Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008
AGENDA Le simulazioni storiche L approccio ibrido Le simulazioni storiche filtrate Le simulazioni Monte Carlo Esercizi 2
derivano il VaR simulando un grande numero di scenari riguardanti la possibile evoluzione futura dei mercati L approccio della simulazione è dunque più dispendioso in termini di tempo e capacità di calcolo ma è spesso più accurato Full valuation Tre caratteristiche principali Logica del percentile Maggiore flessibilità 3
full valuation L approccio varianze-covarianze stima la variazione di valore di un portafoglio attraverso un sistema di coefficienti di sensibilità, solitamente lineari Nei modelli di simulazione il valore di mercato del portafoglio di cui si intende stimare il VaR viene completamente ricalcolato, mediante opportune formule di pricing ( full valuation ) Ad esempio, invece di stimare l effetto di un rialzo dei tassi sul valore di un titolo obbligazionario sulla base della duration modificata si procede a ricalcolare il nuovo prezzo del titolo con il nuovo livello di tassi. L approccio della simulazione richiede di conoscere un opportuna formula di pricing per tutti gli strumenti inseriti nel portafoglio Se le formule di pricing usate sono corrette, i modelli di simulazione non restituiscono variazioni del valore del portafoglio approssimate, ma esatte 4
full valuation azioni tassi materie prime cambi 1. Fattori di rischio: Si genera un elevato numero di scenari relativi a variazioni dei fattori di mercato, basati sulle variazioni passate (simulazione storica) o su una determinata (ad es. normale) distribuzione teorica (simulazione Monte Carlo) 2. Portafoglio: 3. Misure di rischio: Ogni scenario è tradotto in una variazione di valore simulata per il portafoglio della banca, di solito attraverso la logica della full valuation ed un insieme di formule di pricing appropriate. Il VaR (o altre misure di rischio) viene derivato dalla distribuzione delle variazioni di valore simulate del portafoglio, ad esempio individuando l opportuno percentile In linea teorica, è possibile applicare la logica della simulazione e continuare a utilizzare la tecnica dei coefficienti di sensibilità 5
logica del percentile Nei modelli di simulazione, dopo aver generato la distribuzione di probabilità degli N possibili valori futuri del portafoglio, il VaR viene stimato tagliando tale distribuzione empirica in corrispondenza del percentile associato al livello di confidenza desiderato Ad esempio, dati 10.000 valori simulati del portafoglio, il VaR al 95% viene calcolato prendendo il 5 percentile (cioè la 501-esima osservazione partendo dalla peggiore) L utilizzo della distribuzione di probabilità simulata dei valori del portafoglio risolve il problema della non-normalità della distribuzione delle perdite future. La distribuzione simulata può assumere qualsiasi forma Il taglio della distribuzione fa superare i problemi legati alla non monotonicità della relazione tra fattore di mercato e portafoglio. I valori del portafoglio sono ordinati dal migliore al peggiore, indipendentemente dal movimento del fattore di mercato che li ha generati 6
maggiore flessibilità Per tenere in considerazione il problema delle code spesse, in alcuni modelli parametrici viene aumentato arbitrariamente il multiplo della deviazione standard prescelto non costringono a utilizzare una distribuzione normale per modellare le variazioni dei fattori di mercato le simulazioni storiche generano gli scenari relativi ai fattori di rischio a partire dalla distribuzione empirica delle variazioni passate dei fattori di mercato le simulazioni Monte Carlo richiedono invece che venga definita una distribuzione con cui generare le simulazioni. Essa deve rispecchiare le caratteristiche empiriche delle distribuzioni delle variazioni dei fattori di mercato e prestarsi alla generazione di simulazioni casuali 7
maggiore flessibilità Problemi La simulazione Monte Carlo se usata con la distribuzione normale non rispecchia totalmente la distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato. L approccio dello stress testing invece si concentra solo su pochi scenari particolarmente sfavorevoli Non linearità dei payoff Non normalità dei rendimenti di mercato a) Full valuation Caratteristiche dell'approccio di simulazione c) Simulazione con distribuzioni non necessariamente normali b) Approccio Simulazione Monte Carlo del percentile Simulazione storica Con distribuzioni non-normali Con distribuzioni normali Legenda: = risolve il problema; = non risolve il problema 8
Le simulazioni storiche Nel modello di simulazione storica si ipotizza che le potenziali variazioni dei fattori di mercato siano ben rappresentate dalla loro distribuzione empirica si ipotizza che la distribuzione delle variazioni dei fattori di rischio sia stabile nel tempo Principali passaggi di una simulazione storica Fase Attività 1 Selezione di un campione di rendimenti (ad esempio giornalieri) del fattore o dei fattori di mercato rilevanti, relativo a un determinato periodo storico (ad esempio 250 giorni). 2 Rivalutazione della singola posizione o del portafoglio in corrispondenza di ognuno dei valori storici dei rendimenti del fattore di mercato. 3 Ricostruzione della distribuzione empirica di frequenza dei valori della posizione/portafoglio così ottenuti. 4 Taglio della distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato. 5 La differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio rappresenta il VaR 9
Esempio il VaR di una singola posizione POSIZIONE: Opzione call, strike pari a 1.300 e vita residua di tre mesi, sull indice S&P500. Il valore corrente dell opzione è pari a circa 2,30 dollari Il campione storico di riferimento sono 500 rendimenti giornalieri fra il 1 gennaio 2003 e il 28 dicembre 2004. Nella tabella della slide successiva vengono presentati soltanto i primi 20 e gli ultimi 20 dati, a sinistra ordinati cronologicamente mentre a destra dal peggiore al migliore. La sesta colonna indica i valori che l indice S&P500 potrebbe assumere l indomani se, partendo dal valore corrente (1.213,54 dollari) subisse una variazione logaritmica pari a quella indicata nella colonna precedente La settima colonna indica quale sarebbe, dato questo nuovo valore del sottostante, il nuovo valore di mercato dell opzione 10
Valori simulati ($) per la call Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Dati in ordine cronologico Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri Rendimento logaritmico giornaliero del S&P 500 Valore simulato dell indice S&P500 Valore simulato nella call Variazione nel valore della call Rang Data S&P500 o 03/01/2003 908,6 0,0% 1-3,6% 1170,8 0,18-2,11 06/01/2003 929,0 2,2% 2-3,0% 1178,1 0,30-2,00 07/01/2003 922,9-0,7% 3-2,6% 1182,2 0,39-1,90 08/01/2003 909,9-1,4% 4-2,5% 1183,3 0,42-1,88 09/01/2003 927,6 1,9% 5-2,3% 1185,8 0,49-1,80 10/01/2003 927,6 0,0% 6-1,9% 1190,4 0,65-1,65 13/01/2003 926,3-0,1% 7-1,9% 1191,2 0,68-1,61 14/01/2003 931,7 0,6% 8-1,8% 1192,0 0,72-1,58 15/01/2003 918,2-1,5% 9-1,8% 1192,1 0,72-1,58 16/01/2003 914,6-0,4% 10-1,6% 1193,7 0,79-1,50 17/01/2003 901,8-1,4% 11-1,6% 1193,9 0,80-1,50 21/01/2003 887,6-1,6% 12-1,6% 1194,5 0,83-1,47 22/01/2003 878,4-1,0% 13-1,6% 1194,7 0,84-1,46 23/01/2003 887,3 1,0% 14-1,6% 1194,8 0,84-1,46 24/01/2003 861,4-3,0% 15-1,5% 1194,9 0,85-1,45 27/01/2003 847,5-1,6% 16-1,5% 1195,1 0,85-1,44 28/01/2003 858,5 1,3% 17-1,5% 1195,1 0,86-1,44 29/01/2003 864,4 0,7% 18-1,5% 1195,4 0,87-1,43 30/01/2003 844,6-2,3% 19-1,5% 1195,8 0,89-1,41 31/01/2003 855,7 1,3% 20-1,5% 1195,8 0,89-1,40 30/11/2004 1173,8-0,4% 481 1,6% 1233,1 5,44 3,15 01/12/2004 1191,4 1,5% 482 1,6% 1233,1 5,46 3,16 02/12/2004 1190,3-0,1% 483 1,6% 1233,2 5,48 3,18 03/12/2004 1191,2 0,1% 484 1,6% 1233,4 5,51 3,22 06/12/2004 1190,3-0,1% 485 1,7% 1234,7 5,80 3,50 07/12/2004 1177,1-1,1% 486 1,8% 1235,2 5,92 3,63 08/12/2004 1182,8 0,5% 487 1,9% 1236,6 6,26 3,96 09/12/2004 1189,2 0,5% 488 1,9% 1237,1 6,38 4,08 10/12/2004 1188,0-0,1% 489 1,9% 1237,2 6,41 4,11 13/12/2004 1198,7 0,9% 490 1,9% 1237,2 6,41 4,12 14/12/2004 1203,4 0,4% 491 1,9% 1237,3 6,43 4,14 15/12/2004 1205,7 0,2% 492 2,1% 1239,6 7,02 4,72 16/12/2004 1203,2-0,2% 493 2,1% 1239,9 7,11 4,81 17/12/2004 1194,2-0,8% 494 2,2% 1240,7 7,32 5,02 20/12/2004 1194,7 0,0% 495 2,2% 1240,7 7,33 5,03 21/12/2004 1205,5 0,9% 496 2,2% 1240,8 7,36 5,06 22/12/2004 1209,6 0,3% 497 2,3% 1241,4 7,53 5,23 23/12/2004 1210,1 0,0% 498 2,6% 1245,2 8,66 6,36 27/12/2004 1204,9-0,4% 499 3,4% 1255,4 12,23 9,93 28/12/2004 1213,5 0,7% 500 3,5% 1256,5 12,70 10,40 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 A valori estremi dei rendimenti del fattore di mercato corrispondono valori estremi dell opzione: la relazione tra il valore di una call e quello del suo sottostante, anche se non lineare, è monotona 1160,00 1180,00 1200,00 1220,00 1240,00 1260,00 1280,00 Valori simulati ($) per l'indice S&P500 11
-2,5 / -2,0-2,0 / -1,5-1,5 / -1,0-1,0 / -0,5-0,5 / 0,0 0,0 / 0,5 0,5 / 1,0 1,0 / 1,5 1,5 / 2,0 2,0 / 2,5 2,5 / 3,0 3,0 / 3,5 3,5 / 4,0 4,0 / 4,5 4,5 / 5,0 5,0 / 5,5 5,5 / 6,0 6,0 / 6,5 6,5 / 7,0 7,0 / 7,5 7,5 / 8,0 8,0 / 8,5 8,5 / 9,0 9,0 / 9,5 9,5 / 10,0 10,0 / 10,5 10,5 / 11,0 11,0 / 11,5 11,5 / 12,0 12,0 / 12,5 Percemtiale di casi Rischio e valore nelle banche Esempio il VaR di una singola posizione Il VaR (livello di confidenza pari al 99%) è pari a 1,65 dollari sesta variazione negativa più rilevante del valore di mercato dell opzione Se la banca avesse una posizione corta, il VaR andrebbe calcolato utilizzando le variazioni positive del valore di mercato dell opzione. In questo caso il VaR corrispondente al 99% di confidenza è 5,03 dollari 25% 20% I valori di VaR relativi a una posizione lunga sono meno elevati di quelli corrispondenti a una corta. La distribuzione è infatti asimmetrica e presenta una coda destra più pronunciata 15% 10% 5% 0% Variazione di valore della call ($) -1.65 12
Esempio la stima del VaR di portafoglio PORTAFOGLIO: azioni appartenenti in egual misura al FTSE 100, al DAX e all S&P500. Nella tabella della slide successiva vengono riportati i rendimenti giornalieri (100) dal 22 luglio all 8 dicembre 2004, dei tre indici. La colonna Media contiene il rendimento di un portafoglio composto in uguale misura dalle azioni dei tre mercati nazionali. Le prime colonne sono in ordine cronologico, mentre la parte destra della tabella è ordinata con riferimento al rendimento medio dei tre indici Anche in questo caso il VaR corrispondente ai differenti livelli di confidenza è ottenuto seguendo la logica del percentile Per semplicità vengono riportati solo i primi dieci e gli ultimi dieci dati. 13
Esempio la stima del VaR di portafoglio Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri S&P50 S&P50 Data FTSE100 DAX 0 Media Rank FTSE100 DAX 0 Media 22/07/2004-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 1-1,7% -2,7% -1,6% -2,0% 23/07/2004 0,5% -0,1% -1,0% -0,2% 2-1,6% -2,0% 0,3% -1,1% 26/07/2004-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 3-1,1% -2,1% -0,1% -1,1% 27/07/2004 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 4-0,9% -1,1% -1,1% -1,0% 28/07/2004 0,7% -0,2% 0,1% 0,2% 5-0,3% -1,2% -1,4% -1,0% 29/07/2004 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 6-0,8% -1,5% -0,2% -0,8% 30/07/2004-0,1% 0,2% 0,1% 0,0% 7-0,8% -0,9% -0,6% -0,8% 02/08/2004 0,1% -0,8% 0,4% -0,1% 8-0,9% -1,1% -0,3% -0,8% 03/08/2004 0,3% 0,4% -0,6% 0,0% 9-0,9% -1,2% -0,2% -0,8% 04/08/2004-0,5% -1,4% -0,1% -0,7% 10-0,8% -1,3% 0,0% -0,7% 25/11/2004 0,7% 0,8% 0,0% 0,5% 91 1,1% 1,3% 0,0% 0,8% 26/11/2004-0,3% -0,1% 0,1% -0,1% 92 0,5% 1,6% 0,6% 0,9% 29/11/2004 0,2% -0,2% -0,3% -0,1% 93 0,9% 1,0% 0,9% 0,9% 30/11/2004-1,0% -0,5% -0,4% -0,6% 94 0,8% 0,8% 1,3% 1,0% 01/12/2004 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 95 0,9% 1,6% 1,0% 1,2% 02/12/2004 0,3% 0,7% -0,1% 0,3% 96 0,7% 1,4% 1,5% 1,2% 03/12/2004-0,1% -0,2% 0,1% -0,1% 97 1,1% 1,4% 1,4% 1,3% 06/12/2004-0,5% -0,4% -0,1% -0,3% 98 1,0% 1,7% 1,3% 1,3% 07/12/2004 0,1% 0,4% -1,1% -0,2% 99 1,4% 2,1% 0,5% 1,3% 08/12/2004-0,5% -0,3% 0,5% -0,1% 100 1,9% 2,6% 1,5% 2,0% Posizione lunga: VaR (99%)=1,1% VaR(95%)=0,8% Posizione corta VaR (99%)=1,3% VaR (95%)=1,2% 14
Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Il modello di simulazione storica è una tecnica non parametrica: non specifica alcuna forma funzionale della distribuzione delle variazioni dei fattori di mercato e non richiede di stimarne i parametri È possibile applicare l approccio varianze covarianze ai 100 rendimenti dell esempio precedente Deviazione standard dei rendimenti del portafoglio simulato = 0,65% Varianze / covarianze Simulazione storica VaR al 95% - posizione lunga 1,03% 0,85% VaR al 99% - posizione lunga 1,46% 1,12% VaR al 95% - posizione corta 1,03% 1,2% VaR al 99% - posizione corta 1,46% 1,3% Media 0,00% 0,08% Deviazione standard 0,63% 0,63% Asimmetria (skewness) 0,000-0,013 Curtosi in eccesso 0,000 0,868 15
Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze Chi utilizza questa metodologia sostiene che essa abbia una maggior capacità di cogliere le code spesse delle distribuzioni come si vede dalla tabella però, le simulazioni storiche non producono sempre stime di VaR più elevate e dunque più prudenti Confrontando la distribuzione storica dei rendimenti e la distribuzione normale con media nulla e deviazione standard pari a 0,63% si osserva che, per intervalli di confidenza sufficientemente ampi, la distribuzione assume effettivamente code più spesse Mentre variazioni di valore nell ordine del 2% (in più o in meno) sono virtualmente impossibili per la distribuzione normale, esse si sono effettivamente verificate nel passato, anche se in una porzione di casi modesta 16
-2,1%/-1,9% -1,9%/-1,7% -1,7%/-1,5% -1,5%/-1,3% -1,3%/-1,1% -1,1%/-0,9% -0,9%/-0,7% -0,7%/-0,5% -0,5%/-0,3% -0,3%/-0,1% -0,1%/0,1% 0,1%/0,3% 0,3%/0,5% 0,5%/0,7% 0,7%/0,9% 0,9%/1,1% 1,1%/1,3% 1,3%/1,5% 1,5%/1,7% 1,7%/1,9% 1,9%/2,1% Percentale di casi Rischio e valore nelle banche Un confronto simulazioni storiche / approccio varianze - covarianze 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% Le code grasse della distribuzione storica risultano confermate dall indice di curtosi della distribuzione storica (slide 16) La minore o maggiore prudenza di una metodologia rispetto a un altra dipende dalla forma funzionale della distribuzione storica dei rendimenti 0% Variazione nel valore del portafoglio azionario ($) Essendo in questo caso ottenuta come somma della distribuzione dei rendimenti di tre diversi fattori di mercato, non è poi molto diversa da una normale 17
Pregi e limiti delle simulazioni storiche 4 VANTAGGI 1. È una metodologia facilmente comprensibile e comunicabile fra le varie unità di una banca oltre che all'alta Direzione Rappresenta infatti la perdita che si otterrebbe se le condizioni passate dovessero ripetersi in futuro 2.Non viene richiesto di esplicitare alcuna ipotesi circa la forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato. L unica ipotesi (implicita) è che la distribuzione dei rendimenti futuri sia correttamente approssimata dalla distribuzione storica 3.Non è necessario stimare la matrice varianze-covarianze dei fattori di mercato. Le simulazioni storiche catturano la struttura delle correlazioni riflessa nelle variazioni congiunte dei fattori di mercato e ipotizzano che rimangano costanti nel futuro 4. Essendo basate sulla full valuation, consentono di cogliere il rischio di portafogli la cui sensibilità alle variazioni dei fattori di mercato è non lineare o non monotona 18
Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3 LIMITI: 1.Onerosità dei calcoli necessari per rivalutare l'intero portafoglio: possono richiedere tempi troppo lunghi rispetto alle esigenze di quantificazione del rischio connesse all'attività di trading di una banca. Questo limite è venuto diminuendo di importanza in seguito al continuo progresso della potenza di calcolo dei computer 2.Le simulazioni storiche ipotizzano implicitamente la stabilità temporale (stazionarietà) della distribuzione di probabilità. Se la distribuzione (non osservabile) dei rendimenti è eteroschedastica, allora la distribuzione empirica è un ibrido di realizzazioni di variabili diversamente distribuite con scarso significato sia concettuale che operativo segue sulla slide 21 19
Pregi e limiti delle simulazioni storiche 3.Limitatezza delle serie storiche disponibili, specie se l orizzonte temporale prescelto è superiore a un giorno. Ciò si traduce in una scarsa definizione delle code della distribuzione. Incrementare la lunghezza della serie storica di riferimento può essere controproducente perché diviene più probabile che sia violata l ipotesi di stabilità della distribuzione trade-off tra stabilità e rappresentatività Le simulazioni storiche producono misure di VaR poco reattive alle variazioni delle condizioni dei mercati. Il VaR cambia quando si presenta un rendimento superiore (in valore assoluto) al percentile prescelto o quando quest ultimo esce dal campione È un pregio e un difetto il VaR risulta più stabile il VaR può risultare poco aggiornato 20
L approccio ibrido L approccio ibrido, cerca di combinare i pregi dei due approcci, varianzecovarianze e simulazioni storiche Si applicano ponderazioni esponenzialmente decrescenti alla serie dei rendimenti e non viene formulata alcuna ipotesi relativa alla forma funzionale della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato Si utilizza una serie storica di riferimento relativamente lunga ma viene attribuito un peso più elevato ai dati più vicini nel tempo A ogni osservazione passata viene assegnata una ponderazione tanto maggiore quanto più recente è la stessa osservazione (logica simile alle medie mobili esponenziali) i Date n osservazioni storiche, da t-1 a t-n : w t i con n 0 1 i Ponderazione assegnata a ogni osservazione storica i1 21
L approccio ibrido Quanto minore è il valore di lambda, tanto maggiore è la velocità di decrescita della ponderazione Il VaR viene ottenuto tagliando la distribuzione empirica in corrispondenza del valore a cui è associata una ponderazione cumulata corrispondente al livello di confidenza desiderato I singoli rendimenti non contribuiscono alla determinazione del VaR solo in funzione della relativa intensità, ma anche in base relativa lontana/vicinanza temporale Riprendiamo l esempio della slide 15 (portafoglio azionario) e riportiamo i dati di rendimento nella slide successiva A ogni dato di rendimento storico è associata una ponderazione che decresce in modo esponenziale, con un λ pari a 0,94 L ultima colonna riporta la ponderazione cumulata corrispondente a ogni dato di rendimento 22
L approccio ibrido Data Rendimenti logaritmici giornalieri in ordine cronologico t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Data Dati ordinati in base ai rendimenti logaritmici giornalieri t - i Rendimenti simulati del portafoglio Pesi w i ( i /S i ) Pesi cumulati (Sw i ) 22/07/2004 t - 100-1,12% 0,01% 06/08/2004 t - 89-1,99% 0,03% 0,03% 23/07/2004 t - 99-0,20% 0,01% 22/07/2004 t - 100-1,12% 0,01% 0,04% 26/07/2004 t - 98-0,76% 0,01% 25/10/2004 t - 33-1,09% 0,83% 0,87% 27/07/2004 t - 97 1,16% 0,02% 19/11/2004 t - 14-1,04% 2,69% 3,56% 28/07/2004 t - 96 0,20% 0,02% 22/09/2004 t - 56-0,99% 0,20% 3,76% 29/07/2004 t - 95 1,34% 0,02% 12/10/2004 t - 42-0,85% 0,48% 4,23% 30/07/2004 t - 94 0,05% 0,02% 27/09/2004 t - 53-0,78% 0,24% 4,48% 02/08/2004 t - 93-0,12% 0,02% 11/08/2004 t - 86-0,77% 0,03% 4,51% 03/08/2004 t - 92 0,02% 0,02% 26/07/2004 t - 98-0,76% 0,01% 4,52% 04/08/2004 t - 91-0,66% 0,02% 20/10/2004 t - 36-0,70% 0,69% 5,21% 05/08/2004 t - 90-0,46% 0,02% 04/08/2004 t - 91-0,66% 0,02% 5,23% 25/11/2004 t - 10 0,52% 3,45% 01/11/2004 t - 28 0,80% 1,13% 90,01% 26/11/2004 t - 9-0,11% 3,66% 17/11/2004 t - 16 0,89% 2,38% 92,38% 29/11/2004 t - 8-0,12% 3,90% 11/11/2004 t - 20 0,94% 1,86% 94,24% 30/11/2004 t - 7-0,63% 4,15% 10/08/2004 t - 87 0,98% 0,03% 94,27% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 27/07/2004 t - 97 1,16% 0,02% 94,28% 02/12/2004 t - 5 0,32% 4,69% 01/12/2004 t - 6 1,21% 4,41% 98,70% 03/12/2004 t - 4-0,06% 4,99% 16/08/2004 t - 83 1,30% 0,04% 98,73% 06/12/2004 t - 3-0,32% 5,31% 27/10/2004 t - 31 1,34% 0,94% 99,67% 07/12/2004 t - 2-0,18% 5,65% 29/07/2004 t - 95 1,34% 0,02% 99,69% 08/12/2004 t - 1-0,10% 6,01% 01/10/2004 t - 49 2,01% 0,31% 100,00% La ponderazione cumulata subisce un salto da 0,87% a 3,56% in corrispondenza del passaggio dal nono al decimo maggior (in valore assoluto) rendimento negativo. Seguendo un criterio prudenziale: VaR(99%)=1,09% 23
L approccio ibrido In alternativa si può utilizzare un interpolazione lineare: (3,56% 1%) (1% 0,87%) VaR99% 1,09% 1,04% 1,088% (3,56% 0,87%) (3,56% 0,87%) Confronto metodo delle simulazioni storiche e approccio ibrido Simulazione storica Simulazione ibrida VaR al 95% - posizione lunga 0,85% 0,72% VaR al 99% - posizione lunga 1,12% 1,09% VaR al 95% - posizione corta 1,16% 1,17% VaR al 99% - posizione corta 1,34% 1,31% In questo caso l approccio ibrido da luogo, per la posizione lunga, a misure di rischio leggermente più contenute le riduzioni più pronunciate dei fattori di mercato si sono verificate nella parte iniziale del campione 24
L approccio ibrido In definitiva l approccio ibrido combina i pregi delle simulazioni storiche con i vantaggi propri della tecnica delle medie mobili esponenziali Questo approccio dà una prima risposta a due problemi: ipotesi di stabilità ( i.i.d.-ness ) della distribuzione dei rendimenti viene dato più peso alle osservazioni più vicine, provenienti da distribuzioni più simili a quella corrente lunghezza ottimale della serie storica riducendo le distorsioni legate alla violazione dell ipotesi di i.i.d.-ness, permette di usare più dati 25
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Finora abbiamo ipotizzato che l orizzonte temporale su cui si vuole calcolare il VaR sia simile alla frequenza con cui sono stati rilevati i dati del campione storico Si possono anche usare dati giornalieri per un VaR settimanale, trasformando i dati da giornalieri a settimanali Con il metodo del bootstrapping e della generazione di traiettorie si fa in modo che tale passaggio non riduca il numero di osservazioni Il bootstrapping prevede che anziché usare una sola volta ogni rendimento passato, venga estratto dal campione un elevato numero di valori, ogni volta, con re-immissione. 26
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Indichiamo con r 1,t+1 il primo dei rendimenti. È un rendimento giornaliero, mentre l orizzonte del VaR è settimanale (M=7) Il valore assunto il giorno dopo dal fattore di rischio S sarà: 1, t1 Estraiamo con il bootstrapping un nuovo rendimento giornaliero r 1,t+2 il valore assunto da S sarà: S 1, 1 1, 2 r t r S e t t t 1, 2 Se si procede fino a 7 rendimenti giornalieri si determina il valore di S fra una settimana: S S e i1 1, t7 t M r 1, ti Sulla base di questo valore è possibile applicare la logica della full valuation per ottenere il valore del portafoglio della banca in questo primo scenario S S t e r 1, t1 27
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie Per poter costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana, è necessario generare altre N-1 traiettorie, cioè generare, in tutto, NM valori di r A partire da tale distribuzione, sarà possibile identificare il percentile desiderato (per esempio, il primo) ed il relativo VaR La Figura riportata nella slide successiva, creata utilizzando come campione storico i 100 rendimenti giornalieri del portafoglio (slide 15), mostra una singola traiettoria per il valore del portafoglio nell arco di sette giorni consecutivi (primo pannello), cinque traiettorie (secondo pannello), infine cento traiettorie (terzo pannello: NM=700) La generazione di traiettorie con il bootstrapping non simula solo la variazione totale delle variabili di mercato, ma anche il percorso evolutivo che le conduce al valore finale (caratteristica utile per alcuni tipi di opzioni) 28
Il bootstrapping e la generazione di traiettorie 106,0 106,0 104,0 102,0 104,0 102,0 5 traiettorie 100,0 100,0 98,0 1 traiettoria 98,0 96,0 96,0 94,0 94,0 108,0 106,0 104,0 102,0 100,0 98,0 96,0 94,0 92,0 90,0 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 100 traiettorie t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 107,5-108,0 107,0-107,5 106,5-107,0 106,0-106,5 105,5-106,0 105,0-105,5 104,5-105,0 104,0-104,5 103,5-104,0 103,0-103,5 102,5-103,0 102,0-102,5 101,5-102,0 101,0-101,5 100,5-101,0 100,0-100,5 99,5-100,0 99,0-99,5 98,5-99,0 98,0-98,5 97,5-98,0 97,0-97,5 96,5-97,0 96,0-96,5 95,5-96,0 95,0-95,5 94,5-95,0 94,0-94,5 93,5-94,0 93,0-93,5 92,5-93,0 92,0-92,5 92,0 t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 distribuzione di frequenza dei 100 valori del portafoglio in t+7 0% 5% 10% 15% 20% 29
Le simulazioni storiche filtrate Il bootstrapping conduce a risultati corretti se i rendimenti giornalieri sono iid L approccio ibrido rappresenta solo una risposta approssimata ai problemi legati alla stabilità delle distribuzioni dei fattori di rischio Sono stati perciò proposti altri modelli 1 Hull e White nel 1998 suggeriscono di aggiustare i dati storici sulla base delle condizioni attuali (o previste) della volatilità dei fattori di rischio approccio volatility weighted In presenza di un incremento della volatilità, i rendimenti storici vengono corretti al rialzo conducendo a stime di VaR superiori di quelle implicite nella distribuzione storica 30
Le simulazioni storiche filtrate 2 Proposto da Barone-Adesi e Giannopoulos nel 1996 Approccio delle simulazioni storiche filtrate Questo approccio è utilizzato per il controllo del rischio presso la London Clearing House, la cassa di compensazione del mercato dei futures di Londra (LIFFE) Si basa su due idee di fondo: 1.Utilizzo di modelli GARCH per filtrare i dati e rendere i residui i.i.d la volatilità non è costante ma stocastica 2. Utilizzo di tali residui filtrati per generare scenari con una tecnica di bootstrap, tenendo conto della non-normalità dei rendimenti dei fattori di rischio e della loro eteroschedasticità Si può ipotizzare che i rendimenti seguano un semplice GARCH (1,1) rt 2 2 2 t t 0 1 t1 1 t1 31
Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver stimato i coefficienti del GARCH (1,1), i rendimenti storici vengono standardizzati ( filtrati ): rendimenti storici et Se il modello è corretto, questi rendimenti standardizzati sono i.i.d. ed è dunque possibile utilizzarli per la simulazione storica Il bootstrapping viene utilizzato per estrarre casualmente (con re-inserimento) numero N di valori; il campione di partenza non è quello dei rendimenti storici, bensì dei rendimenti filtrati Ognuno degli e i viene quindi moltiplicato per la stima della volatilità condizionata relativa al periodo t+1 per cui si desidera calcolare il VaR Il primo shock ad esempio è / t r t e ˆ 1 1 1 t 1 volatilità condizionata 32
Le simulazioni storiche filtrate Dopo aver generato i valori di r 2, r 3, r N, il portafoglio della banca viene rivalutato in base ad ogni shock, così da ottenere una distribuzione di N possibili valori futuri Il VaR si ottiene tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile desiderato e calcolando la differenza tra tale percentile ed il valore corrente del portafoglio Se l orizzonte di rischio è superiore alla frequenza di calcolo dei rendimenti Si utilizza la versione filtrata del metodo basato sulla generazione di traiettorie r 1,t+1 = e 1,t+1 è il primo rendimento giornaliero generato ( pesato per la volatilità corrente) r1, t Il valore assunto il giorno successivo dal fattore di rischio S sarà: S1, t1 Ste Partendo dal rendimento simulato è anche possibile ottenere una stima di 2 2 2 t2 0 1 t1 1 t1 t 2 1 33
Le simulazioni storiche filtrate Utilizzando nuovamente il bootstrapping è possibile estrarre dal campione un nuovo valore casuale e 1,t+2 Moltiplicando tale valore per la stima della volatilità appena ottenuta, si genera un rendimento simulato coerente con la volatilità prevista per il secondo giorno: r ˆ 1, t 2 1, t 2 2, t 2 t 2 Ripetendo il procedimento per i giorni successivi, si ottiene un vettore di sette rendimenti (r 1,t+1,, r 1, t+7 ), che consente di stimare il possibile valore, tra una 7 settimana, del fattore di rischio: r S 1, t7 Generando altre N-1 traiettorie, si potrà costruire una distribuzione di N possibili valori del portafoglio della banca tra una settimana A partire da tale distribuzione si potrà individuare il percentile desiderato e il VaR e S t e i1 1, ti 34
Le simulazioni Monte Carlo Anche le simulazioni Monte Carlo si basano sulla generazione di dati casuali Partendo dal campione storico si stimano i parametri di una particolare distribuzione di probabilità (normale, t di Student, ecc) dalla quale verranno successivamente estratti gli N valori simulati per il fattore o i fattori di rischio È possibile generare un numero di valori anche superiore al numero di osservazioni presente nel campione storico Deve essere però selezionata la giusta distribuzione di probabilità del fattore di rischio: si tratta dunque di una tecnica parametrica Le simulazioni Monte Carlo sono state originariamente utilizzate in finanza quale strumento per il pricing di prodotti complessi 35
Le simulazioni Monte Carlo Se sono valide alcune ipotesi (completezza dei mercati, assenza di opportunità di arbitraggio, etc.) il prezzo di uno strumento derivato è dato dal valore atteso del suo payoff futuro attualizzato al tasso risk free Il valore atteso può essere calcolato simulando un numero elevato di possibili evoluzioni delle condizioni di mercato. Se il numero di simulazioni è sufficientemente elevato, il valore medio risulta uno stimatore non distorto del vero valore atteso del payoff In termini analitici ciò equivale a stimare in modo approssimato l integrale, pesato per la probabilità, di una funzione V(x 1, x 2, x m ) in uno spazio di dimensione m (maggiore o uguale a uno), pari al numero dei fattori di mercato rilevanti 36
Le simulazioni Monte Carlo Le simulazioni Monte Carlo possono essere utilizzate anche per stimare il VaR La stima del VaR di una posizione sensibile ai rendimenti r di un unico fattore di mercato si compone di 5 fasi: Stima dei parametri (media, deviazione standard, ecc.) della distribuzione f. Scelta della distribuzione di densità di probabilità f(r) che meglio approssima la distribuzione dei rendimenti del fattore di mercato in esame Simulazione di N scenari per il fattore di mercato, partendo dalla distribuzione f. Calcolo della variazione del valore di mercato della posizione per ognuno degli scenari simulati Taglio della distribuzione di probabilità in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato 37
Le simulazioni Monte Carlo Se la distribuzione scelta non rappresenta correttamente le evoluzioni future del fattore di rischio, gli scenari generati e il valore del VaR risulteranno irrealistici La fase 3 risulta particolarmente impegnativa Può essere scomposta in 2 parti, da ripetersi N volte: estrazione di un valore p dalla distribuzione uniforme calcolo del valore r tale che r F 1 (p) r viene così definito in modo tale che la probabilità che si verifichino valori inferiori o pari a r è esattamente p 38
Le simulazioni Monte Carlo - esempio POSIZIONE: Opzione call at the money sull indice CAC40, scadenza 1 anno L indice quota 100 euro e il valore di mercato dell opzione è 9,413 euro SCELTA DELLA DISTRIBUZIONE: distribuzione normale con media μ pari a 0,15% e deviazione standard s pari a 1,5% Mediante un generatore di numeri casuali basato su una distribuzione uniforme [0,1], vengono estratti N valori compresi fra zero e uno A ognuno di tali valori p associa il corrispondente valore r=f -1 (p)=n -1 (p;0,15%,1,5%) Visto che gli elaboratori calcolano l inversa della funzione di ripartizione della distribuzione normale standard, si generano dapprima i valori dalla normale standard e successivamente li si converte secondo la distribuzione voluta. F 1 ( p) N 1 ( p;, ) N 1 ( p) 0,15% N 1 ( p) 1,5% 39
Le simulazioni Monte Carlo - esempio distribuzione uniforme 0 1 p p v N 1 ( p) (I) Un valore di p viene estratto da una distribuzione uniforme (II) p (area ombreggiata) è convertito in un valore distribuito secondo una normale standard, v r F 1 ( p) C t1 v 1 ( p) (III) v = N -1 (p) è convertito in un valore per r, in base a e della vera distribuzione di probabilità f C t S t e r S t1 (IV) Sulla base di x, si simula il fattore di mercato in t+1 e si calcola la variazione di valore della call 40
Le simulazioni Monte Carlo - esempio Scenario n. p (distribuita in modo uniforme) v = N -1 (p) r = F 1 (p) v S t+1 =S t e r c Dc 1 0,663 0,420 0,008 100,78 9,888 0,475 2 0,739 0,639 0,011 101,11 10,093 0,679 3 0,465-0,087 0,000 100,02 9,425 0,012 4 0,301-0,521-0,006 99,37 9,040-0,373 5 0,363-0,349-0,004 99,63 9,191-0,222 6 0,286-0,564-0,007 99,31 9,003-0,411 7 0,397-0,260-0,002 99,76 9,270-0,143 8 0,686 0,484 0,009 100,88 9,947 0,534 9 0,434-0,167-0,001 99,90 9,353-0,060 10 0,600 0,254 0,005 100,53 9,735 0,321 Seconda colonna : estrazione dei numeri casuali dalla distribuzione uniforme Terza colonna: valore v distribuito secondo una normale standard 41
Le simulazioni Monte Carlo - esempio Quarta colonna: valore r che rispetti la distribuzione normale con media=0,15% e deviazione standard =1,5% Quinta colonna: valore al tempo t+1 dell indice CAC40 per ogni tasso di variazione r simulato Sesta colonna: valore dell opzione call in t+1 Settima colonna: differenza tra il valore simulato e il valore di mercato corrente della call La Tabella riporta solo i primi 10 di 1.000 valori simulati Tagliando la distribuzione in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato, si determina il VaR corrispondente ai diversi livelli di confidenza Ad esempio, in base ai dati della tabella, VaR (confidenza 95%)=1,25 euro e VaR (confidenza 99%)=1,77 euro 42
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio Da una singola posizione sensibile ad un singolo fattore di mercato si passa a una posizione o portafoglio sensibile all evoluzione di m fattori di mercato Per la stima del VaR devono essere tenute in considerazione le correlazioni fra i rendimenti di tali fattori Se ci si limitasse a simulare gli N scenari in modo indipendente per ogni fattore di mercato, il risultato sarebbe irrealistico poiché i fattori risulterebbero incorrelati Le cinque fasi della slide 38 vanno dunque modificate: 1. scelta della distribuzione di densità di probabilità congiunta f(r 1,, r m ) che meglio approssima la distribuzione dei rendimenti degli m fattori di mercato in esame; 2. stima dei parametri (medie, varianze e covarianze, ecc.) della distribuzione f; 43
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio 3.simulazione di N scenari per gli m fattore di mercato, partendo dalla distribuzione f; 4.calcolo della variazione del valore di mercato della posizione in corrispondenza di ognuno degli scenari simulati; 5.taglio della distribuzione di probabilità così ottenuta in corrispondenza del percentile relativo al livello di confidenza desiderato. Come si può notare, deve essere specificata e parametrizzata una distribuzione di probabilità congiunta Particolarmente importante è la matrice di varianze e covarianze (Σ). Essa dovrà dapprima essere scomposta in due matrici triangolari A e A (una la trasposta dell altra), in modo che: AA = Σ È sempre possibile ottenere le due matrici A e A da una matrice di varianze e covarianze corretta (ad esempio con la scomposizione di Cholesky) 44
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio Anziché intervenire su ogni singolo valore v i, moltiplicandolo per la relativa deviazione standard e aggiungendo la relativa media (come si farebbe per una singola posizione), tutti e m i valori vengono riuniti in un vettore v Da v si ricava r: r A v μ il vettore degli m rendimenti medi dei fattori di mercato Il vettore r è solo uno degli N scenari. L operazione viene ripetuta fino ad ottenere N scenari. Una volta costruita l intera distribuzione dei possibili valori futuri del portafoglio il VaR viene calcolato secondo la logica del percentile 45
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio PORTAFOGLIO: posizione lunga su una call sull indice CAC40 + posizione corta su una call at the money sull indice tedesco DAX, entrambi con scadenza 1 anno SCELTA DELLA DISTRIBUZIONE DAX: distribuzione normale con media 0,18% e deviazione standard 1,24% Coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due indici = 0,75 La correlazione positiva e il fatto che le posizioni sono una corta e l altra lunga implica un effetto di hedging Nella slide successiva viene condotta una simulazione Monte Carlo senza considerare la correlazione (ipotesi di rendimenti indipendenti) Risultati altamente irrealistici 46
r 2 - rendimenti del DAX Rischio e valore nelle banche Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio 6% 4% 2% 0% -2% -4% -6% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% r 1 - rendimenti del CAC40 p 1 (con distribuzio ne uniforme) Call sull indice CAC40 r 1 = F 1 (p 1 ) N -1 (p ) 1 p 2 (con distribuzio ne uniforme) Call sull indice DAX r 2 = F 1 (p 2 ) N -1 (p 2 ) 2 2 Scenari o n. v N - 1 (p 1 ) v 2 N - 1 (p 2 ) 1 0,848 1,029 0,017 0,464-0,091 0,000 2 0,678 0,463 0,008 0,112-1,214-0,017 3 0,165-0,975-0,013 0,227-0,748-0,010 4 0,674 0,451 0,008 0,159-0,997-0,013 5 0,967 1,834 0,029 0,616 0,296 0,006 6 0,597 0,245 0,005 0,263-0,633-0,008 7 0,816 0,900 0,015 0,595 0,240 0,005 8 0,253-0,664-0,008 0,199-0,845-0,011 9 0,057-1,582-0,022 0,210-0,806-0,011 10 0,384-0,294-0,003 0,158-1,004-0,014 990 0,592 0,232 0,005 0,657 0,403 0,008 991 0,954 1,682 0,027 0,515 0,039 0,002 992 0,690 0,497 0,009 0,903 1,298 0,021 993 0,628 0,327 0,006 0,808 0,870 0,015 994 0,237-0,718-0,009 0,690 0,495 0,009 995 0,520 0,049 0,002 0,172-0,946-0,013 996 0,491-0,023 0,001 0,683 0,476 0,009 997 0,949 1,634 0,026 0,965 1,814 0,029 998 0,754 0,688 0,012 0,683 0,476 0,009 999 0,709 0,551 0,010 0,987 2,227 0,035 1000 0,696 0,512 0,009 0,397-0,260-0,002 47
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio La generazione degli scenari richiede in realtà di tenere in considerazione la correlazione: Σ 2 2 CAC CAC, DAX 2 CAC, DAX 2 DAX CAC, DAX 2 CAC CAC DAX CAC, DAX CAC 2 DAX DAX 0,023% 0,014% 0,014% 0,015% matrice di varianze e covarianze Σ 0,023% 0,014% 0,014% 0,015% 1,500% 0,930% 0,000% 1,500% 0,820% 0,000% 0,930% 0,820% AA Scomposizione di Cholesky μ 0,15% 0,18% Vettore delle medie 48
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio Vettore p j Vettore v j (incorrelato) Vettore r j = Av j + (correlato) Fattore di mercato 1 (CAC40) Fattore di mercato 2 (DAX) Portafoglio p 2 v 1 v 2 S 1,t+1 S 2,t+1 P = DP = Dc 1 - j p 1 N -1 (p 1 ) N -1 (p 2 ) r 1 r 2 =S 1,t e r1 c 1 Dc 1 =S 2,t e r2 c 2 Dc 2 c 1 - c 2 Dc 2 1 0,426 0,683-0,187 0,475 0,003 0,006 100,31 9,602 0,188 100,57 7,837 0,352 1,765 0,540 2 0,254 0,368-0,662-0,337-0,012-0,001 98,85 8,738-0,676 99,90 7,426-0,059 1,311-0,734 3 0,651 0,732 0,388 0,619 0,013 0,007 101,32 10,218 0,805 100,69 7,911 0,426 2,307 1,230 4 0,785 0,245 0,789-0,691 0,007-0,004 100,69 9,833 0,420 99,61 7,252-0,233 2,581 0,187 5 0,446 0,354-0,135-0,375-0,004-0,001 99,60 9,175-0,238 99,87 7,408-0,077 1,767-0,316 6 0,883 0,074 1,190-1,446 0,006-0,010 100,59 9,772 0,358 99,00 6,889-0,596 2,883-0,238 7 0,917 0,076 1,387-1,430 0,009-0,010 100,91 9,963 0,550 99,01 6,897-0,588 3,067-0,039 8 0,615 0,469 0,293-0,079 0,005 0,001 100,52 9,726 0,313 100,12 7,556 0,071 2,171 0,384 9 0,882 0,452 1,187-0,122 0,018 0,001 101,83 10,543 1,130 100,08 7,534 0,049 3,009 1,179 10 0,109 0,672-1,232 0,446-0,013 0,005 98,72 8,666-0,748 100,55 7,822 0,337 0,844-0,411 990 0,053 0,687-1,614 0,487-0,018 0,006 98,20 8,367-1,047 100,58 7,843 0,358 0,524-0,689 991 0,372 0,035-0,326-1,808-0,020-0,013 98,00 8,255-1,159 98,71 6,719-0,766 1,536-1,924 992 0,573 0,787 0,184 0,797 0,012 0,008 101,17 10,129 0,716 100,84 8,003 0,518 2,126 1,234 993 0,735 0,385 0,627-0,292 0,008-0,001 100,82 9,912 0,499 99,94 7,449-0,036 2,463 0,462 994 0,982 0,385 2,096-0,291 0,030-0,001 103,07 11,339 1,926 99,94 7,449-0,036 3,890 1,890 995 0,497 0,745-0,007 0,660 0,008 0,007 100,76 9,872 0,458 100,72 7,932 0,447 1,940 0,905 996 0,238 0,124-0,714-1,153-0,020-0,008 98,03 8,270-1,144 99,24 7,028-0,457 1,242-1,600 997 0,913 0,534 1,357 0,084 0,023 0,002 102,29 10,834 1,421 100,25 7,638 0,153 3,197 1,574 998 0,669 0,069 0,438-1,481-0,006-0,010 99,43 9,076-0,337 98,97 6,873-0,612 2,204-0,949 999 0,686 0,744 0,485 0,655 0,015 0,007 101,50 10,332 0,918 100,72 7,930 0,445 2,402 1,363 1000 0,941 0,894 1,566 1,251 0,037 0,012 103,73 11,777 2,363 101,21 8,242 0,757 3,535 3,120 49
r 2 - rendimenti del DAX Rischio e valore nelle banche Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio 5% 4% 3% 2% 1% 0% -1% -2% -3% -4% -5% -5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% r 1 - rendimenti del CAC40 50
Le simulazioni Monte Carlo il VaR di portafoglio Come si nota dalla tabella e dalla figura riportate nelle slide 49 e 50, la correlazione positiva fra i due indici di borsa è ora pienamente recepita dai dati Dato il segno delle due posizioni (una corta e l altra lunga), la correlazione positiva si traduce in una correlazione negativa fra gli utili e le perdite connessi alle due posizioni. L effetto di hedging si può notare facilmente nel calcolo del VaR nel caso di indipendenza e nel caso in cui la correlazione viene tenuta in considerazione: Independenti Correlati al 75% VaR at 99% -3,280-1,312 VaR at 95% -2,172-0,917 51
Le simulazioni Monte Carlo vantaggi e limiti 1. Full valuation 4 VANTAGGI 2. Efficienza della procedura di calcolo: il tempo necessario per effettuare le simulazioni richieste cresce linearmente e non esponenzialmente al crescere del numero di variabili considerate, a differenza di altre procedure 3. Può essere utilizzato con qualunque distribuzione di probabilità dei rendimenti dei fattori di mercato 4. Può essere utilizzato per generare traiettorie (non solo il valore finale ma anche il percorso che lo ha determinato). Ciò risulta utile per gli strumenti il cui payoff dipende anche dai valori intermedi 52
Le simulazioni Monte Carlo vantaggi e limiti 2 LIMITI 1. Diversamente dalle simulazioni storiche, è necessaria una stima della matrice delle varianze-covarianze dei fattori di mercato 2. Pur essendo più efficiente di altre procedure numeriche, risulta comunque onerosa, in termini di tempo e di risorse informatiche 53
La costruzione di prove di carico stress test Invece di stimare l intera distribuzione degli eventi possibili, è possibile concentrarsi sugli effetti, in termini di perdite potenziali, connessi a eventi estremi Il valore di mercato del portafoglio viene rivalutato (full-valuation) alle condizioni di mercato proprie di scenari estremamente pessimistici Le variazioni dei fattori di mercato vengono simulate in modo prevalentemente arbitrario e soggettivo. Solitamente: 1. Si replicano i più forti shock di mercato verificatisi in passato (ad esempio: crollo dei mercati azionari dell ottobre 1987, dell aprile 2000 e del settembre 2001, crollo dei mercati valutari del settembre 1992 e dei mercati obbligazionari dell aprile 1994) 2. Si utilizzano multipli elevati della volatilità storica (factor push analysis) 3. Si fanno ipotesi del tutto soggettive prove di carico o stress test 54
La costruzione di prove di carico factor push analysis Le tecniche di factor push analysis (FPA) suggeriscono di spingere i singoli fattori di mercato verso la direzione più sfavorevole di un valore pari ad un certo numero di volte la relativa deviazione standard È relativamente facile da implementare e tende ad identificare il peggior evento possibile 3 LIMITI 1. Non è detto che le perdite più consistenti siano associate alle variazioni più pronunciate dei fattori di mercato 2. Non si tengono generalmente in considerazione le correlazioni fra i diversi fattori di mercato 3. I risultati di perdita potenziale non sono associabili a una specifica probabilità di accadimento 55
La costruzione di prove di carico ipotesi soggettive Questa metodologia è stata adottata dal Derivatives Policy Group Si tratta di shock elevati, ad esempio: spostamenti paralleli della curva dei rendimenti di 100 bp variazione dell inclinazione della curva dei rendimenti di più o meno 25 pb variazioni degli indici di borsa di 10 punti percentuali variazioni dei tassi di cambio di 6 punti percentuali variazioni della volatilità di più o meno 20 punti percentuali Le prove di stress proposte dal DPG sono unidimensionali (i fattori di mercato sono stressati singolarmente) Le prove multidimensionali si basano sulla simulazione congiunta di variazioni pronunciate di più fattori di mercato congiuntamente scenari semplici scenari predittivi 56
La costruzione di prove di carico scenari semplici Scenari semplici Scenari predittivi Un certo numero di fattori di rischio viene stressato, modificandone il valore verso livelli estremi, mentre i restanti fattori vengono lasciati invariati. Ad esempio: svalutazione del 50% dell euro sul dollaro e del 40% sulla sterlina + riduzione dei tassi di mercato monetario euro del 3% + ripresa del 30% dei principali indici di borsa europei (le altre variabili rimangono invariate) Si formulano ipotesi arbitrarie sulla possibile evoluzione di un certo sottoinsieme di variabili di mercato e si correggono anche i restanti fattori di rischio sulla base della loro correlazione con le prime. 57
La costruzione di prove di carico Le prove di stress non rappresentano una modalità di determinazione del VaR di un portafoglio Non è possibile associare ad una perdita il corrispondente livello di confidenza Le prove di stress dovrebbero integrare, piuttosto che sostituire, i modelli VaR che, fondati su dati storici relativamente recenti non possono cogliere quegli eventi estremi che si verificano con frequenza limitata Questo utilizzo complementare è richiesto dal Comitato di Basilea per le banche che intendono usare i propri modelli interni di risk management per la determinazione del requisito patrimoniale obbligatorio 58
Le prove di stress - pregi 5 VANTAGGI 1. Sono di semplice applicazione e facilmente comunicabili ai vertici aziendali 2. Consentono di superare le ipotesi restrittive dei modelli VaR (ad esempio: forma e stazionarietà della distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato) 3. Consentono di simulare episodi di crisi di liquidità (come quella del 1998) 4. Permettono di simulare scenari estremi per più fattori di mercato congiuntamente 5. Possono essere costruite su misura per ogni portafoglio di negoziazione È importante che le prove di stress siano seguite da azioni concrete: L identificazione di un area di vulnerabilità deve essere seguita da provvedimenti come ad esempio l acquisto di protezione la modifica della composizione del portafoglio 59
I modelli per la stima della volatilità Esercizi/1 1. Una banca europea calcola il VaR associato alla sua posizione complessiva in dollari sulla base di un VaR parametrico e dell approccio delle simulazioni storiche. I due risultati sono differenti (rispettivamente 100.000 e 102.000), nonostante siano basati sulla stessa serie storica di dati e sullo stesso livello di confidenza. Considerate le seguenti affermazioni: I. La distribuzione delle variazioni percentuali del cambio euro/dollaro non è normale; II. la distribuzione delle variazioni percentuali del cambio euro/dollaro è asimmetrica; III.la distribuzione delle variazioni percentuali del cambio euro/dollaro ha una curtosi superiore alla distribuzione normale. 60
I modelli per la stima della volatilità Esercizi/1 Quali, tra esse, sono certamente corrette? a) Solo la I b) Tutte e tre c) Solo la I e la II d) Solo la I e la III 61
I modelli per la stima della volatilità Esercizi/2 2. Considerate le seguenti affermazioni sulle simulazioni Monte Carlo: I. le simulazioni Monte Carlo sono più accurate dell approccio parametrico quando il valore del portafoglio della banca è una funzione lineare dei fattori di rischio e i rendimenti dei fattori di rischio sono normalmente distribuiti; II. le simulazioni Monte Carlo sono più veloci dell approccio parametrico; III.le simulazioni Monte Carlo possono essere rese più precise tramite l approccio delta/gamma; 62
I modelli per la stima della volatilità Esercizi/2 IV.le simulazioni Monte Carlo richiedono l ipotesi che i rendimenti dei fattori di rischio siano incorrelati tra loro, perché diversamente non è possibile calcolare la fattorizzata con il metodo di Cholesky. Con quali di esse siete d accordo? a) Solo la II; b) solo la III; c) la I e la IV; d) nessuna. 63
I modelli per la stima della volatilità Esercizi/3 3. Dopo un breve periodo di forti variazioni dei prezzi di mercato, una banca che adotta l approccio delle simulazioni storiche per stimare il VaR decide di passare ad un modello basato sull approccio ibrido, adottando un decay factor di 0,95. Quale tra le seguenti affermazioni è corretta? a) è probabile che il nuovo modello conduca ad un incremento del VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,98; b)è probabile che il nuovo modello conduca ad un decremento del VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,98; c) è probabile che il nuovo modello conduca ad un incremento del VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,90; d)è probabile che il nuovo modello conduca ad un decremento del VaR, che può essere mitigato portando il decay factor a 0,90. 64