ESERCIZIO DI STATISTICA D.U. / simulazione di esame Esercizio 1: Per una malattia particolarmente grave viene sperimentato l utilizzo di una nuova tecnica radiologica allo scopo di identificare correttamente un numero maggiore di malati. Vengono sottoposti all esame 512 pazienti con sintomatologia suggestiva della malattia di cui 199 realmente affetti da tale patologia. Risultano positivi al test radiografico 183 soggetti. Inoltre 280 soggetti non affetti risultano negativi al test. Riportate in una tabella 2x2 il numero di veri positivi, falsi positivi, veri negativi e falsi negativi Calcolate sensibilità, specificità, valore predittivo positivo e valore predittivo negativo Tabella iniziale con i dati. Malattia Malati Non malati Totale Test Positivo 183 Negativo 280 Totale 199 512 Calcolo i valori mancanti per differenza Malattia Malati Non malati Totale Test Positivo 150 33 183 Negativo 49 280 329 Totale 199 313 512 Riporto nella tabella le indicazioni Veri positivi, falsi positivi, veri negativi, falsi negativi. Malattia Malati Non malati Totale Test Positivo 150 - VP 33 - FP 183 Negativo 49 - FN 280 VN 329 Totale 199 313 512 Sensibilità= VP / Totale malati = 150 / 199 = 75.4% Specificità = VN / Totale non malati = 280 / 313 = 89.5% Valore predittivo di test positivo = VP / Totale positivi al test = 150 / 183 = 82.0% Valore predittivo di test negativo = VN / Totale negativi al test = 280 / 329 = 85.1%
Esercizio 2: Si decide di sperimentare una nuova tecnica radioterapica loco-regionale su un tipo di neoplasia della pelle. A tale scopo si reclutano 91 soggetti affetti da tale patologia; 45 vengono trattati con questa nuova tecnica mentre 46 vengono sottoposti solamente al trattamento chirurgico. Dopo 12 mesi dall inizio dell esperimento si valuta l assenza di recidiva. 12 trattati con la nuova tecnica e 18 trattati chirurgicamente sono recidivati. Costruite una tabella che riporti i risultati dell esperimento. Calcolare la probabilità di recidiva per i due trattamenti. Riporto i dati Trattamento Radioterapico Chirurgico Totale Recidiva Si 12 18 No Totale 45 46 91 Completo i valori mancanti Trattamento Radioterapico Chirurgico Totale Recidiva Si 12 18 30 No 33 28 61 Totale 45 46 91 Probabilità di recidiva dopo trattamento radioterapico= 12 / 45 = 26.7 % Probabilità di recidiva dopo trattamento chirurgico= 18 / 46 = 39.1 %
Esercizio 3 La tabella allegata include i valori (ottenuti da una simulazione al computer) di 1000 misure di emoglobina espresse in decigrammi/100 ml. I valori sono ordinati in modo crescente, per semplificare l esercizio. Suddividere le osservazioni per classi 1 grammo per / 100 ml. Definire in modo esplicito i limiti di ciascuna classe. Calcolare la distribuzione di frequenza e disegnare il grafico corrispondente. Estrarre un campione casuale di 10 osservazioni. Calcolare Media e deviazione standard del campione. Per facilitare le successive operazioni numero anche le colonne 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 124 124 125 126 128 128 128 128 129 129 129 129 130 131 131 131 131 131 131 132 20 132 132 132 132 132 132 132 133 133 133 133 133 133 133 133 134 134 134 134 134 40 134 134 134 134 134 134 134 134 135 135 135 135 135 135 135 135 135 135 135 135 60 135 135 135 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 80 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 136 137 137 137 137 137 137 137 137 137 100 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 137 120 137 137 137 137 137 137 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 140 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 138 139 139 139 139 160 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 180 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 139 140 140 140 140 140 140 140 140 140 200 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 141 220 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 240 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 260 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 141 280 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 300 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 320 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 142 340 142 142 142 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 360 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 380 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 143 144 144 400 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 420 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 440 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 144 460 144 144 144 144 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 480 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 500 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 145 146 146 146 146 146 146 520 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 540 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 560 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 580 146 146 146 146 146 146 146 146 146 146 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 600 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 620 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 640 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 147 148 148 148 148 148 148 148 148 660 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 680 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 148 149 149 149 149 149 149 149 149 700 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 720 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 149 740 149 149 149 149 149 149 149 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 760 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 780 150 150 150 150 150 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 800 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 820 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 151 152 152 152 152 152 152 152 840 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 860 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 152 153 153 153 153 153 153 153 880 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 153 900 153 153 153 153 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 154 920 154 154 154 154 154 154 154 154 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 155 940 155 155 155 155 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 156 960 156 156 156 156 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 158 158 158 158 158 980 159 159 159 159 159 159 159 159 159 159 159 160 160 161 161 161 161 162 165 166 Intervallo di valori N. Osservazioni % 12.0 <= x <=12.9 12 1.2% 13.0 <= x <=13.9 179 17.9% 14.0 <= x <=14.9 556 55.6% 15.0 <= x <=15.9 244 24.4% 16.0 <= x <=16.9 9 0.9%
N. Osservazioni 600 556 500 400 N. osservazioni 300 244 200 179 100 0 12 9 12.0 <= x <=12.9 13.0 <= x <=13.9 14.0 <= x <=14.9 15.0 <= x <=15.9 16.0 <= x <=16.9 Intervallo dei valori di Hb Nota: per cause tecniche (limiti nei grafici prodotti da Excel), non è stato possibile disegnare le colonne senza spazi tra di esse, come invece era stato raccomandato a lezione.
Estrarre un campione casuale di 10 osservazioni. Calcolare Media e deviazione standard del campione. Tavola dei numeri casuali: sono interessato a numeri di 3 cifre compresi tra 000 e 999, scelgo a caso un punto di partenza, quindi continuo sulla stessa colonna dall alto in basso. I valori individuati sono scritti in grassetto. 33369 22784 33875 41853 96864 47971 95778 08005 13691 63400 27255 03112 68048 77412 56742 76219 31224 14474 75336 86303 06338 95707 49455 85540 13965 75668 33709 06295 33055 62019 78309 42155 90346 49145 20503 00241 29991 19345 61564 99081 99759 97934 03254 41554 21590 57210 07123 68756 63083 96235 67176 10433 87681 87210 64933 68347 92077 88792 91810 58573 65248 76928 89837 08846 56629 32437 67688 17835 91940 90593 49006 76166 02500 63782 59322 00390 98163 63614 78605 49403 68103 85644 25796 91448 30805 42664 51326 74436 62322 12241 63802 53305 04059 59764 90724 76359 55535 86055 29585 46302 79742 99960 26124 46870 20689 25098 06410 27973 46998 77311 57720 54907 74245 84488 04270 73048 99066 06519 48641 55943 79237 41051 12398 66696 85112 14981 17287 21146 62211 05821 24228 57850 98341 16681 37812 47509 18925 86597 18675 49091 55660 49424 43933 05963 20149 05200 50960 08358 67511 01933 19861 22439 01143 94432 63532 56945 58842 40528 92572 20741 94669 32527 87760 94104 25509 76415 05216 24500 17838 70817 89985 34649 53377 31730 94086 31638 35588 17093 36147 91279 48789 72702 67008 21668 82146 01413 79372 14942 68705 38683 49480 02888 22917 63258 11111 33411 13775 85533 80985 00143 24743 85641 42291 36778 10893 05437 19824 08378 42976 86795 64847 23589 33594 89748 10957 32718 51763 68813 10425 77035 03430 36514 70661 31756 05050 40475 71065 74305 77737 29833 75385 23135 69283 16727 65703 02780 23804 68981 11584 49648 64545 63962 51199 01283 97825 28393 66071 82123 57660 19916 98208 33362 69117 21161 23944 64238 94059 14970 05617 12805 32054 07203 26193 21394 84195 24214 84411 40803 98537 38507 17344 15148 48565 37822 58481 89051 82970 42120 31433 22193 50394 05450 64035 43057 40668 41553 60431 18390 64851 68625 78953 17763 97731 42023 83425 21144 61224 08446 59292 20144 00944 74988 12680 67331 38098 07617 07062 68488 10741 47585 09145 60399 34502 96525 01889 26599 00459 84522 16394 04293 95169 67557 02640 34346 11248 38069 92350 56729 39454 29692 70508 54005 04520 68481 49490 54518 61250 57413 21963 58693 22300 46561 26193 37699 41025 95236 24319 61976 36825 12130 59514 64282 82593 02292 30047 31658 59634 69686 09783 49581 16767 83335 90887 44726 91761 29897 25206 13271 06739 82794 56122 39271 13180 96772 75970 15601 33755 09094 48981 43403 76638 56797 04167 45479 33877 12388 47418 93336 15130 99210 41096 03800 10614 35654 95019 58406 98305 23422 60958 85367 20046 37829 84143 21584 16469 54926 72130 48292 36334 97246 54531 98884 77067 40922 42159 24317 25253 02092 31297 93764 13890 23188 70868 10872 00450 17814 58397 47011 82334 23072 50284 03356 69038 80865 07885 57345 89036 22684 60785 80437 26813 01882 19225 17201 31457 04800 35776 58544 87914 20544 62124 78686 09504 70405 93557 07027 14710 56860 90762 11641 84970 30136 90728 84806 50802 83348 89386 49552 49989 37767 49046 58476 26792 43291 79896 80300 94348 20602 16389 88169 97223 80359 84664 24172 62716 50993 27019 92107 68115 75768 49086 44447 30787 68766 22801 38227 98482 15718 79243 48738
Il campione è costituito dalle seguenti 10 osservazioni 066 287 925 960 842 216 588 372 775 824 Osservazione numero: valore di Hb 066 136 287 142 925 154 960 156 842 152 216 140 588 146 372 143 775 150 824 151 Formule: Media = Σx i / n DS= [Var] 1/2 = [Dev / (n-1)] 1/2 = [Σ(x i X) 2 / (n-1)] 1/2 Calcoli: Osservazione numero: valore di Hb scarti dalla media quadrati degli scarti dalla media 66 136-11,0 121,0 287 142-5,0 25,0 925 154 7,0 49,0 960 156 9,0 81,0 842 152 5,0 25,0 216 140-7,0 49,0 588 146-1,0 1,0 372 143-4,0 16,0 775 150 3,0 9,0 824 151 4,0 16,0 Totale = 1470 media = 147,0 Somma degli scarti quadratici medi = 392,0 varianza = 43,6 DS = 6,6
Esercizio 4. Che cos è un tasso di incidenza? Come si calcola? Il tasso di incidenza esprime la frequenza di nuovi casi di malattia che insorgono in una popolazione in un periodo di tempo definito. Tasso = [N / (pop * tempo)] * k Dove: N= numero dei nuovi casi che sono insorti nel periodo considerato Pop = popolazione (media) nel periodo considerato Tempo = durata del periodo, in anni K = costante, usata per esprimere il tasso senza dover usare numeri molto piccoli Esempio: Tra gli uomini residenti a Torino nel 1980-84 (popolazione media 510.000 uomini ) si sono verificati 2754 casi di tumore polmonare. N= 2754 Pop= 510.000 Tempo = 5 K = 100.000 Tasso = [2754 / (510000 * 5)] * 100000 = 108,0 Se non usassimo un moltiplicatore dovremmo scrivere :0,00108 Esercizio 5. Calcolo delle probabilità 1. Un frigo di un bar contiene 12 coni alla panna, 6 ghiaccioli e 18 biscotti maxibon. Se il barista estrae, a caso, un prodotto dal frigo calcolate la probabilità che esso sia un biscotto maxibon oppure un ghiacciolo Gli eventi sono mutuamente esclusivi, quindi la probabilità di uno dei due è uguale alla somma delle singole probabilità. P(Coni o Ghiacciolo) = P(cono) + p(ghiacciolo) = 12/36 + 6/36 = 18/36 = 0.50 2. Come potete calcolare la probabilità di estrarre un gelato che NON sia un ghiacciolo? La procedura più conveniente utilizza la relazione q= 1-p p = probabilità di estrarre un ghiacciolo= 6 / 36 = 0.167 q= 1-p = 1- probabilità di estrarre un ghiacciolo= 1-6 / 36 = 1-0.167 = 0.833 = 83.3%
3. Nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado, calcolate la probabilità di ottenere una croce e un sei Gli eventi sono indipendenti ( la probabilità di ottenere un risultato al lancio del dado non varia in funzione del risultato al lancio della moneta), quindi P(A e B) = p(a) * p(b) = 0.5 * 0.167 = 0.083 = 8.3%