L approccio classico per l analisi delle serie soriche 1
L impiego dell analisi delle serie soriche nelle previsioni: imposazione logica Per serie sorica (o emporale) si inende una successione di dai osservai su un deerminao fenomeno (variabile Y) ordinai secondo la variabile empo (per = 1, 2,, N). La cadenza emporale di osservazione (oraria, giornaliera, seimanale, mensile, rimesrale, annuale, ecc.) può fare riferimeno ad una successione di isani emporali o ad inervalli emporali, (equispaziai o no ). Nel primo caso si parla di serie di sao o posizionali (ad es. gli addei di una azienda a fine mese), nel secondo di serie di flusso (ad es. la produzione giornaliera). 2 2
Le serie soriche presenano, in genere, oscillazioni inorno ad un andameno di lungo periodo che, incluso ques ulimo, sono sae denominae componeni ( viruali ) della serie. Quese, soprauo nel campo economico, sono di quaro ipi principali. i) Trend (T): movimeno endenziale monoono di fondo, di lungo periodo, che mee in evidenza una evoluzione sruurale del fenomeno dovua a cause che agiscono in modo sisemaico sullo sesso. ii) Ciclo (C) o movimeno (oscillazione) congiunurale: originao dal presenarsi di condizioni più o meno favorevoli, di espansione e conrazione, del coneso economico nel quale si colloca il fenomeno in esame. iii) Sagionalià (S): oscillazioni originae da faori climaici (alernanza delle sagioni) e/o di organizzazione sociale iv) Accidenalià (e) o componene di disurbo: è daa da movimeni irregolari, erraici o accidenali provocai da una serie di circosanze ciascuna di enià rascurabile. 3 3
In ermini logico formali si può quindi verosimilmene definire la seguene ipoeica relazione per una serie sorica: Y = f (T, C, S, e ) dove =1,,N. Tenendo presene la possibile esisenza di componeni sisemaiche e di disurbo, si ricorda che vi sono due approcci (vedi i esi ciai) all analisi delle serie soriche: uno, cosiddeo classico (o radizionale), che assume che il processo rappresenao dalla serie, comprenda una pare deerminisica, che consene di simare le componeni viruali sopra definie, e una componene di disurbo casuale; l alro, cosiddeo moderno, che assume che la serie sia saa generaa da un processo socasico a componeni correlae descrivibile con apposii modelli probabilisici 4 4
In quesa imposazione, le previsioni (proiezioni, esrapolazioni) che si oengono si propongono semplicemene di fornire una informazione sul probabile valore fuuro di una variabile. Gli srumeni che preseniamo servono perciò a una elaborazione sisemaica delle informazioni disponibili e i risulai delle previsioni non devono necessariamene sosiuirsi a ciò che pensa il manager ma solano aiuarlo a decidere. Di fao, per effeuare previsioni saisiche ci si roverà a scegliere ra ecniche alernaive; è quindi opporuno conoscere le ipoesi che cosiuiscono la sruura porane dei vari meodi. 5 5
Le fasi di una analisi delle serie soriche a fini descriivi e previsivi La realizzazione di una previsione ramie l analisi delle serie soriche deve essere imposaa seguendo la logica di qualsiasi ricerca saisica e, quindi, si sviluppa araverso le segueni fasi: 1. approfondia analisi del problema di previsione da affronare 2. raccola dei dai e verifica della loro qualià 3. analisi preliminare dell andameno e della sruura della serie sorica 4. scela e sima del modello 5. valuazione della bonà del modello e sua uilizzazione a fini previsivi. 6 6
L analisi del problema di previsione da affronare è ceramene indispensabile, anche per avere informazioni a priori sul comporameno evoluivo che in genere presena il fenomeno oggeo di sudio. La fase 2 riguarda la possibilià di uilizzare i dai già disponibili o da raccogliere ex novo sul fenomeno di ineresse. E evidene che in ogni caso occorre valuare bene la qualià dei dai disponibili (definizioni, meodi di rilevazione, ecc.) e la loro comparabilià nel empo. La fase 3 riguarda l analisi della serie dal puno di visa grafico e con indici descriivi al fine di evidenziare l evenuale presenza delle oscillazioni di ineresse (rend, ciclo, sagionalià). La fase 4 ha l obbieivo di individuare il modello più adeguao per la sima delle componeni viruali della serie e di simare il modello scelo. La fase 5 riguarda i meodi e gli indici per valuare la bonà del modello uilizzao e delle evenuali previsioni che si desidera effeuare. 7 7
Analisi grafiche preliminari e correlogramma La prima cosa imporane da fare quando vogliamo analizzare una serie sorica per verificare l andameno e l evenuale presenza delle oscillazioni/componeni, richiamae nel paragrafo precedene, è quella di predisporne un opporuna rappresenazione grafica. In genere, si inizia con la cosruzione e osservazione di un grafico riguardane ua la serie, deo anche di lungo periodo o ime plo, in cui vengono riporai i valori del fenomeno osservao Y (in ordinaa) in corrispondenza di ciascun empo (in ascissa). Se nel periodo osservao il livello della serie rimane grosso modo lo sesso ovvero, come soliamene si dice, la serie è sazionaria in media, la spezzaa del ime plo dovrebbe oscillare inorno ad un valore cosane uguale alla media della serie viceversa se la serie è evoluiva, il ime plo mee in evidenza il rend (crescene o decrescene, lineare o non lineare). 8 8
Esempi di serie sorica sazionaria e non sazionaria (evoluiva) (a)sazionaria (b) evoluiva 9 9
Per verificare la presenza di oscillazioni sagionali è uile predisporre il cosiddeo grafico ad anni sovrapposi o seasonal plo, che consise nella rappresenazione dei valori della serie (in ordinaa) con riferimeno ad un solo periodo annuale (in ascissa) scansionao nei sooperiodi mensili o rimesrali, ecc. (ma anche giornalieri o seimanali). Presenza del rend e sagionalià possono essere messe in evidenza anche da un grafico dove in ascissa sono riporai gli anni e in ordinaa i valori della serie relaivi ai periodi sub-annuali per ciascun anno. Due esempi di quese rappresenazioni sono illusrai nei grafici che seguono. 10 10
Grafici sagionali di una serie mensile (a) seasonal plo (mesi ad anni sovrapposi) (b) mesi di ciascun anno 11 11
Esempio Ipoizziamo che le vendie mensili di un prodoo dell azienda Alfa siano quelle riporae nella abella che segue. Vendie mensili di un prodoo dell azienda Alfa negli anni dal 2008 al 2011 gennaio febbraio marzo aprile maggio giugno luglio agoso seembre oobre novembredicembre 2005 4479 4496 4333 4184 4212 4115 4095 4217 4267 4441 4534 4840 2006 4510 4630 4400 4195 4367 4252 4252 4318 4386 4526 4726 4992 anni 2007 4765 4689 4634 4575 4513 4427 4458 4549 4569 4663 4939 5252 2008 4968 4847 4747 4548 4590 4378 4583 4665 4789 4754 5036 5352 2009 5077 5151 4951 4826 4837 4703 4811 4825 4862 4986 5262 5476 2010 5218 5245 5134 4995 4946 4839 4945 5012 5105 5154 5318 5630 2011 5399 5485 5331 5087 5146 5112 5000 5113 5216 5278 5592 5847 12 12
Se siamo ineressai a simare le evenuali componeni della serie e poi ad effeuare delle previsioni, è opporuno in primo luogo svolgere le analisi preliminari sopra indicae e predisporre i grafici ime plo, seasonal plo e correlogramma. Time plo e Seasonal plo della serie in Tabella 7.1 13 13
La valuazione della bonà del modello e della sua capacià previsiva Nel campo della analisi delle serie soriche a fini previsivi si può parlare di due ipi di valuazione riguardani un modello scelo per rappresenare la serie di ineresse. In primo luogo, si possono simare (ŷ ), sulla base del modello scelo, i valori eorici della serie e confronare i dai simai con i valori osservai verificando come il modello riesce a riprodurre i dai sorici. Si parla in queso caso di goodness of fi e in ermini formali si ha che l errore di sima è: r y yˆ 14 14
In secondo luogo, ineressa verificare come il modello simao riesce a riprodurre i dai fuuri, e si effeua perciò il confrono ra i valori fuuri e le previsioni del fenomeno. In queso caso si misura la goodness of forecas, che in ermini formali indica un errore di previsione (ep) al empo +h e cioè: ep y F h h h Ovviamene l errore di previsione, come sopra definio, si può calcolare solo quando i dai per i empi fuuri saranno disponibili. Si pone perciò il problema di come si possa valuare la goodness of forecas in anicipo, fin dal empo in cui si fa la previsione, per capire la capacià previsiva del modello. 15 15
Nel complesso si avrà: - una serie di dai disponibili: y 1, y 2,, y N - una serie di dai precedeni al empo n sui quali si adaa il modello da uilizzare per le previsioni: y 1, y 2,, y m con m < N - una serie di sime per i periodi da 1 a m:, che si possono confronare con i valori osservai y1, y2,, ym per valuare il goodness of fi - una serie di valori previsi: Fm+1, Fm+2,, FN, che possono essere confronai con i valori osservai per lo sesso periodo y m+1, y m+2,,y N fornendo la possibilià di valuare il goodness of forecas. La valuazione delle capacià previsive del modello è effeuaa per il periodo passao e quindi nell uilizzare il modello a fini previsivi occorre acceare l ipoesi, o sperare, che gli errori di previsione abbiano la sessa inensià anche per il fuuro. 16 16
Si osservi che spesso colui che uilizza le previsioni è ineressao a prevedere il valore della serie nel periodo immediaamene successivo all ulimo dao disponibile. Si raa della previsione ad un passo (one-sep forecas) e in queso caso spesso si uilizzano i precedeni -1 dai per effeuare la previsione al empo (F ) e poi successivamene, nel momeno in cui sarà disponibile, si aggiunge l osservazione del empo (y ) per ri-simare il modello e effeuare la previsione al empo +1 (F +1 ), e così via. Gli errori di previsione vengono in al modo valuai passo per passo. 17 17
Ovviamene ineressa avere una valuazione sineica degli errori di adaameno (r ) e di quelli di previsione (ep ) e a queso fine si uilizzano frequenemene le segueni misure: -Errore medio (mean error: ME): media arimeica degli errori; ME 1 m m 1 r ME 1 N m N m 1 - Errore quadraico medio (mean square error: MSE): media arimeica dei quadrai degli errori ep MSE 1 m m 2 r 1 MSE N 1 m N m 1 ep 2 - Errore medio assoluo (mean absolue error: MAE): media arimeica degli errori presi in valore assoluo MAE 1 m m 1 r MAE 1 N m N m 1 ep 18 18
Per eviare che le suddee misure dipendano dall unià di misura della serie, gli errori possono essere rasformai in errori relaivi (soliamene espressi in percenuale rispeo ai valori osservai), sui quali si calcolano le medie sopra indicae. In paricolare, dal MAE si oiene il MAPE, mean absolue percenage error): MAPE 100 m m 1 r y MAPE 100 N m N m 1 ep y 19 19
I modelli di composizione e scomposizione e i meodi per la sima delle componeni L approccio classico all analisi delle serie emporali ipoizza, come si è deo, che la serie sia composa da variazioni (paern) sisemaiche o deerminisiche (rend, ciclo, sagionalià) e da oscillazioni di disurbo o casuali. Ipoizza, inolre, che le oscillazioni sisemaiche possano essere simae e previse per il fuuro, se quese presenano regolarià di comporameno che si riiene possano coninuare a verificarsi nel empo. Con riferimeno al modello Y = f (T, C, S, e ), si raa quindi di simare le singole componeni viruali T, C e S. 20 20
La sima della componene ciclica presena noevoli difficolà anche perché, il ciclo economico non presena più oscillazioni di caraere regolare. Perano in queso capiolo non affroneremo il problema della sima della componene ciclica e ci limieremo a considerare la componene ciclica uniamene alla componene di rend, cioè il rend-ciclo. Al fine di simare le componeni viruali indicae occorre: - sabilire il modo con il quale le sesse ineragiscono ra loro (si aggregano) per dar luogo alla serie effeiva (specificare la f). - decidere il meodo con cui simare le singole componeni. Le due principali forme di f sono: il modello addiivo: y = T + S + e il modello moliplicaivo: y = T x S x e 21 21
Un modello addiivo è appropriao quando l ampiezza dell oscillazione sagionale non varia con il variare del livello della serie (si parla allora di serie addiiva). Se invece la fluuazione sagionale aumena (o diminuisce) proporzionalmene all aumeno (diminuzione) del livello della serie, allora è più adeguao un modello moliplicaivo. A iolo esemplificaivo si vedano i grafici che seguono Nel modello addiivo, le componeni T, S, e sono espresse nella sessa unià di misura di y. Nel modello moliplicaivo, solo T (per convenzione) viene espresso nell unià di misura di y menre S e e sono espressi come numeri indici rispeo a T. 22 22
Le singole componeni possono essere simae uilizzando meodi empirici (perequaivi) oppure meodi analiici (ovvero di inerpolazione). Nel primo caso si uilizza il meodo delle medie mobili che sima i valori delle componeni, ma non consene di per sé di effeuare esrapolazioni. Nel secondo caso si impiega una funzione analiica per la quale è possibile simare i parameri e che consene di effeuare esrapolazioni al fuuro. Come si vedrà, i due meodi non sono sreamene alernaivi e possono anche essere applicai congiunamene. Iniziamo con la presenazione dell applicazione del meodo delle medie mobili per la sima simulanea della sagionalià e del rendciclo, poiché nell ambio della gesione operaiva dell azienda, è in primo luogo fondamenale simare la sagionalià delle vendie per organizzare in maniera efficiene la produzione, mese per mese, e di conseguenza anche l ammonare delle score. 23 23
L impiego delle medie mobili per eliminare le oscillazioni e simare le componeni sisemaiche Il meodo delle medie mobili consise nel calcolo di una nuova serie sorica in cui il ermine relaivo ad un deerminao empo è il risulao della media di k ermini conigui della serie originaria. Se k è dispari ciascuna media mobile si riferisce al empo cenrale su cui è saa calcolaa. Ad esempio, se k=3, il valore della media mobile riferio al empo è dao da: MM3(y ) = (y -1 +y+y+1)/3 Se k è pari è necessario calcolare la media di due medie mobili conigue per oenere un valore cenrao sui empi della serie sorica (media mobile cenraa a k ermini). Ad esempio, se k=4, il valore della media mobile riferio al empo viene oenuo nel modo seguene: MM4(y -1, ) =(y -2 +y -1 + y +y +1 )/4 MM4( y 1, ) MM4( y 1, ) MM4 ( y ) MM4(y,+1 ) =(y -1 +y +y +1 +y +2 )/4 2 24 24
Con k dispari si perdono (k-1)/2 ermini all inizio e alla fine della serie. Analogamene, con k pari, si perdono k/2 ermini all inizio e alla fine della serie. La perdia dei primi ermini ha poca imporanza; lo sesso non può dirsi per la perdia dei ermini più receni, soprauo se siamo ineressai a predisporre un modello di previsione. La meodologia delle medie mobili,se applicaa su una serie sorica, ha innanziuo l effeo di smussare le oscillazioni di qualunque ipo. Effeo che appare evidene dai grafici che seguono. 25 25
Le medie mobili hanno in paricolare l effeo (la proprieà) di eliminare o ridurre le oscillazioni che hanno un periodo pari al numero dei ermini coinvoli nel calcolo della media mobile sessa. Quesa proprieà, che vale in modo compleo solano per serie reilinee, ha una conseguenza ancora più imporane ai nosri fini essendo di paricolare rilievo per la eliminazione delle oscillazioni sagionali. Infai, una media mobile che ha un numero di ermini pari al periodo della sagionalià (k = 12 se si raa di dai mensili; k = 4 se i dai sono rimesrali; e così via) elimina le oscillazioni sagionali con periodo e ampiezza cosani; quindi, consene di scomporre la serie originaria nelle componeni viruali. 26 26
La sima della sagionalià, della serie desagionalizzaa e del rend-ciclo uilizzando le medie mobili Vediamo ora come si simano le componeni di una serie sorica impiegando le medie mobili. Indipendenemene dal modello di composizione (addiivo o moliplicaivo) scelo, occorre auare le segueni quaro fasi, ammeendo che i dai della serie sorica abbiano cadenza mensile: 1. Calcolo della media mobile cenraa a 12 ermini per ua la serie 2. Calcolo della componene di sagionalià misa ad errore (S,e) confronando la serie originaria y con la serie simaa. 3. Sima della componene sagionale S 4. Derivazione della serie desagionalizzaa D e sima del rendciclo 27 27
Calcolo della media mobile cenraa a 12 ermini per ua la serie La MM12(y ) dovrebbe eliminare le oscillazioni sagionali, e gran pare di quella erraica, e quindi rappresena una sima di prima approssimazione del rend-ciclo che possiamo indicae con La serie delle medie mobili è, per i moivi dei, più breve della serie originaria. In paricolare, con una serie mensile, si perdono 6 ermini all inizio ( inizia dal 7 ermine) e 6 alla fine della serie. T (1) Ammeendo di avere una serie complea per n anni e m mesi (1) all inerno dell anno, la serie T sarà composa da (N m)= (nxm m) ermini dove N è il numero oale di osservazioni della serie e m è il numero dei ermini del ciclo sagionale (numero di mesi ad esempio) e n è il numero di anni. T (1) 28 28
Calcolo della componene di sagionalià misa ad errore (S,e) confronando la serie originaria y con la serie simaa. T (1) Il confrono ra le due serie consiserà in una differenza, se il modello di composizione prescelo è addiivo, in un rapporo se il modello è moliplicaivo. Quesa operazione consene di oenere la sima della serie della sagionalià misa ad errore, che sarà composa ovviamene da (N-m) ermini. Quindi per ciascun mese si oengono n-1 sime della componene (S,e). Quese sime sono dee differenze lorde (per il modello addiivo) o coefficieni lordi (per il modello moliplicaivo) di sagionalià, in quano inglobano la componene di disurbo. (1) ( S, e ) y T ( S, e ) y T (1) Nel modello addiivo Nel modello moliplicaivo 29 29
3. Sima della componene sagionale S Se, come spesso si ipoizza, il modello di sagionalià è cosane negli anni (cioè, se l effeo delle oscillazioni sagionali si presena nel medesimo mese dei vari anni, con la sessa direzione e forza), l obieivo è quello di simare un coefficiene unico per ciascun mese. L ipoesi di sagionalià cosane consise nell assumere che: S =S +k,=s +2k =... dove k è l ampiezza del periodo sagionale (k=12 con dai mensili). Per simare un unico coefficiene per ciascun mese occorre effeuare due operazioni. 30 30
1)Calcolare la media arimeica dei ermini (S,e) dei vari anni riferii allo sesso mese e così eliminare la componene di errore; si oerrà per ciascun mese j (j=1,2,, m) il coefficiene Ŝj, cioè in oale 12 coefficieni diversi. 2) Verificare se le sime della sagionalià così oenue per ognuno dei 12 mesi soddisfano la proprieà, cosiddea del principio di conservazione delle aree, che prevede che le oscillazioni sagionali esauriscono il loro effeo all inerno dell anno. La media dei 12 coefficieni sagionali deve essere uguale a 0 nel caso di un modello addiivo e uguale ad 1 nel caso di un modello moliplicaivo (uguale a 0 la media dei coefficieni s ). Se la proprieà non è soddisfaa occorre aggiusare i singoli coefficieni mensili: si sorae la media nel caso del modello addiivo; si divide per la media nel caso del modello moliplicaivo. Quese operazioni consenono di oenere quelli che vengono chiamai coefficieni nei di sagionalià ( ). In realà si raa Ŝˆ della sima definiiva dei 12 coefficieni mensili (j=1,..,12) Ŝˆ 31 31
Derivazione della serie desagionalizzaa D e sima del rend-ciclo I coefficieni nei di sagionalià possono essere uilizzai per eliminare la sagionalià dalla serie originaria (ramie differenze o rappori a seconda se il modello è addiivo o moliplicaivo) consenendo di simare la serie desagionalizzaa D complea, cioè per ui i ermini della serie originaria. Quindi: D y Sˆ Nel modello addiivo D y Sˆ Nel modello moliplicaivo dove, per corrispondene ai vari mesi di ciascun anno, Ŝˆ j, j (j=1,2,,m). Ŝˆ è in realà 32 32
Se le sima dei coefficieni nei di sagionalià sono valide, la serie desagionalizzaa non dovrebbe presenare oscillazioni sagionali. Queso può essere verificao col ime-plo e col calcolo del correlogramma dei residui. La serie desagionalizzaa coniene il rend-ciclo e l effeo di disurbo. Dalla serie desagionalizzaa si può poi oenere una sima del rend-ciclo ( ) eliminando le oscillazioni residue araverso una media mobile con un opporuno numero di ermini (3, 5, 7 o più, da verificare empiricamene) oppure con l adaameno di una funzione polinomiale araverso il meodo dei minimi quadrai. Tˆ Nauralmene al ermine di quese operazioni è possibile ricomporre la pare sisemaica viruale della serie sorica che conenga la sima del rend e quella della sagionalià. Con il modello addiivo sarà moliplicaivo sarà yˆ Tˆ Sˆ. yˆ Tˆ Sˆ, menre con il modello 33 33
Obieivi delle previsioni e funzioni analiiche più uilizzae Come si è già accennao all inizio del capiolo, in azienda è necessario effeuare le previsioni delle vendie anche per predisporre i piani sraegici, in genere a medio ermine. Non vi è dubbio che, ra quese ulime, la previsione dell andameno endenziale delle vendie di ciascun prodoo sarà di esremo ineresse. E quindi imporane simare il rend della serie sorica delle vendie riguardane il prodoo di ineresse impiegando i cosiddei meodi analiici, cioè specificando il rend con una funzione del empo da poer poi uilizzare a fini previsivi (esrapolaivi). 34 34
In ermini formali, ammeendo di avere una serie di dai annuali (come spesso si fa in praica) o una serie di dai con cadenza inferiore all anno però desagionalizzaa (e cioè la pare sisemaica è composa dal solo rend), si pone y = f () + e, dove appuno T è una funzione del empo f(). La specificazione della f() può avvenire con qualsiasi funzione analiica, ovviamene dipende dall andameno che si presume abbia la serie e che può essere ipoizzao sulla base dell esame del ime-plo. Illusriamo di seguio le funzioni più frequenemene uilizzae 35 35
1. Funzione cosane f() = β 0 In queso caso l'andameno di fondo della serie sorica è cosane e la serie è quindi sazionaria (paern orizzonale). 36 36
2. Funzione lineare f() = β 0 + β 1 dove β 0 è l inercea e β 1 è la pendenza della rea. Se β1> 0, il rend è crescene; se β1< 0, il rend è decrescene; se β1 =0 esise un paern orizzonale (serie sazionaria, cioè si riconduce al caso precedene). 37 37
3. Polinomio di secondo grado f() = β 0 + β 1 + β 2 2 che rappresena un ramo di parabola, crescene o decrescene, convesso o concavo a seconda dei segni dei coefficieni. 38 38
4. Funzione esponenziale f() = β 0 β 1 che è caraerizzaa da una crescia repenina e apparenemene senza limii ed è spesso usaa quando le vendie di un prodoo si rovano nel periodo di massimo sviluppo. Pur non essendo lineare nei parameri, si può rendere lineare araverso una rasformazione logarimica: ln f() = ln β 0 + ln β 1 Si riporano di seguio alcune rappresenazioni grafiche della funzione esponenziale 39 39
Meodi di sima dei parameri e previsione Nel caso in cui la pare sisemaica del modello è rappresenaa solano dal rend, cioè con Y = T + e, e i modelli saisici proposi per rappresenare il rend in funzione di sono lineari o linearizzabili nei parameri per la sima dei loro parameri si può ricorrere al meodo dei minimi quadrai ordinari. Nel caso delle serie emporali è anche imporane verificare la cosanza dei parameri nell inervallo di sima e l evenuale cambiameno sruurale della serie. Se i parameri del modello non sono sabili nell inervallo di sima difficilmene il suo impiego produrrà buone previsioni per il fuuro. Quesa verifica può essere svola uilizzando i cosiddei simaori ricorsivi, cioè simando i parameri del modello impiegando inizialmene un campione di (N 1 ) unià del oale dei dai di osservazione (N), con N 1 <N e simando successivamene un nuovo veore dei parameri uilizzando N 1 +1 unià, e così via. La sequenza delle sime ricorsive consene di rarre imporani informazioni circa la sabilià dei parameri. 40 40
Per quano riguarda poi l uilizzo del modello per la previsione del rend, ricordando l ipoesi faa su e, la previsione punuale (valore aeso) sul possibile valore del fenomeno al empo +h con h 1 sarà basaa sulla seguene relazione: F +h = E [Y +h ] = E [f +h ] + E [e +h ] ed essendo il valore aeso del secondo addendo uguale a zero, se si opera con un modello lineare o linearizzabile, si ha che la previsione sul fuuro andameno del fenomeno corrisponde alla esrapolazione della sola componene di fondo condizionaamene a ue le informazioni raccole sino al empo, cioè: F +h = E [Y +h ] = Ŷ +h/ = f +h 41 41
Esempio - La sima di una funzione analiica per la previsione del rend Una impresa sa predisponendo un piano sraegico di produzione per i prossimi due anni e desidera disporre di una previsione delle vendie di un deerminao prodoo effeuaa sulla base del loro andameno passao. A al fine dispone dei dai mensili delle vendie dal gennaio 2000 al dicembre 2011 riporaai nella abella 7.3. Tabella 7.3 Vendie mensili di un prodoo dell azienda Alfa dal 2000 al 2011 gennaio febbraio marzo aprile maggio giugno luglio Agoso seembre oobre novembre dicembre TOTALE 2000 324 312 318 442 463 431 152 313 189 430 520 667 4561 2001 482 624 625 606 499 440 525 463 501 659 741 946 7112 2002 710 789 769 1037 747 763 601 607 687 944 964 1104 9722 2003 989 825 879 1012 827 951 1256 842 1015 968 1076 1341 11980 2004 1183 1143 1257 1291 1100 984 1126 1079 1152 1230 1402 1405 14353 2005 1208 1442 1229 1250 1173 1261 1377 986 1256 1406 1449 1509 15547 2006 1590 1504 1508 1429 1443 1589 1475 1451 1440 1504 1545 1606 18084 2007 1665 1826 1460 1493 1550 1731 1562 1513 1564 1588 1563 1918 19433 2008 1957 1561 1617 1589 1658 1636 1626 1634 1861 1772 1726 1843 20481 2009 1905 1868 1665 1981 1899 1658 1777 1552 1601 1782 1853 2041 21583 2010 1935 1974 1728 1783 1935 1913 1765 1679 1833 1899 2096 2080 22620 2011 1900 1959 1931 1908 1897 1996 1782 1717 1614 1965 1810 2004 22483 42 42
La risposa a quesa domanda può essere fornia simando il rend delle vendie del prodoo sulla base di un funzione analiica del empo. Poiché i dai sono mensili, onde eviare problemi legai all evenuale sagionalià, la sima viene faa impiegando i dai annuali che sono uguali alla somma delle vendie di ciascun anno (l alernaiva porebbe essere quella di eliminare prima la evenuale presenza di sagionalià dalla serie sorica). Il ime-plo mee in evidenza che, verosimilmene, l andameno è ipico di un polinomio di secondo grado, e del reso i valori delle differenze prime della y non sono cosani ma decresceni, menre quelli delle differenze seconde oscillano aorno ad un valore cosane. 43 43
Figura 7.5 Vendie annuali di un prodoo dell azienda Alfa dal 2000 al 2011 Si decide perano di adaare alla serie sorica una parabola di 2 grado e di simarne i parameri con il meodo dei minimi quadrai. 44 44
La sima dei parameri della parabola fornisce i segueni risulai, dai quali sono evideni il buon adaameno del modello (R2 vicino a 1) e la significaivià della sima dei parameri. Ciò significa che il modello porebbe essere impiegao con una cera fiducia per effeuare previsioni (esrapolazioni) agli anni successivi. y = 4386,49+ 2905,65 111,57 2 R² = 0,9982 A soli fini esemplificaivi è saa adaaa alla serie sorica anche una rea. La sima ha fornio i segueni risulai che a prima visa porebbero apparire anch essi ineressani a fini previsivi viso che l R2 è molo elevao. y = 6431,941+ 1678,4 R² = 0,9586 45 45
Nel grafico che segue sono sae riporae le due funzioni simae (rea e parabola di 2 grado) e le previsioni fae per l anno 2012. Esso conferma chiaramene come la parabola fornisca sia un migliore adaameno che previsioni più plausibili. Tuavia si rileva anche come la previsione effeuaa con funzioni analiiche del empo preseni elemeni di rigidià in relazione alla cosanza dei parameri, menre magari negli ulimi periodi l andameno del fenomeno si sa modificando. Effeuando le previsioni ex-pos si oengono per l anno 2011 i valori previsi di 25.902,71 e di 23.290,35, rispeivamene con la rea e con la parabola, menre il valore rilevao è sao pari a 22.483 46 46