FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Esercizi Esercizio 1. Sia data la forma quadratica q( T (x, y, z))=3y 2 +8z 2 +4xy +6xz +12yz. (1) Scrivere la matrice di q: q è definita positiva?. (2) Classificare su R la forma quadratica q utilizzando il metodo di Gauss. (3) Classificare su R la forma quadratica q utilizzando il metodo della riduzione ortogonale. (4) È vero o falso che q è equivalente su R alla forma quadratica q ( T (x, y, z)) = x 2 + y 2 z 2 +2xy? (5) È vero o falso che q è equivalente su C alla forma quadratica q ( T (x, y, z)) = x 2 +2y 2 z 2 +2xy? Svolgimento. La matrice di q è A := 0 2 3 2 3 6. 3 6 8 Se q fosse definita positiva tutte le entrate diagonali di A dovrebbero essere positive: poiché a 1,1 = 0 concludiamo che q non è definita positiva. Riduciamo A con operazioni elementari di riga e colonna, utilizzando il metodo di Gauss. A R 1 R 1 2R 2 /3 4/3 0 1 2 3 6 3 6 8 4/3 0 1 0 3 0 1 6 4 13/12 0 0 0 3 0 1 0 4 C 1 C 1 2C 2 /3 C 3 C 3 2C 2 C 1 C 1 C 3 /4 4/3 0 1 0 3 6 R 3 R 3 2R 2 1 6 8 4/3 0 1 0 3 0 R 1 R 1 R 3 /4 1 0 4 13/12 0 0 0 3 0 0 0 4. Typeset by AMS-TEX 1

2 FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Concludiamo che σ(q) = σ(a) =(1,2): in particolare q non è definita. Per ridurre ortogonalmente A calcoliamone gli autovalori. Il polinomio caratteristico di A è t 2 3 p A (t) = 2 t 3 6 3 6 t 8 =t3 11t 2 25t 13=(t+1) 2 (t 13), sicché sp R (A)={ 1,13 }: poiché A è simmetrica A è ortogonalmente simile, quindi congruente, a 1 0 0 0 1 0 0 3 Quindi riotteniamo che σ(q) = σ(a)=(1,2). La matrice di q è B := 1 1 0 1 2 0. 0 0 1 Risulta 1 (B) =1, 2 (B)=1, 3 (B)= 1, sicché il metodo di Jacobi garantisce che B Q 1 0 0 0 : 0 0 1 in particolare σ(b) =(2,1) sicché A R B. D altra parte rk(a) = rk(b) e questo basta ad assicurare che, invece, A C B. Esercizio 2. Siano date le due matrici A := 1 1, B := 1 2 1 2. 2 5 (1) Verificare che A B. (2) Verificare che A R B. (3) Determinare P invertibile tale che T PAP = B. È possibile scegliere P ortogonale? Svolgimento. Si noti che Tr(A) = 3 6 = Tr(B): poiché la traccia è un invariante per similitudine segue che A e B non possono essere simili (su nessun campo): si noti che det(a) = 1 = det(b). Risulta 1 (A) = 1 (B)=1, 2 (A)= 2 (B) = 1: il metodo di Jacobi ci assicura allora che A Q I 2 Q B ove I 2 R 2,2 è la matrice identità.

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE 3 Per determinare P invertibile tale che T PAP = B non procediamo direttamente. Determineremo invece P A,P B R 2,2 tali che T P A AP A = I 2 = T P B BP B o, equivalentemente A = T P 1 A P A, B = T P 1 B P B: posto P := P A P 1 B risulta allora T PAP = T (P A P 1 B )A(P AP 1 B )=T P 1T B P A AP A P B = T P 1 B I 2P B = B. Per determinare P A e P B applichiamo il metodo di Gauss. A = I 2 1 1 1 2 1 0 1 2 B 2 5 = I 2 1 0 R 2 R 2 +R 1 R 2 R 2 2R 1 1 1 1 0 1 2 1 0 C 2 C 2 +C 1 C 2 C 2 2C 1 1 0, 1 1 1 0. 1 2 Pertanto P A = 1 1, P B = 1 2, P = 1 3. Se esistesse una matrice ortogonale P R 2,2 tale che T PAP = B poiché T P = P 1 seguirebbe A B: da quanto osservato sopra segue, quindi, che una tale P non può esistere. Esercizio 3. In A 2 R con fissato un sistema di riferimento O ı j sia data la conica C di equazione 34x 2 24xy +41y 2 +40x+30y=0. (1) Determinare una forma canonica di C individuandone il tipo. (2) Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce C in tale forma canonica. Svolgimento. Chaiaramente la risposta alla seconda domanda comprende anche la risposta alla prima, quindi il metodo più economico per affrontare l esercizio è quello di rispondere direttamente al scondo quesito. Qui procederemo invece secondo l ordine delle domande. Le matrici di C sono 34 12 20 34 12 A :=, B := 12 41 15. 12 41 25 0 In particolare det(b) = 13250 0, dunque C è non degenere, e det(a) = 1250 > 0, dunque C è un ellisse, evidentemente reale poiché O := (0, 0) ne soddisfa l equazione.

4 FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Per determinare forma canonica e rototraslazione dobbiamo calcolare gli autospazi di A. Il polinomio caratteristico di A è p A (t) := t 34 12 12 t 41 = t2 75t + 1250 = (t 25)(t 50), quindi sp R (A) ={25, 50 }. Per calcolare gli autospazi corrispondenti dobbiamo risolvere i sistemi 9 12 x 6 12 x 0 =, =. 12 16 y 0 12 9 y 0 Concludiamo allora che E A (25) = L( T (4, 3)), E A (50) = L( T ( 3, 4)), quindi gli assi del sistema di riferimento canonico sono paralleli ai vettori î := (4 ı +3 j)/5e ĵ:= ( 3 ı +4 j)/5. Siano x, ŷ le coordinate nel sistema di riferimento O î ĵ. La rotazione trasforma l equazione di C in x = 1 y 5 ( 4 3 3 4 ) )( x ŷ 25 x 2 +50ŷ 2 +50 x=0 Poiché 25( x 2 +2 x) = 25( x +1) 2 1 la traslazione { x = x +1 y =ŷ trasforma l equazione di C nella sua equazione canonica 25x 2 +50y 2 =1. Riotteniamo, perciò, che C è un ellisse (reale). Complessivamente la rototraslazione è x = 1 4 3 x 1 4/5 3/5 x y 5 3 4 y = 3/5 4/5 y + 4/5. 3/5 Il sistema di riferimento canonico O ı j ha perciò origine nel punto avente coordinate ( 4/5, 3/5) rispetto ad O ı j ed assi paralleli e concordi con i vettori î, ĵ. Esercizio 4. In A 2 R con fissato un sistema di riferimento O ı j sia data la conica C a,b) di equazione x 2 +6xy by 2 a =0. (1) Classificare C (a,b) al variare di (a, b) R 2. (2) Esistono valori di a, b R per cui C (a,b) sia una parabola non degenere?

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE 5 Svolgimento. Le matrici associate a C (a,b) sono A := 1 3, B := 1 3 0 3 b 0. 3 b 0 0 a Risulta det(b) =a(b+9): quindi C (a,b) è degenere se e solo se (a, b) =(0,b),(a, 9). Nel primo caso l equazione di C (0,b) diviene x 2 +6xy by 2 =(x+3y) 2 (9 + b)y 2 =(x+3y 9+by)(x +3y+ 9+by) : in particolare C (0,b) è una coppia ellittica od iperbolica di rette incidenti secondoché b< 9, b> 9, mentre è una retta doppia se e solo se b = 9. Nel secondo caso x 2 +6xy +9y 2 a=(x+3y) 2 a=(x+3y a)(x +3y+ a): in particolare C (a,9) è una coppia ellittica od iperbolica di rette parallele secondoché a<0, a>0, mentre è una retta doppia se e solo se a = 0. Pertanto l unico valore di (a, b) per cui C (a,b) sia doppiamente degenere è(0, 9). Supponiamo ora det(b) =a(b+9) 0. Si ha det(a) = (9 + b). C (a,b) è una parabola se e solo se b = 9: in tal caso risulta essere degenere come già visto, quindi C (a,b) non è mai una parabola non degenere. C (a,b) è un iperbole se e solo se b> 9: quindi C (a,b) è un iperbole non degenere se e solo se a 0,b> 9. Infine C (a,b) è un ellisse se e solo se b< 9. Per distinguere i valori di (a, b) corrispondenti ad ellissi reali ed immaginarie osserviamo che per b< 9 si ha Tr(A) = 1 b > 10 > 0: in particolare gli autovalori α, β di A sono positivi, sicché una forma canonica di C (a,b) è αx 2 + βy 2 = a. Concludiamo che C (a,b) è un ellisse reale non degenere se e solo se b< 9eda>0, mentre è un ellisse immaginaria non degenere se e solo se b< 9eda<0. Esercizio 5. In A 2 R con fissato un sistema di riferimento O ı j sia data la parabola C con vertice in V =( 2,2), asse parallelo ad ı + j e passante per P =(0,2). (1) Determinare l equazione di C. (2) Determinare una forma canonica di C. (3) Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce C in tale forma canonica. Svolgimento. Per definizione l asse di C contiene il vertice, dunque è la retta r d equazione x y + 4. Ricordiamo che per una parabola il sistema di riferimento canonico O ı j ha O = V, alle delle ascisse coincidente con l asse della parabola stessa ed asse delle ordinate passante per V. Nel nostro caso quindi O =(2, 2). L asse delle ascisse deve essere parallelo a ı + j : scegliamolo orientato concordemente. L asse delle ordinate deve essere

6 FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE allora parallelo e concorde con ı + j. Concludiamo che i versori ı, j devono essere paralleli e concordi con i versori î := 2( ı + j )/2, î := 2( ı + j )/2. In particolare una rototraslazione che riduce C in forma canonica è ( ) x 2/2 2/2 = x 2 y 2/2 2/2 y +, 2 la cui inversa è x = y ( 2/2 2/2 2/2 2/2 ) x 0 + y 2. 2 L equazione di C nelle nuove coordinate O ı j è della forma y 2 =2px. Poiché il punto P nel nuovo sistema di riferimento ha coordinate ( 2, 3 2) segue che 2p =9/ 2 ovvero che un equazione canonica per C è y 2 =9x. Sostituendo in tale equazione le equazioni che legano x, y ad x,y si ottiene l equazione di C nel sistema di riferimento O ı j, cioè (moltiplicando per 2) x 2 2xy + y 2 13x 5y +16=0. Esercizio 6. In A 2 R con fissato un sistema di riferimento O ı j sia data la conica C h avente matrice B h := 3 h 0 h 5 1 6 al variare di h R. (1) Classificare C h per ogni h R (2) Determinare una forma canonica di C 4. (3) Determinare h R tale che C h sia un iperbole con angolo fra gli asintoti pari a 2π/3. Svolgimento. Sia A h := 3 h h 5 la matrice dei termini di secondo grado di della conica C h. Risulta det(a h )= 15 h 2, det(b h ) = 3(2h 2 31). Quindi C h è degenere se e solo se h = ± 31/2: per tali valori di h risulta det(a h ) < 0, quindi C h è una coppia iperbolica di rette incidenti (determinarne le equazioni).

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE 7 Supponiamo ora h ± 31/2. Se h = ± 15 chiaramente C h è una parabola (non degenere). Supponiamo h > 15: in questo caso C h è un iperbole (non degenere). Consideriamo ora il caso h < 15: in questo caso C h è un ellisse (non degenere) e possiamo voler determinare i valori di h per cui è reale e quelli per cui è immaginaria. Si noti che Tr(A h ) = 15, quindi i suoi autovalori sono positivi. Poiché det(b h ) < 0per h < 15 segue che una forma canonica di C h è del tipo αx 2 + βy 2 = γ con α, β, γ >: concludiamo che C h è un ellisse reale per ogni h < 15. Passiamo ora al secondo quesito. Sappiamo già chec 4 è un iperbole (non degenere). Inoltre il polinomio caratteristico di A 4 è p A4 (t) = t 3 4 4 t 5 =t2 8t 1=(t 4 17)(t 4+ 17). Inoltre det(a 4 )= 1, det(b 4 )=3,sicché una forma canonica di C 4 è ( 17+4)x 2 ( 17 4)y 2 =3. Concludiamo con il terzo quesito. Se l equazione canonica C h è αx 2 + βy 2 = γ gli asintoti sono individuati dal polinomio αx 2 + βy 2 : in particolare essi sono y = ± α/βix. D altra parte ± α/βi è la tangente trigonometrica dell angolo formato dall asintoto con il semiasse positivo delle scisse misurato in verso antiorario: poiché l asse delle ascisse del sistema di riferimento canonico è mediana dell angolo formato dagli asintoti si deve avere α/βi = tan π/3 = 3. Il polinomio caratteristico di A h è p Ah (t) = t 3 h h t 5 = t2 8t+15 h 2 =(t 4 1+h 2 )(t 4+ 1+h 2 ). Perché C h sia un iperbole abbiamo visto che deve essere h > 15: allora per i due autovalori di A h vale 4 + 1+h 2 >0, 4 1+h 2 <0. Quindi i valori di h cercati devono soddisfare 4+ 1+h 2 4+ 1+h 2 =3: risulta perció h = ±3 7(si noti che per entrambi questi valori C h è non degenere).

8 FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Esercizio 7. In A 2 R siano dati una retta d ed un punto F d. Per ogni e R descrivere il luogo ove dist indica la distanza. C e := { P A 2 R dist(p, F) =edist(p, d) } Svolgimento. Scegliamo poi un sistema di riferimento O ı j in A 2 R in modo tale che O sia il punto medio del segmento avente come estremi F ed il piede della perpendicolare condotta da F a d, j sia perpendicolare a d, ı sia orientato da d verso F.Sep>0è la distanza di F da d segue che F =(p/2, 0) e d ha equazione x + p/2 = 0. Indicate con x, y le coordinate di P la relazione che definisce C e diviene (x p/2)2 + y 2 = e x + p/2. Ma un uguaglianza fra quantità non negative è verificata se e solo se è verificata l uguaglianza dei loro quadrati, possiamo affermare che C e è il luogo dei punti del piano soddisfacenti l equazione (x p/2) 2 + y 2 = e 2 (x + p/2) 2 = 0 ovvero con qualche conto ( ) (1 e 2 )x 2 +y 2 (1 + e 2 )px =(e 2 1)p 2 /4 Distinguiamo ora vari casi. Se e =1( ) diviene y 2 =2px : Il corrispondente luogo C 1 è dunque una parabola (infatti è noto dalla scuola superiore che la parabola C 1 è il luogo dei punti equidistanti da una retta d eda un punto F d). Se e 1 possiamo raccogliere in ( ) tutti i monomi in x per formare un quadrato: osserviamo che ( (1 e 2 )x 2 (1 + e 2 )px =(1 e 2 ) x p(1 + ) 2 e2 ) 2(1 e 2 p2 (1 + e 2 ) 2 ) 4(1 e 2 ). Si consideri la traslazione { x := x p(1+e2 ) 2(1 e 2 ) y = y. Esso corrisponde a scegliere un sistema di riferimento O ı j con origine O avente coordinate ( p(1+e2 ) 2(1 e 2 ), 0) rispetto ad O ı j e versori ı e j paralleli e concordi con ı e j rispettivamente. L equazione ( ) diviene perciò (1 e 2 )x 2 +y 2 =e 2 p 2 /(1 e 2 ). Dividendo per e 2 p 2 /(1 e 2 ) ambo i membri possiamo scrivere ( ) x 2 e 2 p 2 /(1 e 2 ) 2 + y 2 e 2 p 2 /(1 e 2 ) =1.

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE 9 Sia a := ep/(1 e 2 ). Se e ]0, 1[ poniamo b := ep/ 1 e 2 ) sicché ( ) diviene x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. Il corrispondente luogo C e è, dunque,un ellisse. L ellisse è il luogo dei punti tali che il rapporto fra la loro distanza da un punto F e da una retta d non passante per F è una costante minore di 1. Se e ]1, [ poniamo b := ep/ e 2 1) sicché ( ) diviene x 2 /a 2 y 2 /b 2 =1. Il corrispondente luogo C e è, dunque,un iperbole. L iperbole è il luogo dei punti tali che il rapporto fra la loro distanza da un punto F e da una retta d non passante per F è una costante maggiore di 1. Quiz Quiz 1. Siano q: R n R una forma quadratica, A la sua matrice. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Il polinomio caratteristico di A è sempre irriducibile. b) A è ortogonale. c) Le radici del polinomio caratteristico di A sono reali. d) Nessuna delle affermazioni precedenti è vera. Svolgimento. L affermazione a) è falsa. Infatti A è una matrice simmetrica, quindi il suo polinomio caratteristico p A (t)è prodotto di polinomi di grado 1acoefficienti reali: in particolare p A (t) è riducibile non appena n 2. L affermazione b) è falsa in generale. Considerato lo spazio euclideo standard (R n,, ), indichiamo con f End R (R n ) l endomorfismo autoaggiunto avente A come matrice rispetto alla base canonica. Poiché A è ortogonale e simmetrica risulta f 1 = f. Sia λ un autovalore di f (oppure di A) ev 0 un autovettore corrispondente. Allora λ 2 v, v = f(v),f(v) = v, f 2 (v) = v, v, quindi λ = ±1. Concludiamo che esiste P ortogonale tale che P 1 AP = D ove P è una matrice diagonale avente entrate diagonali tutte uguali a ±1 ovvero A = PDP 1 per una qualche P ortogonale: ciò restringe molto le possibili forme di A (per esempio se n = 2 la forma q(x, y) =x 2 non soddisfa b)). Più in generale si può dimostrare che le radici del polinomio caratteristico di una matrice ortogonale sono tutti numeri complessi di modulo 1. La dimostrazione di questo fatto in generale esula dai limiti del corso. L affermazione c) è vera per quanto detto all inizio. Segue che l affermazione d) è falsa.

10 FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Quiz 2. Siano q: R n R una forma quadratica, A la sua matrice. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se A è invertibile allora L è definita positiva. b) Se q è definita positiva allora A è invertibile. c) q è definita positiva se se solo se A è invertibile. d) A è invertibile. Svolgimento. L affermazione a) è falsa. Infatti l invertibilità diaci assicura solo che tutti i suoi autovalori sono non nulli, ma non implica che essi siano anche tutti positivi, condizione necessaria e sufficiente affinché q sia definita positiva. Per esempio si prenda n =2edq(x, y) =x 2 y 2. L affermazione b) è vera. Infatti se L è definita positiva gli autovalori di A sono tutti positivi, dunque det(a) (cheè, per qualunque matrice, il prodotto delle radici del polinomio caratteristico) risulta essere positivo, quindi A è invertibile. L affermazione c) è falsa perché implica a). L affermazione d) è falsa senza nessuna ipotesi aggiuntiva su q. Potrebbe essere un utile esercizio per il lettore provare a costruire un controesempio. Quiz 3. In A 2 R sia fissato un sistema di riferimento O ı j. Siano A := (a i,j ) 1 i,j 3 una matrice simmetrica, non degenere, ad entrate in Z tale che a 2,2 è primo ed a 1,2 non è suo multiplo, C la conica avente A come matrice. Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) C non è una parabola. b) C non è un iperbole. c) C non è un ellisse reale. d) C non è un ellisse immaginaria. Svolgimento. L affermazione a) è vera. Infatti C è una parabola se e solo se a 1,1 a 1,2 a 1,2 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 2 1,2 =0. Se ciò accadesse allora a 2 1,2 = a 1,1 a 2,2, quindi a 2,2 sarebbe un fattore primo di a 2 1,2, quindi di a 1,2, in contrasto con l ipotesi. Le affermazioni b), c), d) sono false. Infatti sia A h,n := h 3 0 3 2 0 0 0 ( 1) n con h Z. Poiché a 2,2 =2eda 1,2 = 3 siamo nelle ipotesi date, dunque A h,n rappresenta una conica C h,n che non è una parabola. Si noti che h 3 3 2 =2h 9=( 1)n det(a h,n ). In particolare C h,n è sempre non degenere ed è un iperbole se h<9/2, è un ellisse reale se h>9/2 e n= 1,è un ellisse immaginaria se h>9/2 e n= 0. Se si elimina l ipotesi det(a) 0, sotto le rimanenti ipotesi che tipo di coniche degeneri si possono avere?