I QUADRILATERI Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati. Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro variandone le proprietà fondamentali. Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA : 1. TEOREMA DELLA FORMA - il quadrilatero è una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono tutti i quadrilateri conosciuti;. TEOREMA DELLE DIAGONALI - il quadrilatero ha due diagonali; d tot = n(n ) : = 4(4 ) : =. TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella degli angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 60 ; S I = (n ) 180 = (4 ) 180 = 60 S E = 60 1. IL TRAPEZIO E un quadrilatero con lati paralleli. AH = proiezione del lato obliquo lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore) lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI) diagonali differenti tra loro e non perpendicolari 4 angoli differenti tra loro TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari. Â + ˆD = ˆB + Ĉ = 180 Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione: trapezio RETTANGOLO trapezio ISOSCELE - un lato è perpendicolare alle basi (AD) - i lati obliqui sono congruenti (AC = BD) - HB proiezione del lato obliquo - le diagonali sono congruenti (AD = BC) sulla base maggiore - gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (A = B) e (D = C) - le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)
Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO RETTANGOLO: P = B + b + l + h b = B HB B = b + HB HB = B b Le formule di calcolo sono particolari per il TRAPEZIO ISOSCELE: P = B + b + l l = P ( B + b ) b = B AH B = b + AH AH = B b PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI ES 1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di cm e il lati obliqui che misurano ciascuno 1 cm. Sapendo che la base maggiore è 5 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore. P ABCD = cm AD = BC = 1 cm AB = 5 CD? AH = KB AB + CD = P AD = (1 + 1) = 48 cm n seg = 5 + = 8 seg SU = (AB + CD) : n seg = 48 : 8 = 6 cm AB = SU 5 = 6 5 = 0 cm CD = SU = 6 = 18 cm AH = B b 0 18 = = 6 cm ES : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 0 cm. Sapendo che la base maggiore supera la minore di 8 cm e che una è 1 dell altra, calcola l altezza del trapezio. P ABCD = 50 cm BC = 0 cm AB CD = 8 cm CD = 1 AB n seg = 1 = seg SU = (AB CD) : n seg = 8 : = 4 cm AB = SU = 4 = 1 cm CD = SU 1 = 4 1 = 4 cm AD = P (AB + BC + CD) = 50 (1 + 8 + 4) = 14 cm? AD PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI ES : Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i 5 dell altro. A + D = B + C = 180 A + D = 180 n seg = 5 + = 8 seg D = 5 A SU = (A + D) : n seg = 180 : 8 = 0 A = SU 5 = 0 5 = 11 0 D = SU = 0 = 6 0? A; D
. IL PARALLELOGRAMMA E un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli. DH = altezza del lato AB DK = altezza del lato BC lati paralleli uguali dette BASI altri lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI diagonali differenti tra loro e non perpendicolari angoli opposti uguali TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari. Â + ˆD = ˆD + Ĉ = ˆB + Ĉ = Â + ˆB =180 Le formule di calcolo sono: P = (b + l) b = P l l = P b PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI ES 1 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che il lato obliquo misura 15 cm, calcola la misura della base. P ABCD = 96 cm BC = 15 cm AB = P l = 96? AB 15 = cm ES : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5 del suo consecutivo, calcola la misura dei lati del parallelogramma. P ABCD = 96 cm AB = 5 BC? AB? BC AB + BC = P: = 96 : = 48 cm n seg = 5 + = 8 seg SU = (AB + BC) : n seg = 48 : 8 = 6 cm AB = SU 5 = 6 5 = 0 cm CD = SU = 6 = 18 cm PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI ES : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono uno i dell altro. A + B = 180 A + B = 180 n seg = + = 9 seg A = B SU = (A + D) : n seg = 180 : 9 = 0 A = SU = 0 = 40 B = SU = 0 = 140? A = C? B = D
. IL RETTANGOLO E un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli. I lati consecutivi sono perpendicolari lati paralleli e uguali che sono detti BASI lati paralleli e uguali che sono dette ALTEZZE diagonali uguali tra loro e non perpendicolari che si dividono a metà a vicenda formando 4 segmenti uguali 4 angoli uguali di 90 Le formule di calcolo sono: P = (b + h) b = P h h = P b PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI RETTANGOLI ES 1 : Un rettangolo ha il perimetro di 55 cm. Sapendo che la base misura 1 cm, calcola la misura dell altezza del rettangolo. P ABCD = 55 cm CD = 1 cm BD = P b = 55 1 = 6,5 cm? BD ES : Un rettangolo ha il perimetro di 6 cm. Sapendo che la base è 5 dell altezza, calcola la misura dei lati del rettangolo. P ABCD = 6 cm CD = 5? AB? BC BD CD + BD = P: = 6 : = 18 cm n seg = 5 + = 1 seg SU = (CD + BD) : n seg = 18 : 1 = 1,5 cm CD = SU 5 = 1,5 5 =,5 cm BD = SU = 1,5 = 10,5 cm ES : Un rettangolo ha il perimetro di 11 cm. Sapendo che la differenza della base e dell altezza misura 5 cm, calcola le dimensioni del rettangolo. P ABCD = 11 cm CD - BD = 5 cm? CD? BD CD + BD = P : = 11 : = 56 cm BD = S D = 56 5 = 10,5 cm CD = S BD = 56 10, 5 = 45,5 cm
4. IL ROMBO E un quadrilatero equilatero con gli angoli opposti uguali. 4 lati uguali e a due a due paralleli diagonali differenti, ma perpendicolari che si dividono a metà a vicenda gli angoli opposti uguali Le formule di calcolo sono: P = l 4 l = P 4 TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI: i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari. Â + ˆD = ˆD + Ĉ = ˆB + Ĉ = Â + ˆB = 180 TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60 ciascuno, allora la diagonale minore è congruente al lato TEOREMA DELL ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l altezza perpendicolare al lato. PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI ES 1 : Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i dell altro. A + B = 180 A + B = 180 n seg = + = 9 seg A = B SU = (A + D) : n seg = 180 : 9 = 0 A = SU = 0 = 40 B = SU = 0 = 140? A = C? B = D ES : Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60 ciascuno e sapendo che la somma della diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è dell altra. AC + BD = 54 cm BD = AC CD = BD n seg = + = 5 seg SU = (AC + BD) : n seg = 54 : 5 = 10,8 cm BD = SU = 10,8 = 1,6 cm AC = SU = 10,8 =,4 cm? P ABCD P ABCD = P = l 4 = 10,8 4 = 86,4 cm
5. IL QUADRATO E un quadrilatero equilatero ed equiangolo 4 lati uguali e quelli opposti paralleli diagonali uguali tra loro e perpendicolari che si dividono a metà a vicenda e formano 4 segmenti uguali 4 angoli uguali di 90 Le formule di calcolo sono: P = l 4 l = P 4