SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe che ad ogi itero associa ua fuzioe reale di variabile reale defiita i I R. Per ogi I si può cosiderare la successioe umerica f ( )} dei valori che ciascua fuzioe della successioe assume el puto. Suppoiamo che per ogi I la corrispodete successioe umerica f ()} sia covergete e che f() sia il valore del suo ite. I questo modo si defiisce ua fuzioe f : I R che sarà aturale chiamare il ite della successioe di fuzioi. Defiizioe 1. Si dice che f } coverge putualmete i I verso la fuzioe f : I R se per ogi I, risulta (1) + f () = f(), cioè se I e ε > esiste ν ε, N tale che (2) f () f() < ε, > ν ε,. Esempio 1. 1 per ogi R, allora f() = 1 per ogi R. Esempio 2. 1 Esempio 3. per ogi R, allora f() = per ogi R. per ogi R, allora f() = per ogi R. Esempio 4. 1 si() per ogi R, allora f() = per ogi R. Esempio 5. per ogi 1 < 1, allora per 1 < < 1 f() = 1 per = 1. Esempio 6. allora il ite putuale è 1 se < 1/ se 1/ 1 se > 1/ 1 per < f() = per = 1 per >. 1

2 LUCIA GASTALDI Esempio 7. allora si ha f() = 1/ se > 1/ 2 se 1/ 1/ se se = 2. Proprietà del ite putuale Si verifica facilmete che il ite putuale di ua successioe di fuzioi eredita dagli elemeti della successioe stessa le segueti proprietà. Proposizioe 1. Sia f } ua successioe di fuzioi f : I R che coverge putualmete alla fuzioe f : I R. Allora valgoo le segueti implicazioi: N, f () I f() I; N, f è o decrescete i I f è o decrescete i I. Ivece altre proprietà come la itatezza o la cotiuità o soo coservate durate il passaggio al ite putuale, si vedao gli esempi 5, 6 e 7. 3. Covergeza uiforme Itroduciamo ua uova defiizioe di covergeza per successioi di fuzioi: Defiizioe 2. Date le fuzioi f : I R per N. Si dice che la successioe di fuzioi f } coverge uiformemete i I verso la fuzioe f : I R se (3) + I oppure se per ogi ε > esiste ν ε N tale che f () f() = f () f() < ε, > ν ε, I. Vale la seguete relazioe tra i due tipi di covergeza per le successioi di fuzioi: Proposizioe 2. Se ua successioe di fuzioi f : I R coverge uiformemete i I allora coverge ache putualmete. No vale il viceversa. Si verifica facilmete che le successioi di fuzioi degli esempi 1, 2 e 4 covergoo uiformemete. Cosideriamo ora la successioe dell esempio 3. Dobbiamo calcolare il ite f () f() =. + R + R Siccome per ogi N fissato la fuzioe è crescete, essa o è itata, quidi l estremo eriore R = + e la successioe di fuzioi o coverge uiformemete. Osserviamo ache che la successioe di fuzioi: f : [ 1, 1] R defiita da per [ 1, 1]

coverge uiformemete alla fuzioe f : [ 1, 1] R co f() = per [ 1, 1], ifatti = + 1 1 1 + =. Studiamo la covergeza uiforme della successioe defiita ell esempio 5. Dobbiamo calcolare f () f(). + 1< 1 Per = 1 si ha che f (1) = f(1) = 1 per ogi N, quidi l estremo eriore o viee raggiuto i questo puto e possiamo restrigerci a calcolare l estremo eriore ell itervallo aperto ] 1, 1[. Si ha + 1< 1 f () f() = + 1<<1 = + 1 = 1. La successioe o coverge uiformemete sull itervallo ] 1, 1]. Sia ora a R tale che < a < 1 e si cosideri la successioe di fuzioi f : [ a, a] R data da per a. Si ottiee + a<<a f () f() = + a<<a = + a =. Quidi la successioe di fuzioi i cosiderazioe coverge uiformemete. Gli ultimi esempi mettoo i evideza il fatto che il tipo di covergeza per ua successioe di fuzioi dipede ache dall isieme di defiizioe della successioe. 3 4. Covergeza uiforme, cotiuità e itatezza La covergeza uiforme permette di dedurre la cotiuità della fuzioe ite f dalla cotiuità dei sigoli elemeti della successioe f }. Teorema 3 (della cotiuità del ite). Per ogi N sia f : I R. Suppoiamo che la successioe di fuzioi f } coverga uiformemete a ua fuzioe f : I R. Se ogi fuzioe f è cotiua i u puto I allora ache la fuzioe ite f è cotiua i. Ua cosegueza immediata del teorema precedete sta el fatto che se la fuzioe ite di ua successioe di fuzioi cotiue o è cotiua, allora la successioe di fuzioi o coverge uiformemete. Per esempio, cosideriamo la successioe dell esempio 6. Tutte le fuzioi della successioe soo cotiue su R, ma la fuzioe ite o è cotiua per =, di cosegueza la successioe di fuzioi o coverge uiformemete. Diciamo che ua fuzioe f : I R è itata se esiste u umero reale M > tale che f() M per ogi I. Vale il seguete teorema: Teorema 4 (della itatezza del ite). Per ogi N sia f : I R. Suppoiamo che la successioe di fuzioi f } coverga uiformemete a ua fuzioe f : I R. Se ogi fuzioe f è itata i I allora ache la fuzioe ite f è itata i I.

4 LUCIA GASTALDI 5. Relazioi tra covergeza putuale e uiforme co l itegrazioe e la derivazioe I questo paragrafo ci occupiamo di vedere se si possoo scambiare l ordie tra le operazioi di itegrazioe oppure di derivazioe co il passaggio al ite. Comiciamo co qualche esempio. Esempio 8. Per N sia f : [, 1] R data da (1 2 ) per 1. Per ogi [, 1] si ha f () = (1 + + 2 ) = quidi la fuzioe ite f : [, 1] R è ideticamete ulla sull itervallo [, 1]. Calcoliamo l itegrale delle f f () d = (1 2 ) d = [ ] 1 2 ) +1 1 = 2 + 1 2( + 1). Quidi si ha f () d = 2( + 1) = 1 2. Metre la fuzioe ite ha itegrale uguale a zero. Quidi i questo caso abbiamo otteuto che + f () d f () d = + f() d. Per completare l aalisi, studiamo la covergeza uiforme della successioe. Come al solito si deve calcolare + 1 f () f() = + 1 (1 2 ). Le fuzioi f soo tutte o egative e ifiitamete derivabili, ioltre f () = f (1) = per ogi N. Calcolo il massimo sull itervallo [, 1] impoedo l aullameto della derivata prima f () = [(1 2 ) 2 2 (1 2 ) 1 )] = (1 2 ) 1 (1 2 2 2 ) = (1 2 ) 1 (1 (1 + 2) 2 ). Quidi f () = per = 1/ 1 + 2. Calcoliamo il valore massimo: ( ) ( 1 f = 1 1 ) 1 + 2 1 + 2 1 + 2 Da cui si ottiee + 1 + (1 2 ) = + ( ( 1 1 1 + 2 1 + 2 La successioe o coverge uiformemete. ( 1 1 1 + 2 ) 1+2 ) 1+2 1 + 2 ) = e 1 2 + 1 + 2 = +.

Esempio 9. Per N si cosideri la fuzioe cotiua 1/ se 1/ 1 2 se < 1/. Il ite putuale della successioe di fuzioi è: 1/ se < 1 f() = se =. Si ota che la successioe di fuzioi o coverge uiformemete, i quato il suo ite è ua fuzioe discotiua per =. Ioltre osserviamo che per ogi N si ha: 1 f () d = metre la fuzioe ite f o è itegrabile sull itervallo [ 1, 1]. Esempio 1. Per N sia f : R R data da 2 + 1 R. Il ite putuale di questa successioe è la fuzioe f : R R data da f() = per ogi R. Studiamo la covergeza uiforme. Dobbiamo quidi calcolare + 2 + 1 = + 2 + 1, R teedo coto del fatto che le fuzioi f e f soo etrambe pari. Per = si ha che 1 f () f() =. Ioltre 2 + 1 1 = =. 2 + 1 + + + La derivata prima è sempre egativa per >, ifatti f () f () = 1 < per >. 2 + 1 Il massimo della differeza si trova quidi i =, da cui segue che + 2 + 1 = f () f() = + R + 1 =. La successioe di fuzioi coverge uiformemete. Vediamo come si comporta la successioe rispetto alla derivazioe. Calcolado le derivate prime di ciascu elemeto della successioe si ottiee ua uova successioe data da f () = per R. 2 + 1 La fuzioe ite f() = però o è derivabile per =. 5

6 LUCIA GASTALDI Esempio 11. Cosideriamo la successioe dell esempio 4 che riportiamo qui. Per ogi N sia f : R R data da 1 si R. Ogi elemeto della successioe è ua fuzioe ifiitamete derivabile e la derivata prima è f () = cos R. Abbiamo già osservato che la successioe i esame coverge uiformemete alla fuzioe ideticamete ulla. Risulta che per =, + f () = 1, metre f () =. Quidi abbiamo verificato che i questo caso f ( ) f ( ). + Gli esempi riportati fao capire che o sempre è possibile passare al ite sotto il sego di itegrale o di derivata. Il teorema seguete mostra che la covergeza uiforme cosete lo scambio del simbolo di itegrazioe co quello di ite. Teorema 5 (di passaggio al ite sotto sego di itegrale). Per ogi N sia f : [a, b] R. Suppoiamo che la successioe di fuzioi f } coverga uiformemete a ua fuzioe f : [a, b] R. Se ogi fuzioe f è itegrabile su [a, b] allora ache la fuzioe ite f è itegrabile su [a, b] e vale (4) + f () d = f () d = + f() d. Per il passaggio al ite sotto dego di derivata, la covergeza uiforme o basta, bisoga itrodurre delle ipotesi aggiutive. Teorema 6 (di passaggio al ite sotto sego di derivata). Sia f } ua successioe di fuzioi derivabili co derivata cotiua i [a, b]. Suppoiamo che sia la successioe f } che quella delle sue derivate f } siao uiformemete covergeti i [a, b]. Allora la successioe f } coverge a ua fuzioe f : [a, b] R derivabile co derivata cotiua i [a, b] e risulta f ( ) = f ( ). + 6. Esercizi Per ciascua delle successioi di fuzioi f : I R defiite egli esercizi da 1 a 25, svolgere i puti segueti: a. calcolare l isieme E di covergeza putuale ed il ite putuale f : E R; b. verificare se la covergeza è uiforme su tutto l isieme E; c. el caso i cui la covergeza o sia uiforme, trovare opportui sottoisiemi di E i modo tale che la covergeza risulti uiforme. 1. e 2 per R. 2. Sia c ua successioe umerica, per N c se < < 1/ altrimeti.

7 3. 4. 5. 6. 7. 8. e +! R. +2 2 + 1 e per. e ( ) arcta 1 + R. log(e + ) ( ) log 1 + e 2 (1 ) 2 per 1. 4 + 1 per R. 2 + 1 R. 9. + 1 R. 1. 2 e 2 2 R. 11. Sia a } ua successioe umerica qualuque e b u umero reale, a se 1 < b altrimeti. 12. 1 se < 2 altrimeti. 13. ( 2 ) per 1. 14. Siao a e b due umeri reali tali che a > e b > 1, a 2 per < 1 a 1 b 2 + ab b 1 per 1 < b per b b. 15. 16. si(2 + 1) + 2 2 ( 2 + 1) 3 + ( + 1) 2 si 2 + 1 R. R.

8 LUCIA GASTALDI 17. 18. 19. 2. 21. 22. 23. 1 + 1 +.. 1 + 2 2 R. 1 + 2 2 R. 6 si e R. ( χ (,1/) () χ (1 1/,1) () ) R. 24. Sia ϕ : R R ua fuzioe cotiua, ( ( )) arcta χ(,) () R. ϕ()χ (,) () R. 25. Per quali valori di α la successioe 1+α e π, per ogi R coverge putualmete su R? Studiare la covergeza uiforme come suggerito elle domade b. e c. Nota bee: Sia I u sottoisieme di R, allora la fuzioe χ I : R R è detta fuzioe idicatrice dell isieme I e vale 1 se I χ I () = se / I Dipartimeto di Matematica, Uiversità di Brescia, Italy E-mail address: gastaldi@ig.uibs.it URL: http://bsig.ig.uibs.it/~gastaldi/