La matematica dove meno te l aspetti Realizzato da Elena Morano, II B Liceo scientifico P. Mazzone Roccella Jonica, a.s. 2015-2016
LA SEZIONE AUREA Assegnato il segmento AB, dicesi parte aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente. Facendo riferimento alla figura, ciò significa che il quadrato che ha per lato il segmento A è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni i segmenti C e B. A²=B C Di conseguenza C:A=A:B
COSTRUZIONE DELLA SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO Da un segmento AB, si tracci la perpendicolare OB ad AB passante B congruente a metà segmento Si disegni la circonferenza di centro O e raggio OB Partendo da A, si delinei una retta passante per O che individui sulla circonferenza i punti C e D Con centro in A e raggio AC, si tracci un arco di circonferenza che individui su AB il punto E. Il segmento AE è la sezione aurea di AB.
DIMOSTRAZIONE DELLA SEZIONE AUREA CON IL TEOREMA DI PITAGORA Il triangolo AOB è retto in B per costruzione, pertanto AO²=AB²+OB². Sempre per costruzione OB= ½ AB, quindi AO²=AB²+(AB/2)². Dalla quale, essendo AO =AC+CO = AE+OB = AE+AB/2 si ottiene: (AE+AB/2)² = AB²+(AB/2)² Sviluppando i quadrati AE²+(AB/2)²+(AE AB) = AB²+(AB/2)² Dopo brevi passaggi si arriva a AE² = AB²-(AE AB) Quindi AE² = AB(AB-AE) Tenendo conto che AB-AE = EB si ha che AE² = AB EB Che si può scrivere sotto forma di proporzione AB:AE=AE:EB
DIMOSTRAZIONE DELLA SEZIONE AUREA MEDIANTE IL TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE Secondo il teorema della secante e della tangente, AD:AB=AB:AC. Applicando la proprietà dello scomporre: (AD-AB):AB=(AB-AC):AC Poiché AB=CD per costruzione, risulta AD-AB=AC Inoltre, AC=AE, AD-AB=AC=AE e AB-AC=EB Sostituendo nella proporzione i valori corrispondenti si ottiene: AE:AB=EB:AE Infine, invertendo i medi con gli estremi AB:AE=AE:EB Ciò dimostra che AE è la sezione aurea di AB.
NUMERO AUREO (φ) La prima e chiara definizione di φ compare nell opera Gli Elementi di Euclide. Se il segmento A è sezione aurea di C, vale la proporzione C:A=A:B. Indichiamo con L la misura di C e con X la misura di A: B=L-X. Sostituiamo: L-X:X=X:L X²=L(L-X) Da cui si ottiene l equazione di secondo grado X²+LX-L²=0 le cui soluzioni in x sono (-L- 5)/2 NON ACCETTABILE A/C = L( 5-1)/2 = 0,618033 C/A = 2/L( 5-1) = 1,618033 L( 5-1)/2 Il rapporto fra un segmento e la sua sezione aurea viene chiamato NUMERO AUREO e si indica con φ.
PARTICOLARITA DEL NUMERO AUREO Il numero φ è irrazionale, cioè un numero decimale illimitato e aperiodico. Esso gode di numerose proprietà: Φ è l unico numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando 1 a φ stesso φ²=φ+1 (φ soddisfa l equazione di secondo grado x²+x-1=0) Φ è l unico numero positivo il cui inverso si ottiene sottraendo 1 a φ stesso Φ φ = -1 (1+ 5)/2 (1-5)/2 Φ+φ =1 (1+ 5)/2 +(1-5)/2 Φ venne descritto nei minimi particolari dal frate matematico Luca Pacioli in un trattato dal nome De Divina Proportione. L aggettivo divina si giustifica perché esso ha diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perchè sono necessari tre segmenti per la sua costruzione, è invariabile ed è indefinibile in quanto irrazionale.
PARTE AUREA DELLA PARTE AUREA La parte aurea della parte aurea di un segmento non è altro che la parte di segmento restante. Eccone la dimostrazione: Se A è la sezione aurea di C, allora vale la proporzione C:A=A:B Per la proprietà dello scomporre, la proporzione può assumere la forma di (C-A):A=(A-B):B C-A non è altro che B, quindi B:A=(A-B):B A:B=B:(A-B) Il segmento B è medio proporzionale tra la sezione aurea e la differenza tra la sezione aurea e B stesso, di conseguenza si può affermare che B sia la sezione aurea della sezione aurea. Inoltre, per trovare l intero segmento avendo solo la parte aurea di quest ultimo, basterà trovare la sezione aurea della sezione aurea e sommarla ad essa.
IL RETTANGOLO AUREO Il rettangolo aureo è un rettangolo il cui rapporto tra il lato maggiore e quello minore è uguale a φ. Si vengono a creare così due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste alcun sottomultiplo comune. Si costruisce dapprima un quadrato, il cui lato corrisponderà al lato minore del rettangolo. Si trova poi il punto medio di un lato e si punta su di esso un compasso con apertura sino a un vertice non adiacente del quadrato. Il punto nel quale la circonferenza così determinata interseca il prolungamento del lato determina il secondo estremo del lato
RETTANGOLO AUREO IN NATURA questa figura di volto di donna si possono individuare numerosi rapporti aurei: A/a: rapporto tra altezza e larghezza del viso B/b: tra la posizione della linea degli occhi rispetto a mento e fronte C/c: tra la posizione della bocca rispetto al mento e agli occhi D/d: tra l altezza e la larghezza del naso E/e: tra la lunghezza e l altezza della bocca F/f: tra la larghezza degli occhi e la loro distanza H/h: tra la distanza degli occhi e la loro distanza dal centro di simmetria
RETTANGOLO AUREO IN ARTE Leonardo Da Vinci, che aveva disegnato alcune illustrazioni del rettangolo aureo per il trattato De Divina Proportione di Luca Pacioli, fece un uso consapevole di questo particolare quadrilatero anche le sue opere. Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato: nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso nell area che va dal collo al polso della mano destra Nell area che va dalla scollatura dell abito fino a sotto le mani.
RETTANGOLO AUREO IN ARTE Fidia fu l artista chiamato da Pericle che, insieme con Ictino e Callicrate, progettò il Partenone. Il tempio appare armonioso alla vista perché può essere inscritto in un rettangolo aureo. Molte decorazioni dell architrave sono anch esse inscrivibili in rettangoli aurei.
RETTANGOLO AUREO IN $$ Le carte di pagamento (bancomat e carte di credito) e in generale i tesserini plastificati in formato "badge" (86x54mm) sono ottime approssimazioni di rettangoli aurei. L'arrotondamento per difetto al millimetro pari è stato fissato per facilitarne la produzione standardizzata, sebbene la misura più perfetta sarebbe stata 87,37x54 oppure 86x53,15.
LA SPIRALE AUREA La spirale aurea è una spirale basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti all interno di un rettangolo aureo. Se all interno del rettangolo aureo si costruisce un quadrato avente come lato il lato minore del rettangolo, la figura rimanente sarà anch essa un rettangolo aureo.
SPIRALE AUREA IN NATURA Nella struttura della conchiglia del Nautilus, un mollusco che popola da miliardi di anni la Terra, si può riconoscere la presenza della sezione aurea: la sua conchiglia cresce aumentando le proprie camere e sigillando quelle vecchie perché diventate troppo piccole mantenendo sempre la forma a spirale aurea. Il falco pellegrino durante la caccia compie una traiettoria a spirale aurea per abbattersi sulla preda.
SPIRALE AUREA IN NATURA Immagini dei cosiddetti Crop Circles (cerchi nel grano). La suggestione è intricante: gli alieni conoscono la matematica?!
SPIRALE AUREA IN NATURA La spirale aurea si può osservare dappertutto, dal mondo infinitamente piccolo Organismi unicellulari costituenti il plancton Galassia a spirale barrata al mondo infinitamente grande.
TRIANGOLO AUREO Dato un triangolo isoscele ABC i cui angoli alla base misurano 72 ciascuno, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto in due segmenti di cui il più grande è sezione aurea dell intero lato. 36 108 72 Il triangolo ABC è simile al triangolo BDC perché hanno gli angoli uguali. Essendo simili avranno i lati in proporzione, quindi AC:BC=BC:CD Essendo BC=BD=AD avremo AC:AD=AD:CD 36 36 72 In conclusione, essendo AD medio proporzionale tra AC e CD, si può affermare che AD sia la sezione aurea di AC.
SIAMO FORMATI DA TRIANGOLI AUREI La ricostruzione al computer di una sezione trasversale di DNA produce una figura inscrivibile in un decagono regolare. Sezione trasversale del DNA al microscopio Il decagono è formato a sua volta da 10 triangoli aurei poiché hanno i due angoli alla base di 72 e quello al vertice di 36
IL PENTAGONO STELLATO Il pentagono regolare con cinque lati e cinque angoli uguali che racchiude dentro di se cinque triangoli aurei e forma una stella a cinque punte venne chiamato dai pitagorici pentagramma. Il pentagono stellato è strettamente collegato alla sezione aurea o numero d oro : il rapporto tra una qualsiasi diagonale del pentagono ed il lato è proprio la sezione aurea: EB/AB = ( 5 + 1) / 2 = 1,618033988
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI Leonardo Fibonacci, durante il suo soggiorno a Pisa di Federico II, prese parte ad un torneo tra abachisti e algoritmisti ai queali venivano proposti problemi che implicavano calcoli complessi. Il questito era il seguente: Quante coppie di conigli si ottengono dopo dodici mesi posto che ogni coppia dia alla luce una nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?. La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 La definizione della successione è: Fib(0)=1 Fib(1)=1 Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2) Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da equazioni dette ricorrenti.
SUCCESSIONE DI FIBONACCI E φ Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero 1.61803398874989.. 2/1 2 34/21 1,61905 3/2 1,5 55/34 1,61765 5/3 1,6666 89/55 1,61818 8/5 1,6 144/89 1,61798 13/8 1,625 233/144 1,61806 21/13 1,61538 377/233 1,61803
Conclusioni: È uno tra i numeri più misteriosi e allo stesso tempo affascinanti esistenti. La sua presenza in natura dimostra che niente di ciò che ci circonda è casuale. Venne e viene usato in pittura, scultura e architettura perché le misure in rapporto aureo vengono identificate come armoniose dall occhio umano. I matematici sostengono che φ sia di un h migliore del π! Il numero aureo venne indicato con la lettera greca Phi in onore di Fidia, che utilizzò consciamente questa proporzione nelle sue opere.