Anals n evluzne cnnua lerecnca e n regme varable aperdc Ne regm varabl aperdc ensn e crren nn assumn andamen d p presabl (cme ne regm saznar e perdc) pssn varare secnd qualsas andamen cnsen dalle legg plgche (K e K) e plgche degl n- pl che cmpngn la ree. assume per ra che nn presenn dscnnuà, le qual sarann esamnae successvamene. semp arca del cndensare - nza l esame cn esemp, che csuscn cas semplc ed mpran d re n regme varalbe aperdc: Per <0 è n e l crcu a desra è a rps In =0 cmmua n () v() la carca e scarca d cndensare ed ndure. K : v () v() = : v() = () () v() = K : () = () () v() = : () = d v()/d d v()/d v() = equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan 3 4
arca del cndensare - Inegrale parclare: v p () = V p csane, cme l.n. ; ssuend: v p () = V p = Inegrale dell'mgenea: e.c.a. s = 0 s = [s ] s prefersce usare = = [s] csane d emp s per cu () v() s v() = V = V e e nfne 6 5 arca del cndensare -3 Inegrale cmple: v () = v p () v () v() = V e sane d negrazne V : mpnend l valre nzale, n v(0) =0 0 = v p (0) v (0) = V => V = v() = ( e ) () v() arca del cndensare -4 Da v() s ene () v() () = d = e d [v () =()] e ϑ() ue dpendn dalla sessa : la dfferenza rspe agl asn è del,8% dp 4 e del 0,4% dp 5 => l ransr è pracamene cnclus v, () v() ϑ() = v() = ( e ) = Θ( e ) carca del cndensare - Per <0 è n e l cndensare è carc a v() = In =0 cmmua n equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan mgenea K : v () v() = 0 : v() = () () v() = 0 K : () = () () v() = 0 : () = d v()/d d v()/d v() = 0 () v() 7 8
carca del cndensare - carca del cndensare -3 Inegrale parclare: v p () = 0 () v() Inegrale cmple: v () = v p () v () v() = V 'e () v() Inegrale dell'mgenea: sane d negrazne V : e.c.a. s = 0 s = [s ] mpnend l valre nzale, n v(0) = per cu s v () = V 'e = V 'e = = s [s] = v p (0)v (0) = 0 V ' nfne v() = e => V ' = 9 0 carca del cndensare -4 Da v() s ene () v() () = d = e d [v () =()] e ϑ() ϑ() = v() = e = Θ e v, v() () camb energec Durane la carca Θ = W 0 = W = = Θ= g = d = d = Θ 0 0 = g = Θ Durane la scarca Θ = = W 0 = W = = Θ = = e
Dpendenza da - Nn dpendn da : a ensne d carca del cndensare V= 'energa mmagazznaa W =V / Dpendn da : a csane d emp, = e qund la velcà d carca/scarca Il valre massm della crrene I=/ Al dmnure d : () v() Dpendenza da - v, v() () 3 4 vluzne d cndensare precarca - Per <0 è n e l cndensare è carc a ensne V In =0 cmmua n la equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan K : v () v() = : v() = () () v() = K : () = () () v() = : () = d v()/d d v()/d v() = () v() 5 vluzne d cndensare precarca - Inegrale parclare: v p () = V p csane, cme l.n. ; ssuend: v p () = V p = Inegrale dell'mgenea: e.c.a. s = 0 s prefersce usare = = [s] csane d emp s s per cu v() = V = V e e s () = [s ] v() 6
vluzne d cndensare precarca -3 Inegrale cmple: v () = v p () v () v() = V e sane d negrazne V : mpnend l valre nzale, n v(0) =V V = v p (0) v (0) = V => V = V nfne v() = ( V ) e () v() vluzne d cndensare precarca -4 In defnva l usca rspsa v() è: v() = ( V ) e = v () v () che s può scrvere anche cme: v() = ( e ) Ve = vsz..() vn..() v s.z. () = rspsa da sa zer, dvua al sl ngress, = rspsa ale se la ree pare da sa zer: V=0 v.n. () = rspsa da ngress null, dvua al sl sa nzale V, = rspsa. se nn c sn ngress: =0 p 7 8 arca dell'ndure - Per <0 è n e l crcu a desra è a rps In =0 cmmua n () G v(), λ() K : () () = : () = Gv() Gv() () = K : v () = v() G v() () = : v() = d ()/d Gd ()/d () = Inegrale parclare: p () = I p csane, cme l.n. ; ssuend: p () = I p = arca dell'ndure - Inegrale dell'mgenea: e.c.a. G s = 0 s = G = [s ] s prefersce usare = = G = [s] csane d emp s G () v(), λ() equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan 9 per cu () = I e = I s e 0
Inegrale cmple: () = p () () () = I arca dell'ndure -3 e sane d negrazne I : mpnend l valre nzale, n (0) =0 0 = p (0) (0) = I => I = G () v(), λ() Da () s ene v() () v () = d = e d G [ () =Gv()] e λ() arca dell'ndure -4 G v, v() λ() = () = ( e ) = Λ ( e ) () nfne () = ( e ) ue dpendn dalla sessa : la dfferenza rspe agl asn è del,8% dp 4 e del 0,4% dp 5 => l ransr è pracamene cnclus carca dell'ndure - carca dell'ndure - Per <0 è n e l'ndure è carc a () = In =0 cmmua n equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan mgenea G () v(), λ() K : () () = 0 : () = Gv() Gv() () = 0 K : v () = v() G v() () = 0 : v() = d ()/d Gd ()/d () = 0 Inegrale parclare: p () = 0 Inegrale dell'mgenea: e.c.a. G s = 0 per cu s G () v(), λ() = [s ] G s () = I = I 'e 'e = = s [s] 3 4
carca dell'ndure -3 carca dell'ndure -4 Inegrale cmple: () = p () () v() = V 'e sane d negrazne I : mpnend l valre nzale, n (0) = G () v(), λ() Da () s ene v() () v () = d = e d G [ () =Gv()] e λ() v, () v() = p (0) (0) = 0 I ' => I ' = λ() = () = e = Λ e G nfne () = e 5 6 camb energec Durane la carca = W 0 = W = = Λ = g = vd = vd = Λ 0 0 = g = Λ Durane la scarca Λ e = = W 0 = W = = Λ = = Λ Dpendenza da - Nn dpendn da ( G): a crrene d carca dell'ndure I= 'energa mmagazznaa W =I / Dpendn da ( G): a csane d emp, =G=/ e qund la velcà d carca/scarca Il valre massm della ensne V=/G= 7 8
All'aumenare d (dmnure d G): Dpendenza da - v, () v() v() () Per <0 è n e l ndure è carc a crrene I In =0 cmmua n vluzne d ndure precarca - G () v(), λ() K : () () = : () = Gv() Gv() () = K : v () = v() G v() () = : v() = d ()/d Gd ()/d () = la equazne dfferenzale lneare d prm grad a ceffcen csan 9 30 vluzne d ndure precarca - Inegrale parclare: p () = I p csane, cme l.n. ; ssuend: p () = I p = Inegrale dell'mgenea: e.c.a. G s = 0 s prefersce usare = = G = [s] csane d emp s per cu () = I e = I s e G () v(), λ() s = G = [s ] vluzne d ndure precarca -3 Inegrale cmple: () = p () () () = I sane d negrazne I : mpnend l valre nzale, n (0) =I I = p (0) (0) = I => I =I nfne e () = ( I- ) e G () v(), λ() 3 3
vluzne d ndure precarca -4 In defnva l usca rspsa () è: () = ( I- ) e = () () che s può scrvere anche cme: () = ( e ) I e = sz..() n..() s.z. () = rspsa da sa zer, dvua al sl ngress, = rspsa ale se la ree pare da sa zer: I=0.n. () = rspsa da ngress null, dvua al sl sa nzale I, = rspsa. se nn c sn ngress: =0 p raega sluva - me vs negl esemp presena ) usa l ssema d equazn general cmple (plgche e plgche) d ree ) rcava da ess un equazne separaa per l usca desderaa v() = e() () = j() v() () = 0 d v () () = 0 d d v() () = 0 d ± () = 0 ± v() = 0 33 34 raega sluva - e l usca dpende da un sl ngress s ene: n =0 a d y h () d = m k =0 b d u k () d a d n y () m hn dy () d u () du () n a h a0 y h() = b km m b k b0 u k() d d d d e l usca dpende da un pù ngress s ene: n =0 a d y h () d = q h k= m k =0 b d u k () d Osservazn ) usca ncgna è a prm membr; ceffcen a (e b ) sn funzn della ree nere (,, e lr cnnessn) ) I secnd membr csuscn ermn n: sn funzn ne degl ngress u k () [e() e j()] 3) Il grad n è sempre mnre uguale al numer p d varabl d sa presen nella ree 4) a sluzne dpende anche dalle cndzn nzal [v(0) de cndensar e (0) degl ndur] 35 36
Valr nzal Gl schem lnearzza vs a su emp luzne - usca rspsa y(), sluzne dell e.d.. () v () v () =v (0) () v () = (0) () n =0 q m a d y() k b d u () = k () d d = f k= =0 ssuscn valr nzal cn ngress fz U k [ e ] gusfcan l applcazne della svrappszne degl effe, msran che valr nzal hann effe analgh agl ngress rgnal 37 s ene cme smma d negrale parclare e negrale dell mgenea: y() = y p () y () 38 luzne - ma può esprmers anche, per la svrappszne degl effe, cme: y() = y s.z. () y.n. () ve: y s.z. () = rspsa da sa zer, dvua a sl ngress rgnal e() e j() (cn valr nzal null); y.n. () = rspsa a ngress null, dvua a sl ngress fz U k [ e ], cè a valr nzal [v(0) de cndensar e (0) degl ndur] (cn ngress rgnal null). 39 luzne -3 A sua vla la rspsa da sa zer y s.z. () può calclars cme smma del su negrale parclare e del su negrale dell mgenea y s.z. () = y s.z.p () y s.z. () Invece la rspsa a ngress null y.n. () è daa dal su sl negrale dell mgenea y.n. () = y.n. () perché l su negrale parclare è null (cn ngress null l equazne dfferenzale è mgenea). 40
luzne -4 nfrnand le preceden relazn y() = y p () y () y() = y s.z. () y.n. ()= [y s.z.p () y s.z. ()][y.n. ()] s verfca che y p () = y s.z.p () y () = y s.z. ()y.n. () Inegrale parclare - me vs vale la svrappszne degl effe => l.p. cmplessv s può calclare cme smma degl negral parclar y p () che cmpen a cascun ngress u() che agsce da sl: n a d y() m k b d u() = () = f =0 d =0 d 4 4 Inegrale parclare - INGO OAN se u()=u, un negrale parclare cmd è pure csane y p ()= Y p ; ssuend nella e.d..: b Yp = 0 U a0 è la sluzne che s avrebbe se la ree fsse n regme saznar: s può anche deermnare cn med d anals delle re n regme saznar. n.b.: l anals n regme saznar vsa a su emp frnsce la sluzne rapda dell e.d.. (valda n gn cndzne d funznamen) nel cas parclare d grandezze ue csan. Inegrale parclare -3 INGO INUOIDA Analgamene, se u()=u M sen(ωψ), un negrale parclare cmd è una snusde sfrequenzale: u()=u M sen(ωψ) => y p ()=Y M sen(ωγ) s può calclare per ssuzne nella e.d.., ma cnvene rcrrere a med d anals delle re n regme snusdal (basa su fasr e sulla ree smblca). n.b.: l anals d regme snusdale vsa a su emp frnsce la sluzne rapda dell e.d.. (valda n gn cndzne d funznamen) nel cas parclare d grandezze ue snusdal. 43 44
del p: Inegrale parclare -4 INGO IOIDA u()=u e σ sen(ωψ) generalzza csan e snusd, che ne sn frme specfche: csane: σ=0, ω=0 => u() = U senψ = U snusde: σ=0, ω 0 => u() = U sen(ωψ) esse l negrale parclare csdale dell sess p: y p ()=Y p e σ sen(ωγ) UDIO IN - INGO IOIDA ngress u()=u e σ sen(ωψ) e usca parclare y p ()=Y p e σ sen(ωγ) hann medesm ceffcen del emp σ e ω, snezzabl nella FQUNZA GNAIZZAA (numer cmpless): s = σ jω (nel cas csane s=0, n quell snusdale s=jω). 45 46 UDIO IN - Deermnare y p () = deermnare Y p e γ. e csd hann prpreà sml a quelle delle snusd => vale l med smblc generalzza (ssusce s a jω). Fasr generalzza: u() > U = U e jψ y p () > Y p = Y p e jγ ngress n usca ncgna Impedenze generalzzae: > Z = (reale) > Z (s) = s (cmpless) > Z (s) = /s (cmpless) (analgamene per le ammeenze Y(s) ). n.b.: cme n snusdale, cn s al ps d jω. 47 UDIO IN -3 a ree smblca generalzzaa è nrmale => s pera cn sl med e erem: ere e parallel d mpedenze e ammeenze generalzzae, parr d ensne e crrene rren cclche, penzal a nd, hévenn e Nrn, Permen d esprmere Y p =Y p e jγ cme prd d U=U e jψ per un ceffcene d ree, funzne d mpedenze ed ammeenze, e qund d s: Y p = W(s) U 48
UDIO IN -4 Y p = W(s) U è la relazne ngress-usca nel dmn d s. pecfcamene: ngress usca Funzne d rasfermen - l ceffcene d ree W(s), che lega un usca ad un ngress => Vale per gn ngress csdale cn gn frequenza generalzzaa s => Al varare d s rsula una funzne a valr cmpless della varable cmplessa s. V p I p V p = α(s) I p = Y(s) V p = Z(s) I p = β(s) n.b.: la sua defnzne pù generale ulzza la aplacerasfrmaa, ma la sua sruura è prpr quella rvaa qu, perand sulle csd. 49 50 Funzne d rasfermen - lpuò essere scra cme rappr ra plnm n s: lda cu lssa m b s W(s) bm s m b sb = = 0... = 0 n a s a s a sa n n... = 0 0 Yp n m a s U b s = = 0 = 0 an s n Yp... as Yp a0yp = bms m U... bs Ub0U lquesa è la relazne ngress-usca n frma smblca generalzzaa (nel dmn della frequenza), crrspndene all equazne dfferenzale. 5 Funzne d rasfermen -3 Il prd n s de fasr generalzza syp, su crrspnde alla dervaa emprale delle csd dy p /d e du/d (cme per le snusd: j ωu du/ d ). Ierand e an-rasfrmand s ene, per va alernava, la e.d..: an s n Yp... as Yp a0yp = bms m U... bs U b0u c a d n y() a dy() m d u() a y() b b du() n b u() n 0 = m d d m 0 d d 5
e()= M sen(ω) Oscllare - per <0 è n e l crcu a desra è a rps e() In =0 chude Anals per v(): () v() K : v () v() = e() : v () = d()/d d()/d v() = e() K : () = () d()/d v() = e() : () = d v()/d d v()/d v() = e() e.d. lneare d secnd grad a ceffcen csan 53 Inegrale parclare: snusdale sfrequenzale cn l.n. e() v p () = V M sen(ωα) Per ssuzne Oscllare - e() dervand vle: d v p /d = ω V M sen(ωα) ssuend nella e.d.: ( ω ) V M sen(ωα) = M sen(ω) VM = M, α = 0 ω () v() 54 Inegrale parclare: snusdale sfrequenzale cn l.n. e() v p () = V M sen(ωα) l med fasrale Oscllare -3 e() j 0 j ω = e V = = ω M = j ω ω ω j ω ω j α V = VMe VM = M, α = 0 ω () v() 55 Oscllare -4 Med fasrale generalzza: n l generc ngress csdale e() = M e σ sen(ω) cn frequenza generalzzaa anals n s: s = σ jω e() () v() V V = s ( s ) = = V V = s s s s anrasfrmand n d v v= e d 56
e()= M sen(ω) Oscllare -5 () per <0 è n e l crcu a desra è a rps e() v() In =0 chude Anals per (): K : () = () : () = d v()/d () = d v()/d K : v() = e() - v() () = d e() - v() /d = = d e()/d - d v ()/d : v () = d()/d d ()/d () = d e()/d [ ] e.d. lneare d secnd grad a ceffcen csan 57 Inegrale parclare: snusdale sfrequenzale cn l.n. e() p () = I M sen(ωβ) Per ssuzne Oscllare -6 e() dervand vle: d p /d = ω I M sen(ωβ) ssuend nella e.d.: ( ω ) I M sen(ωβ) = ω M sen(ω) () ω IM = M, β = π ω v() 58 Inegrale parclare: snusdale sfrequenzale cn l.n. e() p () = I M sen(ωβ) l med fasrale Oscllare -7 e() () j π / j 0 j ωe = Me I = = = j ω ω ω j ω ω j α ω V = VMe IM = M, β = π ω v() 59 Oscllare -8 Med fasrale generalzza: n l generc ngress csdale e()= M e σ sen(ω) cn frequenza generalzzaa anals n s: s=σjω e() () ( ) = v() s s I s I = = I I = s s s s s anrasfrmand n d = de d d 60
Inegrale dell mgenea - quazne dfferenzale mgenea asscaa: s ene azzerand l ermne n nella e.d.. cmplea, ppure s deduce analzzand la ree nere (= cn generar spen: e()>c.c., j()>c.a.) a n n n a d y() = 0 d =0 d y() a dy() a y() n 0 = 0 d d Inegrale dell mgenea - quazne (algebrca) caraersca: s ene ssuend d y/d cn s (dy()/d>s, y()>) n a s = 0 =0 n ans as a0 = 0 è un equazne a ceffcen real d grad n nella varable cmplessa s ammee n sluzn (radc) n camp cmpless 6 6 Inegrale dell mgenea -3 adc dell equazne caraersca: Pssn essere: real s = σ = n r cmplesse s = σ ± jω = n c n r n c = n Ne: le cmplesse sn sempre cnugae a a ; le par real pssn essere nulle (s = 0 e s = ± jω, rspevamene) se σ 0 pssn essere mulple (n n r e n c s cnan le evenual mleplcà). Inegrale dell mgenea -4 Md nrmal (naural) dell mgenea: e radc dell equazne caraersca defnscn md nrmal: A) radce reale -> md undreznale: s = σ > y () = Y e σ (radce dppa: c è anche > y () = K e σ radce rpla............... ) 63 64
Inegrale dell mgenea -5 Md nrmal (naural) dell mgenea: e radc dell equazne caraersca defnscn md nrmal: B) cppa d radc cmplesse -> md pseudperdc: s = σ ±jω > y () = e σ (Y c csω Y s snω ) = = Y e σ sn(ω γ ) (cppa d radc dppe: c è anche > y () = e σ (K c csω K s snω ) = = Y e σ sn(ω γ) cppa d radc rple............... ) 65 Inegrale dell mgenea -6 Md nrmal (naural) dell mgenea: I md nrmal sn csd e le radc dell equazne caraersca sn le frequenze generalzzae naural (prpre) della ree. rvan: n r md undreznal, cascun cn csane d negrazne; n c md pseudperdc, cascun cn csan d negrazne. n = n r n c md al. 66 Inegrale dell mgenea -7 Inegrale generale dell mgenea: negrale generale dell mgenea è da dalla smma de md naural (n r undreznal n c pseudperdc) che n u hann n csan d negrazne (da deermnare). Ad esemp se ue le radc sn sngle: y () = r Y e c e Y csω Y sen ω n σ n = = σ ( ) c s Inegrale dell mgenea -8 Frequenze generalzzae naural : ssend le radc dell equazne caraersca, dpendn da su ceffcen a = n e qund dalla ree nere (,, e lr cnnessn). ONO POPIA ININH DA IN, ON INGI NUI elazn: a sruura della ree nere defnsce le frequenze generalzzae naural 67 68
Inegrale dell mgenea -9 bpl della ree nere caraersche delle radc presen assen necessare mpssbl n=0 σ =0 ω =0 σ 0 ω 0 σ =0 ω =0 σ 0 ω 0 Inegrale dell mgenea -0 le passve = ABII lnelle re passve (aven sl ressr, ndur e cndensar passv) le par real delle frequenze generalzzae naural sn nn psve: σ 0. σ =0 ω 0 σ 0 >0 <0 σ 0 ω =0 σ>0 ω 0 >0 <0 σ 0 ω =0 σ>0 ω 0 >0 <0 σ 0 ω 0 σ>0 lgl espnenzale de md naural nn s espandn al crescere d => la ree è sable. <0 >0 σ 0 ω =0 σ<0 ω 0 <0 >0 σ 0 ω =0 σ<0 ω 0 <0 >0 σ 0 ω 0 σ<0 69 70 Inegrale dell mgenea - e passve = ABII σ =0 l espnenzale del md naurale è una csane => l md è permanene (csane se ω =0; snusdale pur se ω 0). Inegrale dell mgenea - e passve = ABII σ <0 l espnenzale del md naurale decresce cn => l md è smrza (undreznale se ω =0; snusdale se ω 0). y () ω =0 y () ω 0 y () ω =0 y () ω 0 7 7
Inegrale dell mgenea -3 lnsderazn energeche nelle re passve λω 0 dpendn dall nerazne d e (scllazn d energa capacva ed nduva) λσ 0 dpendn dalla presenza d (dsspazn d energa). Inegrale dell mgenea -3 e passve = ABII σ <0 prefersce cnsderare la OAN DI MPO = σ dp un emp d 5 l md è pracamene esn [s] Y 0,368Y y 3 4 5 73 74 Inegrale dell mgenea -4 I AOUAMN ABII ue le frequenze prpre della ree hann pare reale negava: σ <0 =, n OAN DI MPO DOMINAN M = massma csane d emp dp un emp d 5 M u md sn pracamene esn => l nera mgenea y () è esna => OMOGNA UN ANIOIO Oscllare -9 quazne mgenea asscaa () d v () v() = 0 d e() v() quazne caraersca: s = 0 Frequenze naural: s =± j =± j ω [s] = [rad/s] Md nrmale: y () = Yc csω Ys senω 75 76
san d negrazne - e n csan d negrazne che cmpan ne md dell mgenea y () s engn fssand valr nzal (n =0) all negrale cmplessv y()=y p ()y () e alle sue n dervae: y(0) = yp(0) y(0) d y() d yp() d y() = d = 0 d = 0 d = 0... (n) d y () d y (n) p () d y (n) () = (n) (n) (n) d = 0 d d = 0 = 0 san d negrazne - al valr vengn fssa esprmendl, rame le equazn d ree, n funzne delle grandezze ne n =0: valr nzal delle varabl d sa e degl ngress: v (0) (0) e(0) j(0) 77 78 Oscllare -0 Oscllare - Inegrale parclare v p () = V M sen ω Inegrale dell mgenea: e() () v() Valre d y(0): v(0) = V c è essa sessa varable d sa e qund ne na n =0, v (0)=0, nulla perché la ree è nzalmene a rps Valre d dy()/d n =0 : v (0) = ωv M ω V s v () = V c csω V s sen ω Usca ale: per =dv/d è uguale a / che per K è /, ve è varable d sa, (0)=0, nulla perché la ree è nzalmene a rps v() = v p () v () = V M sen ω V c csω V s sen ω Qund: V c = 0 V s = V M ω/ω 79 80
Oscllare - semp replgav vluzne cn ngress nn null da sa nzale nn null e() v () () v () (0 ) () p() ω = 6ω () v () () v () () v () Per >0 le ree è a regme saznar cn aper e scarc. In =0 chude. Anals dell evluzne d () 8 8 vluzne - vluzne - Anals per <0 regme saznar v () () v () () v () Anals per >0 K = dv /d = K d(v v )/d = v () () v () () v () servn sl le varabl d sa I = e V = 0 => (0) = e v (0) = 0 => dv /d dv /d = e d /d d /d = K d /d d /d = equazne dfferenzale d grad cmplea, nn mgenea 83 84
Inegrale parclare: vluzne -3 csane cme l.n. par alla sluzne d regme snusdale p () = I = v () () v () () v () 85 vluzne -4 quazne mgenea asscaa d d = 0 d d quazne caraersca: s s = 0 adc: s, = ± 4 v () () v () () pssn essere real dsne, real cncden cmplesse cnugae a secnda del segn del dscrmnane v () 86 adc real dsne vluzne svrasmrzaa vluzne -5 > adc real dsne vluzne svrasmrzaa vluzne -6 > 4 s = σ = = = σ 4 4 s = σ = = = σ 4 () = I e Ie () = I e I e 87 88
vluzne -7 vluzne -8 adc real cncden vluzne crcamene smrzaa = adc cmplesse cnugae vluzne ssmrzaa < s = s = σ = = = σ s, = ± jω = ± j () = I e K e () = e I csω I senω [ ] c s 89 90 vluzne -7 spsa ale (sl per l cas svrasmrza) usca n =0: vluzne -7 () = = I e I e p Valr nzal I e I s dermnan vncland valr n =0 d e della sua dervaa a valr nzal delle varabl d sa (0) = e v (0) = 0. 9 (0) = I I => I I = 0 dervaa dell'usca n =0: da d v v v v = = = => d Dalle equazn s ene e qund () = e e = 0 I I I = I = 9