Il rettangolo aureo Divisione di un segmento in media ad estrema ragione

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1 Il rettangolo aureo Divisione di un segmento in media ad estrema ragione La forma dei rettangoli e numero aureo - Molti oggetti rettangolari di uso quotidiano, come le tessere, hanno dimensioni simili e proporzionati in modo aureo (o in modo molto vicino). Non è una casualità. - Per scoprire se due rettangoli sono simili basta sovrapporli facendo coincidere i lati più piccoli e i lati più grandi, con un vertice in comune: se la diagonale da questo vertice coincide per entrambi, allora i rettangoli sono simili page 1 / 8

2 - Il modulo di un rettangolo è il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore. - Come calcolare l ingombro di un televisore. Un televisore da 16:9 equivale a dire che ha modulo di 16:9, quindi i lati misurano 16a e 9a. Considerando ad esempio che il televisore è di 32 pollici, dove un pollice equivale a 2,54 cm, allora la sua diagonale sarà 32*2,54 =81,28 cm. Applicando il teorema di Pitagora 81,282 = (16a) 2 + (9a) 2 da cui a = 4,43, quindi la larghezza sarà 16*4,43 = 71 cm (circa) e la l altezza sarà 9*4,43 = 40 cm (circa). Riconoscere un rettangolo aureo - Un rettangolo è aureo quando il suo modulo è Φ, lo identifichiamo con RA. - Se abbiamo un RA con lato maggiore M e lato minore m, allora son RA anche i rettangoli costruiti a partire dal prima con l aggiunta di un quadrato sul lato M e la sottrazione di un quadrato sul lato m. page 2 / 8

3 - Lo gnomone è una qualsiasi figura che, aggiunta alla figura originaria, produce una figura simile all originale. Questa aggiunta ricorsiva prende il nome di crescita gnomonica. Questa definizione si deve a Erone di Alessandria. Nel caso di un RA, il suo gnomone è un quadrato di lato uguale al lato maggiore dello stesso. - Per verificare che un rettangolo è aureo: I rettangoli ABCD e BEFG sono uguali. Se il segmento ACF passa per C allora si page 3 / 8

4 tratta di un RA. Il teorema di Talete dice che due rette che intersecano i due lati di triangolo (quelle che passano per BC e EF) producono segmenti proporzionali quindi AE/EF =AB/BC quindi (M+m)/M =M/m che è la relazione aurea. Costruzione di un rettangolo aureo Proprietà di un rettangolo aureo - Se sottraiamo un quadrato con lato uguale al lato minore di un RA otteniamo un RA. Se tracciamo le diagonali di questi due RA, queste si intersecano sempre con un angolo retto. Se ripetiamo questo procedimento all infinito, tutte le diagonali passeranno sempre per queste per le stesse rette e il punto page 4 / 8

5 di intersezione è sempre lo stesso, quindi se ipoteticamente zumassimo in avanti otterremmo sempre la stessa visione. Unendo ricorsivamente con semicerchi i due angoli dei quadrati, otteniamo la spirale aurea o logaritmica. - Questa peculiarità è tipica solo degli RA. Il punto o è una specie di vortice, un punto di attrazione infinita e viene detto l occhio di Dio. - Iscriviamo un decagono regolare in una circonferenza: il rapporto tra il raggio della circonferenza e il lato del poligono è Φ, quindi un RA ha come lati il raggio di una circonferenza e il lato del decagono regolare in esso iscritto. Un poligono è regolare se sia i lati che gli angoli interni sono uguali. Altri rettangoli degni di nota Rettangolo RadQ(2) e il rettangolo d argento 1+RadQ(2) - Identifichiamo i rettangoli RadQ(2) con RR. page 5 / 8

6 - Se dividiamo il lato maggiore per metà otteniamo un altro RR. I lati del nuovo rettangolo saranno 1 e RadQ(2)/2, il cui quoziente è sempre RadQ(2). Per tanto lo gnomone di un RR e l RR stesso. - I rettangoli RR sono usati come standard dei formati di carta che si chiama DIN (Istituto Tedesco di Normalizzazione). Il formato A0 è un rettangolo RR con superficie di 1 m2, quindi dividendo ogni volta per metà otteniamo i formati A1, A2, A3, A4, A5 che sono sempre rettangoli RR che mantengono la proporzione dei lati pari a RadQ(2). - Prediamo un RR e sul lato più piccolo creiamo un quadrato, otteniamo così un rettangolo di modulo 1 + RadQ(2). Il modulo è la soluzione x2-2x-1, che è il numero d argento Il rettangolo di Cordova page 6 / 8

7 - E il rettangolo che ha come lati, il lato di un ottagono regolare e il raggio della circonferenza che lo iscrive. Questo nome nasce dalla famosa Mezquita di Cordova con il suo mihrab ottagonale le cui proporzioni furono studiate dall architetto spagnolo Rafael De la Hoz ( ). Questa proporzione fu da lui rappresenta con il rettangolo cordovano. - Per ottenere il modulo basta trovare il lato l in funzione del raggio r e fare il rapporto, trovatolo si ottiene un valore detto proporzione o numero cordovano. Le spirali e il numero aureo - Togliendo il quadrato creato sul lato più piccolo di un RA, rimane un rettangolo aureo. Ripetiamo l operazione all infinito. La spirale costruita attraverso i rettangoli sottratti, (ogni segmento di questa ha raggio del quadrato), si chiama spirale logaritmica. page 7 / 8

8 - Jacob Bernulli ( ). Parte dei suoi studi sono stati rivolti alle spirali. Nella sua tomba volle una spirale logaritmica, ma lo scultore si limitò a disegnare una spirale di Archimede. - La spirale standard (quella con i cerchi concentrici) è detta spirale di Archimede. - Proprietà di cui gode la spirale: - Proprietà di autosomiglianza: la forma non cambia quando se ne modificano le dimensioni. - Figura equiangolare: se tracciamo una linea retta da suo punto di inizio (polo), fino ad un qualsiasi altro punto, l angolo di intersezione è sempre lo stesso. I tre raggi MA, MB e MC, quindi, formano degli angoli uguali tra di loro, per tanto il raggio centrale MB è medio proporzionale tra il più piccolo MA ed il più grande MC, cioè MA:MB=MB:MC= Φ. - Le spirali hanno affascinato anche molti artisti, come Mauritius Cornelus Escher ( ) che costruiva le sue rappresentazioni tridimensionali attraverso l applicazione di particolari leggi matematiche (per esempio l opera Spirali-1953). page 8 / 8