Proprietà geometriche della parabola: riflessione su superfici paraboliche Vogliamo ricavare una proprietà fondamentale delle superfici paraboliche, legata alla riflessione di raggi luminosi su tali superfici, o più in generale alla riflessione su di esse di onde, fra cui onde elettromagnetiche come la luce o i segnali che trasmettono le frequenze televisive attraverso i satelliti. Innanzitutto cerchiamo di capire come funziona la riflessione. Se facciamo incidere un raggio di luce su una superficie riflettente, dal punto di incidenza del raggio sulla superficie emergerà un raggio riflesso che formerà con la Figure 1: Riflessione di un raggio di luce incidente su una superficie riflettente.
perpendicolare alla superficie un angolo uguale a quello formato con essa dal raggio incidente, come mostrato in figura 1. Possiamo quindi enunciare la legge della riflessione nel seguente modo: un raggio incidente su una superficie riflettente dà luogo ad un raggio riflesso formante con la perpendicolare alla superficie nel punto di incidenza un angolo pari a quello formato dal raggio incidente. Nel caso in cui la superficie riflettente non sia piana dovremo considerare il piano tangente alla superficie nel punto di incidenza del raggio e la perpendicolare a tale piano nel punto di incidenza. Per la legge della riflessione saranno quindi uguali gli angoli formati con questa perpendicolare dal raggio incidente e da quello riflesso. Consideriamo quindi un raggio parallelo all asse di una parabola e che incide sulla sua superficie interna, cioè nella concavità entro cui si trova anche il fuoco della parabola, come mostrato in figura 2. Figure 2: Raggio incidente nel punto P di una superficie parabolica. Dove andrà a finire questo raggio dopo la riflessione? Per scoprirlo dobbiamo fare alcune considerazioni geometriche legate alla parabola. Come
sappiamo infatti dalla definizione stessa di parabola, essa è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. Sfruttando questo fatto possiamo trarre delle conclusione sulla direzione del raggio incidente su una qualsiasi punto della parabola. Si consideri il grafico di figura 3. La figura mostra una parabola con asse 3 4 1 2 Figure 3: Proprietà geometriche di una superficie parabolica. La parabola ha fuoco F(0;1) e direttrice coincidente con l asse delle x. coincidente con l asse delle y, fuoco F(0;1) e direttrice coincidente con l asse delle x. Sulla parabola è evidenziato un punto generico A, nel quale possiamo immaginare incidere il raggio luminoso parallelo all asse della parabola. Tale raggio risulterebbe diretto come la retta passante per A e perpendicolare alla direttrice, cioè all asse delle x. Il segmento AB posto su questa retta rappresenta la distanza di A dalla direttrice, mentre la distanza di A dal fuoco è rappresentata dal segmento AF. Dalla definizione di parabola sappiamo quindi che AB=AF, poichè per qualunque punto della parabola la sua distanza dal fuoco deve essere uguale alla sua distanza dalla direttrice.
Figure 4: Dimostrazione per assurdo della tangenza di AH alla parabola. Se consideriamo quindi il triangolo AFB esso risulterà isoscele, in quanto i lati AF e AB sono uguali. Inoltre, essendo AFB isoscele, possiamo tracciare la sua altezza AH che coinciderà con l asse del segmento FB, ed è inoltre la mediana relativa allo stesso segmento FB. I triangoli AFH e AHB sono dunque congruenti, avendo tutti i lati uguali, per cui gli angoli 1 e 2 sono uguali. Anche gli angoli 2 e 3 sono uguali perchè opposti al vertice. Quindi possiamo concludere che gli angoli 1 e 3 sono uguali, perchè entrambi uguali all angolo 2. Vogliamo ora dimostrare che la retta AH è tangente alla parabola. Dimostriamolo per assurdo, cioè mostriamo che se AH non fosse tangente alla parabola giungeremmo ad una contraddizione. Dunque, se supponiamo che AH non sia tangente alla parabola significa che la incontra in un altro punto, che possiamo chiamare A, come mostrato in figura 4. Poichè A appartiene alla parabola significa che anche per lui dovrebbe valere A F=A d, dove con A d abbiamo indicato la distanza di A dalla direttrice (definizione di parabola). Inoltre, poichè A dovrebbe comunque stare sulla retta AH, che è l asse di FB, per definizione di asse di un segmento significa che dovrebbe A anche essere equidistante da F e da B, cioè A F=A B.
3 4 6 5 1 2 Figure 5: Legge della riflessione applicata alla parabola. La retta tratteggiata è la perpendicolare alla retta tangente alla parabola in A. Quindi seguirebbe che A d=a F=A B A d=a B, ma questo è assurdo perchè il triangolo AdB dovrebbe essere un triangolo rettangolo in d (essendo A d la distanza da una retta, la direttrice, devo formare con essa un angolo retto) con l ipotenusa A B uguale a un cateto A d, il che è impossibile. Quindi l unica possibiltà è che A coincida con A, e che quindi la retta AH tocchi la parabola solo nel punto A, cioè sia tangente ad essa. Se dunque tracciamo la perpendicolare alla retta AH in A come mostrato in figura 5 con la retta tratteggiata, sappiamo per la legge della riflessione che un raggio incidente in A dà luogo ad un raggio riflesso che formerà con questa retta perpendicolare lo stesso angolo formato con essa dal raggio incidente. Ora, poichè, come dimostrato precedentemente, gli angoli 1 e 3 sono uguali, ne consegue che anche gli angoli 5 e 6 sono uguali poichè entrambi
Figure 6: Esempio di superficie parabolica. sono ottenuti sottraendo da angoli retti due angoli uguali (1 e 3). Quindi abbiamo dimostrato che un raggio parallelo all asse della parabola e incidente in A dà luogo ad un raggio riflesso diretto come AF. Il raggio riflesso cioè va a finire nel fuoco della parabola. Infine, poichè abbiamo considerato un punto generico della parabola, tale proprietà deve continuare a valere anche se considero raggi paralleli all asse ma incidenti in qualunque altro punto della parabola. Se adesso immaginiamo di ruotare la parabola attorno al proprio asse, otteniamo una superficie parabolica (o paraboloide di rotazione) come quella mostrata in figura 6. Gli specchi parabolici sono superfici di questo tipo. Possiamo pertanto trarre la seguente conclusione: Tutti i raggi paralleli all asse di uno specchio parabolico vengono da esso riflessi nel suo fuoco.
Figure 7: Riflessione di raggi paralleli all asse in uno specchio parabolico. Tale conclusione è mostrata in figura 7. Questa proprietà viene sfruttata negli specchi parabolici. Infatti se la sorgente che emette i raggi luminosi è molto lontana rispetto alle dimensioni del nostro specchio, possiamo considerare i raggi che incidono sullo specchio tutti paralleli fra loro e paralleli all asse dello specchio. Un caso del genere è ad esempio la luce che proviene dalle stelle. In tutti questi casi quindi possiamo sfruttare la proprietà degli specchi parabolici che abbiamo dimostrato sopra per convogliare una grande quantità di luce in un unico punto, il fuoco dello specchio, e poter quindi migliorare la nostra capacità di visualizzazione dell oggetto o più in generale di ricezione del segnale. Esistono numerosi esempi in cui viene sfruttata questa proprietà delle superfici paraboliche, fra cui le antenne paraboliche utilizzate comunemente per ricevere i segnali satellitari della TV. Di seguito vengono mostrate per immagini alcuni di questi casi. Nel caso di antenne paraboliche per satelliti, come quelle comunemente
Figure 8: Telescopio radio, Penticton, British Columbia, Canada. Figure 9: ALMA Array Observatory.
Figure 10: Antenna parabolica con offset per la ricezione di segnali da satelliti. usate per la ricezione di programmi satellitari della TV, si ha una piccola modifica rispetto a quanto descritto precedentemente. Se osservate infatti l antenna di casa vostra, o guardate per strada le antenne delle altre abitazioni, vi accorgerete che il dispositivo di ricezione non è posto sull asse della parabola, dove dovrebbe trovarsi il fuoco, ma è leggermente spostato verso il basso, come mostrato in figura 10. In questi casi infatti la superficie parabolica che costituisce l antenna è tagliata con un piano non perpendicolare all asse, e le antenne vengono dette antenne offset. Questo permette di inclinare meno la parabola rispetto alla verticale, tenendo cioè la concavità meno rivolta verso verso l alto allo scopo di evitare ad esempio l accumulo di acqua o neve nella concavità. In questi casi la riflessione avviene come mostrato in figura 11.
Figure 11: Riflessione in una antenna parabolica con offset.