Ministero dell Istruzione dell Università e della Ricerca ESAME DI STATO Anno Scolastico 2016 2017 SOLUZIONI Prova di Matematica - Fascicolo 1 PROVA NAZIONALE Prova di Matematica Scuola Secondaria di primo grado Classe Terza Fascicolo 1 Classe: Studente:
D1 a, b e c sono tre numeri naturali. a b = 2 b c = 3 a c = 6 Quale fra i seguenti valori corrisponde al prodotto a b c? A 6 B 12 C 18 D 36 Moltiplichiamo membro a membro le prime due uguaglianze: Otteniamo: a b = 2 b c = 3 (a b) (b c) = 2 3 Applichiamo alla moltiplicazione al primo membro la proprietà associativa e calcoliamo il prodotto al secondo membro: a (b b) c = 6 Esprimiamo il prodotto b b sotto forma di potenza e applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione: Poiché sappiamo che: l uguaglianza precedente diventa: cioè un equazione nell incognita b. (a c) b 2 = 6 a c = 6 6 b 2 = 6 Per risolverla, cominciamo ad applicare il secondo principio di equivalenza dividendo entrambi i membri per 6; otteniamo: b 2 = 1 L unico numero naturale il cui quadrato è 1 è 1 stesso: b = 1 Quindi, poiché a c=6 e 1 è l elemento neutro della moltiplicazione, otteniamo: a b c = a 1 c = a c = 6 2
D2 Le circonferenze di centri B e D, rappresentate in figura, hanno lo stesso raggio. Traccia sulla figura il segmento BD e indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). a. Il triangolo BCD è equilatero V F Poiché i raggi BD, BC e CD sono tra loro congruenti, il triangolo BCD è equilatero. L affermazione è quindi VERA. b. Il segmento CE è un diametro V F Osserviamo che, in ciascuna circonferenza, CE è una corda che non passa per il centro, pertanto l affermazione è FALSA c. L angolo CAF ha un ampiezza di 45 V F Per quanto detto nel punto a. il triangolo BCD è equilatero. Osserviamo inoltre che i centri B e D delle due circonferenze sono i punti medi rispettivamente dei diametri AC e CF, quindi AC = 2BC e CF = 2CD. Possiamo affermare che i triangoli CAF e BCD sono simili per il secondo criterio di similitudine, perché hanno l angolo in C in comune e i lati che lo delimitano in proporzione. Concludiamo quindi che anche il triangolo CAF è equilatero e dunque l angolo CAF ha un ampiezza di 60. L affermazione è quindi FALSA. d. L area del triangolo BDE è un terzo dell area del triangolo CAF V F Congiungiamo i punti B e D con il punto E. Consideriamo i triangoli BDE e BCD: essi hanno i lati rispettivamente congruenti, quindi sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. 3
Per quanto osservato al punto c., i triangoli CAF e BCD sono simili ed equilateri: il rapporto di similitudine tra il lato di BCD e quello di CAF è 1, quindi il rapporto tra le rispettive aree 2 è ( 1 = 1. Poiché il triangolo BDE è congruente al triangolo BCD, possiamo concludere che 2 )2 4 anche l area del triangolo BDE è 1 dell area del triangolo CAF. L affermazione è quindi FALSA. 4 4
D3 Il quadrato ABCD, di lato 1, è stato scomposto come mostrato in figura. Quale tra le seguenti espressioni corrisponde alla scomposizione del quadrato ABCD? A Area ABCD = 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 B Area ABCD = 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 4 C Area ABCD = 1 2 + 1 3 + 1 3 + 1 3 D Area ABCD = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 8 Il segmento BD è una diagonale di ABCD e quindi divide il quadrato in due parti congruenti: l area di ABD è 1 dell area di ABCD. Quindi: 2 1 Area ABD= 2 Area ABCD = 1 2 1 = 1 2 Il quadrato costruito in BCD ha un vertice che divide a metà la diagonale BD e altri due vertici che dividono a metà i lati BC e CD. Possiamo indicare questi vertici come mostrato in figura. G E F 5
Risulta: BF CF CG DG e ciascuno di questi segmenti misura 1 2. Quindi Area CGEF = 1 2 1 2 = 1 4 I triangoli rettangoli isosceli DEG e BFE hanno i cateti di misura 1 2, quindi Allora: Area DEG=Area BFE= 1 2 1 2 2 = 1 2 1 2 1 2 = 1 8 Area ABCD = Area ABD + Area CGEF + Area DEG + Area BFE = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 8 6
D4 In figura viene riportato un cartello stradale americano che indica le distanze (in miglia) di tre località disposte lungo la stessa strada dall uscita Columbia. Ad esempio, la distanza 1 ½ corrisponde a 1 + 1 2 miglia. a. Collega con una freccia i riquadri corrispondenti alle località con la loro posizione sulla strada. Indichiamo con le distanze riportate sul cartello utilizzando le somme di frazioni: College St si trova a (1 + 1 ) miglia dall uscita Columbia 2 Hanover St si trova a (2 + 1 ) miglia dall uscita Columbia 4 High St si trova a 3 miglia dall uscita Columbia Dobbiamo riportare queste distanze sul grafico assegnato. Il grafico è una semiretta orientata la cui origine rappresenta la posizione dell uscita Columbia. L unità di misura scelta è il miglio. La posizione di un punto sulla semiretta indica la sua distanza dall uscita Columbia. College St si trova a (1 + 1 ) miglia dall uscita Columbia, quindi verrà rappresentata sulla semiretta dal 2 punto corrispondente al numero 1 + 1. Per individuare questo punto osserviamo che sulla semiretta 2 è già indicata la tacca in corrispondenza dell 1; dobbiamo quindi spostarci in avanti di mezza unità, che corrisponde a mezzo miglio. Sul grafico sono già indicate delle tacche che dividono ogni miglio in quattro parti uguali; due parti rappresentano quindi mezzo miglio. Per trovare la posizione di College St ci spostiamo allora di due tacche dopo l 1. Questa località è rappresentata da un punto a metà tra il punto 1 e il punto 2. Hanover St si trova a (2 + 1 ) miglia dall uscita Columbia, quindi verrà rappresentata sulla semiretta 4 dal punto che corrisponde a 2 + 1. Ricordiamo che due tacche consecutive distano un quarto di miglio. 4 Quindi in questo caso dobbiamo spostarci in avanti di una sola tacca dopo il 2. High St invece si trova a 3 miglia dall uscita Columbia, quindi sulla semiretta viene rappresentata in corrispondenza del 3. 7
b. John esce all uscita Columbia e vuole raggiungere College St. Se viaggia alla velocità media di 15 miglia all ora, quanto tempo impiega? A 6 minuti B 9 minuti C 12 minuti D 15 minuti Ricordiamo che la velocità è data dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. In simboli scriviamo che v = s. Da questa formula si ricava la relazione che permette di trovare il t s tempo impiegato a percorrere una certa distanza muovendosi a una determinata velocità: t = v. In questo caso sappiamo che la velocità di John è 15 miglia/h e che percorre un tragitto lungo (1 + 1 2 ) miglia = 3 2 miglia=1,5 miglia. Calcoliamo il tempo impiegato da John: t = s v = 1,5 miglia 15 miglia/h = 1,5 1,5 10 h = 1 10 h Esprimiamo in minuti il valore trovato, ricordando che 1 h = 60 minuti. t = 1 10 h = 1 60 minuti = 6 minuti 10 8
D5 Osserva la vite e il dado rappresentati in figura. Ogni volta che il dado compie 5 giri completi attorno alla vite, si sposta lungo la vite di 0,5 cm. Il dado compie 120 giri per percorrere tutta la vite. Quanto è lunga la vite? Scrivi come hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato. Se 5 giri corrispondono a uno spostamento di 0,5 cm, allora 1 giro corrisponde a uno spostamento di 0,5 cm : 5 = 0,1 cm. Poiché il dado deve compiere 120 giri per percorrere l intera vite, la vite è lunga 0,1 cm 120 = 12 cm. Possiamo anche risolvere direttamente la proporzione da cui x = 0,5 120 5 5 : 0,5 = 120 : x = 0,5 12 10 5 ottenendo anche in questo caso che la vite è lunga 12 cm. = 5 12 5 In alternativa, possiamo osservare che, siccome 120 : 5 = 24, per percorrere tutta la vite il dado deve ripetere 24 volte 5 giri, cioè percorrere 24 volte un tratto di 0,5 cm. Allora la lunghezza della vite si ottiene calcolando 24 0,5 cm = 12 cm. Risultato: 12 cm = 12 9
D6 Nella seguente figura è rappresentata, attraverso le linee di livello, la vista dall alto di un territorio. Le linee di livello uniscono tutti i punti che si trovano alla stessa altitudine, indicata (in metri) su ogni linea. Quale dei seguenti profili montuosi vede l osservatore? Figura A Figura B Figura C Figura D Nel territorio considerato sono presenti due vette: la prima, con cima più alta di 200 metri, si trova a sinistra dell osservatore, mentre la seconda, con cima più alta di 150 metri, ma più bassa di 200 metri, alla destra dell osservatore. La risposta corretta è la Figura D, che è l unica a rappresentare correttamente entrambe le caratteristiche osservate. La Figura A rappresenta due cime dalle altezze corrette (una superiore ai 200 metri e una compresa tra i 150 e i 200 metri), ma rappresenta la cima più alta a destra dell osservatore, anziché a sinistra. La Figura B non riporta le altezze corrette, in quanto rappresenta le due cime di altezza inferiore ai 150 metri; inoltre, dal punto di vista dell osservatore, non si possono vedere, nella porzione compresa tra le due cime, luoghi che si trovano a un altitudine inferiore a 50 metri, che invece compaiono nel grafico. Nella Figura C, infine, non è rappresentata correttamente la cima a sinistra, che dovrebbe avere altitudine superiore ai 200 metri. 10
D7 Qualche anno fa venne diffuso un comunicato sui danni che sembrava aver subito un quadro di Van Gogh, in seguito all esposizione a una luce intensa. Nella figura, a destra del quadro, è riportato l ingrandimento che contiene la parte ritenuta danneggiata. L area della parte bianca si può stimare essere compresa tra A 0,10 mm 2 e 0,15 mm 2 B 0,16 mm 2 e 0,21 mm 2 C 0,22 mm 2 e 0,27 mm 2 D 0,28 mm 2 e 0,33 mm 2 Per approssimare l area di una figura a contorno curvilineo utilizziamo la seguente procedura. Iniziamo a calcolare l area di uno dei quadretti nell immagine. Poiché l area totale del rettangolo è di 0,35 mm 2 e l immagine è formata da 7 5 = 35 quadretti, otteniamo che l area di un singolo quadretto è di 0,01 mm 2. Disegniamo ora un poligono, seguendo le linee della quadrettatura, che sia formato da tutti i quadretti completamente contenuti nella zona bianca. 11
Osserviamo che esso è formato da 8 quadretti e ha quindi un area di 0,08 mm 2. Disegniamo poi un secondo poligono, formato da tutti i quadretti che abbiano al loro interno almeno un punto appartenente alla zona bianca. Osserviamo che tale poligono è formato da 28 quadretti e ha quindi un area di 0,28 mm 2. Possiamo perciò stimare che l area della zona bianca sia compresa tra 0,08 mm 2 e 0,28 mm 2. Questa stima ci permette di escludere l opzione D, ma, da sola, non è sufficiente a rispondere al quesito. Procediamo allora raffinando la quadrettatura, dividendo ogni quadretto in quattro parti, ciascuna delle quali avrà quindi area di 0,0025 mm 2. Nuovamente disegniamo i due poligoni. 12
Questa volta otteniamo un poligono interno di 54 quadretti, avente un area di 54 0,0025 mm2 = 0,135 mm 2 e un poligono esterno di 92 quadretti, avente un area di 92 0,0025 mm2 = 0,23 mm 2 L area della zona bianca è compresa dunque tra 0,135 mm 2 e 0,23 mm 2. Grazie a questa nuova stima possiamo quindi escludere le alternative A e C. L unica stima possibile è pertanto la B. 13
D8 La somma di un numero naturale n con il suo successivo n+1 è sempre un numero dispari? Scegli una delle due risposte e completa la frase. Sì, perché un numero della forma n + (n + 1) = 2n + 1 è il successivo del generico numero pari 2n, quindi è dispari. In alternativa è sufficiente considerare che, dati due numeri consecutivi, essi sono sempre uno pari e uno dispari, perciò la loro somma è necessariamente dispari. No, perché......... 12
D9 Osserva il grafico relativo ai dati climatici di Roma nell anno 2014. Il diagramma a barre rappresenta la piovosità media mensile espressa in mm di pioggia. La linea continua rappresenta la temperatura media mensile. L intervallo di tempo considerato va da gennaio a dicembre. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). a. Nel mese di novembre si registrano la massima piovosità media mensile e la minima temperatura media mensile V F Perché l affermazione sia vera dovremo osservare in corrispondenza di novembre sia la barra più alta del diagramma, sia il punto più basso della curva che rappresenta le temperature mensili. Questa seconda condizione non è verificata (per esempio a dicembre si sono registrate temperature inferiori), perciò l affermazione è FALSA. b. Nel mese di maggio la temperatura media è superiore ai 20 C V F Osserviamo che la linea che rappresenta la temperatura media si mantiene, per il mese di maggio, costantemente al di sotto della linea che rappresenta la temperatura di 20 C, perciò l affermazione è FALSA. 13
c. La differenza di piovosità media tra novembre e luglio è inferiore ai 100 mm di pioggia V F Dal grafico possiamo ricavare che la piovosità media, rappresentata sulla scala a destra del grafico, nel mese di novembre è leggermente inferiore ai 115 mm di pioggia, mentre la piovosità in luglio è leggermente superiore ai 15 mm. La differenza tra questi due valori è certamente inferiore a 100 mm di pioggia, pertanto l affermazione è VERA. d. Per otto mesi all anno la piovosità media supera i 60 mm di pioggia V F Per rispondere contiamo il numero di barre del diagramma che superano il valore di 60 mm di pioggia. Sono 8 e corrispondono ai mesi da gennaio ad aprile e da settembre a dicembre. L affermazione è quindi VERA. 14
D10 In 3 millilitri d acqua ci sono circa 10 23 molecole. Quante molecole ci sono all incirca in 3 litri d acqua? (Ricorda che 1 litro equivale a 1000 millilitri). Scrivi il risultato come potenza del 10 inserendo l esponente nel quadratino. Risposta: 10 26 molecole Poiché 1 L = 1000 ml = 10 3 ml, risolviamo la proporzione da cui 3 : 10 23 = (3 10+ 3 ) : x x = 1023 (3 10 3 ) 3 =10 26 15
D11 Edoardo vuole disegnare un rombo con le sue diagonali. Il segmento AB rappresenta la diagonale maggiore del rombo. Completa il disegno di Edoardo tracciando il rombo e la relativa diagonale minore. Ricordiamo che un rombo ha le diagonali perpendicolari e che si tagliano reciprocamente a metà. Iniziamo perciò tracciando l asse del segmento AB. Scegliamo ora due punti sull asse, in modo che siano simmetrici rispetto ad AB. È necessario che i due punti siano simmetrici perché questo ci assicura che la diagonale minore venga dimezzata da quella maggiore. 16
Consideriamo i due punti indicati da una crocetta nell immagine qui sotto. Il quadrilatero che si ottiene congiungendoli ad A e B è un quadrato, che quindi ha le diagonali congruenti. Poiché nel testo si chiede che AB sia la diagonale maggiore, dobbiamo scegliere i due punti sull asse in modo che siano più vicini ad AB rispetto ai punti indicati con la crocetta. 17
D12 Le acque si possono classificare in acque dure o acque dolci sulla base dei sali in esse presenti. Il grafico in figura si riferisce al detersivo RAIN per lavatrici e mostra come varia la quantità da utilizzare in base al numero di lavaggi in acqua dura e in acqua dolce. a. Giorgio utilizza il detersivo RAIN per 10 lavaggi in acqua dolce. Quanto detersivo utilizzerebbe in più in acqua dura? Risposta: 400 ml Per rispondere leggiamo sul grafico i valori corrispondenti al detersivo utilizzato per 10 lavaggi a seconda del tipo di acqua. Posizionandoci sull asse x in corrispondenza del valore 10, leggiamo i dati sull asse y. Otteniamo che in acqua dura si ha un utilizzo di 900 ml di detersivo, mentre in acqua dolce un utilizzo di 500 ml. Perciò la differenza è di (900 500) ml = 400 ml di detersivo. b. Ugo compra un flacone da 1800 ml di detersivo RAIN che usa in acqua dura. Qual è il numero massimo di lavaggi che può fare? Risposta: 20 lavaggi Per rispondere osserviamo che il grafico è una semiretta uscente dall origine, perciò rappresenta una funzione di proporzionalità diretta. Questa funzione è rappresentata da una relazione del tipo y = k x dove y è la quantità di detersivo utilizzata e x il numero di lavaggi. 18
Osserviamo che il punto di coordinate (10 ; 900) appartiene alla semiretta, perciò deve essere 900 = k 10 da cui ricaviamo che k = 900 : 10 = 90 La relazione è quindi y = 90x. Infine, sostituendo il valore 1800 al posto di y otteniamo l equazione 1800 = 90x, da cui ricaviamo x = 20. Alternativamente possiamo impostare una proporzione. Leggiamo dal grafico che per 10 lavaggi sono necessari 900 ml di detersivo; indicando con x il numero di lavaggi cercato otteniamo: 900 : 10 = 1800 : x da cui ricaviamo x = (1800 10) : 900 = 20 c. Se n indica il numero di lavaggi, quale delle seguenti formule permette di calcolare la quantità d (in ml) di detersivo RAIN che si utilizza lavando in acqua dolce? A d = 50 n B d = 90 n C d = 500 n D d = 900 n Procediamo come nel punto b., indicando con d la quantità di detersivo e con n il numero di lavaggi. Scegliamo dal grafico il punto di coordinate (2 ; 100), che appartiene alla semiretta. Abbiamo quindi 100 = k 2 da cui ricaviamo che k = 100 : 2 = 50 Allora la relazione è d = 50n e la risposta corretta è la A. 19
D13 La tombola è un gioco in cui si estraggono i numeri da 1 a 90 uno alla volta. Un numero non può essere estratto più volte. Ogni giocatore ha una cartella con tre righe da cinque numeri ciascuna. I numeri di ogni cartella vengono coperti quando sono estratti. Dopo 20 estrazioni Samuele ha coperto 5 numeri nella sua cartella, come puoi vedere nella figura qui sotto. Qual è la probabilità che Samuele faccia terno (tre numeri coperti sulla stessa riga) alla successiva estrazione? A B C D 6 70 3 70 3 90 6 90 La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell evento e il numero di casi possibili. L evento di cui bisogna calcolare la probabilità è: E = Samuele fa terno all estrazione successiva. Affinché E si verifichi, deve uscire uno dei numeri ancora scoperti sulle righe in cui sono già stati estratti due numeri, cioè la prima e la seconda. I casi possibili sono quindi 6 ( esce 10, esce 78, esce 81, esce 15, esce 41, esce 85 ). Il numero di casi possibili è dato dai numeri che possono ancora essere estratti. Dato che, su 90 numeri possibili, ne sono già stati estratti 20, i casi possibili rimanenti sono 90 20 = 70 Si ha quindi: p(e) = numero casi favorevoli numero casi possibili = 6 70 20
D14 Il quadrilatero ABCD è costruito unendo i centri di 4 circonferenze congruenti. Il quadrilatero ABCD è un quadrato? Nella tabella che segue indica la sola argomentazione che giustifica la risposta corretta. Sì, ABCD è un quadrato... A perché le diagonali sono perpendicolari B perché le diagonali sono congruenti ai diametri delle circonferenze No, ABCD non è un quadrato... C perché è un rombo D perché le circonferenze di centro A e C non sono tangenti Risposta corretta: D Spiegazione: Osserviamo la figura. Le circonferenze di centro D e B sono tangenti esternamente l una all altra. Chiamiamo P il loro punto di tangenza. 21
P Il segmento AC è tangente a queste due circonferenze in P. I raggi DP e BP allora sono perpendicolari ad AC. Possiamo quindi dire che il quadrilatero ABCD ha le diagonali AC e BD perpendicolari. Osserviamo anche che DP e BP sono congruenti perché raggi di due circonferenze congruenti. Le circonferenze con centro in A e C sono esterne l una all altra e quindi non sono tangenti. Allora AC è maggiore della somma di due raggi, cioè di un diametro (ricordiamo che le quattro circonferenze sono tra loro congruenti, quindi hanno raggi congruenti). Questa osservazione ci permette di escludere la risposta B. Dalla precedente osservazione deriva che le diagonali di ABCD non sono congruenti. Possiamo quindi escludere anche la risposta A: per poter dire che un quadrilatero è un quadrato, non basta sapere che ha le diagonali perpendicolari. In questo caso ABCD ha le diagonali perpendicolari, ma non può essere un quadrato perché non ha le diagonali congruenti. Anche la risposta C è sbagliata. Infatti tutti i quadrati sono anche rombi, perciò non basta sapere che una figura è un rombo per escludere che sia un quadrato. La risposta corretta è la D. Infatti, se anche le circonferenze di centro A e C fossero state tangenti nel punto P, DB sarebbe stato tangente a esse in P e avremmo potuto ripetere gli stessi ragionamenti che abbiamo fatto in precedenza. 22
D15 In figura è rappresentata la vasca di un acquario. a. Quanto misura AB? Scrivi i calcoli che hai fatto per trovare la risposta e poi riporta il risultato. Possiamo ricavare la misura di AB considerando il triangolo evidenziato in figura In esso abbiamo che AC è dato dalla differenza tra la profondità dell acquario nella parte sinistra, cioè 11 m, e la profondità nella parte destra, cioè 6 m. AC = 11 m 6 m = 5 m Possiamo ricavare CB sottraendo alla lunghezza totale dell acquario, 30 m, le lunghezze delle parti laterali, rispettivamente 8 m e 10 m. CB = 30 m (8 m + 10 m) = 30 m 18 m = 12 m 23
Infine, possiamo calcolare AB utilizzando il teorema di Pitagora AB= AC 2 + CB 2 = (5 m) 2 + (12 m) 2 = 25 m 2 + 144 m 2 = 169 m 2 = 13 m Risultato: 13 m b. Il livello dell acqua arriva a 1,5 metri dal bordo della vasca. Quanti metri cubi di acqua mancano per riempire la vasca fino all orlo? Osserviamo che il volume non occupato dall acqua ha la forma di un parallelepipedo che ha per base un rettangolo di lati 10 m e 30 m e ha altezza di 1,5 m. Calcoliamo il volume del parallelepipedo moltiplicando tra loro le lunghezze dei lati. V = 10 m 30 m 1,5 m = 450 m3 Risposta: 450 m 3 24
D16 Osserva la seguente retta dei numeri. Se moltiplichi n per un numero indicato con k ottieni come risultato p. n k = p Qual è il valore di k? A + 1,5 B 1,5 C 3,75 D + 1,25 Osservando la retta possiamo dire che n = 2,5 e che p = 3,75. n è positivo, p è negativo. n va moltiplicato per un numero negativo se si vuole ottenere un prodotto negativo. Quindi k deve essere minore di 0. Questa osservazione permette di escludere le risposte A e D. Anche la risposta C è sbagliata, perché k non può essere uguale a p. Infatti, il prodotto di due numeri è uguale a uno di essi solo se l altro fattore è 1. In questo caso l altro fattore è n e vale 1,5. La risposta corretta, quindi, deve essere la B. Possiamo verificarlo con un calcolo. Per trovare k possiamo eseguire l operazione inversa della moltiplicazione, cioè la divisione. In questo caso: k = p n = 3,75 2,5 = 1,5 25
D17 La temperatura percepita dal corpo umano dipende dalla temperatura ambientale e dalla velocità del vento. La tabella riporta la temperatura percepita in relazione alla temperatura ambientale, misurata in gradi centigradi ( C), e alla velocità del vento misurata in chilometri all ora (km/h). a. Con una temperatura ambientale di 3 C e una velocità del vento di 20 km/h, qual è la temperatura percepita? Risposta: 5 C Per rispondere a questa domanda e alle successive dobbiamo analizzare la tabella a doppia entrata. Osserviamo che la riga di intestazione riporta la velocità del vento (espressa in km/h) e la colonna di intestazione la temperatura ambientale (espressa in C). Cerchiamo, nella colonna di intestazione, la cella che contiene il valore 3 e, nella riga di intestazione, la cella che contiene il valore 20: nella cella che si trova all incrocio della riga e della colonna corrispondenti leggiamo il valore 5. 26
b. Quando la temperatura ambientale è di 2 C, qual è la velocità minima del vento per cui si ha rischio di congelamento? Risposta: 40 km/h Osserviamo la legenda in fondo alla tabella e cerchiamo, nella colonna di intestazione, la cella che contiene il valore 2; il primo valore della riga corrispondente associato al rischio di congelamento è 18: il valore contenuto nell intestazione della colonna corrispondente è 40. 27
c. Con una temperatura ambientale di 2 C, qual è la differenza tra la massima temperatura percepita e la minima temperatura percepita riportate in tabella? Risposta: 15 C Cerchiamo nella colonna di intestazione il valore 2 e leggiamo i valori presenti nelle celle successive della riga corrispondente. Ricordiamo che, tra due numeri negativi, è maggiore quello che ha il valore assoluto minore: pertanto i valori massimo e minimo che cerchiamo sono 1 e 16. La differenza tra due numeri relativi è la somma del primo con l opposto del secondo, quindi 1 ( 16) = 1 + 16 = +15 Pertanto la differenza tra la massima e la minima temperatura percepite con una temperatura ambientale di 2 C è 15 C. 28
D18 Durante il compito in classe di matematica la professoressa dispone i banchi come puoi vedere nella figura. Ogni banco è individuato da una coppia ordinata di numeri: il primo indica la colonna in cui si trova il banco, il secondo la riga. Luca, ad esempio, occupa il posto (4; 2). a. Andrea è al posto (5; 4) e Rita al posto (2; 3). Scrivi i loro nomi sui banchi che occupano. Sappiamo che Andrea è seduto al posto (5; 4). Poiché il primo numero indica la colonna in cui si trova il banco, contiamo, a partire dalla 1ª colonna e muovendoci verso destra, 5 banchi. Analogamente, a partire dalla prima riga, contiamo 4 banchi verso l alto. Procediamo allo stesso modo per individuare il banco di Rita. Contiamo 2 banchi verso destra e 3 verso l alto. Otteniamo quindi i due banchi indicati in figura. Andrea Rita 29
b. La professoressa è seduta alla cattedra e guardando Luca gli dice: Scambiati di posto con la compagna seduta alla tua destra. Quale coppia ordinata di numeri indica il nuovo posto di Luca? A (3; 2) B (2; 3) C (5; 2) D (2; 5) Il banco alla destra di Luca è quello evidenziato nella figura. Osserviamo che il banco si trova nella terza colonna da sinistra e nella seconda riga dal basso, perciò è individuato dalla coppia ordinata (3; 2). La risposta corretta è la A. 30
D19 Osserva la figura. Il cubo nell immagine è formato da 8 cubetti. Viene eliminato il cubetto nero: com è la superficie totale del solido rimanente rispetto a quella del cubo di partenza? A Uguale a quella del cubo B Maggiore di quella del cubo C Minore di quella del cubo D Non si può sapere perché non si conosce la misura dello spigolo del cubo Possiamo osservare che, se eliminiamo il cubetto nero dal solido, abbiamo tolto una superficie uguale a quella di tre facce di un cubetto; tuttavia, così facendo, diventano visibili tre facce quadrate che prima erano coperte dal cubetto nero. Perciò la superficie totale rimane invariata e la risposta esatta è la D. 31
D20 Nell immagine è rappresentato un contenitore con 800 foglietti che formano una pila alta 10 cm. Qual è all incirca lo spessore di ciascun foglietto? A 0,0125 cm B 0,08 cm C 0,125 cm D 0,8 cm Per determinare lo spessore di un singolo foglietto, dobbiamo dividere l altezza dell intera pila per il numero totale dei foglietti che la compongono: La risposta esatta quindi è la A. 10 cm 800 = 1 cm = 0,0125 cm 80 32
D21 Un bancomat distribuisce solo banconote da 100 euro, 50 euro e 20 euro. a. Sonia preleva 120 euro. Il bancomat può distribuire questa somma in tre modalità diverse. Completa la tabella inserendo, per ogni modalità, il numero di banconote da 100 euro, 50 euro o 20 euro. Numero di banconote Modalità 1 1 0 1 Modalità 2......... Modalità 3......... Supponiamo che una banconota sia da 100 euro. Allora l unica possibilità di ottenere 120 euro è che ci sia un altra banconota da 20 euro. Questa è la modalità già indicata nella tabella. Le modalità 2 e 3 non possono dunque comprendere banconote da 100 euro. Supponiamo ora che una banconota sia da 50 euro; rimangono da distribuire 70 euro. Poiché non è possibile ottenere 70 euro utilizzando solamente banconote da 20 euro, deve essere presente una seconda banconota da 50 euro, ottenendo nuovamente 100 euro, a cui va aggiunta una banconota da 20 euro per arrivare al totale di 120 euro. Una terza possibilità è che non siano presenti né banconote da 100 euro, né banconote da 50 euro. In questo caso il bancomat può distribuire 6 banconote da 20 euro. b. Lorenzo vuole prelevare 160 euro dallo stesso bancomat. In quante modalità diverse il bancomat può distribuire le banconote? Ripetiamo il ragionamento fatto al punto a. Se abbiamo una banconota da 100 euro, rimangono da distribuire 60 euro, che possono essere ottenuti solamente con 3 banconote da 20 euro. Se non abbiamo banconote da 100 euro, allora possiamo partire con una banconota da 50 euro. Rimangono quindi da distribuire 110 euro. Poiché non è possibile ottenere 110 euro in banconote da 20 euro, ci deve essere una seconda banconota da 50 euro e, come nella modalità precedente, 3 banconote da 20 euro. Se non sono presenti né banconote da 100 euro, né banconote da 50 euro, il bancomat potrà distribuire 8 banconote da 20 euro per arrivare a 160 euro totali. Perciò il bancomat può distribuire le banconote in 3 modalità diverse. Risposta: 3 In quante di queste modalità il bancomat distribuisce esattamente tre banconote da 20 euro? In base a quanto detto sopra, osserviamo che in 2 modalità compaiono esattamente 3 banconote da 20 euro. Risposta: 2 33
D22 Francesco è un minatore. Ogni giorno comincia a lavorare alle 8:00 in una galleria che si trova a 200 metri sotto il livello del suolo. Per risalire ci vogliono 30 minuti e altrettanti per ridiscendere. Alle 12:00 inizia a risalire in superficie per la pausa pranzo. Alle 13:00 inizia a scendere per tornare al lavoro in galleria, dove rimane fino alle 16:30. Completa il seguente grafico in modo da rappresentare a quale altitudine si trova Francesco, al passare del tempo, dalle 8:00 alle 16:30. Francesco lavora in galleria dalle ore 8:00 alle ore 12:00. Durante questo intervallo di tempo si trova perciò a un altitudine di 200 m. Rappresentiamo questa informazione sul grafico, prolungando la linea già disegnata verso destra, fino a incontrare la linea verticale corrispondente alle ore 12:00. 34
Francesco inizia a questo punto la risalita, che dura un totale di 30 minuti. Non abbiamo informazioni sulla velocità con cui Francesco percorre la galleria per risalire. Supponendo che mantenga una velocità costante, possiamo rappresentare la risalita con un segmento che colleghi il punto (12:00 ; 200) con il punto (12:30 ; 0). Il punto (12:30 ; 0) si trova sull asse orizzontale del grafico, a metà tra 12:00 e 13:00. Francesco rimane in superficie fino alle ore 13:00. Rappresentiamo questa informazione con un nuovo segmento orizzontale, come nella seguente figura. 35
Alle ore 13:00 Francesco ritorna in galleria e la discesa dura 30 minuti. Rappresentiamo questo segmento analogamente a come abbiamo rappresentato la risalita, collegando questa volta i punti (13:00 ; 0) e (13:30 ; 200). Infine sappiamo che Francesco rimarrà in galleria fino alle 16.30. Indichiamolo tracciando un ultimo segmento orizzontale. 36
D23 In un paese gli studenti vanno a scuola a piedi, in bicicletta o in automobile. Quelli che vanno a scuola in bicicletta sono 27 e rappresentano il 15% del totale degli studenti. Gli studenti che vanno a scuola a piedi sono 9. Quale percentuale rappresentano questi 9 studenti rispetto al totale degli studenti della scuola? Risposta: 5% Per prima cosa troviamo il numero totale di studenti. Sappiamo che il 15% di questo numero è 27. Possiamo allora scrivere la proporzione seguente, dove x rappresenta il totale degli studenti. Risolviamola: x = 27 : x = 15 : 100 27 100 15 = 180 Il numero totale degli studenti è 180. 9 di questi studenti vanno a scuola a piedi. Il rapporto tra gli studenti che vanno a scuola a piedi 9 e il totale degli studenti è 180 = 1. La percentuale corrispondente è la frazione equivalente con 20 denominatore 100: 1 20 = 1 5 20 5 = 5 100 Gli studenti che vanno a scuola a piedi sono il 5% del totale. 35
D24 Leggi le frasi della prima colonna e collega con una freccia ciascuna frase con l uguaglianza che permette di verificarla. Ogni affermazione può essere collegata con una sola uguaglianza; una è già stata collegata. Con il calcolo, possiamo verificare che tutte le uguaglianze della seconda colonna sono vere; non possiamo quindi eliminarne direttamente nessuna. Leggiamo la frase 2.: essa afferma che 100 è la somma di due quadrati perfetti. Le uguaglianze in cui 100 è espresso come somma di due numeri sono la D., la E. e la F; possiamo scartare subito la D perché risulta già abbinata alla frase 1 e la consegna dell esercizio ci dice che ogni affermazione può essere collegata con una sola uguaglianza. Ricordiamo che un numero è un quadrato perfetto se è il quadrato di un numero naturale: l uguaglianza corrispondente è la E., perché 36 = 6 2 e 64 = 8 2 Nella F., invece, 16 = 4 2 ma 84 non è il quadrato di alcun numero naturale. Leggiamo ora la frase 3.: essa afferma che 100 è un quadrato perfetto, cioè che 100 è il quadrato di un numero naturale. Sappiamo che tale numero è 10, perché 100 = 10 2 Tale uguaglianza non compare nella colonna di destra; ricordando però che l estrazione di radice quadrata è l operazione inversa dell elevamento al quadrato, osserviamo che 100 = 10 2 100 = 10 e quindi possiamo collegare la frase 3 con l uguaglianza B. Leggiamo infine la frase 4.: essa afferma che 100 diviso 7 ha resto 2. Ricordiamo che se la divisione di un numero a per un numero b (con b 0), ha quoziente q e resto r vale l uguaglianza a = q b + r 38
e risulta sempre r < b. In questo caso abbiamo a = 100 b = 7 r = 2 e quindi cerchiamo un uguaglianza del tipo 100 = q 7 + 2 che corrisponde all uguaglianza C., con q = 14. 39
D25 n è un numero naturale. a. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). 1. 4n 1 non può essere un multiplo di 4 V F I multipli di 4 sono numeri che possono essere scritti nella forma 4k, con k numero naturale, quindi due multipli consecutivi di 4 differiscono di 4. 4n 1 è il precedente di un multiplo di 4, quindi non può essere a sua volta multiplo di 4. 2. 4n 1 è un numero che diviso per 4 dà come resto 1 V F 4n 1 è il precedente di un numero multiplo di 4. Allora la divisione per 4 dà come resto 3. 3. 4n 1 è il precedente del quadruplo di n V F Il quadruplo di n è 4n. Il precedente di un numero k è k 1. Allora il precedente del quadruplo di n è 4n 1. b. Antonio afferma che 4n 1 è sempre un multiplo di 3. Antonio ha ragione? Nella tabella che segue indica la sola argomentazione che giustifica la risposta corretta. Antonio ha ragione... Antonio non ha ragione... A perché 4n 1 = 3n C perché 4n 1 è sempre dispari B perché se n = 4 allora 4n 1 = 15 D perché se n = 3 allora 4n 1 = 11 Per mostrare che la regola enunciata da Antonio è falsa, è sufficiente trovare un controesempio, cioè un esempio in cui non valga. Possiamo quindi verificare subito che la risposta D è corretta: se n = 3, allora 4n 1 = 4 3 1= 12 1 = 11, che non è multiplo di 3. In alternativa, dato che il testo dell esercizio dice che una sola delle quattro argomentazioni è corretta, avremmo potuto procedere scartando le altre risposte. La risposta A non può essere corretta perché, per esempio, per n = 2 si ha 4n 1 = 4 2 1 = 8 1 = 7 e 3n = 3 2 = 6. La risposta B è sbagliata perché un esempio non è sufficiente ad assicurare che una regola valga per qualunque numero. La risposta C è sbagliata perché, anche se 4n 1 è sempre dispari, non sempre un numero dispari è multiplo di 3. 42
D26 Il grafico in figura mostra i litri di benzina consumati in media da un automobile per percorrere 100 km, a seconda della sua velocità. 38
a. In base al grafico, a quale velocità si deve viaggiare per consumare meno carburante possibile? Risposta: circa 65 km/h Osserviamo il grafico: in ascissa è riportata la velocità, in ordinata il consumo di benzina. Il punto del grafico di ordinata minima individua quindi la situazione in cui il consumo del carburante è minimo; l ascissa corrispondente si trova circa a metà tra 50 e 75, per cui possiamo arrotondare il suo valore a 65. 39
b. Facendo riferimento al grafico, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F). 1. Per velocità minori di 50 km/h, se la velocità media diminuisce anche il consumo medio diminuisce V F Segniamo sul grafico il punto di ascissa 50, la cui ordinata è compresa tra 2 e 4 e consideriamo i punti di ascissa minore: notiamo che ad ascisse via via minori corrispondono ordinate via via maggiori, quindi l affermazione è FALSA. Avremmo anche potuto osservare, per esempio, che il punto di ascissa 25 ha ordinata compresa tra 6 e 8. 40
2. Il consumo medio di carburante alla velocità di 25 km/h è circa lo stesso di quello alla velocità di 150 km/h V F Segniamo sul grafico i punti che hanno ascissa rispettivamente 25 e 150: essi hanno la stessa ordinata, che individua il consumo medio corrispondente: l affermazione è VERA. 41
3. Alla velocità di 200 km/h si ha il massimo consumo medio di carburante V F Segniamo sul grafico il punto di ascissa 200; l ordinata corrispondente è 12. Notiamo che vi sono punti del grafico di ordinata maggiore, quindi l affermazione è FALSA. 42
D27 Dalla terrazza panoramica dell albergo IL FARO si possono vedere tutti gli ombrelloni disposti sulla spiaggia, come mostra la figura qui sotto. Il bagnino può sistemare fino a due lettini per ciascun ombrellone. Il primo di maggio il bagnino ha messo sotto ogni ombrellone almeno un lettino. In tutto ha sistemato 38 lettini. Sotto quanti ombrelloni ha messo due lettini? Risposta: 10 ombrelloni Contiamo gli ombrelloni in figura. Sono 28. Vogliamo sistemare i 38 lettini a disposizione mettendone almeno uno ma non più di due sotto ogni ombrellone. Iniziamo collocando un lettino sotto ogni ombrellone. Usiamo 28 lettini. Rimangono ancora 38 28 = 10 lettini da sistemare. Poiché ogni ombrellone può avere al massimo 2 lettini, possiamo aggiungerne al massimo 1 sotto i singoli ombrelloni. Quindi il numero di ombrelloni che hanno 2 lettini è uguale al numero dei lettini ancora da disporre, cioè 10. 46
D28 Osserva la figura. Disegna i quattro pallini mancanti in modo che la linea tratteggiata corrisponda all asse di simmetria della figura. Per individuare la posizione in cui disegnare i pallini mancanti immaginiamo di piegare il foglio lungo la linea tratteggiata: ogni pallino dovrà sovrapporsi al proprio simmetrico. Consideriamo, per esempio, il pallino più in alto nella figura. Contando dalla retta tratteggiata verso destra osserviamo che ci sono tre celle vuote prima della cella in cui si trova il pallino. Disegneremo quindi un pallino a tre celle di distanza dalla retta tratteggiata, contandole verso sinistra a partire dalla retta. 1 1 2 3 2 3 47
Procediamo analogamente per gli altri tre pallini. 48
D29 In tabella sono indicati i valori medi di raggio, temperatura superficiale, distanza dal Sole e velocità orbitale degli otto pianeti del Sistema Solare Il grafico rappresenta come varia una delle grandezze della tabella. a. A quale grandezza della tabella si riferisce il grafico? A Raggio medio B Temperatura superficiale media C Distanza media dal Sole D Velocità orbitale media 49
Per rispondere alla domanda osserviamo il grafico e i dati riportati nella precedente tabella. Dal grafico possiamo notare una grande differenza tra il dato relativo al pianeta Marte e quello relativo a Giove. In particolare possiamo notare che, in corrispondenza di Giove, si registra il dato di valore massimo. Analizzando le righe della tabella a doppia entrata, troviamo che la temperatura superficiale media e la velocità orbitale media di Marte sono superiori a quelle di Giove, pertanto dobbiamo escludere queste due ipotesi. Escludiamo inoltre la distanza media dal Sole, poiché Giove non è il pianeta più distante. La risposta corretta è quindi il raggio medio (A.). b. Nel grafico qui sotto sono riportate le densità medie degli otto pianeti del sistema solare. La Luna ha densità media di 3,34 kg/dm3. Quale pianeta ha densità media più vicina a quella della Luna? Osserviamo i dati riportati sul grafico. Possiamo osservare come i valori riportati per i pianeti Mercurio, Venere e Terra siano superiori a 5, mentre quelli per Giove, Saturno, Urano e Nettuno siano inferiori a 2. Perciò, per questi pianeti la differenza tra la propria densità media e la densità della Luna è sicuramente superiore a 1 kg/dm3. Il pianeta Marte ha invece una densità leggermente inferiore a 4 kg/dm3, con una differenza rispetto alla densità media lunare inferiore a quella degli altri pianeti. Risposta: Marte 50