La parabola come luogo di punti. Bruna Cavallaro, Treccani Scuola

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1 La parabola come luogo di punti 1

2 Parabola e specchi parabolici Video Accensione della torcia olimpica Il video mostra la torcia olimpica accesa dalla luce del Sole. Specchio parabolico La cerimonia riprende oggi storia e leggende degli antichi Greci, che già conoscevano parabola e specchi parabolici. 2

3 Uno specchio parabolico e il suo fuoco F Ogni raggio di luce parallelo all'asse di simmetria incontra lo specchio parabolico e viene riflesso in un raggio che passa per F. Così tutti i raggi riflessi concentrano luce e calore in F, dove si accende il FUOCO. 3

4 Uno specchio parabolico e il suo fuoco F Ma attenzione! Lo specchio e la torcia debbono essere in una posizione particolare: - i raggi del Sole debbono essere paralleli all asse di simmetria dello specchio. - la torcia deve essere nel fuoco F. Ecco che cosa succede se i raggi di luce non sono paralleli all asse di simmetria: i raggi riflessi non si concentrano in un punto 4

5 In matematica: parabola, fuoco e direttrice La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa d, detta direttrice. Ma senza equazione e senza piano cartesiano come ho disegnato la parabola? 5

6 Disegnare una parabola con riga e compasso Gli antichi greci costruivano parabole solo con riga e compasso. Ecco una prima costruzione. Animazione Parabola2_Presenta1a Retta parallela alla direttrice: è il luogo dei punti che hanno distanza 1,5 dalla direttrice. Circonferenza con centro il fuoco: è il luogo dei punti che hanno distanza 1,5 dal fuoco. P e P hanno distanza 1,5 dal fuoco e dalla direttrice. Al variare della retta b i punti P e P descrivono la parabola che ha: -!direttrice e fuoco assegnati; -! asse di simmetria che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice; -! vertice V. 6

7 Attività 1. Forma ed equazione della parabola 1#*.*&-&2/"-3"/.-&4*$*&.*))-5%6&%))%&7*"8%&2-))%&9%"%:*)%; & '<=&#$&.*))-5%8-$>*&7"%&)%&.*4>"#?/*$-&5-*8->"/.%&-& A%&9"*44/8%&%B(/>C&2/&5"#99*&4%"C&2-2/.%>%&%&>"*(%"-&)-& E/(/2->-(/&/$&5"#99/&2/&F&G&H&9-"4*$-I&%2&*5$/&5"#99*&(/-$-& 2%>%&#$%&4.J-2%&2/&)%(*"*&2%&.*89)->%"-D&!"#$#%&'%()*+,%-)%$#(./0%%!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 7

8 Che cosa abbiamo trovato!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 8

9 Fuoco e direttrice sono collegati alla forma della parabola Animazione Parabola2:Presenta1b La parabola rivolge la concavità verso il fuoco La parabola rivolge la concavità verso il basso, solo se il fuoco è sotto la direttrice. Se il fuoco si allontana dal vertice, la parabola diventa più larga Se il fuoco si avvicina al vertice, la parabola diventa più stretta!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 9

10 Fuoco e direttrice sono collegati alla forma della parabola La parabola rivolge la concavità verso il fuoco La parabola rivolge la concavità verso l alto, solo se il fuoco è sopra la direttrice. Se il fuoco si allontana dal vertice, la parabola diventa più larga. Se il fuoco si avvicina al vertice, la parabola diventa più stretta.!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 10

11 Verso l equazione della parabola come luogo di punti Animazione Parabola2_Presenta1c!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 11

12 Equazione cartesiana della parabola con vertice O e direttrice parallela all asse x!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 12

13 Equazione cartesiana della parabola con vertice O e direttrice parallela all asse y Scambio x con y: opero una simmetria rispetto alla bisettrice b del I e III quadrante!"#$%&'%(%))%"*+&,"-..%$/&0.#*)%& 13

14 Il fuoco della parabola nella realtà e nelle scienze Secondo un antica leggenda nel III sec. a.c. Archimede avrebbe incendiato le navi romane con uno specchio parabolico che prese il nome di specchio ustorio Video Specchi ustori di Archimede Video Accedino Solare 14

15 Il fuoco della parabola nella realtà e nelle scienze RADIOTELESCOPIO ANTENNA PARABOLICA I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche per ricevere le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo uno stesso principio: segnali provengono da grande distanza, perciò sono praticamente paralleli, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco. Così l antenna condensa segnali anche molto deboli. 15

16 Il fuoco della parabola nella realtà e nelle scienze I fari I fari utilizzano lo stesso principio in modo opposto: tutti i raggi che provengono dal fuoco colpiscono la parabola e sono riflessi nella direzione parallela all'asse di simmetria. fuoco F 16

17 Il fuoco della parabola nella realtà e nelle scienze Probabilmente il primo faro greco ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo: era alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. La costruzione risale al 280 a. C., cioè proprio quando i Greci trovavano importanti risultati nello studio della parabola. Colosso di Rodi 17