n + r + nr ) = f(ms ) = (ms + nr)u(nsu) 1 ; s ns f( m n ) + f(r s ) = (mu)(nu) 1 + (ru)(su) 1 = (mu)(su)(su) 1 (nu) 1 + 25

+(ru)(nu)(nu) 1 (su) 1 = [(mu)(su) + (ru)(nu)](nu) 1 (su) 1 = = (ms + nr)u[(nu)(su)] 1 = (ms + nr)u(nsu) 1 cioè è f( m n + r s ) = f(m n ) + f( r s ). Inoltre è f( m n r s ) = f(mr ns ) = (mru)(nsu) 1 = (mu)(ru)[(nu)(su)] 1 = = (mu)(nu) 1 (ru)(su) 1 = f( m n ) f(r s ). Pertanto f è un omomorfismo e poiché non è nullo, f è iniettivo (proposizione 4.17); ne viene che f(q) è un sottocampo di K isomorfo a Q (proposizione 4.18). Si ha dunque H f(q) = {(mu)(nu) 1 m, n Z, n 0}. D altra parte, gli elementi di f(q) sono contenuti in ogni sottocampo di K e pertanto è f(q) H cioè H = f(q). Sia infine car K = p e sia g : Z p K, g([n]) = nu essendo u l elemento unità di K. La g è una applicazione da Z p in K : infatti se è [n] = [m] si ha n m 0 mod p e pertanto (n m)u = 0 (essendo K di caratteristica p) e quindi nu = mu cioè g([n]) = g([m]). Si ha poi g([n] + [m]) = = g([n + m]) = (n + m)u = (nu) + (mu) = g([n]) + g([m]) e g([n] [m]) = g([nm]) = = nmu = (nu)(mu) = g([n]) g([m]). Dunque g è un omomorfismo di Z p in K e poiché g non è nullo, g risulta (per la proposizione 4.17) iniettivo e dunque (proposizione 4.18) g(z p ) è un sottocampo di K isomorfo a Z p. Si ha dunque H g(z p ) = {nu n Z} = {0, u, 2u,..., (p 1)u} e poiché banalmente 0, u,..., (p 1)u sono contenuti in ogni sottocampo di K, e quindi stanno in H, si ha H = g(z p ). Proposizione 5.8 Sia C = R R; definiamo in C le seguenti operazioni: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). (C, +, ) è un campo e contiene un sottocampo isomorfo ad R. Dim. (C, +) è un gruppo abeliano, come si verifica facilmente; in particolare, il suo elemento zero è (0, 0) e (a, b) = ( a, b). C = C {(0, 0)} è un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione; in particolare, (1, 0) è l elemento neutro della moltiplicazione e se è (a, b) (0, 0) si ha (a, b) 1 = a ( a 2 + b, b ); infine, vale la proprietà distributiva della moltiplicazione 2 a 2 + b2 rispetto all addizione, quindi (C, +, ) è un campo. Gli elementi (x, 0) al variare di x in R formano un sottocampo di C isomorfo ad R. 26

Definizione 5.2 Il campo (C, +, ) di cui alla precedente proposizione si chiama campo dei complessi ed i suoi elementi si chiamano numeri complessi Analogamente a quanto fatto per i quaternioni, possiamo rappresentare i complessi nella forma polinomiale scrivendo a + bi al posto di (a, b); in questa nuova forma i complessi si sommano e si moltiplicano come se fossero polinomi in i, ricordando di scrivere 1 al posto di i 2. Tale forma trova una giustificazione razionale osservando che è (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1); identificando (x, 0) con il numero reale x e ponendo (0, 1) = i si ha (a, b) = a + bi; inoltre, da (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) segue i 2 = 1. Esercizi e complementi Esercizio 5.1 Sia D un dominio di integrità di caratteristica p. Si studi l applicazione f di D in D così definita f(x) = x p, per ogni x D. È iniettiva? È suriettiva? È un omomorfismo? Esercizio 5.2 Sia K un campo di caratteristica p. Provare che per y K e n N {0} si ha y pn = 1 se e solo se y = 1. ( ) x y Esercizio 5.3 Dimostrare che C = { x, y Z y x y 5 } è un campo rispetto alle usuali operazioni definite in M 2 (Z 5 ). Determinare la caratteristica e l ordine di C. Esercizio 5.4 Sia K un campo e sia u la sua unità moltiplicativa. Determinare la caratteristica di K sapendo che u + u + u + u = 0 e u + u + u + u + u + u = 0. Esercizio 5.5 Sia Z[i] il sottoinsieme del campo C dei numeri complessi così definito: Z[i] = {a + bi a, b Z}. Dimostrare che Z[i] con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri complessi è un dominio di integrità unitario. Individuare gli elementi invertibili. L anello Z[i] è detto anello degli interi di Gauss. Esercizio 5.6 Si determini la caratteristica di C e di Z[i]. 27

Esercizio 5.7 Si consideri l anello degli interi di Gauss Z[i]. (Si veda l esercizio 5.5). Sia I = {px + pyi x, y Z} con p Z numero primo prefissato. Verificare che I è un ideale bilatere, determinare l ordine di Z[i]/I e studiare l anello quoziente Z[i]/I (è un dominio di integrità? È un anello commutativo? È unitario?) ( a b Esercizio 5.8 Dimostrare che { b a isomorfo al campo dei numeri complessi. ) a, b R} è un sottoanello di M 2 (R) Esercizio 5.9 Studiare il campo dei quozienti dell anello degli interi di Gauss. Esercizio 5.10 Dimostrare che Q(i) = {a + bi a, b Q} è un sottocampo del campo C e che esso è minimo tra tutti i sottocampi di C che contengono i (ovvero è contenuto in ogni sottocampo di C che contiene i). Esercizio 5.11 Studiare il campo dei quozienti dell anello dei p-adici razionali. (Si veda l esercizio 4.17). Esercizio 5.12 Verificare che C è isomorfo ad un sottocampo del corpo dei quaternioni. 6 Anelli euclidei Definizione 6.1 Sia A un dominio di integrità e sia A = A {0}. A è detto anello euclideo se esiste una applicazione d : A N tale che per ogni a, b A si ha d(a) d(ab) per ogni a A ed ogni b A esistono q, r A tali che a = bq + r con r = 0 oppure d(r) < d(b). Esempi: ogni campo K è un anello euclideo; basta definire d(x) = 1 per ogni x K. (Z, +, ) è un anello euclideo: d(n) = n per ogni n Z. K[x] è un anello euclideo: d(f(x)) = deg f(x) (grado del polinomio f(x)) per ogni f(x) 0). 28

Proposizione 6.1 Ogni anello euclideo è unitario. Dim. Sia A un anello euclideo e sia b A tale che d(b) = min {d(x) x A }. Comunque preso a A, esiste q a A tale che a = bq a ; infatti si ha a = bq a + r e risulta r = 0 non potendo essere d(r) < d(b) per l ipotesi di minimo fatta per d(b). In particolare si ha b = bq b. Proviamo che q b è l unità di A; sia x A si ha x = bq x e xq b = bq x q b = bq b q x = bq x = x. Dalla proposizione precedente segue subito che l anello 2Z degli interi pari non è euclideo. Proposizione 6.2 Ogni anello euclideo è un anello ad ideali principali. Dim. Sia A un anello euclideo e sia I un suo ideale. Se I =< 0 >, I è principale. Sia I < 0 > e sia a I, a 0 tale che d(a) = min {d(x) x I {0}}; per ogni y I si ha y = aq + r ed è r = 0 per l ipotesi di minimo fatta per d(a). Dunque y I = y = aq; viceversa, per ogni z A si ha az I e quindi è I = {ax x A} =< a >. La proposizione precedente non solo assicura che ogni ideale di un anello euclideo è principale ma dice anche che i generatori di un ideale I < 0 > sono esattamente gli elementi x I tali che d(x) = min {d(z) z I {0}}. In particolare, se I < 0 > è un ideale di (Z, +, ) i generatori di I sono m e m essendo m il più piccolo intero positivo contenuto in I. Definizione 6.2 Sia A un anello commutativo e siano a, b A, b 0; diciamo che b è un divisore di a o che b divide a, e scriviamo b a, se esiste c A tale che a = bc. È di immediata verifica la seguente Proposizione 6.3 Sia A un anello commutativo e siano a, b, c A; si ha b, a 0; a b, b c = a c a 0; a b, a c = a (b + c) e a (b c). Definizione 6.3 Sia A un anello commutativo e siano a, b A = A {0}. Un elemento d A è detto massimo comun divisore di a e b se: 29

d a, d b; se c A, c a e c b allora c d. Se d è un massimo comun divisore di a e b scriveremo d = MCD (a, b) o anche, quando non si creeranno equivoci, d = (a, b). Proposizione 6.4 Sia A un anello euclideo e siano a, b A ; esiste un massimo comun divisore d di a e b e si ha d = λa + µb per opportuni λ, µ A. Dim. Sia I = {xa + yb x, y A}; è immediato provare che I è un ideale di A contenente a e b; poiché ogni ideale di A è principale (proposizione 6.2), esiste d I tale che I =< d > e si ha d = λa + µb per opportuni λ, µ A; inoltre da a, b I =< d > segue a = dx, b = dy con x, y A e dunque d a e d b; infine se c A, c a e c b si ha c (λa + µb) e dunque c d. Proposizione 6.5 Sia A un anello euclideo e sia b A ; se esiste a A tale che d(a) = d(ab) allora b è invertibile. Dim. d(a) = d(ab) = < ab >=< a >= a = abc, con c A = a(1 bc) = 0 = bc = 1 = b è invertibile. Proposizione 6.6 Sia A un anello euclideo e sia b A invertibile; allora è d(a) = d(ab) per ogni a A. Dim. b invertibile = bc = 1, c A = a(1 bc) = 0 = a = abc = a < ab > = < a >=< ab > = d(a) = d(ab). Dalle due proposizioni precedenti segue in particolare che b A è invertibile se e solo se è d(1) = d(b). Banalmente si hanno inoltre le seguenti: Proposizione 6.7 Sia A un anello euclideo e sia b A ; b è invertibile se e solo se è d(a) = d(ab) per ogni a A. Proposizione 6.8 Sia A un anello euclideo. Un elemento b A è non invertibile se esiste a A tale che d(a) < d(ab); se b A è non invertibile allora è d(a) < d(ab) per ogni a A. 30

Proposizione 6.9 Sia A un dominio di integrità unitario e siano a, b A ; si ha a b e b a se e solo se esiste un elemento ɛ A invertibile tale che b = aɛ. Dim. a b e b a = a = bc, b = ad = b = bcd = b(1 cd) = 0 = 1 = cd = c, d invertibili. Viceversa, sia b = aɛ con ɛ invertibile; si ha a b e da bɛ 1 = a si ha anche b a. Definizione 6.4 Sia A un dominio di integrità unitario e siano a, b A ; diremo che a, b sono associati se è a b e b a. In base alla precedente proposizione, allora, a e b sono associati se e solo se esiste ɛ A invertibile tale che b = aɛ. Osserviamo che due elementi associati hanno lo stesso grado, infatti applicando la Proposizione 6.6 si ha d(b) = d(a ɛ) con ɛ invertibile. Non vale peró il viceversa: due elementi a, b tali che d(a) = d(b) non é detto che siano associati. Si pensi ad esempio ai polinomi x e x + 1 K[x], K campo. Proposizione 6.10 Sia A un dominio di integrità unitario; definiamo in A la seguente relazione: a b se a, b sono associati; è una relazione di equivalenza. Dim. Banale. Osserviamo che in un anello euclideo presi a, b A, esiste un massimo comun divisore di a e b, ma questo non é unico in generale. Infatti se d = (a, b) e d = ɛd, con ɛ invertibile, allora d é massimo comune divisore poichè soddisfa le condizioni della Definizione 6.3. Piú in generale, ogni elemento associato a d é un massimo comun divisore di a e b. Definizione 6.5 Sia A un anello euclideo e sia p A. Diremo che p è primo se è non invertibile e da p = ab con a, b A segue a invertibile oppure b invertibile. Definizione 6.6 Sia A un anello euclideo e siano a, b A ; diremo che a e b sono primi tra loro (o relativamente primi) se (a, b) = 1 cioè se 1 è un loro massimo comun divisore. 31

Proposizione 6.11 Sia A un anello euclideo e siano a, b, c A ; se a bc e (a, b) = 1 allora è a c. Dim. Da a bc segue bc = ah con h A ; da (a, b) = 1 segue che esistono λ, µ A tali che λa + µb = 1 e quindi λac + µbc = c ed ancora λac + µah = c cioè a(λc + µh) = c e dunque a c. Proposizione 6.12 Sia A un anello euclideo e siano a 1, a 2,..., a n A ; se p è un elemento primo di A che divide il prodotto a 1 a 2... a n allora p divide almeno uno degli elementi a 1, a 2,..., a n. Dim. Sia p a 1 a 2... a n ; se p non divide a 1 allora è (p, a 1 ) = 1 e, per la proposizione precedente, si ha p a 2... a n ; se p non divide a 2, si ha p a 3... a n ; così procedendo si prova che p divide almeno uno degli elementi a 1,..., a n. Proposizione 6.13 Sia A un anello euclideo e sia y A ; l elemento y è invertibile, oppure è primo oppure è prodotto di un numero finito di elementi primi di A (non necessariamente distinti). Dim. Da A =< 1 > segue d(1) = min {d(x) x A }. Procediamo per induzione su d(a), a A. La proposizione è vera per ogni y A tale che d(y) = d(1), infatti in tal caso y risulta invertibile. Supponiamo che la proposizione sia vera per tutti gli elementi x A tali che d(x) < d(a) e dimostriamo che è vera anche per tutti gli y A tali che d(y) = d(a). Se y è un elemento primo la tesi è verificata; se y non è primo, sia y = bc con b, c non invertibili; per la proposizione 6.8 si ha d(b) < d(bc) = d(y) = d(a) e d(c) < d(cb) = d(y) = d(a). Per l ipotesi di induzione da d(b) < d(a) segue b primo oppure b prodotto di un numero finito di elementi primi; analogamente, da d(c) < d(a) segue c primo oppure c prodotto di un numero finito di elementi primi e pertanto y = bc è prodotto di un numero finito di elementi primi. Proposizione 6.14 Sia A un anello euclideo. Ogni elemento di A non invertibile e non primo ammette una fattorizzazione unica, a meno di elementi invertibili, in fattori primi. 32

Dim. Se a A non è invertibile e non è primo, per la proposizione precedente si ha a = p 1... p r essendo p 1, p 2,..., p r elementi primi non necessariamente distinti. Supponiamo che si abbia a = q 1... q s con q i elementi primi (i = 1, 2,..., s). Supponiamo r s. Da p 1... p r = q 1... q s segue p 1 q 1... q s e dunque (proposizione 6.12) p 1 q i cioè q i = p 1 ɛ 1 con ɛ 1 elemento invertibile; si ha così p 2... p r = q 1... q i 1 ɛ 1 q i+1... q s ; da p 2 q 1... ɛ 1... q s si trae p 2 q j cioè q j = p 2 ɛ 2 con ɛ 2 elemento invertibile e quindi p 3... p r = q 1... ɛ 1... ɛ 2... q s. Se è s > r, così procedendo si giunge alla seguente eguaglianza 1 = ɛ 1... ɛ r q t1... q ts r che è assurda essendo q t1 elemento primo e quindi non invertibile. Dunque è s = r e i fattori q 1,..., q r sono, a meno dell ordine, associati ai fattori p 1,..., p r e quindi le due fattorizzazioni coincidono a meno di elementi invertibili. Abbiamo provato la proposizione nell ipotesi r s; il caso s r si tratta simmetricamente, scambiando il ruolo dei fattori p 1,..., p r con quello dei fattori q 1,..., q s. Proposizione 6.15 Sia Z[i] l insieme degli interi di Gauss, cioè l insieme dei numeri complessi a + bi con a e b interi; Z[i] è un anello euclideo rispetto alle usuali operazioni di addizione e moltiplicazione fra complessi. Dim. È immediato provare che Z[i] è un sottoanello del campo dei complessi e pertanto Z[i] è un dominio di integrità. Definiamo ora d(a + bi) = a 2 + b 2 per ogni a + bi 0. Sia h + ki Z[i], h + ki 0, si ha d((a + bi)(h + ki)) = (a 2 + b 2 )(h 2 + k 2 ) e poiché (h, k) (0, 0) si ha h 2 + k 2 1 e dunque (a 2 +b 2 )(h 2 +k 2 ) a 2 +b 2 cioè d(a+bi) d((a+bi)(h+ki)). Sia ora h+ki 0 e a + bi qualsiasi; esiste x + yi C tale che a + bi = (h + ki)(x + yi); da questa eguaglianza segue che x, y sono numeri razionali. Dunque esistono m, n Z tali che x m 1 e y n 1. Poniamo r = x m e s = y n. 2 2 Con questa posizione abbiamo a + bi = (h + ki)[m + r + (n + s)i] cioè a+bi = (h+ki)(m+ni)+(h+ki)(r +si) da questo segue che (h+ki)(r +si) risulta differenza di due elementi di Z[i] e quindi è esso stesso un elemento di Z[i]. Inoltre si ha (h + ki)(r + si) = 0 oppure d((h + ki)(r + si)) = (h 2 + k 2 )(r 2 + s 2 ) 1 2 (h2 + k 2 ) < h 2 + k 2 = d(h + ki). Resta così provato che Z[i] è un anello euclideo. La seconda condizione della definizione di anello euclideo assicura che se a, b sono due elementi e b 0 è possibile dividere a per b, cioè esiste un 33

quoziente q ed un resto r tali che a = bq + r (con r = 0 oppure d(r) < d(b)). Sappiamo che in Z e in K[x] quoziente e resto non solo esistono ma sono univocamente determinati; ciò però non è vero in ogni anello euclideo. Infatti nell anello degli interi di Gauss si ha 2+i = (1+i)(1 i)+i ma anche 2 + i = (1 + i) 1 + 1. Proposizione 6.16 Gli elementi invertibili di Z[i] sono 1, 1, i, i. Dim. Infatti si ha a + bi invertibile se e solo se d(a + bi) = d(1) cioè se e solo se a 2 + b 2 = 1. La dimostrazione della seguente proposizione risulterebbe immediata se si possedessero già i primi risultati della teoria dei campi finiti; tuttavia preferiamo procedere alla sua dimostrazione in questo paragrafo per poter utilizzare la proposizione stessa nella ricerca degli elementi primi dell anello Z[i]. Proposizione 6.17 Sia Z p il campo delle classi resto modulo p con p primo e p 1 (mod 4); allora 1 = [p 1] è un quadrato in Z p, cioè esiste a Z p tale che a 2 = 1. Dim. Esiste in Z p un solo elemento di periodo 2 ed è l elemento 1; infatti 1 1 (essendo p dispari) e ( 1) 2 = 1; inoltre, x Z p, x 2 = 1 = (x + 1)(x 1) = 0 = x = 1 oppure x = 1. Sia ora H l insieme dei quadrati di Z p cioè sia H = {x 2 x Z p}; banalmente H è un sottogruppo di Z p e poiché è x 2 = y 2 se e solo se è x = ±y si ha H = p 1 p 1. Poiché è p 1 (mod 4) si ha 2 e pertanto 2 2 H contiene un elemento di periodo 2; poiché 1 è l unico elemento di periodo 2, si ha 1 H. Proposizione 6.18 Sia p N primo, p 1 (mod 4), esistono a, b Z tali che p = a 2 + b 2. Dim. Dalla proposizione precedente segue che esiste n Z, n 2 1 (mod p); dunque esiste λ N tale che λp = n 2 + 1. Nell anello Z[i] si ha dunque la seguente eguaglianza: λp = (n + i)(n i). Se p fosse un elemento primo di Z[i] avremmo p (n+i) oppure p (n i). Ma p (n + i) = n + i = p(x + yi) = n = px e 1 = py = assurdo; 34

analogamente p (n i) = n i = p(x + y i) = n = px e 1 = py = assurdo. Dunque p non è primo in Z[i] e quindi si ha p = (a + bi)(h + ki) con a+bi, h+ki Z[i] non invertibili cioè con a 2 +b 2 = d(a+bi) 1 e h 2 +k 2 = d(h+ki) 1; dalla precedente eguaglianza si ricava d(p) = d((a+bi)(h+ki)) cioè p 2 = (a 2 + b 2 )(h 2 + k 2 ) ed essendo a 2 + b 2 1 e h 2 + k 2 1 ne segue a 2 + b 2 = h 2 + k 2 = p. Proposizione 6.19 Sia Z p il campo delle classi resto mod p, p 3 (mod 4); allora 1 non è un quadrato in Z p, cioè non esiste un a Z p tale che a 2 = 1. Dim. Se esistesse a Z p tale che a 2 = 1, l elemento a sarebbe un elemento di periodo 4 nel gruppo Z p e quindi dovrebbe essere 4 (p 1), questo è assurdo essendo p 3 (mod 4). Di conseguenza se p 3 (mod 4), p non è esprimibile come somma di due quadrati di interi (infatti, p = a 2 +b 2 = a 2 +b 2 = 0 in Z p = 1 = (ab 1 ) 2 in Z p contrariamente alla proposizione 6.19). Proposizione 6.20 Gli elementi primi dell anello Z[i] sono, a meno di associati, esattamente i seguenti: gli interi primi p con p 3 (mod 4); gli elementi a+bi con a 2 +b 2 = 2 oppure a 2 +b 2 = p con p intero primo tale che p 1 (mod 4). Dim. Proviamo intanto che se a + bi è tale che d(a + bi) = a 2 + b 2 è primo in Z allora a + bi è primo in Z[i]. Infatti, sia a + bi = (x + yi)(h + ki); si ha a 2 + b 2 = (x 2 + y 2 )(h 2 + k 2 ) ed essendo a 2 + b 2 primo in Z segue x 2 + y 2 = 1 oppure h 2 + k 2 = 1 cioè a + bi primo in Z[i]. Proviamo ora che se a + bi è primo in Z[i] allora esiste p Z, p primo in Z, tale che (a + bi) p in Z[i]. Infatti da a + bi primo in Z[i] segue a 2 +b 2 = d(a+bi) > 1; fattorizziamo a 2 +b 2 in Z nel prodotto di interi primi: a 2 + b 2 = p 1... p r allora (a + bi)(a bi) = p 1... p r in Z[i]. Poiché a + bi è primo ne segue che a + bi divide uno degli elementi p 1,..., p r ; cioè esiste p, primo in Z, tale che (a + bi) p. Ne segue che gli elementi primi in Z[i] vanno cercati fra gli elementi che risultano in Z[i] divisori degli interi primi di Z. 35

L intero primo 2 non è primo in Z[i] : 2 = (1 + i)(1 i). I fattori 1 + i, 1 i di 2 sono primi in Z[i] (infatti è d(1 + i) = d(1 i) = 2) ed essi sono (a meno di associati) i soli fattori primi di 2; è così provata la prima parte della seconda. Se p è un intero primo in Z con p 1 (mod 4) si ha p = a 2 + b 2 e dunque p = (a + bi)(a bi) cioè in Z[i] p non è primo ma lo sono i fattori a + bi e a bi (infatti è d(a + bi) = d(a bi) = p intero primo in Z). Non esistono (a meno di associati) altri fattori primi di p in Z[i] e questo completa la prova della seconda. Se p è un intero primo in Z con p 3 (mod 4) allora p è primo in Z[i]. Infatti, sia p = (a + bi)(h + ki); si ha d(p) = p 2 = (a 2 + b 2 )(h 2 + k 2 ); da p 3 (mod 4) segue che p non è esprimibile come somma di due quadrati e dunque si ha a 2 + b 2 = 1 oppure h 2 + k 2 = 1 cioè a + bi invertibile oppure h + ki invertibile e dunque p è primo. Ovviamente anche gli associati di p (±p, ±pi) sono primi e questo prova la prima e con essa la proposizione. Definizione 6.7 Sia A un anello commutativo e sia I un ideale di A. L ideale I si dice primo se ab I = a I oppure b I. Esempi: sia A un anello commutativo; banalmente A è ideale primo di A. Se A < 0 >, < 0 > è ideale primo di A se e solo se A è un dominio di integrità. Nell anello Z degli interi un ideale non banale è primo se e solo se è generato da un numero primo. Proposizione 6.21 Sia A < 0 > un anello commutativo e sia I un suo ideale, I A. Si ha I primo se e solo se A/I è un dominio di integrità. Dim. Sia I primo e siano a+i, b+i elementi di A/I tali che (a+i)(b+i) = I; si ha ab + I = I e dunque ab I; poiché I è primo ne segue a I oppure b I cioè a + I = I oppure b + I = I; dunque A/I è un dominio di integrità. Viceversa, sia A/I un dominio di integrità e sia ab I; ne segue ab+i = I quindi (a + I)(b + I) = I e poiché A/I è privo di divisori dello zero si ha a + I = I oppure b + I = I cioè a I oppure b I; dunque I è primo. Tenendo conto della proposizione appena provata e della proposizione 4.14 segue subito la 36

Proposizione 6.22 Sia A un anello commutativo unitario; ogni ideale massimale di A è anche un ideale primo. Il viceversa ovviamente non vale: per esempio in Z l ideale < 0 > è primo ma non è massimale; tuttavia in Z ogni ideale primo non banale (cioè diverso da < 0 > e da Z) è anche massimale. Esistono però anelli con ideali non banali primi e non massimali; per esempio consideriamo l anello Z[x] dei polinomi in x a coefficienti interi; l ideale < x > dei polinomi di Z[x] aventi termine noto zero è primo ma non è massimale perché è propriamente contenuto nell ideale dei polinomi di Z[x] aventi termine noto pari. Proposizione 6.23 Sia A un anello euclideo e sia I un ideale di A; I è massimale se e solo se è generato da un elemento primo. Dim. Sia I massimale e sia I =< a >, a non invertibile; se si ha a = xy allora si ha < a > < x > A e poiché I è massimale si trae < x >=< a > oppure < x >= A. Se < x >=< a > esiste h A tale che x = ah = a = ahy = 1 = hy = y è invertibile; se < x >= A esiste z A tale che xz = 1 = x è invertibile. Quindi da a = xy segue x invertibile oppure y invertibile, cioè a è primo. Viceversa sia I =< a > con a elemento primo; si ha I A poiché a non è invertibile. Supponiamo < a > < b > A; si ha a = bc e poiché a è primo segue b invertibile oppure c invertibile; nel primo caso si ha < b >= A nel secondo caso si ha b = ac 1 e quindi < b >=< a >. Ne segue che < a > è massimale. Proposizione 6.24 Sia A un anello euclideo e sia I < 0 >, A un suo ideale; si ha I primo se e solo se è generato da un elemento primo. Dim. Sia I primo e I =< a >; da I A segue a non invertibile; inoltre a = bc = bc I = b I oppure c I (essendo I ideale primo); b I = b = ah = a = ahc = 1 = hc = c invertibile; analogamente, c I = b invertibile. Ne segue che l elemento a è primo. Viceversa, sia a un elemento primo e sia I =< a >; si ha I < 0 >, A; inoltre bc < a >= bc = ah = a b oppure a c; da a b segue b < a >; da a c segue c < a > e quindi I è primo. Dalle due precedenti proposizioni segue immediatamente la 37

Proposizione 6.25 Sia A un anello euclideo e sia I < 0 >, A; si ha I massimale se e solo se I è primo. Quindi negli anelli euclidei il concetto di ideale primo coincide (a parte gli ideali banali) con il concetto di ideale massimale. Definizione 6.8 Sia K[x] l anello dei polinomi in x a coefficienti nel campo K e sia f(x) K[x], f(x) 0. Il polinomio f(x) si dice riducibile in K[x] se esistono g(x), h(x) K[x] non costanti (cioè di grado 1) tali che f(x) = g(x)h(x). Il polinomio f(x) si dice irriducibile in K[x] se non è costante e non esistono g(x), h(x) K[x] con deg h(x) 1 e deg g(x) 1 tali che f(x) = g(x)h(x). Poiché in K[x] gli elementi invertibili sono tutti e soli gli elementi di K (cioè tutte e sole le costanti non nulle) si ha che f(x) K[x], f(x) 0 è irriducibile in K[x] se e solo se è elemento primo di K[x]. Ne viene allora che un ideale I di K[x] è massimale in K[x] se e solo se è generato da un polinomio irriducibile di K[x] e quindi che il quoziente K[x]/I è un campo se e solo se I è generato da un polinomio irriducibile. Esempi: il polinomio x 2 + 1 R[x] è irriducibile in R[x], quindi l anello quoziente R[x]/ < x 2 + 1 > è un campo (isomorfo al campo dei complessi, si veda l esercizio 6.16). Definizione 6.9 Sia A un anello commutativo e sia I un suo ideale; diciamo che I è primario se ab I e a / I implica b n I per un opportuno n N. Banalmente ogni ideale primo è anche primario. Proposizione 6.26 Sia A un anello euclideo; un ideale I non banale di A è primario se e solo se è I =< p h > con p elemento primo di A e h N. Dim. Sia I =< p h > con p primo e h N e sia ab < p h > e a / < p h >; allora è p h ab e p h non divide a; sia p i la massima potenza di p che divide a (è i < h); dunque sia a = p i c con (p, c) = 1; otteniamo p h i cb e quindi p cb e poiché p è primo con c si ha p b e di conseguenza p h b h cioè b h < p h >. 38

Viceversa, sia b A, b non potenza di un elemento primo; allora è b = p m c con m > 0, p elemento primo, c elemento non invertibile di A primo con p. L ideale I =< b > non è primario; infatti è p m c I, p m / I (perché p m I = c è invertibile) e c n / I qualunque sia n N (infatti c n I implica n > 1 e p c n 1 cioè p c mentre è (p, c) = 1). Esercizi e complementi Esercizio 6.1 Dimostrare che l anello dei p-adici razionali (si veda l esercizio 4.17) è euclideo. [Suggerimento: si definisca d : A p N come segue: se x A p e x = p s a b con (a, p) = (b, p) = 1 sia d(x) = s]. Esercizio 6.2 Sia Z[ 2i] = {a + b 2i a, b Z}. Dimostrare che Z[ 2i] è un sottoanello di C e che è un dominio euclideo. [Suggerimento: si definisca d : Z[ 2i] N nel seguente modo: d(a + b 2i) = a 2 + 2b 2. Per verificare che comunque presi a+b 2i e c+d 2i, con c+d 2i 0, è possibile trovare q+q 2i Z[ 2i] e r+r 2i Z[ 2i] tali che a+b 2i = (q+q 2i)(c+d 2i)+r+r 2i con r 2 +2r 2 < c 2 +2d 2 si proceda come segue: a + b 2i c + d ac + 2bd + ( ad + bc) 2i = 2i c 2 + 2d 2 ; in Z si può scrivere ac+2bd = q(c 2 +2d 2 )+ s con 0 s < c 2 +2d 2 ; se s c2 + 2d 2 si 2 ponga q = q+1 e s = ( s c 2 2d 2 ) allora ac+2bd = q(c 2 +2d 2 )+s con s c2 + 2d 2 2 analogamente possiamo scrivere ad + bc = q (c 2 + 2d 2 ) + s con s c2 + 2d 2. 2 Allora a + b 2i = (q + q 2i)(c + d 2i) + (s + s 2i)(c + d 2i) c 2 + 2d 2...]. Esercizio 6.3 Trovare gli elementi invertibili in Z[ 2i]. Esercizio 6.4 Sia Z[ 5i] = {a + b 5i a, b Z}. Dimostrare che Z[ 5i] è un sottoanello di C. Considerato 6 Z[ 5i] dimostrare che la scomposizione in fattori primi di 6 non è unica. Z[ 5i] è euclideo? [Suggerimento: per la prima parte si dimostri che 1 e 1 sono gli unici elementi invertibili di Z[ 5i] e si ricordi che se a + b 5i e c + d 5i sono elementi di Z[ 5i] tali che (a + b 5i) (c + d 5i) allora (a 2 + 5b 2 ) (c 2 + 5d 2 )...]. Esercizio 6.5 Sia A un anello commutativo unitario. Siano a, b due elementi di A. Dimostrare che < a, b >= {ra + sb r, s A} è l ideale generato da a e b. Se 39

A è un dominio di integrità euclideo dimostrare che il generatore di questo ideale è (a, b), cioè: < a, b >=< (a, b) >. (La dimostrazione della seconda parte ricalca la dimostrazione della proposizione 6.4). Esercizio 6.6 Verificare che in un anello euclideo A, comunque presi due elementi a, b A un loro massimo comun divisore d = (a, b) si può calcolare come segue: supponiamo d(b) d(a), allora esistono q 0, r 0 A tali che b = aq 0 + r 0. Se r 0 = 0 si ha d = a. Se r 0 0 poiché d(a) > d(r 0 ) sia a = q 1 r 0 + r 1, se r 1 = 0 si ha d = r 0 se r 1 0 r 0 = q 2 r 1 + r 2. Di nuovo, se r 2 0 si proceda come sopra. Poiché {d(r i ) i = 0, 1,... } è una successione decrescente di numeri naturali, esisterà certamente n N tale che r n = 0 e dunque d = r n 1. Tale procedimento per il calcolo del massimo comun divisore di due elementi è conosciuto come algoritmo euclideo delle divisioni successive. Esercizio 6.7 Sia A un dominio di integrità unitario. Comunque presi due elementi a, b A dimostrare che se d è un loro massimo comun divisore e così pure d allora d e d sono associati. Esercizio 6.8 Il quoziente Z 7 [x]/i con I ideale generato dal polinomio x 2 + x + 1 è un campo? Esercizio 6.9 In Z 5 [x] si consideri l ideale I =< x 4 + 1, x 3 + x 2 2x + 3 > e si provi che Z 5 [x]/i è un campo. Esercizio 6.10 Nell anello Z 11 [x] si considerino i seguenti polinomi: f(x) = 3x 3 + 2x + 7 e g(x) = 2x 4 + 3x + 1. Determinare il loro massimo comun divisore. Che cosa si può dire dell ideale da esso generato? Esercizio 6.11 In Z 7 [x] determinare il generatore del più piccolo ideale I contenente i seguenti polinomi: x 5 + 3x 4 + 2x + 1, x 3 + 2x + 3. Studiare Z 7 [x]/i. Esercizio 6.12 In Z[x] dimostrare che l ideale < 5, 2x > è costituito da tutti e soli i polinomi aventi termine noto appartenente a 5Z. Dimostrare che l anello quoziente Z[x]/ < 5, 2x > è isomorfo al campo Z 5. L ideale < 5, 2x > è massimale in Z[x]? Sia A un anello commutativo, la definizione 6.3 di massimo comun divisore tra due elementi non nulli può essere estesa ad un insieme finito di elementi non nulli, precisamente siano a 1, a 2,..., a n A n elementi di A, n 2. Un elemento d A è detto massimo comun divisore degli a 1, a 2,..., a n se: 40

d a i, i = 1, 2,..., n. Se c A, c a i, i = 1, 2,... n allora c d. Un elemento m A è detto minimo comune multiplo degli a 1, a 2,..., a n se: a i m, i = 1, 2,... n. Se c A, a i c, i = 1, 2,... n allora m c. È immediato verificare che se d e d (rispettivamente m e m ) sono massimo comun divisore (rispettivamente minimo comuno multiplo) degli elementi a 1, a 2,..., a n di un dominio di integrità unitario allora d e d (rispettivamente m e m ) sono associati. Sia f(x) Z[x], f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n ; f(x) si dice primitivo se è non costante e un massimo comun divisore dei coefficienti a 0, a 1,..., a n è 1. Queste premesse sono necessarie per risolvere i due seguenti esercizi che, assieme all esercizio 6.34, permetteranno di dimostrare il teorema di Wedderburn presentato nel capitolo 6. Esercizio 6.13 Se f(x), g(x) Z[x] sono polinomi primitivi allora anche il loro prodotto f(x)g(x) è un polinomio primitivo. [Soluzione: sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n e sia g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m ; per assurdo si supponga f(x)g(x) non primitivo, allora i coefficienti di f(x)g(x) sono tutti divisibili per un certo numero primo p. Poiché f(x) (rispettivamente g(x)) è primitivo, p non divide tutti i coefficienti di f(x) (rispettivamente di g(x)); sia a j (rispettivamente b k ) il primo coefficiente di f(x) (rispettivamente di g(x)) non divisibile per p. Sia c j+k il coefficiente del termine di grado j + k del polinomio f(x)g(x), si ha: c j+k = a j b k +(a j+1 b k 1 + +a j+k b 0 )+(a j 1 b k+1 + +a 0 b j+k ) poiché a 0, a 1,..., a j 1, b 0, b 1,..., b k 1 sono tutti divisibili per p e anche c j+k è divisibile per p si ottiene a j b k divisibile per p e dunque un assurdo]. Esercizio 6.14 Sia f(x) Z[x] monico e sia f(x) = g(x)h(x) con g(x), h(x) monici e g(x) Q[x], h(x) Z[x]. Allora è g(x) Z[x]. [Soluzione: sia m il minimo comune multiplo dei denominatori dei coefficienti di g(x); si ha g(x) = 1 con ḡ(x) Z[x]. Il massimo comun divisore dei coefficienti di ḡ(x) è 1; mḡ(x) infatti sia g(x) = x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 + + a n 1 x + a n, a i, b i Z, (a i, b i ) = b 1 b 2 b n 1 b n 1 per i = 1, 2,... n; sia m il minimo comune multiplo dei b 1, b 2,..., b n si ha ḡ(x) = mx n + ma 1 x n 1 + ma 2 x n 2 + + ma n. Sia c il massimo comun divisore b 1 b 2 b n degli elementi m, ma 1, ma 2,..., ma n si ha m = ch e ḡ(x) = c(hx n + ha 1 x n 1 + b 1 b n b 1 b 2 41

ha 2 x n 2 + + ha n ). Poiché ha i è intero e (a i, b i ) = 1 si ha b i h per ogni b 2 b n b i i = 1, 2,..., n; ma essendo m il minimo comune multiplo degli elementi b 1, b 2,..., b n allora h = m e dunque c = 1. Dunque ḡ(x) è primitivo e h(x) è primitivo; applicando il risultato del precedente esercizio anche ḡ(x)h(x) è primitivo. Da 1 f(x) = g(x)h(x) segue f(x) = e poiché è f(x) Z[x] e il massimo mḡ(x)h(x) comun divisore dei coefficienti di ḡ(x)h(x) è 1 ne segue m = 1; dunque è b i = 1 per ogni i = 1, 2,..., n cioè g(x) Z[x]]. Esercizio 6.15 Sia f(x) Z[x], dimostrare che se i C è radice di f(x) allora f(x) appartiene all ideale < x 2 + 1 > e Z[x]/ < x 2 + 1 > è isomorfo a Z[i]. Esercizio 6.16 Dimostrare che R[x]/ < x 2 + 1 > è un campo isomorfo a C. Esercizio 6.17 Dimostrare che Z[x] non è ad ideali principali. [Suggerimento: si consideri l ideale < x, 2 >...]. Esercizio 6.18 Siano m, n, q interi positivi. m n se e solo se (q m 1) (q n 1). [Suggerimento: se h, t N q ht 1 = (q h 1)(1 + q h + q 2h + + q (t 1)h )...]. Esercizio 6.19 Esistono valori di p, con p intero primo, tali che nell anello euclideo Z p [x] il polinomio x 4 + x 3 + 5x + 8 sia divisibile per x 2 + 1? Esercizio 6.20 Dimostrare che Z[x]/ < x > è isomorfo a Z. Esercizio 6.21 In Z[i] si consideri l ideale I =< 3i, 6i 15 >. È massimale? Esercizio 6.22 In Z[i] sia I = {9x + 9yi x, y Z}. Verificare che I è un ideale di Z[i]. Quanti elementi contiene Z[i]/I? L anello Z[i]/I ha divisori dello zero? Se sì indicarne alcuni. Esercizio 6.23 In Z[i] determinare il massimo comun divisore di ciascuna delle seguenti coppie di elementi: (3 + 4i, 4 3i); (11 + 7i, 18 i). Esercizio 6.24 Nell anello Z[i] si consideri l ideale < n >, n N, n 1. Studiare l anello Z[i]/ < n >. Dimostrare che Z[i]/ < 5 > è un anello con divisori dello zero mentre Z[i]/ < 11 > è un campo. Più in generale si può concludere che Z[i]/ < n > è un campo se e solo se n è un elemento primo in Z[i] cioè se e solo se n è un intero primo e n 3 (mod 4). 42

Esercizio 6.25 Sfruttando le proposizioni 4.6.21, 4.6.22, 4.6.23 dimostrare che l anello (Z n, +, ) è un campo se e solo se n è primo e che non è un dominio di integrità se n non è primo. Esercizio 6.26 Dimostrare che Z[i]/ < 1 + 3i, 5i > è un campo. Esercizio 6.27 Si provi che l ideale I =< x 2 > di R[x] è primario. Esercizio 6.28 Sia D un dominio di integrità. Dimostrare che l ideale di D[x] generato dal polinomio x 3 è primario. ( a 0 Esercizio 6.29 Dimostrare che R = { 0 d ( ) 2h 0 M 2 (Z) e che I = { 0 5k ) a, d Z} è un sottoanello di h, k Z} è un ideale bilatere non primo in R. Esercizio 6.30 Dimostrare che ogni ideale in Z è intersezione di un numero finito di ideali primari. [Suggerimento: poiché Z è euclideo, è anche ad ideali principali; sia I un ideale di Z e sia I =< m >; scomporre m nel prodotto di potenze di numeri primi...]. Esercizio 6.31 Dimostrare che l intersezione di due ideali primi distinti di Z non è un ideale primo, anzi non è neppure un ideale primario. Esercizio 6.32 In Z 5 [x] dimostrare che l ideale I =< x 2 + 1 > non è primo e neppure primario. Esercizio 6.33 Sia R[x, y] l anello dei polinomi in due indeterminate sul campo dei numeri reali. Dimostrare che I =< x, y > non è principale. Esercizio 6.34 Sia φ l applicazione di N in N così definita: φ(n) = numero degli interi dell insieme {1, 2,..., n} che sono primi con n. L applicazione φ prende il nome di indicatore di Eulero. Dimostrare che comunque preso n N si ha n = d n φ(d). [Soluzione: Sia d N un divisore di n; si prenda l insieme M d = {m 1 m n, (m, n) = d} = {m 1 m n, ( m d, n ) = 1}. Si ha d M d = φ( n d ); d nm d = {1, 2,..., n} e M d M d = se d e d sono divisori di n e d d e pertanto n = d n φ(n d ) o, ciò che è lo stesso n = d n φ(d)]. 43

7 Ampliamenti e Teorema di Wedderburn Definizione 7.1 Siano K ed F campi. Diremo che F è un ampliamento (estensione, prolungamento) di K se F contiene un sottocampo isomorfo a K. Se F è ampliamento di K identificheremo K con il sottocampo di F isomorfo a K e scriveremo K F (o F K). Definizione 7.2 Se K F diremo che F è ampliamento di K di grado n se F ha, come spazio vettoriale rispetto a K (cioè con gli elementi di K come scalari), dimensione finita n. Per esempio, il campo dei complessi è ampliamento di grado 2 del campo dei reali. Proposizione 7.1 Siano F, H, K campi e sia F ampliamento di H di grado n ed H ampliamento di K di grado m; allora, F è ampliamento di K di grado n m. Dim. A meno di isomorfismi K è sottocampo di F e quindi F è spazio vettoriale rispetto a K. Proviamo che è di dimensione n m. Sia f 1,..., f n una base dello spazio vettoriale F rispetto a H e sia h 1,..., h m una base dello spazio vettoriale H rispetto a K. Ogni elemento di F si può esprimere (in uno ed un sol modo) come combinazione lineare di f 1,..., f n a coefficienti in H ed ogni elemento di H si può esprimere (in uno ed un sol modo) come combinazione lineare di h 1,..., h m a coefficienti in K. Se v F si ha dunque v = α 1 f 1 + α 2 f 2 + + α n f n con α i H e dunque v = (l 11 h 1 + l 12 h 2 + + l 1m h m )f 1 + (l 21 h 1 + l 22 h 2 + + l 2m h m )f 2 + + + (l n1 h 1 + l n2 h 2 + + l nm h m )f n con l ij K. Ciò assicura che gli elementi h i f j (1 i m; 1 j n) generano lo spazio vettoriale F rispetto a K. Inoltre se è µ 11 h 1 f 1 + µ 12 h 2 f 1 + + µ 1m h m f 1 + µ 21 h 1 f 2 + µ 22 h 2 f 2 + + +µ 2m h m f 2 + + µ n1 h 1 f n + µ n2 h 2 f n + + µ nm h m f n = 0 con µ ij K, si ha (µ 11 h 1 + µ 12 h 2 + + µ 1m h m )f 1 + (µ 21 h 1 + µ 22 h 2 + + µ 2m h m )f 2 + + +(µ n1 h 1 + µ n2 h 2 + + µ nm h m )f n = 0. Abbiamo così espresso lo zero come combinazione lineare di f 1,..., f n a coefficienti in H; poiché f 1,..., f n sono linearmente indipendenti (rispetto a H) si ha: µ 11 h 1 + µ 12 h 2 + + µ 1m h m = 0 µ 21 h 1 + µ 22 h 2 + + µ 2m h m = 0... µ n1 h 1 +µ n2 h 2 + +µ nm h m = 0 e poiché h 1,..., h n sono linearmente indipendenti (rispetto a K) si ha µ ij = 0 per ogni i e ogni j. Resta così provato che i vettori h i f j sono linearmente indipendenti (rispetto a K) e pertanto costituiscono una base di cardinalità n m dello spazio vettoriale F rispetto a K. La precedente proposizione si può generalizzare nella seguente 44

Proposizione 7.2 Siano K 1, K 2,..., K n campi tali che K i+1 è un ampliamento di K i di grado finito m i per ogni i = 1, 2,..., n 1; allora K n è ampliamento di K 1 di grado m 1 m 2 m n 1. Dim. Per n = 3 il risultato è fornito dalle precedente proposizione. Sia n > 3; procediamo per induzione su n supponendo acquisito il risultato per n 1. Allora, K n 1 è ampliamento di K 1 di grado m 1 m 2 m n 2 e dunque, sempre per la proposizione 7.1, K n è ampliamento di K 1 di grado m 1 m n 2 m n 1. Vogliamo ora provare che ogni corpo finito è commutativo, cioè è un campo; questo risultato è dovuto a J. H. M. Wedderburn e risale al 1905; parecchie dimostrazioni sono state successivamente fornite ma noi preferiamo seguire da vicino quella originale (con gli adattamenti proposti da I. N. Herstein) perché la riteniamo maggiormente adeguata agli argomenti trattati. Proposizione 7.3 (Teorema di Wedderburn). Ogni corpo finito è un campo. Dim. Sia K un corpo finito e sia Z(K) il suo centro, cioè l insieme degli elementi di K ciascuno dei quali è permutabile con ogni elemento di K. È immediato che Z(K) è un sottocampo di K. Inoltre, K è spazio vettoriale di dimensione finita su Z(K); se n è tale dimensione e se Z(K) ha q elementi allora è K = q n. Vogliamo provare che è n = 1 e quindi K = Z(K). Sia a K e sia C(a) = {x K xa = ax}; si verifica subito che C(a) è un sottocorpo di K e Z(K) C(a); quindi C(a) è spazio vettoriale di dimensione finita su Z(K) e C(a) = q n(a), con n(a) intero positivo dipendente da a. Il gruppo moltiplicativo di C(a) è un sottogruppo del gruppo K e pertanto (teorema di Lagrange) (q n(a) 1) (q n 1); da ciò segue n(a) n (esercizio 6.18). Consideriamo il gruppo K ; dalla teoria dei gruppi é noto che il numero degli elementi di K coniugati all elemento a è uguale all indice di C(a) in K cioè è q n 1 q n(a) 1 ; la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza in K ; una classe di equivalenza è costituita da un solo elemento se e solo se questo elemento è nel centro di K, cioè in Z(K) = Z(K) {0}; ogni altra classe ha qn 1 q n(a) 1 elementi essendo a un suo qualsiasi elemento; si ha così (1) q n 1 = q 1 + q n 1 n(a) n, n(a) n q n(a) 1 Proviamo ora che se è n > 1 nessuna eguaglianza di tipo (1) può sussistere in Z e pertanto è n = 1 cioè K = Z(K). Le radici n-esime dell unità nel campo C dei complessi sono i numeri 45

= cos 2πk 2πk n + isen n, k = 1, 2,..., n (si veda esercizi e complementi al paragrafo 3 del testo Algebra, Quattrocchi-Rinaldi, ed. Zanichelli). Esse costituiscono un sottogruppo ciclico di C generato dalle radici primitive n esime dell unità, cioè dai numeri complessi e 2πki n con k ed n primi tra loro. Si ha così x n 1 = n 2kπi k=1 (x e n ). Per ogni t N indichiamo con Φ t (x) il polinomio ciclotomico t-esimo: Φ t (x) = 2mπi m (x e t ) dove il prodotto è esteso a tutti gli interi m {1, 2,..., t} primi con t. Le radici del polinomio ciclotomico t-esimo sono esattamente le radici primitive t-esime dell unità. Da ciò segue che deg Φ n (x) = φ(n) dove φ(n) è l indicatore di Eulero (cioè il numero degli interi positivi compresi tra 1 e n e primi con n) e quindi: e 2kπi n (2) x n 1 = t n Φ t(x) (infatti si ha deg( t n Φ t(x)) = t n φ(t) = n, per l esercizio 6.34). Poniamo g(x) = t n t n Φ t(x); dalla (2) otteniamo Φ n (x) = xn 1 g(x). I polinomi ciclotomici sono tutti monici (come risulta subito dalla definizione). Proviamo che sono tutti a coefficienti interi. Procediamo per induzione; il polinomio Φ 1 (x) = x 1 è ovvviamente a coefficienti interi; supponiamo che Φ t (x) sia a coefficienti interi per ogni t < n e proviamo che Φ n (x) è a coefficienti interi. Per l ipotesi di induzione si ha g(x) Z[x] e pertanto Φ n (x) = xn 1 Q[x]; da g(x) x n 1 = Φ n (x) g(x) segue, per l esercizio 6.14, che Φ n (x) Z[x]. Essendo (analogamente alla (2)) x t 1 = k t Φ k(x) e g(x) = t n t n Φ t(x) abbiamo, per ogni t n, t n : g(x) = k t Φ k(x) h n,h n h t Φ h(x) = (x t 1)f(x) con f(x) polinomio monico di Z[x]. Pertanto x n 1 = Φ n (x)g(x) = Φ n (x)(x t 1)f(x) e (3) x n 1 Φ n (x)(x t 1) Z[x] (t n; t n). Dunque, per ogni m Z, Φ n (m) è un intero che divide mn 1 m t ; in particolare, 1 q n 1 per n(a) n, n(a) n, Φ n (q) divide q n(a) e pertanto, tenendo presente la (1), 1 Φ n (q) (q 1). Proviamo ora che per n > 1 si ha Φ n (q) > q 1 e quindi per n > 1 la (1) non può sussistere. Detto I l insieme delle radici primitive n-esime dell unità si ha Φ n (x) = 2πk 2πk θ I (x θ). Se θ = a + bi = cos n + isen n è una radice n-esima dell unità si ha a 2 + b 2 = 1 e dunque a 2 1. Sia ora θ = a + bi una radice primitiva n-esima dell unità. Se è n = 2 l unica radice primitiva n-esima dell unità è 1 e dunque Φ 2 (x) = x + 1 cioè Φ 2 (q) = q + 1 > q 1. Se è n > 2 si ha a 2 < 1 (infatti da a 2 = 1 segue θ = 1 ma 1 non è una radice primitiva quando 46

è n > 2). Dunque è q θ = q (a + bi) = (q a) 2 + b 2 > q 1 (poiché (q a) 2 + b 2 q 1 = a 1, ricordando che è a 2 + b 2 = 1, mentre è a 2 < 1) e di conseguenza Φ n (q) > q 1. 8 Ampliamenti e ampliamenti trascendenti Definizione 8.1 Sia F un ampliamento del campo K e sia v F. Diremo che v è algebrico rispetto a K se esiste un polinomio f(x) K[x], f(x) 0 tale che f(v) = 0 (cioè v è radice del polinomio f(x)); diremo che v è trascendente rispetto a K se non è algebrico cioè se è f(v) 0 per ogni f(x) K[x], con f(x) 0. Esempi: il numero reale 2 è algebrico rispetto al campo dei razionali, il numero reale π è trascendente rispetto a Q. Il numero complesso i è algebrico rispetto a R ed anche rispetto a Q. Facilmente si dimostra la seguente Proposizione 8.1 Sia K F e sia v F. L intersezione insiemistica di tutti i sottocampi di F ciascuno dei quali contiene sia K che v è un sottocampo di F. Definizione 8.2 Sia K F e sia v F. Chiamiamo ampliamento semplice di K mediante v e lo indichiamo con K(v) il sottocampo di F costituito dalla intersezione di tutti i sottocampi ciascuno dei quali contiene sia K che v. Proposizione 8.2 Sia K F e v F. L ampliamento semplice di K mediante v è il seguente: { } f(v) K(v) = f(x) K[x], g(x) K[x]; g(v) 0. g(v) { a0 + a 1 v + + a n v n Dim. Banalmente gli elementi dell insieme b 0 + b 1 v + + b m v m a i, b j K; } n, m N : b 0 + b 1 v + + b m v m 0 formano un sottocampo di F che contiene K e v e che è contenuto in ogni sottocampo di F che contiene K e v. Proposizione 8.3 Sia K F e sia v F algebrico rispetto a K; se p(x) K[x] è un polinomio di grado minimo fra i polinomi di K[x] che ammettono v come radice, allora p(x) è irriducibile in K[x]. 47

Dim. Sia p(x) = h(x)k(x) con h(x), k(x) K[x]. Da p(v) = 0 segue h(v)k(v) = 0 e dunque h(v) = 0 oppure k(v) = 0. Se è h(v) = 0 allora deg h(x) = deg p(x) e quindi k(x) è una costante (non nulla); se è k(v) = 0 allora risulta costante non nulla il polinomio h(x). In ogni caso uno dei fattori è costante e quindi p(x) è irriducibile in K[x]. Proposizione 8.4 Sia K F e sia v F algebrico rispetto a K; se p(x) K[x] è un polinomio irriducibile di K[x] e se p(v) = 0 allora p(x) è uno dei polinomi di grado minimo fra i polinomi di K[x] che ammettono v come radice. Dim. Sia f(x) K[x] un polinomio di grado minimo fra i polinomi di K[x] che ammettono v come radice; proviamo che è deg p(x) = deg f(x). Esistono q(x), r(x) K[x] tali che p(x) = f(x)q(x) + r(x) con r(x) = 0 o deg r(x) < deg f(x). Da questa eguaglianza troviamo p(v) = f(v)q(v) + r(v) e dunque (essendo f(v) = = p(v) = 0) r(v) = 0; questo comporta r(x) = 0 altrimenti verrebbe contraddetta l ipotesi di minimo fatta sul grado di f(x). Pertanto p(x) = f(x)q(x) e poiché p(x) è irriducibile in K[x] ed f(x) non costante si ha q(x) costante (non nulla) e dunque deg p(x) = deg f(x). Proposizione 8.5 Sia K F e sia v algebrico rispetto a K. I polinomi di K[x] che ammettono v come radice formano un ideale massimale di K[x]. Dim. Sia p(x) K[x] di grado minimo fra i polinomi di K[x] che ammettono v come radice; sia f(x) K[x] con f(v) = 0; dividendo f(x) per p(x) si ottiene f(x) = p(x)q(x) + r(x) e risulta r(v) = 0, ciò implica r(x) = 0 altrimenti sarebbe contraddetta l ipotesi di minimo fatta per deg p(x); dunque è f(x) = p(x)q(x). Allora, i polinomi di K[x] che ammettono v come radice sono tutti e soli quelli dell ideale I =< p(x) >. Poiché K[x] è anello euclideo e p(x) è irriducibile in K[x] (proposizione 8.3) e dunque elemento primo di K[x] si ha (proposizione 6.23) I massimale. Definizione 8.3 Sia K F; se v F è radice di un polinomio di K[x], irriducibile in K[x], di grado n, diremo che v è algebrico di grado n rispetto a K. Esempi: il numero complesso i è algebrico di grado 2 rispetto al campo dei reali (ma anche rispetto a Q). Il numero reale 2 è algebrico di grado 2 rispetto a Q. Ogni elemento di un campo K è algebrico (di grado 1) rispetto a K. 48

Proposizione 8.6 Sia K F e sia v F algebrico di grado n rispetto a K. L ampliamento semplice di K mediante v è rappresentabile nella forma seguente: K(v) = {a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 a i K}. Dim. Sia p(x) K[x] irriducibile in K[x], deg p(x) = n, tale che p(v) = 0. Sia I = {a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 a i K}. Proviamo che I è un sottocampo di F; tralasciamo le verifiche che risultano banali e proviamo che α, β I = αβ I e α I, α 0 = α 1 I. Sia α = a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 e β = b 0 + b 1 v + + +b n 1 v n 1 ; sia g(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1, h(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1 ; si ha αβ = g(v)h(v); d altra parte è g(x)h(x) = p(x)q(x) + r(x) con deg r(x) < n, cioè r(x) = r 0 + r 1 x + + r n 1 x n 1, r i K. Quindi αβ = g(v)h(v) = r(v) I. Se è α 0 è anche g(x) 0 e poiché p(x) è irriducibile e deg g(x) < deg p(x) si ha (g(x), p(x)) = 1; allora esistono (proposizione 6.4) λ(x), µ(x) K[x] tali che λ(x)g(x)+µ(x)p(x) = 1. Dividendo λ(x) per p(x) otteniamo λ(x) = p(x)q(x)+r(x) con r(x) = r 0 +r 1 + +r n 1 x n 1 e quindi p(x)q(x)g(x)+r(x)g(x)+µ(x)p(x) = 1 da cui r(v)g(v) = 1 (essendo p(v) = 0) e ricordando che è α = g(v) resta provato che α ammette inverso. Quindi I è un sottocampo di F. Banalmente poi, I contiene K e v ed è contenuto in ogni sottocampo di F che contiene K e v e pertanto è I = K(v). Abbiamo visto dunque che nel caso in cui v F sia algebrico rispetto a K, K F, gli elementi di K(v) si possono esprimere in una forma più semplice di quella indicata dalla proposizione 8.2. Esempi: R(i) = {a 0 + a 1 i a i R} = C. Q(i) = {a 0 + a 1 i a i Q}. Q( 2) = {a 0 + a 1 2 ai Q}. Osserviamo che se F, H sono ampliamenti entrambi di grado n di uno stesso campo K, allora F e H sono isomorfi come spazi vettoriali su K ma non è detto che lo siano come campi. Per esempio Q( 2) e Q( 3) sono entrambi ampliamenti di grado 2 di Q ma non sono campi isomorfi. Infatti, se φ è un isomorfismo di Q( 2) su Q( 3) si ha φ( 2) = a + b 3 per opportuni a, b Q. Ma è φ(2) = 2 e anche φ(2) = (φ( 2)) 2 = a 2 + 3b 2 + 2ab 3 e non esistono a, b Q tali che a 2 + 3b 2 + 2ab 3 = 2. Definizione 8.4 Sia F un ampliamento del campo K. F è detto ampliamento algebrico di K se ogni elemento di F è algebrico rispetto a K; è detto trascendente se non è algebrico, cioè se esiste in F almeno un elemento trascendente rispetto a K. Esempi: C è ampliamento algebrico di R. R è ampliamento trascendente di Q. Proposizione 8.7 Ogni ampliamento di grado finito di un campo K è un ampliamento algebrico di K. 49

Dim. Sia F ampliamento di grado n di K. Allora F è spazio vettoriale di dimensione n rispetto a K e dunque n + 1 vettori di F sono sempre linearmente dipendenti rispetto a K. Sia v F; i vettori v 0, v 1,..., v n sono dunque linearmente dipendenti, cioè esistono λ 0, λ 1,..., λ n K non tutti nulli tali che λ 0 v 0 +λ 1 v 1 + +λ n v n = 0. Allora il polinomio g(x) = λ 0 + λ 1 x + + λ n x n K[x] è diverso da zero perché i suoi coefficienti non sono tutti nulli ed ammette v come radice; cioè v è algebrico rispetto a K. Proposizione 8.8 Sia K F e v F algebrico di grado n rispetto a K; K(v) è ampliamento algebrico di K di grado n. Dim. Ovviamente, K(v) è ampliamento di K; proviamo ora che è ampliamento di grado finito n e dunque, proposizione 8.7, K(v) è ampliamento algebrico di K. Per la proposizione 8.6 si ha K(v) = {a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 a i K} cioè ogni elemento di K(v) è combinazione lineare, a coefficienti in K, dei vettori v 0, v 1,..., v n 1. Questi vettori inoltre risultano linearmente indipendenti rispetto a K. Infatti siano λ i K tali che λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + + λ n 1 v n 1 = 0, il polinomio g(x) = λ 0 + λ 1 x + + λ n 1 x n 1 K[x] ha allora la radice v; poiché v è algebrico di grado n rispetto a K, non esistono polinomi di K[x] aventi grado minore di n che ammettono v come radice; pertanto è g(x) = 0 e quindi λ 0 = λ 1 = = λ n 1 = 0; dunque K(v) ha dimensione n rispetto a K e cioè K(v) è ampliamento di grado n di K. Proposizione 8.9 Sia K F e siano v 1,..., v n F; l intersezione di tutti i sottocampi di F ciascuno dei quali contiene K e gli elementi v 1,..., v n è un sottocampo di F. Dim. Banale. Definizione 8.5 Sia K F e siano v 1,..., v n F; il sottocampo di F costituito dalla intersezione di tutti i sottocampi di F che contengono K e v 1,..., v n è detto ampliamento di K mediante v 1,..., v n ed indicato con K(v 1,..., v n ). Il sottocampo K(v 1, v 2,..., v n ) può essere ottenuto per ampliamenti successivi di K : si amplia K mediante v 1, si amplia K(v 1 ) mediante v 2, ecc. fino ad ampliare K(v 1,..., v n 1 ) mediante v n. Proposizione 8.10 Sia K F e siano v 1, v 2,..., v n F tutti algebrici rispetto a K; allora K(v 1,..., v n ) è ampliamento di grado finito (e pertanto algebrico) di K. 50

Dim. Sia v 1 di grado n 1 rispetto a K. Si ha (proposizione 8.8) che K(v 1 ) è ampliamento di grado n 1 rispetto a K. L elemento v 2 è algebrico rispetto a K e quindi anche algebrico rispetto a K(v 1 ); allora K(v 1, v 2 ) risulta ampliamento algebrico di grado n 2 rispetto a K(v 1 ) e quindi (proposizione 7.1) di grado n 1 n 2 rispetto a K. Così proseguendo, K(v 1, v 2,..., v n ) risulta ampliamento di grado finito di K e pertanto (proposizione 8.7) ampliamento algebrico di K. Proposizione 8.11 Sia K F; l insieme degli elementi di F algebrici rispetto a K è un sottocampo di F (che contiene K). Dim. Sia H l insieme degli elementi di F algebrici rispetto a K; è H poiché, banalmente, H K. Siano a, b H; se b = 0, banalmente a b H; se b 0 si ha a b K(a, b) e ab 1 K(a, b). Per la proposizione 8.10 K(a, b) è ampliamento algebrico di K e quindi a b e ab 1 H. Proposizione 8.12 Se F è ampliamento algebrico di H e H è ampliamento algebrico di K allora F è ampliamento algebrico di K. Dim. Sia v F; esiste g(x) = h 0 + h 1 x + + h n x n H[x], g(x) 0, tale che g(v) = 0. Poiché h 0, h 1,..., h n sono algebrici rispetto a K, per la proposizione 8.10 il campo T = K(h 0, h 1,..., h n ) è ampliamento di grado finito m del campo K. Si ha F H T K. Poiché v è radice di g(x) e g(x) T[x], v è un elemento di F algebrico rispetto a T e pertanto (proposizione 8.8) T(v) è ampliamento di grado finito r di T; dunque T(v) è ampliamento di grado rm di K e quindi (proposizione 8.7) è ampliamento algebrico di K; resta così provato che v F è algebrico rispetto a K e quindi F è ampliamento algebrico di K. Dalla proposizione 8.12 segue, per induzione, la Proposizione 8.13 Siano K 1 K 2 K n campi tali che K i+1 è ampliamento algebrico di K i per i = 1, 2,..., n 1. Allora K n è ampliamento algebrico di K 1. Proposizione 8.14 Sia f(x) K[x] di grado n, irriducibile in K[x]; allora K[x]/ < f(x) > è un ampliamento algebrico di grado n di K. Dim. Poiché f(x) è irriducibile, l ideale < f(x) > è massimale e dunque il quoziente K[x]/ < f(x) > è un campo (proposizione 4.14). Poiché f(x) è di grado n, si ha K[x]/ < f(x) >= {r 0 + r 1 x + + r n 1 x n 1 + < f(x) > r i K}. Gli elementi dell insieme {r 0 + < f(x) > r 0 K} formano un sottocampo di K[x]/ < f(x) > isomorfo a K e quindi K[x]/ < f(x) > è ampliamento di K. 51

Infine gli elementi 1+ < f(x) >, x+ < f(x) >,..., x n 1 + < f(x) > formano una base dello spazio vettoriale K[x]/ < f(x) > rispetto a K e pertanto il quoziente K[x]/ < f(x) > è ampliamento di grado finito e quindi algebrico di K. (Il prodotto fra scalari e vettori è dato da: a (r 0 + r 1 x + + r n 1 x n 1 + < f(x) >) = = ar 0 + ar 1 x + + ar n 1 x n 1 + < f(x) >). Esempi: R[x]/ < x 2 +1 > è ampliamento di grado 2 di R; il campo R[x]/ < x 2 +1 > è isomorfo a C. Z 3 [x]/ < x 2 + 1 > è ampliamento algebrico di grado 2 del campo Z 3 delle classi resto mod 3; pertanto Z 3 [x]/ < x 2 + 1 > è un campo avente 9 elementi. (Si veda l esercizio 8.14). Osserviamo che se f(x) K[x] è di grado 1 si ha K[x]/ < f(x) > isomorfo a K. (Si veda l esercizio 8.9). Esercizi e complementi Esercizio 8.1 Determinare il grado di Q( 2, 3) (ampliamento di Q) e caratterizzare gli elementi w Q( 2, 3) tali che Q(w) Q( 2, 3). Esercizio 8.2 Dimostrare che Q( 3 5) non ammette automorfismi al di fuori di quello identico. Esercizio 8.3 2, 3, i sono algebrici rispetto a Q; trovare il grado di Q( 2, 3, i) rispetto a Q. Esercizio 8.4 Costruire il più piccolo sottocampo di R contenente 3 e 7. Esercizio 8.5 Siano K ed F campi, K F e sia v F algebrico rispetto a K. Dimostrare che tra tutti i polinomi di K[x] di grado minimo tra quelli aventi v come radice uno solo è monico. Il polinomio dell esercizio 8.5 verrà nel seguito chiamato polinomio minimo di v. Esercizio 8.6 I numeri reali 2 e 3 7 sono algebrici rispetto a Q. Dimostrare che 2 + 3 7 è algebrico rispetto a Q e trovarne il polinomio minimo. Esercizio 8.7 Verificare che i numeri complessi 2i, 3 i, 3, 3 2 sono algebrici rispetto a Q e trovare il loro polinomio minimo. Verificare che gli ampliamenti Q( 3) e Q( 3 2) non sono isomorfi né come campi né come spazi vettoriali, mentre Q(2i) e Q(3 i) coincidono con Q(i). 52

Esercizio 8.8 Dimostrare che 3 + 5 è algebrico rispetto a Q di grado 4 e determinarne il polinomio minimo. Esercizio 8.9 Sia K un campo. Sia f(x) K[x] e deg f(x) = 1. K[x]/ < f(x) > è un campo isomorfo a K. Esercizio 8.10 Sia f(x) K[x], deg f(x) = n 1. Se esiste v K tale che f(v) = 0 allora f(x) = (x v)f 1 (x), f 1 (x) K[x]. Esercizio 8.11 Sia f(x) K[x] riducibile in K e sia deg f(x) = 2 oppure deg f(x) = 3. Dimostrare che esiste v K tale che f(v) = 0. Esercizio 8.12 Dimostrare che il polinomio x 4 + x 3 + x + 2 Z 3 [x] è riducibile in Z 3 [x]. Il precedente esercizio prova che quanto affermato nell esercizio 8.11 non vale se deg f(x) > 3, infatti il polinomio x 4 + x 3 + x + 2 Z 3 [x] pur non avendo radici in Z 3 è riducibile in Z 3 [x]. Esercizio 8.13 Dire quali dei seguenti polinomi sono irriducibili rispettivamente in Z 2 [x], Z 3 [x], Z 7 [x] : x 2 + x + 1; x 3 6; x 3 + 2x + 1. Esercizio 8.14 Dimostrare che x 2 + 1 Z 3 [x] è irriducibile in Z 3 [x] e dunque il quoziente Z 3 [x]/ < x 2 + 1 > è un campo con 9 elementi. Indicare gli elementi del campo e costruire le tabelle additiva e moltiplicativa. Esercizio 8.15 Trovare un polinomio irriducibile di grado 4 in Z 5 [x]. Esercizio 8.16 Sia f(x) K[x] irriducibile di grado n. Sia φ : K[x]/ < f(x) > K n così definita φ(a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + < f(x) >) = (a 0, a 1,..., a n 1 ). Dimostrare che φ è un isomorfismo tra i due spazi vettoriali su K. Esercizio 8.17 Dimostrare che il polinomio x 2 + x + 1 Z 5 [x] è irriducibile in Z 5 [x] e dunque Z 5 [x]/ < x 2 + x + 1 > è un campo con 25 elementi. Sull insieme Z 5 Z 5 siano definite le seguenti operazioni: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac + 4bd, ad + bc + 4bd). Dimostrare che (Z 5 Z 5, +, ) è un campo isomorfo a Z 5 [x]/ < x 2 + x + 1 >. [Suggerimento: costruire l applicazione φ come nell esercizio 8.16]. Esercizio 8.18 Costruire un campo con 121 elementi. [Suggerimento: individuare un polinomio f(x) Z 11 [x] irriducibile in Z 11 [x] di grado 2]. 53

Esercizio 8.19 Determinare tutti i polinomi monici irriducubili di grado 3 in Z 3 [x]. Esercizio 8.20 Determinare per quali valori di a Z 5 il quoziente Z 5 [x]/ < x 2 + a > risulta un campo. Dimostrare che i campi ottenuti sono isomorfi. [Suggerimento: si osservi che questi campi contengono Z 5 e che un isomorfismo tra questi deve essere l identità su Z 5 ]. Esercizio 8.21 Sia A un anello commutativo. Si dimostri che A è un campo se e solo se ogni polinomio di primo grado a coefficienti in A ammette in A una ed una sola radice. Esercizio 8.22 Sia F un ampliamento del campo K e sia θ F un elemento trascendente rispetto a K. Dimostrare che l intersezione di tutti i sottoanelli di F contenenti K e θ è un sottoanello di F i cui elementi sono quelli dell insieme: A = {a 0 +a 1 τ +a 2 τ 2 + +a n τ n a i K, n N}. Dimostrare inoltre che l anello A è isomorfo all anello dei polinomi K[x]. Esercizio 8.23 Sia F un ampliamento del campo K. Siano u, v F algebrici rispetto a K di grado rispettivamente n ed m. Se (n, m) = 1, K(u, v) è ampliamento di K di grado nm. 9 Campo di spezzamento di un polinomio Proposizione 9.1 Sia f(x) K[x] irriducibile in K[x]. Esiste un ampliamento di K in cui f(x) ammette almeno una radice. Dim. Sia f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n K[x]; sia I =< f(x) >; per la proposizione 8.14, K[x]/I è un campo che risulta ampliamento di K in quanto contiene un sottocampo K = {r + I r K} isomorfo a K. L isomorfismo φ : K K, φ(r) = r + I può essere prolungato ad un isomorfismo fra K[x] e K[z] ponendo φ(b 0 + b 1 x + + b m x m ) = φ(b 0 ) + φ(b 1 )z + + φ(b m )z m. Per provare la tesi basta dunque provare che φ(f(x)) ammette una radice nel campo K[x]/I. Si ha φ(f(x)) = a 0 +I +(a 1 +I)z+ +(a n +I)z n. Si verifica subito che x+i è una radice di questo polinomio, infatti si ha a 0 + I + (a 1 + I)(x + I) + + (a n + I)(x + I) n = = a 0 + I + (a 1 x + I) + + (a n x n + I) = a 0 + a 1 x + + a n x n + I = I. Proposizione 9.2 Sia f(x) K[x] e sia F un ampliamento di K; un elemento v F è radice di f(x) se e solo se in F[x] il polinomio x v divide f(x). 54

Dim. Banalmente, se (x v) f(x) in F[x] allora esiste q(x) F[x] tale che f(x) = (x v)q(x) e pertanto f(v) = 0. Viceversa, sia f(v) = 0; dividendo f(x) per x v in F[x] si ha f(x) = (x v)q(x) + c con q(x) F[x] e c F; da f(v) = 0 segue c = 0 e pertanto (x v) f(x) in F[x]. Proposizione 9.3 Sia f(x) K[x] di grado n. Il numero delle radici di f(x), appartenenti ad un qualsiasi ampliamento F di K, non può superare n. Dim. Basterà provare che se esistono n elementi distinti v 1,..., v n F che sono radici di f(x) nessun altro elemento di F può essere radice di f(x). Per la proposizione 9.2 si ha f(x) = (x v 1 )f 1 (x) con f 1 (x) F[x]. Da f(v 2 ) = 0 e da v 2 v 1 0 segue f 1 (v 2 ) = 0 e quindi f 1 (x) = (x v 2 )f 2 (x) con f 2 (x) F[x]. Così procedendo, si ottiene f(x) = (x v 1 )(x v 2 )... (x v n )f n (x) con f n (x) F[x]. Poiché f(x) è di grado n il polinomio f n (x) è costante, anzi è f n (x) = a n K essendo a n il coefficiente principale (definizione 2.2) di f(x). Si ha così a n 0 e f(x) = a n (x v 1 )(x v 2 )... (x v n ) inoltre, per ogni v F, v v 1,..., v n, è f(v) 0. Definizione 9.1 Sia f(x) K[x] di grado n e sia F un ampliamento di K. Diremo che F è campo di spezzamento (o di riducibilità completa) di f(x) K[x] se esistono v 1, v 2,..., v n F (non necessariamente distinti) tali che: f(x) = c(x v 1 )(x v 2 )... (x v n ) con c K F = K(v 1, v 2,..., v n ). Proposizione 9.4 Per ogni f(x) K[x] esiste un campo di spezzamento di f(x). Dim. Scomponiamo f(x) nel prodotto di fattori irriducibili in K[x] e sia p(x) uno di questi fattori; per la proposizione 9.1 esiste un ampliamento di K nel quale p(x) ammette una radice v 1 ; poniamo H 1 = K(v 1 ); banalmente v 1 è radice anche di f(x) e in H 1 [x] si ha f(x) = (x v 1 )g(x) con g(x) di grado n 1. Se g(x) ha grado 0, l unica radice di f(x) è v 1 e H 1 = K(v 1 ) = K è il campo di spezzamento di f(x). Se è deg g(x) 1, procedendo per g(x) come si è fatto per f(x) si ottiene il campo H 2 = H 1 (v 2 ) = K(v 1, v 2 ) in cui g(x) ammette la radice v 2 (che potrebbe anche coincidere con v 1 ) e in H 2 [x] si ha f(x) = (x v 1 )(x v 2 )h(x) con h(x) di grado n 2. Così procedendo si costruisce il campo F = K(v 1,..., v n ) e si ha f(x) = (x v 1 )(x v 2 )... (x v n )s(x) in F[x]; risulta deg s(x) = 0 e pertanto s(x) = c; osserviamo che è c K, essendo c il coefficiente principale (definizione 2.2) di f(x) K[x]. Pertanto F risulta campo di spezzamento di f(x) K[x]. 55

Vogliamo ora provare che campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi e quindi il campo di spezzamento di un polinomio f(x) K[x] è unico, a meno di isomorfismi. Le proposizioni che seguono sono riportate proprio per poter stabilire l unicità del campo di spezzamento del polinomio f(x) K[x]. (Questo è un risultato di grande importanza in algebra). Proposizione 9.5 Siano K, K campi isomorfi e sia φ un isomorfismo di K su K. Se per ogni polinomio a 0 + a 1 x + + a m x m K[x] definiamo: φ(a 0 +a 1 x+ +a m x m ) = φ(a 0 )+φ(a 1 )+ +φ(a m )x m, otteniamo un isomorfismo di K[x] su K [x] (prolungamento dell isomorfismo tra K e K ). Sia p(x) K[x] irriducibile in K[x] e sia u una sua radice; sia v una radice di φ(p(x)). L isomorfismo φ di K su K si può prolungare in uno ed un sol modo in un isomorfismo di K(u) su K (v) che trasformi u in v. Dim. Banalmente φ risulta un isomorfismo di K[x] su K [x]. Osserviamo inoltre che p(x) K[x] è irriducibile in K[x] se e solo se è φ(p(x)) irriducibile in K [x]. Sia p(x) K[x] di grado n; poiché p(x) è irriducibile in K[x] si ha K(u) = {a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 a i K}. Il polinomio φ(p(x)) K [x] risulta irriducibile in K [x] e di grado n = deg p(x). Pertanto è K (v) = {b 0 + b 1 v + + b n 1 v n 1 b i K }. Se esiste un isomorfismo ψ di K(u) su K (v) che sia prolungamento dell isomorfismo φ di K su K e tale che ψ(u) = v dovrà essere ψ(a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 ) = = φ(a 0 ) + φ(a 1 )v + + φ(a n 1 )v n 1 e pertanto non potrà che essere unico. Proviamo che ψ è isomorfismo di K(u) su K (v). ψ(a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 ) = ψ(a 0 + a 1 u + + a n 1 un 1 ) = = φ(a 0 )+φ(a 1 )v+ +φ(a n 1 )v n 1 = φ(a 0 )+φ(a 1 )v+ +φ(a n 1 )vn 1 e poiché v 0, v 1,..., v n 1 risultano linearmente indipendenti rispetto a K (proposizione 8.8) si ha φ(a 0 ) = φ(a 0 ), φ(a 1) = φ(a 1 ),..., φ(a n 1) = φ(a n 1 ) e quindi a i = a i, i = 0, 1,..., n 1. Ciò prova che ψ è iniettiva. Inoltre ψ è banalmente suriettiva. Siano ora α, β K(u). Banalmente si ha ψ(α + β) = ψ(α) + ψ(β). Inoltre, siano α = a 0 + a 1 u + + a n 1 u n 1 e β = a 0 + a 1 u + + a n 1 un 1 e siano g(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 e h(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 xn 1. Si ha: (1) g(x)h(x) = p(x)q(x) + r(x) con r(x) = r 0 + r 1 x + + r n 1 x n 1 K[x] e φ(g(x))φ(h(x)) = φ(p(x))φ(q(x))+ +φ(r(x)); quindi (2) (φ(a 0 ) + φ(a 1 )x + + φ(a n 1 )x n 1 )(φ(a 0 ) + φ(a 1 )x + + φ(a n 1 )xn 1 ) = = φ(p(x))φ(q(x)) + φ(r 0 ) + φ(r 1 )x + + φ(r n 1 )x n 1. Sotituendo u al posto di x nella (1) si ottiene (essendo p(u) = 0) g(u)h(u) = r(u) cioè αβ = r 0 + r 1 u + + r n 1 u n 1 e dunque 56

(3) ψ(αβ) = φ(r 0 ) + φ(r 1 )v + + φ(r n 1 )v n 1 sostituendo v al posto di x nella (2) si ottiene (φ(a 0 )+φ(a 1 )v + +φ(a n 1 )v n 1 )(φ(a 0 )+φ(a 1 )v + +φ(a n 1 )vn 1 ) = φ(r 0 )+ +φ(r 1 )v + + φ(r n 1 )v n 1 (essendo v radice di φ(p(x)); cioè (4) ψ(α)ψ(β) = φ(r 0 ) + φ(r 1 )v + + φ(r n 1 )v n 1. Confrontando (3) e (4) si ha ψ(αβ) = ψ(α)ψ(β) e pertanto resta provato che ψ è isomorfismo di K(u) su K (v). La seguente proposizione è una generalizzazione della precedente Proposizione 9.6 Siano K e K campi isomorfi e sia φ un isomorfismo di K su K ; φ si può prolungare in un isomorfismo fra K[x] e K [x] : φ(a 0 + a 1 x + + a m x m ) = φ(a 0 ) + φ(a 1 )x + + φ(a m )x m. Sia f(x) K[x] e f (x) = φ(f(x)); siano F, F campi di spezzamento rispettivamente di f(x) e di f (x). L isomorfismo φ si può prolungare in un isomorfismo ψ di F su F in modo che le radici v 1,..., v n di f(x) si mutino in un certo ordine nelle radici v 1,..., v n di f (x). Dim. Si ha F = K(v 1,..., v n ) e F = K (v 1,..., v n). Sia p(x) un fattore irriducibile di f(x) in K[x] e sia p (x) = φ(p(x)) il corrispondente fattore irriducibile di f (x) in K [x]. A meno dell ordine, possiamo supporre v 1 radice di p(x) e v 1 radice di p (x); per la proposizione precedente, esiste un isomorfismo φ 1 di K(v 1 ) su K (v 1 ) che è prolungamento di φ e che trasforma v 1 in v 1. Osserviamo che K(v 1) può contenere altre radici di f(x) oltre v 1 ; in particolare, tutte le radici di f(x) potrebbero stare in K(v 1 ); in tal caso K (v 1 ) conterrebbe tutte le radici di f (x) e queste radici risulterebbero tutte immagini delle radici di f(x); in tal caso la proposizione è provata. Se invece esiste v i / K(v 1 ), sia q(x) K[x] un fattore di f(x), irriducibile in K[x], avente v i come radice (potrebbe essere p(x) = q(x)). Sia q (x) = φ(q(x)) e sia (a meno di un riordinamento delle radici v 1, v 2,..., v n) v i una radice di q (x). Sempre per la proposizione 9.5, l isomorfismo φ 1 di K(v 1 ) su K (v 1 ) si può prolungare in un isomorfismo φ 2 di K(v 1, v i ) su K (v 1, v i ) tale che φ(v i) = v i. Così procedendo, alla fine (al più dopo n passi) troveremo un isomorfismo ψ di K(v 1, v 2,..., v n ) su K (v 1, v 2,..., v n) che trasforma (a meno dell ordine) le radici v i nelle v i e che è prolungamento di φ. Proposizione 9.7 ia f(x) K[x]; se F, F sono campi di spezzamento di f(x), F e F sono isomorfi. Dim. Il risultato segue come caso particolare della proposizione 9.6 considerando K = K e φ = identità. Dalle proposizioni 6.3.4 e 6.3.7 segue subito la 57

Proposizione 9.8 Per ogni f(x) K[x] esiste uno ed (a meno di isomorfismi) un solo campo di spezzamento di f(x). Proposizione 9.9 (Formule di Viète). Sia f(x) un polinomio monico di grado n a coefficienti in un campo K, f(x) = x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 + + a n 1 x + a n e siano v 1, v 2,..., v n le sue radici (non necessariamente distinte). I coefficienti a 1, a 2,..., a n di f(x) risultano funzioni simmetriche di v 1, v 2,..., v n. Precisamente: a 1 = ( 1 i n v i) a 2 = 1 i<j n v iv j a 3 = ( 1 i<j<k n v iv j v k )... a n 1 = ( 1) n 1 (v 1 v 2... v n 1 + v 1 v 2... v n 2 v n + + v 2 v 3... v n ) a n = ( 1) n v 1 v 2... v n. Dim. Sia F il campo di spezzamento del polinomio f(x) K[x]; in F[x] si avrà allora: f(x) = (x v 1 )(x v 2 )... (x v n ) e la proposizione segue confrontando i coefficienti dei due polinomi della precedente eguaglianza. Esercizi e complementi Sia f(x) K[x] un polinomio irriducibile in K[x] di grado n. Nella proposizione 9.1 è stato dimostrato che esiste un ampliamento F di K ed un elemento v F che è radice di f(x). L applicazione che associa all elemento a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1 + < f(x) > di K[x]/ < f(x) > l elemento a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 di K(v) è un isomorfismo del campo K[x]/ < f(x) > nel campo K(v). Inoltre se α = a 0 + a 1 v + + a n 1 v n 1 e β = b 0 + b 1 v + + b n 1 v n 1 sono elementi di K(v), consideriamo in K[x] gli elementi g(x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1, h(x) = b 0 + b 1 x + + b n 1 x n 1 e sia r(x) il resto della divisione di g(x)h(x) per il polinomio f(x); si ha allora αβ = g(v)h(v) = r(v). Talvolta è più agevole calcolare il prodotto αβ tenendo conto che se è f(x) = c 0 + c 1 x +... c n x n si ha c n 0 e da f(v) = 0 si trae v n = c 1 n (c 0 + c 1 v + + c n 1 v n 1 ). Ad esempio, il campo Z 5 [x]/ < x 2 +x+1 > (si veda l esercizio 8.17) può essere identificato con il campo Z 5 (v) = {a + bv a, b Z 5 } dove le operazioni sono rispettivamente le seguenti: (a+bv)+(c+dv) = a+c+(b+d)v, (a+bv) (c+dv) = = ac + adv + bcv + bdv 2 = ac + 4bd + (ad + bc + 4bd)v. Inoltre Z 5 (v) è campo di spezzamento del polinomio x 2 + x + 1, infatti x 2 + x + 1 = (x + 4v)(x + v + 1) in Z 5 (v)[x]. Esercizio 9.1 Costruire un campo con 27 elementi e scrivere le tabelle additiva e moltiplicativa. [Suggerimento: individuare un polinomio f(x) Z 3 [x] irriducibile di grado 3]. 58

Esercizio 9.2 Dopo aver dimostrato che il polinomio x 4 + x + 1 è irriducibile in Z 2 [x] studiare il campo Z 2 [x]/ < x 4 + x + 1 >. Esercizio 9.3 In ciascuno dei casi elencati costruire il campo di spezzamento del polinomio dato e, in tale campo, scrivere il polinomio come prodotto di fattori di primo grado: x 4 + x 3 + x + 2 Z 3 [x] x 5 + x + 1 Z 2 [x] x 4 + 1 Z 3 [x] x 2 + 2 Z 3 [x] x 3 + 4x 2 + 4x + 3 Z 5 [x] x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 Z 5 [x] x 2 + 2x + 3 R[x]. Esercizio 9.4 Costruire i campi di spezzamento dei polinomi x 3 + 2x + 3 Z 5 [x],x 3 + 4x 2 + 2x + 1 Z 5 [x] e dimostrare che non sono isomorfi. Esercizio 9.5 Sia x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 2x + 3 Z 5 [x]. Costruire un ampliamento di Z 5 in cui tale polinomio ammette almeno due radici distinte. Esercizio 9.6 Sia f(x) = ax 2 + bx + c R[x] un polinomio irriducibile. Dimostrare che il campo R[x]/ < f(x) > è isomorfo al campo dei numeri complessi.[suggerimento: R[x]/ < f(x) >= {h + gv h, g R av 2 + bv + c = 0}. Individuare un elemento α R[x]/ < f(x) > tale che α 2 = 1 e verificare che ψ : C R[x]/ < f(x) >, ψ(r + si) = r + sα, r, s R è l isomorfismo cercato]. Radici n esime di un numero complesso Per ogni n N e comunque presi β e θ R dimostriamo, con il metodo di dimostrazione per induzione, la seguente eguaglianza P n : [β(cos θ + isen θ)] n = β n (cos nθ + isen nθ) (Formula di Moivre). P 1 è banalmente vera. Supponiamo che P n sia vera e dimostriamo P n+1 : [β(cos θ + isen θ)] n+1 = β(cos θ + isen θ)[β(cos θ + isen θ)] n = = β(cos θ + isen θ)β n (cos nθ + isen nθ) = = β n+1 [cos θ cos nθ sen θ sen nθ + (cos θ sen nθ+ sen θ cos nθ)i] = = β n+1 cos(θ + nθ) + isen (θ + nθ) = β n+1 (cos(n + 1)θ + isen (n + 1)θ). Sia 59

α C, consideriamo il polinomio x n α C[x]. Tale polinomio ammette n radici distinte, precisamente se α = a + bi = β(cos θ + isen θ), a 2 + b 2 = β 2, è la sua rappresentazione trigonometrica, le radici del polinomio sono le seguenti: x k = n β(cos θ+2πk n + isen θ+2πk n ) per k = 1,..., n. Infatti questi sono elementi a due a due distinti e, applicando la formula di Moivre, si ottiene x n k = α, k = 1,..., n. Tali radici vengono dette radici n-esime di α. In particolare se α = 1 = cos 0 + isen 0, le radici ɛ k = cos 2πk 2πk n + isen n, k = 1,..., n, vengono dette radici n-esime dell unità. L insieme delle radici n-esime delle unità {ɛ 1,..., ɛ n } è un sottogruppo ciclico del gruppo (C, ). Infatti (ɛ i ɛ 1 j ) n = ɛ n i (ɛn j ) 1 = 1 e ɛ 1 è un generatore del gruppo. Generatori del gruppo sono tutte le radici ɛ t = cos 2πt 2πt n + isen n con (t, n) = 1. Tali radici, generatori del gruppo, vengono dette radici primitive n-esime dell unità. Infine si osservi che le radici n-esime di α C si ottengono moltiplicando una fissata radice n-esima di α per le n radici n-esime dell unità. 10 Radici multiple Definizione 10.1 Sia f(x) K[x], sia F campo di spezzamento di f(x) e sia v F una radice di f(x). Diremo che v è radice di molteplicità m 1 se in F[x] il polinomio f(x) è divisibile per (x v) m ma non è divisibile per (x v) m+1. Le radici di molteplicità m = 1 (rispettivamente m > 1) si chiamano radici semplici (rispettivamente radici multiple) di f(x). Quindi, se F è campo di spezzamento di f(x) K[x] e se u 1,..., u h F sono le radici distinte di f(x), in F[x] si ha f(x) = c(x u 1 ) m 1 (x u 2 ) m 2... (x u h ) m h con m 1 + + m h = n e c K. Definizione 10.2 Sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n K[x]. Si chiama polinomio derivato (o brevemente derivato) di f(x) il polinomio: Df(x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1. Banalmente, ogni polinomio costante ha per derivato il polinomio nullo. Non vale però, in generale, il viceversa. Si ha infatti Proposizione 10.1 Sia f(x) K[x]. Se car K = 0 si ha Df(x) = 0 se e solo se f(x) = c K (polinomio costante). Se car K = p si ha Df(x) = 0 se e solo se f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p + + a hp x hp. Dim. Banale. 60

Proposizione 10.2 Siano f 1 (x),..., f n (x) K[x]. Si ha : (1) D(f 1 (x) + + f n (x)) = Df 1 (x) + + Df n (x) (2) D(f 1 (x) f 2 (x) f n (x)) = (Df 1 (x)) f 2 (x) f n (x) + (Df 2 (x)) f 1 (x) f 3 (x) f n (x) + + (Df n (x)) f 1 (x) f n 1 (x). Dim. Dalla definizione 10.2 segue facilmente D(f 1 (x) + + f n (x)) = Df 1 (x)+ + + Df n (x) e D(f 1 (x) f 2 (x)) = (Df 1 (x))f 2 (x) + (Df 2 (x))f 1 (x). Per induzione su n si verifca poi la (2) nel caso n > 2. Il concetto di polinomio derivato torna molto utile nella determinazione delle radici di molteplicità m > 1 di un polinomio. Proposizione 10.3 Sia f(x) K[x], F campo di spezzamento di f(x); v F è radice di f(x) di molteplicità m > 1 se e solo se v è radice anche di Df(x). Dim. Sia v F radice di molteplicità m di f(x). In F[x] si ha f(x) = (x v) m g(x) e g(v) 0; Df(x) = m(x v) m 1 g(x)+(x v) m (Dg(x)). Se è m > 1, banalmente si ha Df(v) = 0. Se è m = 1, invece, si ha Df(v) = g(v) 0. Definizione 10.3 Un polinomio f(x) K[x] non costante è detto separabile se tutte le sue radici sono semplici, inseparabile se ha almeno una radice multipla (nel suo campo di spezzamento). Proposizione 10.4 Un polinomio f(x) K[x], irriducibile in K[x] è inseparabile se e solo se Df(x) = 0. Dim. Sia f(x) K[x], irriducibile in K[x]; ne segue che f(x) è non costante. Se Df(x) = 0, banalmente ogni radice di f(x) è anche radice di Df(x) e quindi (proposizione 10.3) è radice multipla, cioè f(x) è inseparabile. Viceversa, sia f(x) inseparabile e sia v F (F ampliamento di K) una sua radice multipla, allora v è anche radice di Df(x) e pertanto, detto g(x) un massimo comun divisore di f(x) e Df(x), g(x) = (Df(x), f(x)), si ha, in F[x], (x v) g(x) e quindi deg g(x) 1. Si ha g(x) K[x], come risulta subito applicando l algoritmo euclideo delle divisioni successive (esercizio 6.6) per il calcolo del massimo comun divisore fra Df(x) e f(x). Si ha così, in K[x], g(x) f(x) e poiché f(x) è irriducibile in K[x] e g(x) non costante, deve essere f(x) = g(x) c con c K. Da ciò e da g(x) Df(x) segue f(x) Df(x) e questo implica Df(x) = 0 (infatti se fosse Df(x) 0 si avrebbe deg Df(x) < deg f(x) e dunque f(x) non potrebbe dividere Df(x)). Proposizione 10.5 Sia K un campo di caratteristica zero. Ogni polinomio irriducibile di K[x] è separabile. 61

Dim. Immediata conseguenza delle proposizioni 10.4 e 10.1. Nel caso in cui sia car K = p 0 il risultato della proposizione 10.5 non è più valido; porteremo infatti, per ogni primo p, un esempio di campo K di caratteristica p e di polinomio f(x) K[x] irriducibile in K[x] ed inseparabile. In vista di ciò stabiliamo preliminarmente la seguente Proposizione 10.6 Sia K un campo di caratteristica p; il polinomio x p + a appartenente a K[x] ammette, nel suo campo di spezzamento, una sola radice v (di molteplicità p) e x p + a risulta riducibile in K[x] se e solo se v K (e quindi se e solo se K è il suo campo di spezzamento). Dim. Sia F il campo di spezzamento di x p + a K[x] e sia v F una sua radice; si ha v p = a e dunque (x v) p = x p v p = x p + a. Allora, v è l unica radice di x p + a (e risulta di molteplicità p). Se v K ovviamente x p + a è riducibile in K[x]. Viceversa, supponiamo che x p + a sia riducibile in K[x]; si avrà allora x p + a = (x v) p = (x v) h (x v) p h con 1 h p 1. Quindi, esistono interi h, con 1 h p 1, tali che (x v) h K[x]. Sia m il più piccolo intero positivo tale che (x v) m K[x] : risulta 1 m p 1; proviamo che è m = 1. Infatti, supponiamo m > 1; dividendo p per m otteniamo p = mq + r con 0 r < m e r 0 in quanto p è primo. Dunque (x v) p = (x v) mq (x v) r con 0 < r < m. Poiché (x v) p K[x] e (x v) mq K[x] si ha allora (x v) r K[x] e ciò contraddice l ipotesi di minimo fatta su m. Dunque è m = 1 e pertanto x v K[x] cioè v K e K = F. Siamo ora in grado di provare la Proposizione 10.7 Per ogni numero primo p esiste una campo K di caratteristica p e un f(x) K[x] irriducibile in K[x] ed inseparabile. Dim. La dimostrazione che proponiamo è costruttiva, cioè costruiamo il campo K ed il polinomio f(x) K[x] soddisfacenti alla tesi. Consideriamo il campo Z p delle classi resto modulo p e il dominio di integrità Z p [y] dei polinomi in y a coefficienti in Z p. Sia K = Z p (y) il campo dei quozienti (vedi { proposizione 5.6) di Z p [y]; si ha a0 + a 1 y + + a n y n } K = b 0 + b 1 y + + b m y m a i, b j Z p ; n, m N; b i non tutti nulli. Z p è sottocampo di K e dunque car K = p. Il polinomio x p + y K[x] è inseparabile in quanto (proposizione 10.6) esso ammette una sola radice che risulta di molteplicità p. Inoltre x p + y è irriducibile in K[x]; infatti (proposizione 10.6) x p + y è riducibile in K[x] se e solo se l unica sua radice è un elemento di K; ma nessun elemento di K è radice di x p + y; infatti supponiamo che esista α K 62

( tale che α p a0 + a 1 y + + a n y n ) p + y = 0. Si ha allora b 0 + b 1 y + + b m y m +y = 0 con gli elementi b j non tutti nulli. Per ogni c Z p si ha c p = c; ciò è ovvio se c = 0, mentre se c 0, in Z p (che è di ordine p 1) si ha (per il teorema di Lagrange) c p 1 = 1 e dunque c p = c. Allora, la precedente eguaglianza fornisce a 0 + a 1 y p + + a n y np + y(b 0 + b 1 y p + + b m y mp ) = 0 cioè a i = 0 e b j = 0 per i = 1, 2,..., n e j = 1, 2,..., m. Ma ciò è assurdo in quanto i b j non possono essere tutti nulli. Proposizione 10.8 Siano K, K campi isomorfi; sia φ un isomorfismo di K su K ; prolunghiamo φ in un isomorfismo fra K[x] e K [x] (che chiamiamo ancora φ); sia f(x) K[x] separabile e f (x) = φ(f(x)); siano F, F i campi di spezzamento rispettivamente di f(x) e f (x). Il numero degli isomorfismi fra F e F che risultano prolungamento di φ eguaglia il grado di F rispetto a K. Dim. Sia m il grado di F rispetto a K. Se è m = 1 si ha F = K, F = K ed il risultato è banale. Supponiamo dunque m > 1 e procediamo per induzione su m. Poiché è m > 1, non tutte le radici di f(x) stanno in K; sia dunque v una radice di f(x), v / K; sia p(x) K[x] un fattore irriducibile di f(x) che ammette v come radice; p(x) è al pari di f(x), separabile; sia deg p(x) = d e siano v 1 = v, v 2,..., v d le sue radici; sia p (x) = φ(p(x)) e siano v 1, v 2,..., v d le sue radici; si ha d > 1 (essendo v / K). Se ψ è un isomorfismo fra F e F che è prolungamento di φ, si ha ψ(v) = v i e ψ risulta isomorfismo di K(v) su K (v i ); cioè, ψ può essere visto come prolungamento di un isomorfismo ψ fra K(v) e K (v i ) e ψ risulta, a sua volta, prolungamento di φ. Viceversa sia θ un isomorfismo fra K(v) e K (v i ) che risulti prolungamento di φ, θ(v) = v i ; poiché F e F risultano campo di spezzamento di f(x) K(v)[x] e di f (x) K (v i )[x] rispettivamente, si ha (proposizione 9.6) che θ si può prolungare in un isomorfismo fra F e F che risulta prolungamento di φ. Per la proposizione 8.5 esiste uno ed un solo isomorfismo fra K(v) e K (v i ) che sia prolungamento di φ e che trasformi v in v i. Sia h il grado di F rispetto a K(v); poiché è m il grado di F rispetto a K e risulta d il grado di K(v) rispetto a K si ha (proposizione 7.1) m = hd; essendo d > 1 si ha h < m e per l ipotesi di induzione, il numero di isomorfismi di F su F che risultano prolungamento di isomorfismi fra K(v) e K (v i ) è proprio h; ciò vale qualunque sia v i {v 1, v 2,..., v d } e pertanto in tutto otteniamo hd = m isomorfismi fra F e F che sono prolungamento di φ. 11 Gruppo di Galois di un polinomio Proposizione 11.1 Sia f(x) K[x] e sia F il campo di spezzamento di f(x); gli automorfismi di F ciascuno dei quali induce l identità su K (cioè la cui restrizione 63

a K è l identità) è un sottogruppo del gruppo di tutte le applicazioni biiettive di K su K. Dim. Dimostrazione banale. La precedente proposizione consente la seguente Definizione 11.1 Sia f(x) K[x] e sia F il suo campo di spezzamento; il gruppo degli automorfismi di F che inducono l identità su K è detto gruppo di Galois di f(x) rispetto a K. Esempio: il gruppo di Galois di x 2 + 1 R[x] rispetto a R è costituito da due automorfismi di C : l identità e l automorfismo coniugio: a + bi a bi. Questo segue subito dal fatto che θ G = 1 = θ( 1) = θ(i 2 ) = (θ(i)) 2. Proposizione 11.2 Sia f(x) K[x], F il suo campo di spezzamento, G il suo gruppo di Galois rispetto a K. Ogni φ G trasforma una radice di f(x) in una radice di f(x). Dim. Sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n K[x]; sia v F una radice di f(x); si ha a 0 + a 1 v + + a n v n = 0 e dunque φ(a 0 + a 1 v + + a n v n ) = 0 cioè a 0 + a 1 φ(v) + + a n φ(v) n = 0 (essendo a i = φ(a i ) poiché a i K e φ G fissa gli elementi di K). Cioè φ(v) è radice di f(x). Proposizione 11.3 Il gruppo di Galois di un polinomio è isomorfo ad un sottogruppo del gruppo simmetrico sulle radici distinte del polinomio. Dim. Sia f(x) K[x], F il suo campo di spezzamento, G il suo gruppo di gruppo di Galois; sia E = {v 1,..., v m } l insieme delle radici distinte di f(x) (cioè v i v j per i j); per provare la tesi basta dimostrare che esiste un omomorfismo iniettivo di G nel gruppo simmetrico Sym E. Per la proposizione 11.2 ogni α G induce una permutazione α E Sym E. Consideriamo l applicazione f : G Sym E; f(α) = α E. f è un omomorfismo: f(α) = (α) E = α Eβ E = f(α)f(β). Proviamo ora che f è iniettivo. Per provare ciò osserviamo che è F = K(v 1, v 2,..., v m ); F può ottenersi mediante ampliamenti successivi K K(v 1 ) K(v 1, v 2 ) K(v 1,..., v m ) = F in cui ogni campo è ampliamento di grado finito rispetto al precedente e quindi gli elementi di K(v 1 ) si scrivono come polinomi in v 1 a coefficienti in K, gli elementi di K(v 1, v 2 ) come polinomi in v 2 a coefficienti in K(v 1 ) ecc. fino agli elementi di K(v 1,..., v m ) che si esprimono come polinomi in v m a coefficienti in K(v 1,..., v m 1 ). Consideriamo ora il nucleo Ker f = {α G α E = 1 E } dell omomorfismo f; sia α Ker f; si ha α(v 1 ) = v 1 e α(x) = x per ogni x K; dunque se 64

k 0 + k 1 v 1 + + k t v t 1 K(v 1) si ha α(k 0 + k 1 v 1 + + k t v t 1 ) = k 0 + k 1 v 1 + + k t v t 1 cioè α agisce come l identità su K(v 1 ); si ha anche α(v 2 ) = v 2 e dunque α agisce come l identità su K(v 1, v 2 ) e così via, α risulta l identità su F. Allora è Ker f = {1} e dunque f è iniettivo. Proposizione 11.4 Sia f(x) K[x], deg f(x) = n; il gruppo di Galois di f(x) rispetto a K ha per ordine un divisore di n!. Dim. Sia F il campo di spezzamento di f(x) K[x], siano v 1, v 2,..., v m F le radici distinte di f(x). Per la proposizione 11.3 G è isomorfo ad un sottogruppo di S m e quindi G m!; poiché è m n si ha m! n! e dunque G n!. Proposizione 11.5 Sia f(x) K[x] separabile, sia F il suo campo di spezzamento e G il suo gruppo di Galois rispetto a K; l ordine di G è uguale al grado di F rispetto a K. Dim. Gli elementi di G sono esattamente gli automorfismi di F che risultano prolungamento dell automorfismo identico di K e pertanto il risultato segue dalla proposizione 10.8. Proposizione 11.6 Sia f(x) K[x] separabile, F il suo campo di spezzamento, G il suo gruppo di Galois rispetto a K; un elemento di F è mutato in sé da ogni elemento di G se e solo se sta in K. Dim. Poiché dalla definizione 11.1 si ha K {v F α(v) = v per ogni α G}, basta provare {v F α(v) = v per ogni α G} K. F è ampliamento di K di grado finito n (proposizione 8.10) e quindi G = n (proposizione 11.5). Sia v F mutato in sé da ogni α G; sia h il grado di K(v) rispetto a K ed m il grado di F rispetto a K(v); si ha n = mh (proposizione 7.1). Sia Γ il gruppo di Galois di f(x) rispetto a K(v); per la proposizione 11.5 si ha Γ = m. Ogni elemento di G muta in sé v e muta in sé ogni elemento di K; dunque è l identità in K(v) (essendo gli elementi di K(v) polinomi in v a coefficienti in K) cioè è G Γ, quindi n m e poiché è n = mh ne segue n = m e h = 1 cioè K(v) = K, cioè v K. Esercizi e complementi Esercizio 11.1 Sia f(x) R[x] e sia α = a + bi C una radice di f(x). Dimostrare che a bi è ancora radice del polinomio f(x). [Suggerimento: sia G il gruppo di Galois di f(x) rispetto a R e sia τ G, provare che τ(i) = ±i]. 65

Esercizio 11.2 Sia G il gruppo di Galois rispetto a Q di x n 1 Q[x], n N. Dimostrare che ogni elemento di G manda una radice primitiva n-esima dell unità in una radice primitiva n-esima dell unità. Esercizio 11.3 Dimostrare che il gruppo di Galois rispetto a Q del polinomio x n 1 Q[x], n N, è abeliano. [Suggerimento: segue dal fatto che le radici n-esime dell unità formano un gruppo ciclico]. Esercizio 11.4 Studiare il gruppo di Galois rispetto a Z 3 del polinomio x 2 + 2x + 2 Z 3 [x]. Esercizio 11.5 Dimostrare che il gruppo di Galois rispetto a Q del polinomio x 3 2 Q[x] è isomorfo ad S 3. Esercizio 11.6 Sia (x 2 2)(x 2 3) Q[x]. Studiarne il gruppo di Galois rispetto a Q. 12 Campi finiti Abbiamo provato (proposizione 7.3) che ogni corpo finito è commutativo, cioè è un campo. Studiamo ora la struttura dei campi finiti. Proposizione 12.1 Sia K un campo finito; si ha K = p n essendo p la caratteristica di K ed n un opportuno intero positivo. Dim. Essendo K finito si ha car K 0 e dunque car K = p, con p numero primo. Il sottocampo minimo di K è allora isomorfo al campo Z p delle classi resto modulo p (proposizione 5.7). Essendo K finito, K ha, come spazio vettoriale su Z p, dimensione finita n. Dunque, il numero degli elementi di K è p n. Viceversa si ha Proposizione 12.2 Per ogni numero primo p e ogni intero positivo n esiste uno ed un solo campo F avente p n elementi. Dim. Consideriamo il polinomio x pn x Z p [x] e sia F il suo campo di spezzamento. Il polinomio x pn x è separabile poiché il suo derivato è D(x pn x) = 1 e quindi nessuna radice di x pn x può essere multipla (proposizione 10.3). Allora, in F esistono p n radici di x pn x; sia H il loro insieme. H è sottocampo di F. Infatti, se α, β H si ha α pn = α e β pn = β e quindi (α β) pn = α pn β pn = α β H. 66

Inoltre, se α, β H e β 0 si ha (αβ 1 ) pn = α pn (β pn ) 1 = αβ 1 e dunque αβ 1 H. Ma allora si ha H = F (essendo F il più piccolo ampliamento di Z p che contiene tutte le radici di x pn x) e quindi F = p n. Abbiamo così provato l esistenza di un campo con p n elementi. Proviamo adesso la sua unicità (a meno di un isomorfismo). Sia K un campo avente p n elementi; a meno di isomorfismi si ha Z p K; il gruppo moltiplicativo K di K ha p n 1 elementi e, per il teorema di Lagrange, per ogni x K si ha x pn 1 = 1; dunque, ogni x K è radice di x pn 1 1 Z p [x] e di conseguenza, ogni x K è radice di x pn x Z p [x]. Allora, gli elementi di K sono esattamente le radici di x pn x Z p [x] e pertanto K è isomorfo ad F (proposizione 9.7). L esistenza di uno ed un solo campo avente p n elementi consente la seguente Definizione 12.1 Per ogni numero primo p e ogni positivo n chiamiamo campo di Galois di ordine p n, e lo indichiamo con GF (p n ), l unico campo avente p n elementi. Per dimostrare la Proposizione 12.3 occorre il seguente Lemma 12.1. Lemma 12.1 Sia G un gruppo finito di ordine n tale che per ogni m divisore di n esista in G al piú un sottogruppo di ordine m. Allora G é ciclico. Dim. Dimostraimo prima di tutto che il Lemma é vero per ogni gruppo G avente ordine p s, p primo. Procediamo per induzione su s. Se s = 1 é vero. Sia s > 1 e supponiamo il Lemma vero per tutti i p gruppi di ordine minore di p s. Sia H l unico sottogruppo di G di ordine p s 1 (l esistenza é assicurata dal Teorema di Sylow e l unicitá dall ipotesi fatta nel Lemma) e sia g G H. Se g ha periodo p s, g genera G e G é ciclico. Se g ha periodo p t, con t < s, g genera un sottogruppo di G di ordine p t. Poiché per ipotesi induttiva H é ciclico, esiste un sottogruppo di H di ordine p t ed esso non contiene g. Avremmo cosí due distinti sottogruppi di G dello stesso ordine, contro l ipotesi. Concludiamo che l unica possibilitá é che sia g di periodo p s e G ciclico. Supponiamo ora che G sia di ordine n, con n non potenza di un numero primo. Scomponiamo n nel prodotto di potenze di primi distinti: n = p h 1 1 ph 2 2... ph r r. Siano A 1, A 2,... A r sottogruppi di G di ordine rispettivamente p h 1 1, ph 2 2,..., phr r (l esistenza di tali sottogruppi é assicurata dal Teorema di Sylow). Ciascun gruppo A i é normale in G essendo l unico sottogruppo di G di quell ordine. Inoltre presi i, j, i j, A i e A j si intersecano nel sottogruppo banale essendo di ordine coprimo. Concludiamo che G é prodotto diretto dei sottogruppi A 1,..., A r. Ciascun A i soddisfa l ipotesi del Lemma e dunque deve essere ciclo per quanto sopra dimostrato. Quindi G é ciclico poiché prodotto diretto di gruppi ciclici di ordine coprimo. 67

Proposizione 12.3 Il gruppo moltiplicativo del campo K = GF (p n ) è ciclico. Dim. Il gruppo (K, ) ha ordine m = p n 1; sia h m; se H è un sottogruppo di ordine h di (K, ), gli elementi di H sono radici del polinomio x h 1 Z p [x] (anzi sono esattamente tutte e sole le radici di x h 1). Allora non possono esistere due sottogruppi H 1, H 2 di K entrambi di ordine h perché altrimenti il polinomio x h 1 avrebbe più di h radici (gli elementi di H 1 più quelli di H 2 H 1 ). Dunque, per ogni h m esiste in K al più un sottogruppo di ordine h. Il risultato segue quindi dal Lemma 12.1 precedencte. Proposizione 12.4 Il gruppo degli automorfismi di GF (p n ) è ciclico di ordine n, l automorfismo x x p (automorfismo di Frobenius) è un suo generatore. Dim. Sia K = GF (p n ); K è ampliamento di grado n di Z p e K = Z p (ɛ) essendo ɛ un generatore del gruppo ciclico K. Dunque esiste in Z p [x] un polinomio di grado n, irriducibile in Z p [x], avente ɛ come radice: f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n. Se φ è un automorfismo del campo K, φ è l identità sugli elementi di Z p ; da a 0 + a 1 ɛ + + a n ɛ n = 0 si ha allora a 0 + a 1 φ(ɛ) + + a n φ(ɛ) n = 0 cioè φ(ɛ) è ancora una radice di f(x). Poiché ɛ genera K, ogni automorfismo φ di K risulta determinato quando è noto φ(ɛ); d altra parte le radici distinte di f(x) sono al più n e quindi φ(ɛ) può essere determinato in al più n modi. Dunque esistono al più n automorfismi di GF (p n ). Sia σ : GF (p n ) GF (p n ), σ(x) = x p. σ è applicazione iniettiva; infatti x p = y p = (x y) p = 0 = x = y. Dunque σ è necessariamente suriettiva e perciò biiettiva. Infine σ(x+y) = (x+y) p = x p +y p = σ(x)+σ(y) σ(xy) = (xy) p = = x p y p = σ(x)σ(y). Allora σ è un automorfismo di GF (p n ) e tali sono anche σ 2, σ 3,..., σ pn = 1 K. Questi sono certamente distinti perché se fosse σ i = σ j con i j, allora avremmo σ i (a) = a pi = σ j (a) = a pj, a GF (p n ), da cui a pi a pj = 0, a GF (p n ). Senza perdere in generalitá sia i > j, otteniamo: a pj (a pi p j 1) = 0 = a pi p j 1 = 0 a GF (p n ) e il polinomio x pi p j 1 di grado strettamente minore di p n 1 avrebbe p n 1 radici distinte: assurdo. La proposizione è così provata ma una dimostrazione più immediata si ha utilizzando la proposizione 11.5; infatti K è campo di spezzamento del polinomio separabile x pn x Z p [x] e pertanto il gruppo degli automorfismi di K coincide con il gruppo G di Galois di x pn x rispetto a Z p e dunque ha cardinalità n. Procedendo come prima si prova che G è ciclico e generato dall automorfismo x x p. 68

Proposizione 12.5 Ogni polinomio f(x) GF (p n )[x] irriducibile in GF (p n )[x] è separabile. Dim. Per la proposizione 10.4 se f(x) è inseparabile allora è Df(x) = 0 cioè f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p + + a hp x hp, con a i GF (p n ); ma allora risulta f(x) = (a pn 1 0 + a pn 1 p x + + a pn 1 hp x h ) p e dunque f(x) è riducibile in GF (p n )[x], contro l ipotesi. Definizione 12.2 Sia K un campo; un elemento a K è detto quadrato in K se esiste x K tale che a = x 2. Banalmente, lo zero di K è un quadrato in K; i reali non negativi sono tutti e soli i quadrati di R. Proposizione 12.6 I quadrati non nulli del campo K formano un sottogruppo del gruppo moltiplicativo di K. Dim. Banale. Proposizione 12.7 Ogni elemento di GF (2 n ) è un quadrato di GF (2 n ). Dim. GF (2 n ) è costituito dalle radici di x 2n x Z 2 [x]; pertanto, per ogni x GF (2 n ) si ha x = x 2n = (x 2n 1 ) 2. Proposizione 12.8 I quadrati non nulli di GF (p n ), p 2, formano un sottogruppo di indice 2 del gruppo moltiplicativo di GF (p n ). Dim. Sia K = GF (p n ), p 2; per la proposizione 12.3 il gruppo K è ciclico; sia ɛ un suo generatore. I quadrati di K sono tutte e sole le potenze di ɛ ad esponente pari (infatti ɛ 2h+1 = x 2, x K implica ɛ 2h+1 = ɛ 2j e quindi 2h + 1 2j (mod p n 1) che è assurdo essendo p n 1 pari) e quindi formano un sottogruppo di K di indice 2. Proposizione 12.9 In GF (p n ), p 2, 1 è un quadrato se e solo se è p n 1 (mod 4). Dim. Sia K = GF (p n ), p 2, e sia K =< ɛ >. In K esiste uno ed un solo sottogruppo di ordine 2 e dunque 1 = ɛ pn 1 2. Allora, 1 è un quadrato se e solo se pn 1 = 2h cioè se e solo se p n 1 (mod 4). 2 69

Proposizione 12.10 In GF (p n ) ogni elemento è somma di due quadrati. Dim. Sia K = GF (p n ); proviamo che per ogni x K esistono a, b K tali che x = a 2 + b 2. Ciò è ovvio se p = 2 poiché in tal caso (proposizione 12.7) si ha x = a 2 = a 2 + 0, con a K. Sia p 2. Ogni quadrato di K è somma di due quadrati: a 2 = a 2 +0. Proviamo dunque che ogni elemento non quadrato è somma di due quadrati. Sia K =< ɛ >. Osserviamo che non può accadere che la somma di due quadrati sia sempre un quadrato; infatti se così fosse i quadrati di K formerebbero un sottocampo di K costituito da pn 1 + 1 = pn + 1 elementi e ciò è assurdo ( pn + 1 non è una 2 2 2 potenza di p). Esistono dunque a e b K tali che a 2 + b 2 = ɛ 2r+1. Ora è facile provare che ogni non quadrato è somma di due quadrati; infatti è ɛ 2s+1 = ɛ 2s 2r+2r+1 = ɛ 2(s r) ɛ 2r+1 = ɛ 2(s r) (a 2 + b 2 ) = (ɛ s r a) 2 + (ɛ s r b) 2. Esercizi e complementi Abbiamo visto che in GF (2 n ) ogni elemento è un quadrato; ciò si verifica anche nel campo dei complessi. In GF (p n ), p 2, i quadrati non nulli formano un sottogruppo di indice 2 del gruppo moltiplicativo del campo; ciò si verifica anche nel campo dei reali. Nel campo Q dei razionali invece i quadrati non nulli formano un sottogruppo proprio di Q che non è di indice 2. Sottolineiamo inoltre, senza addentrarci nella dimostrazione, che il campo dei complessi é algebricamente chiuso, ovvero i polinomi irriducibili in C[x] sono tutti e soli quelli di primo grado. Esercizio 12.1 Determinare il numero dei polinomi irriducibili di Z p [x] (p primo) del tipo x 2 a. Esercizio 12.2 Dimostrare che ogni sottogruppo G finito del gruppo moltiplicativo K di un campo K è ciclico. Se G = n e e car K = p 0 allora è (n, p) = 1. [Suggerimento: procedendo come nella proposizione 12.3 si prova che G è ciclico. Se (n, p) 1 allora è n = ph, h N, e x n 1 = (x h 1) p, quindi...]. Esercizio 12.3 Sia K = GF (27), dimostrare che il polinomio x 2 + a, a K è irriducibile se e solo se a è un quadrato in K. [Suggerimento: si ricordi la proposizione 12.9]. Esercizio 12.4 Dimostrare che 1 è un quadrato in GF (p 2m ). [Suggerimento: se p 2 si osservi che p 2m 1 = (p m 1)(p m + 1) e si applichi la proposizione 12.9]. 70

Esercizio 12.5 Sia K = GF (p 2m ), m 1. Dimostrare che il polinomio x 2 + a, a K è irriducibile in K se e solo se a non è un quadrato. [Suggerimento: si osservi che 1 è un quadrato in K]. Esercizio 12.6 Dimostrare che il prodotto di tutti gli elementi non nulli di un campo finito di caratteristica dispari è 1, se la caratteristica è 2 tale prodotto è 1. Esercizio 12.7 Sia K = GF (9), comunque presi a, b GF (9), a 0 sia φ a,b la permutazione su K così definita: x ax + b. Sia σ l automorfismo x x 3. Posto G = {φ a,b a è un quadrato in K} {φ a,b σ a è un non quadrato in K}, dimostrare che G è un gruppo e individuare un suo sottogruppo di indice 2. Esercizio 12.8 Trovare tutti i sottogruppi del gruppo degli automorfismi di GF (64). Esercizio 12.9 Sia F un campo di caratteristica p, p 0, sia K un ampliamento di F e sia S l insieme degli elementi di K che risultano radici di un polinomio del tipo x pn a F[x] per qualche n N. Dimostrare che S è un sottocampo di K. S contiene F? Esercizio 12.10 Individuare tutti i polinomi del tipo x 2 b K[x] irriducibili nei casi: K = Z 3, K = GF (9), K = GF (4). Esercizio 12.11 Se K è un sottocampo di GF (p n ) a meno di isomorfismi si ha K = GF (p m ) con m n. [Suggerimento: K è ampliamento di grado finito m di Z p, GF (p n ) è ampliamento di grado finito n di Z p...]. Esercizio 12.12 Sia n N, per ogni m N con m divisore di n esiste in GF (p n ) uno ed un solo sottocampo di ordine p m. [Suggerimento: se m è un divisore di n allora (x pm x) (x pn x) e dunque GF (p m ) è un sottocampo di GF (p n ); se esistessero due sottocampi di ordine p m, esisterebbero due sottogruppi del gruppo moltiplicativo ciclico di GF (p n ) aventi ordine p m 1...]. Esercizio 12.13 Sia K = GF (p n ) e sia H = GF (p m ) un sottocampo di K; verificare che si ha H = {x K x pm = x}. Esercizio 12.14 Sia K = GF (p n ) e sia f(x) = x pi x Z p [x] con i primo con n. Provare che le radici di f(x) contenute in K sono esattamente gli elementi di Z p. Esercizio 12.15 Sia K un campo finito. Dimostrare che esistono in K[x] polinomi irriducibili di grado maggiore di 1. [Suggerimento: sia K = GF (p m ) e sia n un multiplo di m, n > m, GF (p m ) è sottocampo di GF (p n ) e ogni elemento di GF (p n ) è algebrico rispetto a GF (p m )...]. 71

13 Teorema dell elemento primitivo. Teorema di Galois Nel paragrafo 6.2 abbiamo parlato di ampliamenti di un campo fatti mediante uno o più elementi. Vedremo ora come, in certi casi, un ampliamento fatto mediante più elementi possa essere espresso come ampliamento semplice, cioè fatto mediante un solo elemento. Definizione 13.1 Sia K F e sia v F, algebrico rispetto a K; l elemento v è detto separabile rispetto a K se è separabile il polinomio f(x) K[x], irriducibile in K[x] e tale che f(v) = 0. Proposizione 13.1 (Teorema dell elemento primitivo). Sia K(v 1, v 2,..., v h ) un ampliamento di K; siano v 1, v 2,..., v h algebrici rispetto a K ed h 1 di essi, diciamo v 2,..., v h, siano anche separabili. Allora, esiste v K(v 1, v 2,..., v h ) tale che K(v 1, v 2,..., v h ) = K(v). Dim. Sia K un campo finito; anche K(v 1, v 2,..., v h ) è finito e dunque il suo gruppo moltiplicativo è ciclico (proposizione 12.3); si ha quindi K(v 1, v 2,..., v h ) =< v > e di conseguenza K(v 1, v 2,..., v h ) = K(v). Sia ora K infinito. Procediamo per induzione su h. Proviamo anzitutto la proposizione nel caso h = 2. Siano p(x), q(x) K[x] irriducibili e tali che p(v 1 ) = 0, q(v 2 ) = 0. Poiché v 2 è separabile rispetto a K, il polinomio q(x) è separabile. Siano v 1,1 = v 1, v 1,2,..., v 1,m le radici distinte di p(x) e v 2,1 = v 2, v 2,2,..., v 2,n le radici di q(x); si ha deg p(x) m e deg q(x) = n. Sia F un ampliamento di K contenente gli elementi v 1,i e v 2,j (1 i m; 1 j n). Consideriamo le seguenti m(n 1) equazioni in z : (1) v 1 + v 2 z = v 1,i + v 2,j z (1 i m; 2 j n). Poiché è v 2,j v 2 per ogni j 2 ne viene che ciascuna delle equazioni (1) ammette una ed una sola soluzione in F; il numero delle soluzioni delle (1) è dunque finito e pertanto nel campo K, che è infinito, esiste un elemento c che non è soluzione di alcuna equazione (1). Poniamo: (2) v = v 1 + v 2 c. Si ha v K(v 1, v 2 ) e pertanto K(v) K(v 1, v 2 ). Proviamo che è K(v 1, v 2 ) K(v) e quindi K(v 1, v 2 ) = K(v). Dalla (2) si trae v 1 = v v 2 c e poiché è p(v 1 ) = 0 si ha p(v v 2 c) = 0. Dunque v 2 è radice del polinomio in x : p(v cx) K(v)[x]. Allora v 2 è radice di entrambi i polinomi q(x) e p(v cx); dunque x v 2 è un divisore del loro massimo comun divisore: (x v 2 ) (q(x), p(v cx)). Ma, q(x) e p(v cx) non hanno altre radici in comune oltre v 2 ; infatti se v 2,j con j 2 fosse 72

radice di p(v cx) avremmo v cv 2,j = v 1,i cioè v = v 1,i + v 2,j c e ricordando la (2) otterremmo v 1 + v 2 c = v 1,i + v 2,j c con j 2 e dunque c sarebbe soluzione di una delle equazioni (1) contro l ipotesi. Si ha allora x v 2 = (q(x), p(v cx)). Poiché q(x) e p(v cx) appartengono al dominio K(v)[x], anche x v 2 appartiene a K(v)[x] e pertanto v 2 K(v); da (2) segue allora che è anche v 1 K(v) e quindi K(v 1, v 2 ) K(v). Provata la proposizione nel caso h = 2, verifichiamo l ipotesi di induzione; se K(v 1, v 2,..., v h 1 ) è semplice, tale è anche K(v 1, v 2,..., v h ); per ipotesi v 2,..., v h sono separabili; dalla semplicità di K(v 1,..., v h 1 ) segue che esiste w K(v 1,..., v h 1 ) tale che K(v 1,..., v h 1 ) = K(w); si ha allora: K(v 1, v 2,..., v h ) = K(w, v h ) = K(v) (essendo v h separabile ed essendo provato il risultato per h = 2). Proposizione 13.2 Sia K un campo di caratteristica zero e f(x) K[x]; il campo di spezzamento F di f(x) è un ampliamento semplice di K. Dim. Siano v 1,..., v h le radici distinte di f(x); si ha F = K(v 1,..., v h ); gli elementi v 1,..., v h sono separabili (proposizione 10.5) e quindi, per la proposizione 13.1 si ha F = K(v). Nel precedente paragrafo 11 abbiamo definito il gruppo di Galois G di un polinomio f(x) K[x] come il gruppo degli automorfismi del campo F di spezzamento di f(x) che lasciano immutati gli elementi di K. Abbiamo anche visto come il gruppo G sia isomorfo ad un sottogruppo del gruppo simmetrico sulle radici distinte di f(x) (proposizione 11.3). Adesso vogliamo studiare quale relazione intercorre fra i sottogruppi di G ed i sottocampi di F che contengono K. Definizione 13.2 Sia K F; dicesi intercampo fra K e F ogni sottocampo di F che contenga K. Proposizione 13.3 (Teorema di Galois). Sia f(x) K[x] separabile, F il suo campo di spezzamento, G il suo gruppo di Galois rispetto a K. Per ogni intercampo H fra K e F sia φ(h) il gruppo di Galois di f(x) rispetto ad H. La φ risulta un applicazione biiettiva dall insieme degli intercampi fra K e F sull insieme dei sottogruppi di G. Dim. Banalmente, φ(h) è un sottogruppo di G. La φ è iniettiva; infatti, sia φ(h 1 ) = φ(h 2 ) = Γ; per la proposizione 11.6 sia H 1 che H 2 coincidono con l insieme degli elementi di F mutati in sé da ogni elemento di Γ e pertanto è H 1 = H 2. Proviamo ora che φ è suriettiva. Sia Γ un sottogruppo di G e sia H = {v F g(v) = v per ogni g Γ}; H risulta un intercampo fra K e F. Proviamo che è φ(h) = Γ. Si ha Γ φ(h), infatti se g Γ si ha g(v) = v per ogni v H 73

e quindi g appartiene al gruppo di Galois di f(x) rispetto ad H, cioè g φ(h). Basta dunque provare che non può essere Γ φ(h). Per il teorema dell elemento primitivo esiste v F tale che F = K(v). Sia Γ = {γ 1 = 1 F, γ 2,..., γ m } e sia γ i (v) = v i per i = 1, 2,..., m. Si ha v i v j per i j; infatti v i = v j = γ i (v) = = γ j (v) = γj 1 γ i (v) = v = γj 1 γ i = 1 F = γ i = γ j = i = j. Inoltre, γ r (v i ) = = γ r γ i (v) = γ s (v) = v s e quindi ogni γ r Γ induce una permutazione sugli elementi v 1 = v, v 2,..., v m. Sia g(x) = (x v 1 )(x v 2 )... (x v m ), i coefficienti di tale polinomio sono funzioni simmetriche degli elementi v 1, v 2,..., v m (proposizione 9.9) e dunque ogni γ r Γ muta in sé i coefficienti di g(x); cioè, i coefficienti di g(x) appartengono ad H. Ne segue g(x) H[x] e poiché v = v 1 è radice di g(x) si ha che il polinomio irriducibile di H[x] che ammette v come radice deve avere grado deg g(x) = m. Dunque il grado di H(v) rispetto ad H è m. Ora, si ha F = H(v) ed il grado di H(v) rispetto a H eguaglia l ordine del gruppo di Galois di f(x) rispetto a H (proposizione 10.8), cioè l ordine del gruppo φ(h); quindi è φ(h) m. Ma è Γ = m e Γ φ(h) e pertanto Γ = φ(h). Gli intercampi fra K e F formano un reticolo, dove l intersezione è l intersezione insiemistica e l unione di due intercampi è l intersezione di tutti i sottocampi di F che contengono i due intercampi. Proviamo ora la seguente Proposizione 13.4 Nell ipotesi della proposizione 13.3, il reticolo degli intercampi fra K e F è antisomorfo al reticolo dei sottogruppi del gruppo di Galois G di f(x) rispetto a K. Dim. Sia φ l applicazione definita nella proposizione 13.3; abbiamo visto che φ è biiettiva; per provare che φ è un antisomorfismo basta verificare (esercizio 2.1.15) che si ha H 1 H 2 φ(h 1 ) φ(h 2 ). Ebbene, se è H 1 H 2 ogni elemento del gruppo di Galois di f(x) rispetto a H 2, φ(h 2 ), muta in sé ogni elemento di H 2 e quindi anche di H 1 cioè è φ(h 2 ) φ(h 1 ). Viceversa, se è φ(h 2 ) φ(h 1 ) ogni elemento di H 1 è mutato in sé da ogni elemento di φ(h 1 ) e quindi anche da ogni elemento di φ(h 2 ) e pertanto (proposizione 11.6) sta in H 2, cioè H 1 H 2. Proposizione 13.5 Nelle ipotesi della proposizione 13.3 siano H 1 e H 2 intercampi fra K e F, H 1 H 2, e sia Γ 1 = φ(h 1 ) e Γ 2 = φ(h 2 ). Il grado di H 2 rispetto a H 1 è uguale all indice di Γ 2 in Γ 1. Dim. Sia n il grado di F rispetto a H 1 ed m il grado di F rispetto a H 2 ; per la proposizione 7.1 il grado di H 2 rispetto a H 1 è n. D altra parte, per la proposizione 11.5 si ha Γ 1 = n e Γ 2 = m e poiché è Γ 2 Γ 1 (si veda la m precedente proposizione), l indice di Γ 2 in Γ 1 è n m. 74