Esperienza PolRiv Valutazione market-consistent di una polizza vita rivalutabile

Università degli Studi di Perugia Laurea specialistica in Finanza a.a. 2009-10 Corso di Laboratorio di calcolo finanziario prof. Franco Moriconi Esperienza PolRiv Valutazione market-consistent di una polizza vita rivalutabile Versione 24/10/09 1 Descrizione dell esperienza Si consideri in t = 0 una polizza di assicurazione sulla vita di tipo rivalutabile (profit sharing policy, with-profit policy), di tipo capitalizzazione pura a premio unico. La polizza sia emessa in t = 0, abbia una durata T anni e un capitale assicurato iniziale C 0. Il tasso di rivalutazione del capitale assicurato alla k-esima ricorrenza annuale sia calcolato con la regola: ρ k := 1 + max{β I k, i} 1, k = 1,..., T, (1) essndo i il tasso tecnico, β l aliquota di retrocessione e I k il tasso di rendimento di mercato nell anno [k 1, k] di un fondo di investimento di riferimento. Si supponga che il fondo sia puramente obbligazionario default-free, gestito con una strategia di compravendita, con periodicità δ, di ZCB unitari con vita a scadenza D δ. Indicando con: Φ T := (1 + ρ k ), (2) il fattore di rivalutazione da 0 a T, e con : Φ B T := 1 + β I k i + i, (3) il corrispondente fattore di rivalutazione base, la prestazione (benefits) Y T fornita dalla polizza è data da: Y T := C 0 Φ T, e la sua componente base (la ipotetica prestazione che si avrebbe in totale assenza di garanzie di rendimento minimo) è: Y B T := C 0 Φ B T. Utilizzando per il prezzo di mercato in t del payoff X T la rappresentazione no-arbitrage: V (t; X T ) = E Q t (X T e T t rudu), e utilizzando il modello CIR univariato (calibrato sul mercato a una data specificata): 1. si calcoli il valore market-consistent della prestazione Y T (riserva stocastica, valore delle liability): V 0 := V (0; Y T ) = C 0 V (0; Φ T ) ; 1

2. si calcoli il valore della componente base: 3. si calcoli il valore della componente garantita: 4. si ricavi il valore della componente put V P 0 ; 5. si ricavi il valore della componente call V C 0 ; V B 0 := C 0 V (0; Φ B T ) ; V G 0 := C 0 v(0, T ) ; 6. si ricavi il Value of Business In Force (VBIF) E 0 della polizza; 7. dopo aver assegnato un valore esogeno al parametro γ, si ricavi, per simulazione e col metodo di scenario, il worst-case value W 0 (V 1 ) delle liability (cioè della prestazione Y T, su un orizzonte annuale e al livello di confidenza del 99.5%, senza tener conto del time decay; 8. assumendo che il portafoglio asset a copertura delle liability Y T coincida col fondo di riferimento e ipotizzando che questo abbia in t = 0 valore di mercato A 0 uguale alla riserva di bilancio, si calcoli, col metodo di scenario, il worst-case value W 0 (A 1 ) degli asset (cioè del fondo), su un orizzonte annuale e al livello di confidenza del 99.5%, senza tener conto del time decay; 9. si ricavi, per simulazione e col metodo di scenario, il worst-case value W 0 (N 1 ) del Net Asset Value N 0 := A 0 V 0, sempre su un orizzonte annuale e al livello di confidenza del 99.5%, senza tener conto del time decay; come si può controllare la correttezza del metodo di scenario? Per le caratteristiche della polizza si assuma T = 20 anni, C 0 = 100, i = 0.02 e β = 0.08. Per il montante degli investimenti W t si assuma un intervallo di trading δ = 6 mesi di ZCB con time-to maturity D = 4 anni. Per le quantità non esprimibili in forma chiusa si costruisca una opportuna procedura di simulazione Monte Carlo. È opportuno parametrizzare tutte le caratteristiche del problema, in modo da poter cambiare facilmente sia i parametri di calibratura sia i valori di T, C 0, i, β, δ e D. Suggerimenti. Si consiglia di parametrizzare il passo di discretizzazione Monte Carlo e di esprimere δ e D in numero di passi annui. Per i quesiti 7, 8 e 9 si possono usare i percentili Q (p) 0 (r 1) nel modello CIR ricavati nell esperienza CIRVas. 2 Considerazioni teoriche 2.1 Capitalizzazioni pure a premio unico Una capitalizzazione pura (CP) è un contratto di tipo zero-coupon bond (ZCB) che garantisce il pagamento da parte dell assicuratore di un importo certo a una scadenza fissata. Se la polizza è a premio unico il contratto viene acquisito dal beneficiario pagando una somma Π (premio di tariffa) in un unica soluzione all atto della stipula. 2.1.1 Premio puro e riserva Si consideri una CP stipulata al tempo 0 su un capitale assicurato C 0, esigibile alla scadenza T (intera, in anni). La caratterizzazione contrattuale della CP è ottenuta specificando un tasso annuo i, detto tasso tecnico. Il premio puro (unico) U è il valore attuale al tasso i del capitale dovuto a scadenza: U := C 0 () T. (4) Il premio Π effettivamente versato dal contraente è dato dal premio puro gravato da caricamenti di sicurezza e da spese. 2

Osservazione. Il tasso tecnico è uno degli elementi costitutivi delle cosidette basi tecniche del primo ordine. Un altra componente delle basi tecniche del primo ordine sono le tavole di mortalità del primo ordine, anch esse specificate contrattualmente, ma irrilevanti nel caso di una capitalizzazzione pura. Se si assume che la compagnia di assicurazione è esente da rischio di default, il valore di mercato (fair value, market-consistent value) del contratto è dato da: V 0 := C 0 [(0, T )] T, (5) dove i(0, T ) è il tasso risk-free per la scadenza T in vigore sul mercato alla data di stipula. Osservazione. Il tasso tecnico è sempre fissato a un livello inferiore al tasso di mercato i(0, T ); la normativa di vigilanza impone anzi che i non possa superare una frazione (tipicamente il 70%) del tasso di mercato. Quindi si avrà sempre U > V 0 ; si può dire che il premio puro contiene già un caricamento di sicurezza implicito V 0 U. Il premio puro U viene investito dalla compagnia in un fondo di riferimento, usualmente gestito dalla compagnia stessa. Si indichi con W t il montante in t 0 di un investimento unitario nel fondo di riferimento; è quindi W 0 := 1. Il valore in t del fondo (assumendo il solo investineto di U) è dato quindi da F t = U W t. In ogni istante t [0, T ], la riserva di bilancio della polizza è il valore attuale al tasso tecnico del capitale assicurato: R t := C 0 () (T t), 0 t T ; (6) si ha quindi R 0 = U. A ogni ricorrenza annuale della polizza dovrà essere soddisfatto il vincolo di bilancio: F k R k, k = 1,..., T. (7) Se il vincolo (7) è soddisfatto in senso stretto la compagnia può detrarre dal fondo l eccedenza F k R k ; se il vincolo non è soddisfatto, deve finanziare il fondo per l ammontare R k F k. Osservazione. La (6) equivale alla regola ricorrente: R k = R k 1 (), k = 1,..., T, (8) con R 0 = U; quindi i vincoli di bilancio equivalgono a richiedere che il valore del fondo di riferimento cresca ogni anno almeno al tasso tecnico i. Naturalmente il valore di mercato del contratto in t (sempre sotto l ipotesi default-free) è dato da: V t := C 0 [(t, T )] (T t), 0 t T ; (9) evidentemente, data l incertezza sui tassi futuri i(t, T ), non è in generale garantita la disuguaglianza i < i(t, T ) per t > 0. Il Value of Business In Force (VBIF) della polizza in t è il valore di mercato E t di tutti gli utili forniti alla compagnia dal contratto, fino alla scadenza. Si indichi con: t,t := {R k F k ; k = [t] + 1,..., T }, il flusso di utili (con segno) staccati dalla compagnia a tutte le scadenze annuali successive alla data t. Si può scrivere: E t := V (t; t,t ). (10) Gli utili (se positivi) possono essere immediatamente staccati dalla compagnia a ogni fine-anno, oppure mantenuti (anche parzialmente) nel fondo per essere ritirati a date successive (comunque entro la scadenza T ). Tuttavia, in un mercato efficiente, il principio di arbitraggio implica che il valore degli utili è indipendente dalla particolare strategia di stacco adottata. In particolare, a ogni ricorrenza annuale vale la proprietà: E k = R k V k, k = 0, 1,..., T. (11) Capitalizzazione a premio unico non rivalutabile: evoluzione della riserva 3

2.2 Capitalizzazioni pure a premio unico rivalutabili 2.2.1 Rivalutazione del capitale e salti di riserva In una CP a premio unico rivalutabile (profit sharing policy, with-profit policy) il capitale assicurato iniziale C 0 viene rivalutato a ogni aniversario, secondo la regola: C k = C k 1 (1 + ρ k ), k = 1,..., T, essendo ρ k 0 il tasso di rivalutazione nell anno k; la regola di derminazione dei ρ k è specificata nelle condizioni contrattuali. Il premio puro è comunque calcolato secondo la (4). In ogni istante t [0, T ] la riserva di bilancio della polizza è definita come il valore attuale al tasso tecnico del capitale assicurato corrente: R k := C k () (T k), k = 1,..., T ; (12) quindi, se è ρ k > 0, e perciò C k > C k 1, in t = k si ha un salto di riserva: R k := (C k 1 ρ k ) () (T k). A ogni ricorrenza annuale dovrà comunque essere soddisfatto il vincolo di bilancio F k R k. 2.2.2 La regola tipica di rivalutazione Si indichi con: I k := F k 1 = W k 1, k = 1,..., T, (13) F k 1 W k 1 il (tasso di) rendimento del fondo di riferimento nell anno k (rendimento di gestione). Il tasso di rivalutazione, nei casi più semplici, è specificato dalla regola: ρ k := max{β I k, i} i, k = 1,..., T, (14) essendo β, l aliquota di retrocessione, un coefficiente compreso tra 0 e 1, fissato contrattualmente. Un valore tipico dell aliquota di retrocessione è β = 0.8. Grafico di ρ in funzione di I Data la (14), il capitale assicurato si rivaluta per il fattore: Siccome per la (12) si ha: 1 + ρ k := 1 + max{β I k, i}, k = 1,..., T. (15) R k = C k 1 (1 + ρ k ) () (T k) = C k 1 () (T (k 1)) (1 + ρ k ) (), la regola ricorrente per la riserva diventa ora: R k = R k 1 (1 + ρ k ) (), k = 1,..., T, (16) esssendo sempre R 0 = U. La riserva si rivaluta cioè per il fattore: (1 + ρ k )() = 1 + max{β I k, i}, k = 1,..., T. (17) 4

2.2.3 Scomposizione del rendimento Grafico di scomposizione del rendimento I 2.2.4 La prestazione come payoff stocastico Data la regola di profit sharing, il payoff della polizza, cioè il capitale assicurato rivalutato alla data finale C T, ha la forma: Y T := C 0 Φ T, essendo: Φ T := il fattore di rivalutazione da 0 a T. Dato che è: (1 + ρ k ), Φ T = 1 + max{β I k, i} T = () T ( 1 + max{β Ik, i} ), il payoff a scadenza può anche esprimersi come: Y T = U ( 1 + max{β Ik, i} ). (18) Questa espressione caratterizza Y T come il risultato di un investimento rischioso con garanzie di rendimento minimo; l investimento della somma U, che è effettuato in 0 e dura T anni, produce in ogni anno una frazione β del rendimento di gestione, ma rende comunque il tasso i (rendimento minimo garantito). È importante osservare che il contratto incorpora una garanzia annua di rendimento mimimo (garanzie cliquet, o ratchet ). 2.2.5 Garanzie annue e garanzie a scadenza Si ponga, per semplicità, β = 1. Il payoff del contratto con garanzie annue dato dalla (18) si può esprimere come: Y T = U max { (1 + I k ), () }. (19) Il payoff di un corrispondente contratto con garanzia a scadenza si può esprimere come: { T Y T = U max (1 + I k ), } () ; (20) si ottiene cioè scambiando il prodotto dei max col max dei prodotti. Evidentemente, se è T > 1 si ha: Y T Y T. Dato che é: il payoff Y T (1 + I k ) = W k W k 1 = W T, si può anche scrivere come: { } Y T = U max W T, () T. (21) 5

o anche come: avendo posto M T := U W T e K := U () T. Per il payoff Y T si possono considerare la scomposizione put: Y T = U max { M T, K }, (22) Y T = M T + [K M T ] +, (23) e la scomposizione call: Y T = K T + [M T K] +. (24) 2.2.6 Scomposizione put e call di garanzie annue La componenti put e call di un contratto con garanzie cliquet vanno individute per differenza. Scomposizione put. Si definisca la componente base del payoff : essendo: Y B T := C 0 Φ B T, (25) Φ B T := 1 + β I k i + i, (26) il fattore di rivalutazione base da 0 a T. Si può pensare che YT B sia ottenuta applicando al capitale assicurato la componente base del tasso di rivalutazione, definita, per k = 1,..., T, dalla: ρ B k := β I k i. (27) Evidentemente si ottiene il payoff YT B = U T (1 + β I k), che esprime il risultato di un investimento (con partecipazione β agli utili/disutili) privo di garanzie di minimo. La componente put del payoff e definita dalla: Y P T = Y T Y B T ; (28) dato che è Y T Y B T, la componente put della prestazione non può essere negativa. Scomposizione call. La componente garantita del payoff è, naturalmente: Y G T = U () T = C 0 ; (29) si tratta, evidentemente, del payoff della corrispondente polizza non rivalutabile (che si riottiene dallo schema con rivalutazione ponendo ρ k 0). La componente call del payoff e definita dalla: Y C T = Y T Y G T ; (30) anche in questo caso, essendo Y T C 0, la componente call della prestazione non può essere negativa. 2.3 Una modellizzazione del montante degli investimenti 2.3.1 Investimento puramente azionario La rappresentazione più semplice per il montante unitario W t si ha utilizzando un moto browniano geometrico, descritto dalla: dw t = µ W t dt + σ W t dz t, 0 t T, con W 0 = 1. La scelta di un modello lognormale è piuttosto naturale per caratterizzare investimenti di tipo azionario, ma risulta di solito inadeguata per descrivere l andamento di strategie di investimento di tipo obbligazionario. 6

2.3.2 Investimento puramente obbligazionario Dato che nelle gestioni separate delle polizze rivalutabili la quota di investimento obbligazionario è largamente prevalente, conviene adottare per W t una rappresentazione più raffinata, basandosi sui modelli stocastici per i tassi di interesse. Si farà riferimento, per semplicità, a strategie di tipo unicamente obbligazionario, basate sull investimento in titoli di tipo default-free. Trading periodico di ZCB di durata fissata. Si consideri l investimento di un importo unitario, secondo una strategia di compra-vendita con periodicità δ, di ZCB unitari con time-to-maturity prefissato D. In t = 0 è W (0) = 1 e si aquista una quantità: N 0 = 1 v(0, D), di ZCB con durata residua D. In t = δ il montante dell investimento è: v(δ, D) W δ = N 0 v(δ, D) = v(0, D). Se si vende il titolo sul mercato e si investe il ricavato sullo ZCB con vita residua D, si acquistano: nuovi titoli. In t = 2δ si ha: N 1 = W 2δ = N 1 v(2δ, D + δ) = In generale, dopo k periodi di trading si ha: o anche: W kδ = W δ v(δ, D + δ), v(δ, D) v(2δ, D + δ) v(0, D) v(δ, D + δ). k v(δ, D) v(2δ, D + δ) v(0, D) v(δ, D + δ) v(k δ, D + (k 1) δ) v((k 1) δ, D + (k 1) δ) = v[j δ, D + (j 1) δ] v[(j 1) δ, D + (j 1) δ], j=1 W kδ = k j=1 v[j δ, j δ + D δ] v[(j 1) δ, (j 1) δ + D]. (31) Osservazione. Se si sceglie δ = D si ha una strategia di roll-over di ZCB con time-to-maturity δ. Nei modelli stocastici di struttura a termine di tipo univariato si ha usualmente: Si può quindi scrivere: Nei modelli affini si ha: quindi: v(t, t + τ) = v(r t ; τ). W kδ = k j=1 v(r jδ ; D δ) v(r (j 1)δ ; D). (32) v(t, t + τ) = A(τ) e rt B(τ) ; W kδ = k A(D δ) e r jδb(d δ). (33) A(D) e r (j 1)δB(D) j=1 Naturalmente i valori di r kδ alle date kδ sono le realizzazioni del processo stocastico dello spot rate r t alle date di trading. In particolare, nel modello CIR r t è il processo di diffusione mean-reverting square-root caratterizzato dalla e.d.s.: dr t = α(γ r t ) dt + ρ r t dz t, 0 t T. Per ricavare il montante obbligazionario per simulazione conviene scegliere δ uguale a un multiplo del passo di discretizzazione e uguale a un sottomultiplo dell anno. Se è δ := 1/n anni, il valore del montante a ogni ricorrenza annuale è espresso da: W nδ, W 2nδ,... W T nδ. 7

Strategia di detenzione di bond a lungo termine. Si fissa D T e si detiene lo ZCB con scadenza in t = D fino a T ; si ha: v(kδ, D) A(D kδ) e rkδb(d kδ) W kδ = =. (34) v(0, D) A(D) e r0 B(D) 2.4 La valutazione no-arbitrage dei payoff La valutazione no-arbitrage del payoff garantito dalla polizza di capitalizzazione pura rivalutabile è basata sul risultato fondamentale che il prezzo di mercato in t del payoff X T si può esprimere come l aspettativa risk-neutral del payoff scontato; cioè: V (t; X T ) = E Q t (X T e T t rudu). (35) Se la gestione separata ha composizione puramente obbligazionaria (con obbligazioni essenzialmente defaultfree), il prezzo V (0; Y T ) può essere ricavato riproducendo la (35) con un algoritmo di simulazione Monte Carlo, in cui il payoff Y T = C 0 Φ T e il fattore di sconto stocastico: ϕ(0, T ) := e T 0 rudu, vengono generati campionando il proceso dello spot rate r t da 0 a T in ambiente risk-neutral. Naturalmente il calcolo esplicito del payoff Y T segue una procedura complessa, anche se completamente definita: una volta scelta la strategia di investimento, ogni traiettoria simulata di r t genera una successione annua di montanti W k (secondo la (32), oppure la (34)), dai quali si ricava la successione annua dei tassi di rivalutazione ρ k dati dalla (14), e quindi il valore del fattore di rivalutazione Φ T. Nella stessa procedura si può calcolare la successione annua dei tassi di rivalutazione ρ B k, dati dalla (27), e quindi il fattore ΦB T che produce il payoff base YT B = C 0Φ B T. Riferimenti bibliografici [CDFM3] Castellani G., De Felice M., Moriconi F.,Manuale di finanza III. Modelli stocastici e contratti derivati, Bologna, Il Mulino, 2006 [???] 8