Rivista AdB: Adige - Etsch MODELLO PER L'ANALISI DEL BILANCIO DI SEDIMENTI A SCALA DI BACINO NEL FIUME ADIGE G. Di Silvio 1, M. Nones 2, L. Guarino 3 (1) Dipartimento IMAGE, Università degli Studi di Padova. Via Loredan 20, 35131 Padova. disilvio@idra.unipd.it (2) Dipartimento IMAGE, Università degli Studi di Padova. Via Loredan 20, 35131 Padova. michael.nones@unipd.it (3) Autorità di Bacino Adige, Trento. Piazza Vittoria 6, 38100 Trento - luca.guarino@bacino-adige.it SOMMARIO La rappresentazione a grande scala spaziale e temporale dei fenomeni di trasporto fluviale ed evoluzione morfologica richiede l'adozione di modelli matematici appropriati per la descrizione della fase liquida e solida. Questo studio si basa sullo sviluppo e l applicazione di un modello numerico idromorfologico monodimensionale, relativamente semplificato per quanto attiene la descrizione della parte idrodinamica, ma dall altro capace di mettere in conto la granulometria marcatamente non uniforme dei sedimenti presenti nell alveo del fiume Adige (da massi a limo). La parte iniziale dell articolo riassume una breve e schematica descrizione del modello numerico, mentre nella seconda parte viene riportata un analisi preliminare dell effetto dell antropizzazione avvenuta lungo il corso del fiume durante la seconda metà del secolo scorso sull evoluzione naturale del fiume. 1 INTRODUZIONE I processi morfologici in ambiente fluviale vengono descritti adottando un modello unidimensionale. Pur essendo relativamente semplice, un modello 1-D può presentare problemi nel caso di applicazione a situazioni naturali, in quanto, per l'adozione delle equazioni complete, servirebbe un numero elevato di dettagliati dati d input, spesso non disponibili per coprire l intero reticolo idrografico (asta principale ed affluenti). Per poter integrare le ridotte informazioni topografiche con i dati idrologici e granulometrici è stato sviluppato un codice di calcolo basato sull'ipotesi che porzioni relativamente brevi di corso d'acqua possano essere considerate in condizioni di moto quasi-uniforme, attraverso alcune operazioni di media. Tali sezioni, denominate scatole morfologiche, sono le entità fondamentali per il calcolo dell evoluzione morfologica del corso d acqua. La possibilità di applicare il modello idromorfologico basato sull'ipotesi di moto uniforme non è strettamente legata ai corsi d acqua montani (Di Silvio & Peviani, 1989), ma, come già dimostrato in lavori precedenti (Ronco et al., 2007), esso può essere applicato anche a corsi d acqua con numeri di Froude relativamente piccoli (fiumi di pianura), purché si assumano scatole morfologiche sufficientemente lunghe (dell ordine di qualche chilometro) e processi di adattamento sufficientemente lenti. 2 MODELLO 1-D Un modello idro-morfodinamico completo si basa sulla descrizione di una fase liquida e di una fase solida. La parte idraulica considera le equazioni di De St. Venant, mentre quella legata al trasporto solido sfrutta le equazioni di Exner e di Hirano. Essendo un modello plurigranulare, il bilancio di massa dei sedimenti viene fatto per ogni frazione granulometrica, considerando due strati: lo strato di trasporto, il quale contiene sia le particelle trasportate in sospensione, sia quelle movimentate come trasporto di fondo, e lo strato di
G. Di Silvio, M. Nones, L. Guarino mescolamento (Hirano, 1971), che contiene invece le particelle solide istantaneamente in riposo, ma suscettibili di movimenti verticali in direzione dello strato di trasporto. Nello strato di trasporto viene garantita la continuità del sedimento, mentre nello strato di mescolamento si stabilisce un bilancio verticale del sedimento, distinguendo i casi in fenomeni di deposito e di erosione del fondo. Per una descrizione semplificata della fase liquida, è necessario ricorrere all ipotesi di moto quasi-uniforme della corrente, adottando una portata equivalente annuale (portata necessaria a trasportare il volume annuo di sedimenti indipendentemente dall effettiva successione cronologica delle portate). Sebbene tale ipotesi di sia tanto più valida quanto più elevata è la pendenza (Di Silvio & Peviani, 1989), essa può essere estesa anche a fiumi di pianura, purché ci si riferisca a grandezze mediate su tratti sufficientemente lunghi. In altre parole, se si rinuncia ad una scala di dettaglio, ma ci si limita ad analizzare le condizioni medie del moto, esse possono essere adeguatamente rappresentate da un flusso di tipo quasi uniforme, anche nel caso in cui il numero di Froude sia decisamente inferiore all'unità. La lunghezza minima della scatola morfologica che garantisce un adeguato errore massimo dipende quindi soltanto dal tipo di moto (numero di Froude) e dalla scabrezza d alveo (Ronco et al., 2007). Il trasporto solido di ogni frazione granulometrica viene calcolato adottando un'equazione di tipo monomio, tarata per ciascun corso d acqua (Di Silvio, 1983). In tale formulazione la portata solida viene calcolata per ogni i-esima classe granulometrica come proporzionale alla presenza percentuale della classe stessa sul fondo mobile ed introducendo un coefficiente di Hiding-Exposure, in grado di ridurre (incrementare) la mobilità intrinseca delle particelle più fini (più grossolane). Il calcolo finale del trasporto solido complessivo viene quindi effettuato come somma del trasporto relativo ad ogni classe in cui si è deciso di suddividere il materiale presente sul fondo alveo. 3 EVOLUZIONE STORICA DEL FIUME ADIGE Fino alla metà del secolo scorso la parte valliva dell'adige a sud della città di Verona, completamente arginata, si presentava come pensile, e quindi essa non era compresa nel bacino idrografico propriamente detto. La tendenza ad un eccessivo deposito di sedimenti all'interno dell'alveo si accompagnava ad una chiara tendenza della foce fluviale ad espandersi verso il mare ed al progressivo aumento della superficie dell'isola del Bacucco (oggi denominata Isola Verde) segnalato, fino agli anni '50, dalle cartografie I.G.M. del 1897, 1908, 1918, 1931 e 1944. A partire dagli anni '50 del secolo scorso la tendenza si inverte e l'intero apparato deltizio comincia a retrocedere, come visibile dai rilievi aerofotogrammetrici del 1954, 1977 e 1979 e dalla CTR del 1978. L iniziale eccesso di sedimenti depositatisi nella prima parte del secolo, seguito da un successivo deficit nella seconda parte, è confermato dalla corrispondente diminuzione del trasporto solido misurato nelle stazioni torbidimetriche di Trento e Boara Pisani nel periodo 1930-1965. Il confronto delle sezioni battute nel 1954 e nel 1996 mostra che in quest'ultimo mezzo secolo il processo di erosione si manifesta in tutto il corso del fiume a valle di Verona, ad esclusione dell'estremo tratto di foce, dove si ha un progressivo aumento della quota del fondo. Sono state proposte varie concause utili a descrivere quest evoluzione storica: a) variazioni dell'apporto solido dalle pendici montane al reticolo fluviale, in relazione al diverso uso del suolo ed alle opere anti-erosione e di consolidamento dei versanti (briglie) realizzate nella parte alpina del bacino; b) azione di trattenuta dei sedimenti ad opera dei serbatoi artificiali a scopo idroelettrico, realizzati a partire dagli anni 20 in tutto il territorio del Trentino-Alto Adige; c) modificazione della curva di durata delle portate liquide in relazione alla suddetta utilizzazione idroelettrica del bacino; d) riduzione dei deflussi liquidi per le aumentate derivazioni irrigue ed idropotabili, soprattutto nella parte valliva del fiume; e) modificazione della vegetazione fluviale nelle isole e nelle golene fluviali, a causa delle variazioni dell idrologia; f) estrazioni di inerti (soprattutto sabbia e ghiaia) dalle cave poste in alveo, a partire dagli anni 50. 2
Modello per l'analisi del bilancio di sedimenti a scala di bacino nel fiume Adige 4 DATI DISPONIBILI In questo capitolo vengono analizzati i dati utilizzati nell applicazione del modello numerico. Va subito ricordato come i dati disponibili risultino insufficienti per quanto attiene la descrizione della fase solida, basata su poche rilevazioni granulometriche e di trasporto solido. Per quanto attiene la descrizione della geometria e della fase liquida gli attuali dati sono ritenuti sufficienti, anche se sicuramente migliorabili. Figura 1. Dati attualmente disponibili. 4.1 Idrologia Come precedentemente detto, il modello numerico utilizza un idrologia semplificata, data la necessità di trattare la fase liquida attraverso l ipotesi di moto quasi-uniforme, e viene quindi adottata un idrologia a scala annuale, non capace di descrivere le variazioni interstagionali. Nell'applicazione del modello, oltre all asta principale, si è considerata la presenza di alcuni affluenti del fiume: Passirio ed Isarco in Alto Adige, Noce ed Avisio in Trentino e Chiampo-Alpone in Veneto. Oltre a tali corsi d acqua si è ipotizzata anche la presenza di due tributari fittizi, denominati Mori e Salorno (località di confluenza), al fine di conteggiare l intera superficie scolante del bacino. 4.2 Geometria Le informazioni planimetriche disponibili sul fiume Adige sono relativamente numerose e distribuite lungo l intero corso d'acqua principale (un rilievo quasi completo del 1954 ed uno completo del 1996), ma esse non ricoprono minimamente gli affluenti. Per tale motivo sono stati utilizzati i dati ricavabili dalle ortofoto e dai modelli digitali del terreno. Gli errori riconducibili a tali operazioni di media sono stati già analizzati in altri lavori (Ronco et al., 2007). Le larghezze dell'alveo attivo (corrispondenti alla portata equivalente Q eq ) sono state desunte da ortofoto relative al volo del 2006. Le dimensioni trasversali del fiume alla sua sorgente ed in Val Venosta risultano decisamente contenute, al di sotto dei 20 metri anche considerando la vegetazione 3
G. Di Silvio, M. Nones, L. Guarino (Fig. 2), mentre aumentano procedendo verso valle, soprattutto quando l alveo assume un aspetto intrecciato (braided), arrivando a superare i 100 metri di larghezza dell'alveo di magra alla chiusura del bacino idrografico. A sud di Albaredo d'adige (Vr), dove il fiume diviene arginato, esso divaga ulteriormente, assumendo un aspetto unicursale (talvolta meandriforme). La presenza di isole e di rami deltizi fa si che, negli ultimi chilometri, si raggiungano anche i 200 metri di alveo di piena. Per quanto riguarda gli affluenti considerati, le larghezze dei rispettivi alvei sono state ricavate da una media effettuata sugli ultimi chilometri di corso, in modo tale da mediarne le dimensioni ed evitare di sovradimensionare il corso d'acqua, assumendo come valide le larghezze ricavabili in corrispondenza della confluenza. Le pendenze medie dell'alveo del fiume per ciascuna scatola morfologica sono state ricavate sulla base dei DTM del bacino e di un modello unidimensionale Hec-Ras del fiume. L'asta principale dell'adige presenta pendenze molto diverse tra monte e valle, infatti il corso d'acqua parte con pendenze molto elevate, dell ordine di 10-2 -10-3, per terminare, alla chiusura del bacino, con pendenze più lievi, dell ordine di qualche centimetro per chilometro. Figura 2. Fiume Adige in alta Val Venosta. 4.3 Granulometria e trasporto solido I pochi dati granulometrici utilizzati nell applicazione del modello sono stati forniti sia dalla Provincia Autonoma di Bolzano sia dall'autorità di Bacino Adige, attraverso una collaborazione con la Facoltà di Ingegneria dell'università di Trento. Alcune altre misurazioni di granulometria sono state fatte negli anni 80, lungo il tratto arginato del fiume Adige, in particolare in alcune stazioni comprese tra Verona e Badia Polesine (Brunelli et. al., 1987). Per quanto concerne il trasporto solido, si è fatto riferimento ai dati desumibili dagli Annali Idrologici. Tali dati riguardano il trasporto solido totale calcolato attraverso misure di portata e torbidità nel periodo compreso tra il 1932 ed il 1972 (a Trento) e tra il 1929 ed il 1972 (a Boara Pisani) (Fig. 3). Gli scarsi dati sulla granulometria sono stati opportunamente estrapolati ed estesi a tutti i tronchi dell asta principale dell Adige, nonché ai tratti terminali degli affluenti, mediante l applicazione iterativa del modello 1-D (Fig. 4). 4
Modello per l'analisi del bilancio di sedimenti a scala di bacino nel fiume Adige Figura 3. Analisi del trasporto solido a Trento e Boara Pisani Figura 4. Granulometria del fiume Adige: d eq 5 TARATURA E VALIDAZIONE DEL MODELLO La taratura del modello è stata realizzata sulla base dei dati di trasporto solido misurati in passato a Trento ed a Boara Pisani e sui dati granulometrici ricavabili direttamente dai campionamenti veneti (a Boara Pisani) e su quelli assunti per la stazione di Trento. E utile ricordare come la taratura del modello potrebbe essere inficiata da questa differenza temporale tra le misurazioni di trasporto solido e quelle di granulometria del fondo. IL procedimento di taratura è stato eseguito per due tratti distinti di fiume: il tratto montano (da 5
G. Di Silvio, M. Nones, L. Guarino Resia ad Albaredo d Adige) ed il tratto di pianura (da Albaredo alla foce), in quanto, data la forte differenza di pendenze dei due tratti, è necessario adottare due diverse formulazioni di moto uniforme (e quindi due diversi tipi di taratura) per le due situazioni (Fig. 5). Figura 5. Taratura dei parametri di trasporto solido a Trento ed a Boara Pisani La validazione del modello è stata fatta confrontando i risultati dell evoluzione forniti dall applicazione del codice con quelli ricavabili direttamente dal confronto tra i rilievi del 1954 e del 1996. Tale procedura è necessaria al fine di verificare la bontà delle semplificazioni adottate e della struttura matematica scelta. In questa sede va necessariamente ricordato come lo scopo principale di questo studio sia comunque quello di analizzare l attuale gestione dei sedimenti, e vedere se tali scelte operative siano compatibili con l evoluzione naturale del fiume o se siano da rivedere. Non risulta quindi strettamente necessario che il modello simuli perfettamente l evoluzione del fiume, dato che l analisi viene eseguita dal confronto tra due simulazioni, e non rispetto alle misure di campo. Assodate queste ipotesi, si è comunque visto che il modello simula bene l evoluzione misurata, sia in termini di variazione del livello del fondo che in termini di localizzazione di tali cambiamenti (Nones et al., 2008). 6 INTERVENTI ANTROPICI In questo capitolo vengono riportati alcuni risultati preliminari sullo studio dell influenza antropica sull evoluzione del fiume, cercando di isolare ogni singolo contributo ed andando a studiare la sua influenza nelle diverse sezioni. Si vuole ancora ricordare come i risultati qui riportati non siano definitivi, stante la possibilità di errore dovuta ad alcune incertezze nella modellazione degli interventi antropici. I risultati e le figure qui riportate sono quindi da ritenersi puramente indicativi delle modellazioni fatte fino adesso e non dell evoluzione definitiva del fiume. 6.1 Confronto tra evoluzione naturale ed evoluzione storica L evoluzione naturale del fiume Adige è stata ricavata dall analisi dell evoluzione storica e sottraendo ad essa i differenti contributi antropici in relazione alle diverse epoche di intervento. Si è quindi cercato di riprodurre un orizzonte naturale di partenza per le diverse simulazioni, ed un andamento delle portate depurato dalla presenza degli sbarramenti idroelettrici, delle derivazioni in alveo e delle altre opere. Tale evoluzione naturale è stata quindi raffrontata con l evoluzione storica, la quale cerca di riprodurre l evoluzione effettivamente seguita dal fiume nell orizzonte temporale analizzato, in dipendenza delle diverse opere antropiche. Come si può notare dal seguente grafico (Fig. 6), le portate odierne risultano decisamente inferiori a quelle naturali, per effetto soprattutto dell azione di invaso dei serbatoi idroelettrici, come 6
Modello per l'analisi del bilancio di sedimenti a scala di bacino nel fiume Adige già riportato in altri studi. Figura 6. Confronto delle portate massime: analisi della presenza dei serbatoi idroelettrici. 6.2 Sbarramenti idroelettrici e derivazioni Il fiume Adige attraversa territori molto antropizzati, e quindi viene ben sfruttato sia per la produzione di energia idroelettrica, sia a scopo irriguo ed idropotabile (Fig. 7). La conformazione attuale delle valli, principalmente conche un tempo occupate dai bacini di alimentazione dei ghiacciai, ha sicuramente facilitato l individuazione di numerosi siti per la costruzione di sbarramenti di ritenuta a scopo idroelettrico. Nel bacino del fiume Adige risultano attualmente presenti 31 bacini artificiali, aventi capacità di invaso complessiva pari a circa 571 milioni di m 3. La presenza di tali invasi altera notevolmente il trasporto solido naturale, andando a ridurre a valori molto bassi l apporto solido dei torrenti montani (Isarco e Noce in primis). Nella modellazione matematica è quindi stata aggiunta una subroutine capace di simulare la presenza delle dighe, con la relativa epoca di entrata in funzione, andando ad agire direttamente sulla formula di trasporto solido adottata. Lungo l intero corso dell Adige esistono molteplici derivazioni, sia a scopo idroelettrico (centrali ad acqua fluente), sia a scopo irriguo. Alcune di queste derivazioni (presa Mori, canale Biffis e canale S.A.V.A.) sono decisamente rilevanti, e quindi hanno un notevole impatto sull evoluzione morfologica del fiume, in quanto, sottraendo gran parte della portata dal corso originale per scopi idroelettrici e reinmettendola più a valle, abbattono notevolmente il trasporto solido locale. Oltre a tale effetto locale le derivazioni fissano il fondo alveo per tratti molto lunghi, e quindi esse sono state considerate ipotizzando delle zone nelle quali non ci sia alterazione morfologica (zone a fondo fisso). Dall analisi delle simulazioni modellistiche è stata evidenziata la forte influenza di tali opere sul trasporto solido, in quanto, oltre alla riduzione delle portate massime (a causa dei serbatoi idroelettrici) e medie (per la presenza delle derivazioni), si assiste anche ad una notevole diminuzione del trasporto di sedimenti. Tale riduzione è da imputare alla capacità di intrappolamento dei sedimenti da parte degli invasi e delle traverse, soprattutto per quanto attiene la frazione più grossolana del sedimento. 7
G. Di Silvio, M. Nones, L. Guarino Figura 7. Localizzazione dei bacini idroelettrici e delle derivazioni. 6.3 Opere di stabilizzazione dei versanti: briglie fluviali La conformazione montuosa del bacino imbrifero del fiume Adige comporta una forte mobilitazione del materiale solido verso valle, data la forte acclività dei pendii altoatesini. Causa la necessità di rendere e mantenere abitabile il territorio di montagna, si è reso necessario, nel tempo, un pesante intervento di stabilizzazione dei versanti mediante l impiego di briglie ed altre opere anti-erosione. A partire dagli anni 60 tali interventi di stabilizzazione dei versanti hanno interessato soprattutto gli affluenti del fiume Adige, diminuendone la pendenza ed alterandone il conseguente trasporto solido, mentre la loro presenza è decisamente ridotta sull asta principale, tranne che lungo il tratto iniziale, a nord di Bolzano (Fig. 8). 8
Modello per l'analisi del bilancio di sedimenti a scala di bacino nel fiume Adige Figura 8. Localizzazione delle briglie montane. Il codice matematico prevede la possibilità di considerare la presenza di briglie riducendo la pendenza dell affluente, sulla base del numero e dell entità delle opere presenti all interno del singolo bacino imbrifero. Per poter adeguatamente considerare l intervento antropico come mediato su tutto il tributario è stata considerata un epoca media di entrata in funzione del complesso di briglie di ogni corso d acqua. Attualmente quindi la costruzione di briglie viene considerata come un intervento unitario, fatto in un epoca intermedia tra quelle di costruzione. Tale operazione non comporta errori in quanto i diversi processi morfologici considerati risultano decisamente lenti, e sicuramente non inficiati da eventuali minimi errori di assunzione dell epoca di costruzione delle opere anti-erosione. La presenza di briglie è molto significativa nella parte montana del bacino, e quindi comporta un minor apporto di sedimenti dai principali tributari. Tale minor contributo solido si traduce in un esaltazione dei fenomeni di erosione e deposito, ed in un maggior deposito in assenza di briglie rispetto all evoluzione storica. 6.4 Estrazione di materiale d alveo Le cave in alveo comportano una forte alterazione della morfologia fluviale, in quanto, sottraendo materiale, l alveo non viene inciso soltanto localmente, ma avviene anche una forte riduzione del trasporto solido a valle. Schematicamente, la presenza di una cava in alveo viene considerata come un affluente negativo, capace di sottrarre al corso d acqua una data portata solida, composta fondamentalmente da sedimenti sabbiosi e ghiaiosi. Purtroppo, allo stato attuale delle conoscenze, non sono note le esatte quantità cavate, né tantomeno l effettivo periodo di attività, e quindi è stato soltanto possibile operare ragionevoli ipotesi sulla base dei pochi dati disponibili. Nell analisi della presenza delle cave in alveo ci si è riferiti principalmente al tratto a sud di Verona, maggiormente interessato da tali interventi nel corso del tempo. 9
G. Di Silvio, M. Nones, L. Guarino 6.5 Interventi in alveo: scavi localizzati Talvolta, per un adeguata gestione fluviale, è necessario intervenire direttamente sul corso del fiume, variandone l andamento planimetrico ed altimetrico tramite operazione di sbancamento e rinterro. Come osservato durante lo studio, soltanto se l intervento fosse abbastanza significativo (scavo di qualche metro) si assisterebbe ad un notevole cambiamento nella conformazione del fiume, con ripercussioni anche sui tratti più a monte e più a valle. Tale intervento provocherebbe una forte variazione di pendenza, con una conseguente alterazione del trasporto delle sezioni contigue; ma, essendo tale scavo istantaneo, non altererebbe il trend evolutivo della morfologia locale. 7 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI In conclusione, si può affermare come l'ipotesi di moto quasi-uniforme che sta alla base del modello sia adottabile nel caso in cui la distanza tra due sezioni consecutive (scatola morfologica) sia sufficientemente lunga rispetto alla necessità di contenere gli errori entro limiti prefissati, in relazione al numero di Froude del tratto in esame (Ronco et al., 2007). E tuttavia allo studio la possibilità di diminuire la lunghezza delle scatole morfologiche, ricercando una descrizione più dettagliata dell evoluzione fluviale. Tale scelta è però strettamente legata alla bontà dei dati geometrici e granulometrici disponibili, tuttora insufficienti. Per consentire una migliore modellazione dell'evoluzione idromorfologica del fiume Adige sarebbe auspicabile la realizzazione di un'estesa campagna granulometrica, atta ad ottenere un maggior numero di curve granulometriche sia per quanto attiene l'asta principale sia per gli affluenti. Oltre ad un maggior numero di campionamenti in alveo, sarebbe opportuno reperire ulteriori dati sul trasporto solido, sia pur limitatamente a quello in sospensione. Nello sviluppo futuro del modello sarà necessario analizzare ulteriormente lo sviluppo antropico del fiume Adige, in modo tale da completare la trattazione qui esposta, analizzando anche l evoluzione del delta fluviale e dei principali affluenti. Si sta ulteriormente lavorando per includere, nel modello idromorfodinamico, una parte di codice capace di considerare lo sviluppo della vegetazione riparia sulla base di alcuni modelli di crescita di biomassa e l influenza di tale vegetazione sul trasporto solido totale. BIBLIOGRAFIA Brunelli S., Di Silvio G., Trasporto solido annuo dei corsi d acqua in funzione delle loro caratteristiche idrologiche e morfologiche, Tesi di Laurea, Università degli Studi di Padova (Italy), 1987 Di Silvio G., Peviani M., Modelling Short- and Long-term evolution of Mountain Rivers: an application to the torrent Mallero (Italy), International Workshop on fluvial hydraulics of mountain regions, Trento, 1989 Di Silvio G., Sediment exchange between stream and bottom: a four layer model, Seminar on Grain Sorting, Ascona, Svizzera, 1991 Fasolato G., Ronco P., Di Silvio, G., Validity of simplified one-dimensional morphodynamic models, Journal of Hydraulic Engineering - ASCE, 2007 Hirano M., River bed degradation with armouring, Trans. of JSCE, 1971 Nones M., Fiume Adige: bilancio dei sedimenti a scala di bacino, Tesi di Laurea Magistrale, Università di Padova, 2007 Nones M., Di Silvio G., Guarino L., Fiume Adige: modello per l analisi del bilancio di sedimenti a scala di bacino, XXXI Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche - IDRA 2008, Perugia, 2008 Peviani M., Sviluppo di un modello numerico idraulico-morfologico per fiumi a forte pendenza ed analisi dell'evoluzione degli alvei nei tratti pedemontani, Università degli Studi di Perugia, 2002 Ronco P., Fasolato G., Di Silvio, G., Modelling evolution of bottom profile and grain-size distribution in unsurveyed rivers, Geomorphology, 2007 10