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Andrea Loi Introduzione alla Topologia generale
Copyright MMXIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-xxxx-x I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: marzo 2013
Indice Prefazione 9 1 Richiami 11 1.1 Insiemi e funzioni tra insiemi..................... 11 1.2 La completezza di R......................... 14 1.3 La topologia della retta........................ 16 1.4 Funzioni continue da sottoinsiemi di R in R............ 20 1.5 Esercizi................................ 22 2 Spazi metrici 25 2.1 Definizioni ed esempi......................... 25 2.2 Topologia degli spazi metrici..................... 26 2.3 Applicazioni tra spazi metrici.................... 29 2.4 Esercizi................................ 32 3 Topologie e spazi topologici 35 3.1 Definizioni e esempi.......................... 35 3.2 Interno, esterno, frontiera, chiusura e derivato........... 40 3.3 Esercizi................................ 45 4 Basi 49 4.1 Definizioni e esempi.......................... 49 4.2 Topologie generate da basi...................... 50 4.3 Esercizi................................ 52 5 Numerabilità e separazione 55 5.1 Numerabilità............................. 55 5.2 Proprietà di separazione....................... 58 5.3 Successioni in uno spazio topologico................. 62 5.3.1 Punti di aderenza e successioni............... 62 5
6 Indice iv INDICE 5.3.2 Punti di accumulazione di successioni............ 64 5.3.3 Unicità del limite....................... 65 5.3.4 Successioni negli spazi metrici................ 66 5.4 Esercizi................................ 67 6 Applicazioni tra spazi topologici 69 6.1 Applicazioni continue, aperte e chiuse................ 69 6.2 Omeomorfismi e embedding topologici............... 73 6.3 Incollamento di funzioni continue.................. 75 6.4 Continuità e continuità sequenziale................. 77 6.5 Esercizi................................ 78 7 Omeomorfismi di R n e varietà topologiche 81 7.1 Affinità e isometrie di R n....................... 81 7.1.1 Omeomorfismi tra intervalli di R.............. 83 7.1.2 I quadrati e i dischi di R 2 sono omeomorfi......... 84 7.1.3 Sottoinsiemi convessi di R n................. 86 7.2 Varietà topologiche.......................... 87 7.3 Esercizi................................ 92 8 Prodotti 95 8.1 La topologia prodotto........................ 95 8.2 Prodotti di applicazioni....................... 98 8.3 Esercizi................................ 100 9 Spazi connessi 103 9.1 Spazi topologici connessi....................... 103 9.2 Connessione per archi......................... 107 9.3 Componenti connesse......................... 111 9.4 Esercizi................................ 112 10 Spazi compatti 115 10.1 Spazi topologici compatti....................... 115 10.2 Compattezza negli spazi di Hausdorff................ 118 10.3 Spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti......... 119 10.4 Compattezza negli spazi metrici................... 122 10.4.1 Compatti dello spazio euclideo................ 123 10.4.2 Spazi metrici completi.................... 125 10.5 Esercizi................................ 126
INDICE Indice 7 v 11 Quozienti 12 9 11.1 La topologia quoziente e gli spazi quoziente............. 129 11.2 Unicità degli spazi quoziente..................... 131 11.3 Esempi di spazi quoziente...................... 133 11.4 Proprietà topologiche degli spazi quoziente............. 136 11.5 Lo spazio proiettivo reale....................... 139 11.6 Esercizi................................ 140 Bibliografia 14 3
vi INDICE
Prefazione Questo libro scaturisce dalle dispense del corso di Geometria 3 che ho preparato per gli studenti del secondo anno della Laurea triennale in Matematica dell Università di Cagliari negli anni 2008-2012. L idea di scrivere un libro nasce dalla convinzione che la maggior parte dei testi di Topologia possano essere utilizzati con grande difficoltà in un corso al quale la riforma universitaria del 3 +2 mediamente assegna 9/12 crediti. Infatti il docente deve spesso integrare o eliminare alcune parti del libro di testo adottato alterando l unitarietà della struttura voluta dall autore. Queste riflessioni hanno ispirato l organizzazione e la trattazione degli argomenti del presente testo articolato in 11 capitoli. Sulla base della mia esperienza didattica ogni capitolo mediamente richiede circa 6 ore di lezioni frontali, rendendo possibile la copertura del libro nelle 64 ore di lezioni destinate al corso. Il primo capitolo contiene i richiami di base sulle funzioni tra insiemi, sulla topologia della retta e sulle funzioni continue tra sottoinsiemi di R (i numeri reali). Il secondo capitolo rappresenta una breve introduzione alla topologia degli spazi metrici trattati in modo più approfondito nei corsi di Analisi Reale e Analisi Funzionale. La parte vera e propria di Topologia Generale è trattata nei capitoli 3-11. Alla fine di ogni capitolo ho inserito diversi esercizi utili per mettersi alla prova. I prerequisiti per la comprensione del libro sono la conoscenza della teoria elementare degli insiemi, della topologia della retta e delle funzioni continue, trattati nei corsi di Algebra e Analisi. Nota per lo studente La topologia generale è una disciplina affascinante, che oggi rappresenta un vero e proprio linguaggio comune di tutta la matematica. Essa però non è tanto amata dagli studenti. Infatti gli ostacoli principali in un corso di laurea triennale in Matematica sono rappresentati dall astrazione che caratterizza in modo particolare materie come l Algebra e la Topologia (non me ne vogliano i colleghi analisti e gli amici ingegneri!). Lo scopo di questi appunti è di favorire quel cambio di 9
10 Prefazione prospettiva inevitabile per raggiungere la piena maturità in senso matematico. Condizione necessaria affinché ciò avvenga è cimentarsi con le dimostrazioni dei teoremi (della cui brevità probabilmente resterete sorpresi) e con gli esercizi. Non si affligga lo studente se per alcuni non troverà la soluzione: sulla base della mia esperienza è piuttosto improbabile che uno studente possa svolgerli tutti. In ogni caso lo studente risulterà vittorioso perché ciò che veramente conta, ai fini della formazione, è affrontarli. Ringraziamenti Durante la stesura di questo libro mi sono avvalso dei preziosi suggerimenti di Stefano Matta al quale va un enorme ringraziamento anche per un attenta e scrupolosa lettura del testo. Desidero ringraziare gli studenti e i docenti che in questi anni, con le loro numerose e attente osservazioni, mi hanno permesso di migliorare le dispense e quindi hanno indirettamente contribuito alla stesura di questo libro. In particolare vorrei ringraziare Gianluca Bande (docente) e Luigi Pistis (ex studente). Un ringraziamento speciale va a Lidia Licheri, autrice dell immagine in copertina. Infine un ringraziamento particolare a Paola Ruvioli per la foto in copertina.